精品解析：湖北省宜城市2024-2025学年上学期期中学业质量测试九年级数学试题

宜城市2024-2025学年上学期期中学业质量测试 九 年 级 数 学 （本试卷共4页 24小题，满分 120 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题 (本大题有10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ） A. B. C. D. 为任意实数 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程有相等的两个实数根，则 c 等于（ ） A. 0 B. 4 C. 9 D. 16 4. 正五边形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为（ ） A. B. C. D. 5. 对于二次函数的性质描述正确的是 （ ） A. 该函数图象开口朝下 B. 该函数图象的对称轴在y 轴右侧 C. 当时，y 随 x 的增大而减小 D. 该函数图象与y 轴的交点位于y 轴正半轴 6. 已知点与点关于原点对称，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 7. 如图，绕点B顺时针旋转一定角度后得到，点 D 刚好在的延长线上．若，则旋转角的度数为（ ） A. 48° B. 68° C. 84° D. 96° 8. 为实施国家劳动教育课程实验，某校开发出一块长为30米、宽为25米的长方形菜园（如图），为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，三点都在上，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，y有最大值；⑤一元二次方程的解是，，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ③④⑤ C. ①③④ D. ②③⑤ 二、填空题 (本大题有5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 方程的根是________ 12. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 13. 小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度h （单位：米）与在空中飞行的时间 t （单 位：秒）满足函数关系：，当篮球在空中的飞行时间____________秒时，篮球距离地面最高． 14. 如图，水管横截面半径为13cm，水面宽，则水的最大深度 ___________cm． 15. 如图，在中，，，点D是边上的动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值 _____． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．） 16. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若且为整数，求方程的根． 17. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，． （1）判断的形状； （2）求证：平分． 18. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价5元，当天可获利多少元？ （2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ 19. 已知关于的一元二次方程有，两实数根． （1）若，求及的值； （2）是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 20. 如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 21. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）． （1）求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式； （2）求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价总成本研发费用）； （3）公司决定每销售1件该产品就捐赠m元（）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于23元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围． 23. 半角模型探究 如图，正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． （3）探究延伸：如图，在四边形中，，，．E、F分别是边、上的点，且．求的周长． 24. 如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为，与直线交于点和点． （1）直接写出点的坐标； （2）求抛物线的解析式，并求出点的坐标； （3）如图2，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，以为一边，在的右侧作矩形，且．当矩形的面积随着的增大而增大时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜城市2024-2025学年上学期期中学业质量测试 九 年 级 数 学 （本试卷共4页 24小题，满分 120 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题 (本大题有10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ） A. B. C. D. 为任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．一般地形如（都是常数）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 故选：A 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．方程移项后，配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 3. 方程有相等的两个实数根，则 c 等于（ ） A. 0 B. 4 C. 9 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与关系如下：（1），方程有两个不相等的实数根，，方程有两个相等的实数根，，方程没有实数根，根据建立方程即可求得答案． 【详解】解：∵方程有相等的两个实数根， ∴， ∴， 故选：C． 4. 正五边形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形的概念，根据正五边形的性质，求出正五边形的中心角即可． 【详解】解： ∴旋转角至少为， 故选：B． 5. 对于二次函数的性质描述正确的是 （ ） A. 该函数图象开口朝下 B. 该函数图象的对称轴在y 轴右侧 C. 当时，y 随 x 的增大而减小 D. 该函数图象与y 轴的交点位于y 轴正半轴 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．根据二次函数图象与系数的关系判断． 【详解】A、，该函数图象开口朝上，故A不符合题意； B、对称轴为，该函数图象的对称轴在y 轴右侧，故B符合题意； C、对称轴为，当时，y 随 x 的增大而增大，故C不符合题意； D、时，即与y轴交点为原点，故D不符合题意； 故选：B． 6. 已知点与点关于原点对称，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点横坐标与纵坐标互为相反数计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称 ∴ 解得： ∴ 故选：A． 7. 如图，绕点B顺时针旋转一定角度后得到，点 D 刚好在的延长线上．若，则旋转角的度数为（ ） A. 48° B. 68° C. 84° D. 96° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，由题意知，根据旋转的性质得，即 ，由内角和定理可得答案． 【详解】解：∵点 D 刚好在的延长线上．若 ∴， ∵绕点B顺时针旋转一定角度得到 ∴， ∴， 则， 故选：C． 8. 为实施国家劳动教育课程实验，某校开发出一块长为30米、宽为25米的长方形菜园（如图），为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意用x表示出矩形的长和宽是解题的关键．由题意得种植的矩形的长为，宽为，即可求解． 【详解】解：∵小道的宽为x米， ∴需要种植的矩形的长为米，宽为米， 则， 故选：A． 9. 如图，三点都在上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边对等角及圆周角定理求角即可． 【详解】解：∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=43°， ∴∠AOB=94°， ∴∠ACB=47°． 故选：C． 【点睛】此题综合运用了等边对等角、三角形的内角和定理以及圆周角定理． 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，y有最大值；⑤一元二次方程的解是，，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ③④⑤ C. ①③④ D. ②③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】①根据二次函数的开口方向确定a的符号，根据对称轴确定b的符号，根据二次函数的图象与y轴的位置确定c的符号即可判断； ②根据时的函数值即可判断； ③根据对称轴是直线即可判断； ④根据抛物线开口方向和对称轴可作判断； ⑤根据抛物线与x轴的交点即可判断． 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点，利用好特殊自变量的函数值的应用是解题的关键． 【详解】解：根据图象得： 函数图象开口向下， 与y轴的交点在x轴上方，与x轴的交点是，， ∴． 对称轴为， 即， 则 ∴ ∴， 故①错误； 当时，，且， ∴ ∴， 故②错误； ∵， ∴， 故③正确； ∵函数图象开口向下，对称轴为， 当时，y有最大值， 故④正确； 一元二次方程的解指的是与x轴的交点， 二次函数与x轴的交点是，，故，， 故⑤正确． 综上所示，正确的结论有③④⑤． 故选：B． 二、填空题 (本大题有5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 方程的根是________ 【答案】，． 【解析】 【分析】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．先移项，变成，从而把问题转化为求2的平方根，直接得出答案即可． 【详解】解： 移项得， ∴． 故答案为：，． 12. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将x=1代入方程求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根 ∴，解得： 故答案为：-1． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的概念，理解概念正确代入计算是解题关键． 13. 小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度h （单位：米）与在空中飞行的时间 t （单 位：秒）满足函数关系：，当篮球在空中的飞行时间____________秒时，篮球距离地面最高． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，篮球距离地面最高，则此时篮球处于二次函数的顶点处，把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，h有最大值，即此时篮球距离地面最高， ∴当篮球在空中的飞行时间为秒时，篮球距离地面最高， 故答案为：． 14. 如图，水管横截面半径为13cm，水面宽，则水的最大深度 ___________cm． 【答案】18 【解析】 【分析】过O作于C，交优弧于D，连接，则，由垂径定理得，再由勾股数得，即可得出结论． 【详解】解：过O作于C，交优弧于点D，连接，如图， 则，， 在中，由勾股定理得：， ∴． 即水的最大深度为18cm， 故答案为：18． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识的运用，解题的关键是熟练掌握垂径定理，勾股定理． 15. 如图，在中，，，点D是边上的动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、垂线段最短，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，发现点P的运动轨迹．延长至点F，使，证明，得到点P在直线绕点F逆时针旋转的直线上，当时线段的最小，再根据三角形的性质求解即可得到答案． 【详解】解：如下图所示，延长至点F，使， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在直线绕点F逆时针旋转的直线上， 当时线段的最小， ∵，，， ∴ ∴, ∵， ∴, 故答案为：2． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．） 16. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若且为整数，求方程的根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程， （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，由此即可求解； （2）由（1）可得，结合且为整数，可得整数的值为，代入方程，根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，． 【小问2详解】 解：∵且为整数，且， ∴， ∴整数的值为， 当时，原方程可化为：， ∴， 解得，． 17. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，． （1）判断的形状； （2）求证：平分． 【答案】（1）等边三角形； （2） 证明：∵绕点A逆时针旋转， ∴，， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定． （1）根据旋转的性质得到，，则根据等边三角形的判定方法可得到为等边三角形； （2）根据旋转的性质得到，，则可证明，加上，于是可判断垂直平分，然后根据等边三角形的性质得到平分． 【小问1详解】 解：∵绕点A逆时针旋转， ∴，， ∴为等边三角形； 【小问2详解】 略 18. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价5元，当天可获利多少元？ （2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ 【答案】（1）1800元 （2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元 【解析】 【分析】（1）根据“盈利=单件利润销售数量”即可得出结论； （2）根据“盈利=单件利润销售数量”即可列出关于 x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值． 本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解： （元） 答：若某天该商品每件降价5元，当天可获利1800元． 【小问2详解】 由题意得： 化简得：，即， 解得： ∵该商场为了尽快减少库存， ∴降的越多，越吸引顾客， ∴， 答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元． 19. 已知关于的一元二次方程有，两实数根． （1）若，求及的值； （2）是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，再根据已知条件式推出，求出或，再根据根的判别式求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有，两实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程有，两实数根， ∴，， ∵， ∴，即 ∴， ∴，即， ∴，即， 解得或， 又∵方程关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 经检验，当时， ∴存在，满足． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 20. 如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质． （1）把点代入得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，再化为顶点式求顶点坐标； （2）分别确定时x对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解． 【小问1详解】 把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，或， ∴当时，x的取值范围是或． 21. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴是的切线， ∵是的切线； ∴， ∵， ∴， 解得． 22. 某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）． （1）求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式； （2）求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价总成本研发费用）； （3）公司决定每销售1件该产品就捐赠m元（）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于23元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）万元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的应用； （1）设与销售价格之间的函数关系式是，将，代入计算即可求出； （2）根据题意列出，整理成，即可求出； （3）根据题意列出，得到对称轴，根据销售价格大于23元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x增大而减小，得到，求解即可． 【小问1详解】 解：设（万件）与销售价格（元件）之间的函数关系式是，将，代入得： 解得， ； 【小问2详解】 解：根据题意得：， ，由已知可得 时，取最大值，最大值为， 答：，第一年年利润的最大值时万元； 【小问3详解】 解：由（2）得出 依题意，记扣除捐赠后的利润为 则 ∴，开口向下，对称轴 ∵公司决定每销售1件该产品就捐赠m 元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于23元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小， ∴ 23. 半角模型探究 如图，正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． （3）探究延伸：如图，在四边形中，，，．E、F分别是边、上的点，且．求的周长． 【答案】（1） 证明：逆时针旋转得到， ，， 、、三点共线， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）由旋转可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出； （2）由（1）的全等得到，正方形的边长为3，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长． （3）拓展延伸：如图，在正方形中，、分别在边、上，且，连接，同（2）可得结论仍然成立，再结合，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 则． ∴； 【小问3详解】 解：如图②，将绕点顺时针旋转角度为的度数，得到， 由旋转可得，，，，， ， ， ， ， 点、、三点共线， 在和中， ， ， ， ， ； ∵ ∴ 则 ∴ ∴ 则的周长为． 【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为，与直线交于点和点． （1）直接写出点的坐标； （2）求抛物线的解析式，并求出点的坐标； （3）如图2，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，以为一边，在的右侧作矩形，且．当矩形的面积随着的增大而增大时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、勾股定理、勾股定理逆定理、待定系数法求二次函数的解析式、矩形的性质、二次函数的综合等知识点，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键． （1）作交于点D，则，得到 ，由二次函数的性质可得 ，即可得出点B的坐标， （2）设抛物线的解析式为，将代入抛物线得：，求出a的值，即可得出抛物线解析式，联立．即可求出点C的坐标． （3）根据题意得 ，，分两种情况：当点D在点C的左侧时；当点D在点C的右侧时，分别计算即可得到答案． 【小问1详解】 如图1，作交于点D， ∵， ∴， ∴， ∵、B为二次函数与x轴的交点， ∴、B关于直线对称， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 设抛物线解析式为， 将代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 联立， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，， ∴． 【小问3详解】 ∵点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点， ∴，， 如图2，当点D在点C左侧时， ， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积随着的增大而增大， 如图3，当点D在点C右侧时， ， ∴， ∵， ∴当时，矩形的面积随着的增大而增大． 综上所述，当或时，矩形的面积随着的增大而增大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $