精品解析：江苏省马坝高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省马坝高级中学2024—2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 2024．11 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 直线的倾斜角等于（ ） A. 0° B. 45° C. 30° D. 90° 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若直线，，，的斜率分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 168 B. 196 C. 200 D. 210 6. 已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 7. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知数列的首项，前n项和，满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知直线，则（ ） A. 不过原点 B. 在x轴上的截距为 C. 的斜率为 D. 与坐标轴围成的三角形的面积为 10. 已知椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的一个焦点为 C. 椭圆的短半轴长为6 D. 椭圆的离心率为 11. 已知直线和圆，则下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 直线与圆相交 C. 圆与圆有三条公切线 D. 直线被圆截得的最短弦长为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知的三个顶点，则边AB的中线所在直线的一般式为_________. 13. 已知数列满足，，，则______. 14. 抛物线：的焦点为，为上一点且，为坐标原点，则______. 四、本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 16. 已知关于的方程. （1）若方程表示圆，求m的取值范围； （2）若圆与圆外切，求的值； （3）若圆与直线相交于两点，且，求的值. 17. 已知等差数列的前项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 18. 设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且这两交点纵坐标分别为，，A，B在抛物线准线上的射影分别为，． （1）求值； （2）求证：是直角； （3）M是线段AB中点，求点M的轨迹方程． 19. 已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线的斜率为，求弦长； （3）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省马坝高级中学2024—2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 2024．11 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 直线的倾斜角等于（ ） A. 0° B. 45° C. 30° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角与斜率求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：B. 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程的概念求解即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得，即. 故选：C. 3. 如图，若直线，，，的斜率分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象，由斜率的定义求解. 【详解】解：由图象知：， 故选：A 4. 已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入点可得，即可得抛物线方程为，进而可得准线方程. 【详解】因为点在抛物线上，则， 可得抛物线，即， 可知，且焦点在y轴正半轴上， 所以抛物线的准线方程为. 故选：D. 5. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 168 B. 196 C. 200 D. 210 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以. 故选：A. 6. 已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出圆心，根据得到方程，求出，得到圆心和半径，得到圆的方程. 【详解】设圆心为， 由题意得，即， 解得，故圆心， 半径为， 故圆的标准方程为. 故选：C 7. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可. 【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件； 当与直线平行时，，则 ∴或， 当时显然成立，当时，，， 整理后与重合，故舍去， ∴，满足必要条件； ∴“”是“直线与直线平行”的充要条件 故选：C 8. 已知数列的首项，前n项和，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据得到，两式相减得到，求出即可求解. 【详解】因为，所以， 两式相减得， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知直线，则（ ） A. 不过原点 B. 在x轴上的截距为 C. 的斜率为 D. 与坐标轴围成的三角形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将代入直线方程不成立，可判断A，根据截距定义可判断B，将直线化为斜截式方程，可判断C，化为截距式可得D. 【详解】因为，所以不过原点，所以A正确； 令，得，所以在轴上的截距为，所以B错误； 把化为，所以的斜率为，所以C正确； 把化为， 所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为，所以D正确. 故选：ACD. 10. 已知椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的一个焦点为 C. 椭圆的短半轴长为6 D. 椭圆的离心率为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程分析其性质即可得解. 【详解】因为，且椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的长轴长为，焦点坐标为，短半轴长为3，离心率． 故选：AD. 11. 已知直线和圆，则下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 直线与圆相交 C. 圆与圆有三条公切线 D. 直线被圆截得的最短弦长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据定点的特征即可求解A;根据定点在圆内判断B;判断圆与圆的位置关系确定公切线条件判断C;根据垂直时即可结合圆的弦长公式求解D. 【详解】对于A，由直线的方程，当时，，可知直线恒经过定点，故A正确； 对于B，因为直线恒经过定点，且，定点在圆内， 所以直线与圆相交，故B正确； 对于C，由圆的方程，可得圆心，半径， 又由直线，圆，圆心，半径， 此时，所以圆与圆相外切，有三条公切线，故C正确； 对于D，由，根据圆的性质，可得当直线和直线垂直时， 此时截得的弦长最短，最短弦长为，故D错误， 故选：ABC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知的三个顶点，则边AB的中线所在直线的一般式为_________. 【答案】 【解析】 【分析】求中点坐标，由两点式求斜率，最后由点斜式写出直线方程即可. 【详解】由已知可得边的中点，又直线过点， 所以所求直线的斜率， 所以边的中线所在直线方程为：，即. 故答案为：. 13. 已知数列满足，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推式确定数列的周期，进而求对应项. 【详解】由题设，，，，， 所以是周期为4的数列，故. 故答案为： 14. 抛物线：的焦点为，为上一点且，为坐标原点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦半径公式，确定点的横坐标，再求点的纵坐标，可得的面积. 【详解】如图： 不妨设点在第一象限，过点作与抛物线的准线垂直，垂足为. 则，又，所以，所以. 所以. 故答案为： 四、本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求得两直线交点坐标，利用直线平行求得直线的斜率，进而可求直线的方程. （2）求得直线的方程，计算可求线与坐标轴围成的三角形周长. 【小问1详解】 由题意联立，解得，即直线过点， 直线的斜率为， 又直线与直线平行，所以直线的斜率为， 由直线的点斜式方程可得直线的方程为，即 【小问2详解】 由直线，可得，所以直线的斜率， 由（1）知直线过点，所以直线的方程为， 令，可得，所以直线与的交点， 令，可得，所以直线与的交点， 所以，又， 所以直线与坐标轴围成的三角形周长为. 16. 已知关于的方程. （1）若方程表示圆，求m的取值范围； （2）若圆与圆外切，求的值； （3）若圆与直线相交于两点，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到方程，结合圆的标准方程，得出不等式，即可求解； （2）根据题意，求得圆与圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆相外切，列出方程，即求解； （3）利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 由方程，整理得， 因为方程表示圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由圆，可得， 可得圆心为，半径为， 又由圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆相外切，可得，即， 解得. 【小问3详解】 由（2）知，圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆C与直线相交于两点，且， 根据圆的弦长公式，可得， 可得，即，解得. 17. 已知等差数列的前项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 【答案】（1） （2）20 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）由并项求和法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以. 18. 设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且这两交点纵坐标分别为，，A，B在抛物线准线上的射影分别为，． （1）求值； （2）求证：是直角； （3）M是线段AB中点，求点M的轨迹方程． 【答案】（1）； （2）证明：如下图示，由题意易知，则，， 又，则，， 综上，，，即， 而，即， 所以，得证. AI （3）. 【解析】 【分析】（1）设直线为，联立抛物线并应用韦达定理即可求结果； （2）由题设有，且，进而得到，即可证结论； （3）根据题设有，结合（1）有，即可得轨迹方程. 【小问1详解】 由题设，焦点，直线可设为，联立抛物线有， 所以，由直线与抛物线有两个交点，即，则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，由（1）知：，， 所以，故， 所以轨迹为. 19. 已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线的斜率为，求弦长； （3）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 【答案】（1） （2） （3）证明：依题意，设直线的方程为，，， 联立，即， 则， 且，，即， 而，， 所以 为定值. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求出值即可； （2）先求出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及弦长公式计算即可； （3）设出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得. 【小问1详解】 由题意，双曲线的焦距为， 则，即， 由，得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的方程为， 联立，即， 设，， 则，， 所以弦长. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $