湖北省武汉市光谷外国语学校2024-2025学年上学期九年级10月月考数学试卷

2024-2025学年湖北省武汉市光谷外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.将一元二次方程化成一般式后，如果二次项系数是2，则一次项系数和常数项分别是(    ) A. 3，5 B. 3， C. ，5 D. 3x， 2.志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.将方程配方后，原方程变形为(    ) A. B. C. D. 4.将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为  (    ) A. B. C. D. 5.若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为(    ) A. 2 B. C. 2或 D. 4 6.如图，在中，，，将绕点A顺时针方向旋转到位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于(    ) A. B. C. D. 7.如图，已知O是四边形ABCD内一点，，，则的大小是(    ) A. B. C. D. 8.若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 9.若m、n是方程的两个实数根，则的值是(    ) A. 1 B. C. 2 D. 0 10.如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称.若点，，，…，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从开始依次增加，则…的值是(    ) A. B. C. 0 D. 1 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.点关于原点对称的点的坐标是______. 12.关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______. 13.某工厂一月份生产零件30万个，第一季度生产零件万个.设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，则x满足的方程是______. 14.一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为______厘米． 15.已知抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点在点和之间，下列四个结论：①；②；③对于任意的m均有；④若关于x的方程有两个根，则其中正确的结论是______. 16.如图，在四边形ABCD中，，，，若，则的周长为______. 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题9分 解方程： ； 18.本小题9分 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，A、C两点的对应点分别为D、E两点，点E落在边AB上. 若，请直接写出的度数为______； 若，，求AD的长. 19.本小题9分 长江文化艺术季于2024年9月在武汉开幕，主办方须在空地上布置烟花，如图，已知空地上有一段长为15米的旧墙MN，若利用该旧墙和防火护栏围成一个矩形燃放地ABCD，其中，已知该矩形燃放地的一边靠墙，另三边一共用了24米的防火护栏，设米，矩形ABCD的面积为S平方米. ______米，______平方米；用含x的代数式表示 所围成的矩形燃放地面积能否为90平方米，若能请求出AD的长，若不能请说明理由. 20.本小题9分 如图，AB，AC是的两条弦，且 求证：AO平分； 若，，求半径OA的长． 21.本小题9分 如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为已知A、B、C三点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图保留作图痕迹 在图1中，格点M在内，画出关于点M成中心对称的； 在图2中，将绕点A顺时针旋转的度数，作出； 在图3中，经过A、B、C三个格点作，先画出圆心O，再在上画点点N不同于点，使 22.本小题9分 随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键.某兴趣小组调查了解到某型号汽车正常刹车后车速每秒减少，该型号汽车刹车时速度为，刹车后速度、行驶的距离为与时间之间的关系如表： t … 0 1 2 … v … 20 15 10 … S … 0 30 … 求v与t的函数关系式； 与t满足函数关系式，求该汽车刹车后行驶的最大距离； 一般司机在遇到紧急情况时，从发现情况到正常刹车的反应时间是，且，王师傅驾驶该型号汽车以的速度行驶，突然发现导航提示前面60m处路面变窄，需要将车速降低到以下安全通过，司机正常反应后正常刹车，能否在到达窄路时将车速降低到以下？请通过计算说明. 23.本小题9分 在等腰中，，M为AC中点，D为平面内一点. 如图1，D点在边BC上，连接AD、MD，若，，求的值； 如图2，D点在BC下方，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转线段到AE，且，连接DE恰好过点M，若，证明：； 如图3，已知，D点在边AB上，连接CD，动点P在线段CD上，将线段PA绕点P逆时针旋转得到线段PQ，连接AQ，点N为AQ中点，连接若，，请直接写出线段DN的最小值为______. 24.本小题9分 已知抛物线的顶点在第一象限. 如图1，若，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点 ①请直接写出：A点的坐标为______， B点的坐标为______； ②点D在第一象限内的抛物线上，若AD恰好平分四边形ABDC的面积，求点D的坐标； 如图2，抛物线对称轴与x轴交于点P，点Q在x轴负半轴上，M、N两点在x轴下方的抛物线上，若四边形MNPQ是平行四边形，且，求线段OQ长度的最大值. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：由移项，得，所以一次项系数是3、常数项是， 故选： 首先移项把5移到等号左边，然后再确定一次项系数和常数项． 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 2.【答案】B  【解析】解：选项A、C、D的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选： 根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3.【答案】C  【解析】解：， ， ， ， 故选： 先移项，再配方，变形后即可得出选项． 本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 4.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题． 先把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为，再利用点平移的规律得到把点平移后所得对应点的坐标为，然后利用顶点式写出平移后的抛物线的函数表达式． 【解答】解：因为， 所以抛物线的顶点坐标为，把点向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为，所以平移后的抛物线的函数表达式为 故选 5.【答案】A  【解析】解：由已知得方程是关于x的二次方程， ，即可得， 方程有一个根， 把代入， 即可得， 解方程得， 总之； 故选： 由一元二次方程的定义，可知；一根是0，代入可得，即可求答案． 本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，解题关键是正确代入． 6.【答案】C  【解析】解：， ， 故选： 首先根据点C、A、在同一条直线上，得到，然后利用邻补角互补求解即可． 此题考查旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 7.【答案】D  【解析】解：如图，， ，， ， ， 故选： 在四边形ADCO中，求出即可解决问题，根据圆心角与圆周角的关系可以求出 本题考查等腰三角形的性质，四边形内角和为，求出是解题的关键，属于中考常考题型． 8.【答案】B  【解析】解：二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 点A、B、C到对称轴的距离分别为2、1、3， 故选： 先求出抛物线对称轴解析式，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键． 9.【答案】A  【解析】解：、n是方程的两个实数根， ，，， ， ； 故选： 由m、n是方程的两个实数根可得，，代入所求式子即可得到答案． 本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 10.【答案】D  【解析】解：由题知， 点的坐标为， 则 因为函数图象关于点中心对称， 所以…， 将代入函数解析式得， ， 即， 所以…的值为 故选： 根据所给函数图象，发现点纵坐标的变化规律，再根据中心对称图形的性质即可解决问题． 本题主要考查了点的坐标变化规律，能通过计算得出点的坐标，进而发现…是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是 故答案为： 根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数可得答案． 本题考查了关于原点对称的点，平面直角坐标系中若两个点关于原点对称，那么这两个点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 12.【答案】且  【解析】解：关于x的一元二次方程有实数根， 根的判别式， 由，解得：， 又是一元二次方程， ，解得：， 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是且 故答案为：且 首先根据一元二次方程有实数根得，根的判别式且，然后解这个不等式组即可得出答案． 此题主要考查了一元二方程根的判别式，熟练掌握一元二方程根的判别式是解决问题的关键；特别需要注意的是，在利用一元二方程根的判别式解决问题时，不要忘记二次项系数不能为0，这也是解决这类问题的易错点． 13.【答案】  【解析】解：依题意得二、三月份的产量为万个，、万个， 故答案为： 主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量增长率，如果该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示二、三月份的产量，然后根据题意可得出方程． 考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 14.【答案】26  【解析】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线， 由题意可得：，厘米， 设镜面半径为x厘米， 由题意可得：， ， 镜面半径为26厘米， 故答案为： 根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径． 本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，由勾股定理可求解． 15.【答案】②  【解析】解：， 抛物线开口向下， 抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点在点和之间， 抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， 抛物线与y轴正半轴相交， 即， 抛物线对称轴为直线， ， ， ； 故①错误； 抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点在点和之间， 抛物线与x轴的另外一个交点位于，两点之间， 当时，， ， ，即，故②正确； 抛物线的对称轴为， 当时，y取得最大值，最大值， 对于任意的m均有，则， 故③错误； 若关于x的方程有两个根，即一元二次方程有两个根， 则，即， ， ， ， 即，则，故④错误， 正确的有②， 故答案为：②． 根据题意可知，根据对称性求出抛物线与x轴的另外一个交点位于，两点之间，判断出与y轴交于正半轴，，再由对称轴为直线得到，由此即可判断①；可得到当时，，进而推出，即，由此即可判断②；再得到对于任意的m均有，则，即可判断③；根据一元二次方程根的判别式和即可判断④． 本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图象的性质知识，解题的关键是熟悉二次函数的图象性质． 16.【答案】6  【解析】解：延长AB到E使，连接CE，DE，过点C作交AD延长线于F，作的外接圆，如图所示：   ，，， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 为等腰直角三角形，DE为外接圆的直径， ， ， 点A在的外接圆上， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 即， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 的周长为： 故答案为： 延长AB到E使，连接CE，DE，过点C作交AD延长线于F，作的外接圆，先证明和全等得，，再证明点A在的外接圆上得，则为等腰直角三角形，由此可根据勾股定理得，，，，，进而可得的周长． 此题主要考查了含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，理解等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用含角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 17.【答案】解：因式分解可得， 则或， 解得：，； 移项可得：， 提取公因式可得，即， 则或， 解得：，  【解析】十字相乘法因式分解可得； 移项后提取公因式求解可得． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：在中，，， ， 将绕着点B逆时针旋转得到， ，， ， 故答案为：； ，，， ， 将绕着点B逆时针旋转得到， ，， ， 根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到答案； 根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据勾股定理即可得到答案． 本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，熟知旋转的性质是解题的关键． 19.【答案】  【解析】解：由题意得：，则米， 平方米； 故答案为：，； 设，即， 由，可知方程无实数根， 所围成的矩形燃放地面积不能为90平方米． 由题意得：，据此即可求解； 令，求解该方程即可判断； 本题考查了一元二次方程的应用，涉及了列代数式，掌握一元二次方程的求解是解题关键． 20.【答案】证明：连接OB、OC， ， ，， ≌， ， 平分； 延长AO交BC于E，连接OB， ，AO平分， ， 设，可得：，， 可得：，， 解得：，， 半径OA的长  【解析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用圆中半径相等的隐含条件，获得全等的条件，从而利用全等的性质解决问题． 已知，推出，又因为，，则≌，根据全等三角形的性质知，，进而解答即可； 在和中根据勾股定理解答即可． 21.【答案】解：如图1，连接AM并延长交格点于点D，连接BM并延长交格点于点E，连接CM并延长交格点于点F，依次连接DE，EF，DF，则为所画的三角形； 如图2，即为所求作三角形； 如图3，点N即为所求．  【解析】利用中心对称的性质解答即可； 画线段，画线段，AE与QF交于点P，则为所画的三角形； 取AB与格线的交点O，即为圆心O；取格点D，连接CD，交于点N，则 本题主要考查了中心对称的性质，旋转的性质，轴对称的性质，圆周角定理，圆的有关性质，本题是操作性题目，熟练掌握上述性质是解题的关键． 22.【答案】解：该型号汽车刹车后速度，设解析式为，将，代入得： ， 解得：， 与t的函数关系式为； 将，代入，得： ， 解得：， ， 当时，s取得最大值，即该汽车刹车后行驶的最大距离为40米； 依题意得：， 当时，， 从发现情况到刹车的反应时间是，， 接到提示到紧急刹车所行驶的路程范围是， 时，， 刹车后行驶的距离为米， 到达窄路前行驶的距离范围是， ， 能在到达窄路时将车速降低到以下．  【解析】根据表格数据，v随着t的变化均匀变化，符合一次函数，设解析式为，进而待定系数法求解析式，即可求解； 先待定系数法求出解析式，进而根据二次函数的性质，即可求解； 根据的结论得出s，v的函数关系式，当时，求得汽车刹车后行驶的最大距离，进而结合题意求得刹车后行驶的距离，比较大小，即可求解． 本题考查了一次函数与二次函数的应用，理清题目中的数量关系，列出二次函数解析式是解答本题的关键． 23.【答案】  【解析】解：， ， 又，，， ， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ； 证明：在线段MD上截取，连接AG，CE， 将AD绕点A逆时针旋转到AE，， ，， ， ， ≌， ， ， ， ， ， ， 为AC的中点， ， ，， ≌， ， ， ， ， ， ≌， ， ， ； 解：如图3中，取BC的中点T，连接AT，TN，PT， ，，， ， ， ，都是等腰直角三角形，T为BC的中点，点N为AQ中点， ，都是等腰直角三角形， ，，， ，， ∽， ， 点N的运动轨迹是射线， 当时，DN的值最小， 连接AT，延长TN交AB于点J，作于点W，于点R，于点 ，，， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 根据三角形外角关系得出，由得，运用AAS证明≌，得，，进一步可得出的值； 在线段MD上截取，连接AG，CE，证明≌，根据全等三角形的性质得，由可推出，则，再证明≌，可得，证明≌，得出，即可得出结论； 取BC的中点T，连接AT，TN，PT，首先推出点N的运动轨迹是射线，推出当时，DN的值最小，再想办法求出DN可得结论． 本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 24.【答案】  【解析】解：当时，抛物线的解析式为， ①当时，， 解得，， ，， 故答案为：；； ②连接BC交AD于点E，分别过点B，C作AD的垂线，垂足分别为F，G，如图1： 由题意，得， ， ≌， ， 点E为BC的中点，由，，点E的坐标为， 求得AD的解析式为， 由，得， 解得，舍去， 点D为； 过点N作轴，垂足为H， 是抛物线对称轴与x轴的交点， ， 是x轴负半轴上一点， 设 ，且， ，， 两式相加，得， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 整理为关于m的方程为， 由题意，得， 解得， 此时关于m的方程的两根之和， 当时，m必有正根， 线段OQ长度的最大值是 ①先求出抛物线的解析式，再把代入方程，即可求解； ②连接BC交AD于点E，分别过点B，C作AD的垂线，垂足分别为F，G，证明≌，得出，再由中点公式求出地E的坐标，结合点E的坐标和点A的坐标求得AD所在的直线的解析式，再联立抛物线的解析式即可求解出点D； 过点N作轴，垂足为H，可得，设，根据平行四边形的性质可得，再根据等腰直角三角形的性质求出点N的坐标，代入抛物线解析式进而可求出t的取值范围，进而即可解答． 本题考查了二次函数的图象与性质，中点坐标公式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$