上海市上海财经大学附属北郊高级中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

北郊中学2024学年第一学期高三年级数学期中 2024.11 一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1．已知全集，集合，，且，则实数的取值范围________． 2．若（为虚数单位），则的共轭复数为________． 3．已知函数，则________． 4．用简单随机抽样的方法从含个个体的总体中，逐个抽取一个样本量为3的样本，若其中个体在第一次就被抽取的可能性为，那么________． 5．在中，若，，，则的面积是________． 6．二项式的展开式中含的系数为________． 7．设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基， 则________． 8．已知椭圆的焦点、都在轴上，为椭圆上一点，的周长为6，且，，成等差数列，则椭圆的标准方程为________． 9．已知，若实数满足，则________． 10．已知，集合，若存在，使得集合恰有五个元素，则的范围取值为________． 11．在正方体中，，分别为，的中点，则以为直径的球的球面与该正方体的棱共有________个公共点． 12．已知实数，，成公比为的等比数列，抛物线上每一点到直线的距离均大于，则的取值范围是________． 二、选择题（共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13．一枚质地均匀的正方形骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（ ） A．第一次朝上的数字是偶数 B．第一次朝上的数字是1 C．两次朝上的数字之和是8 D．两次朝上的数字之和是7 14．已知是圆的直径，，是圆上的两点，且，则的最小值为（ ） A．0 B． C． D． 15．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）． A．为递减数列 B．为递增数列 C．有最小项 D．有最大项 16．已知正方体的棱长为2，点是上底面正方形的中心，点是止方体棱上的点，以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，若平面的一个法向量为，则点所在的棱可以是（ ） A． B． C． D． 三、解答题（共5题，满分78分） 17．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 在中，角、、的对边分别为、、，． （1）求角，并计算的值； （2）若，且是锐角三角形，求的最大值． 18．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，，点，分别为，的中点． （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离． 19．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下，某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数； （2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； （3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率． 20．本题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知椭圆的右焦点为，直线． （1）若到直线的距离为，求； （2）若直线与椭圆交于，两点，且的面积为，求； （3）若椭圆上存在点，过作直线的垂线，垂足为，满足直线和直线的夹角为，求的取值范围． 21．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 定义：如果函数和的图像上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系． （1）判断函数和是否具有关系； （2）若函数和不具有关系，求实数的取值范围； （3）若函数和在区间上具有关系，求实数的取值范围． 参考答案 一、填空题 1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.； 11.在正方体中，，分别为，的中点，则以为直径的球的球面与该正方体的棱共有________个公共点. 【答案】 【解析】在正方体中,分别为,的中点, 设正方体中棱长为中点为, 取中点, 侧面的中心为连接, 如图,由题意得为球心，在正方体中, 则球心到的距离为 球与棱相切,球面与棱只有一个交点,同理， 根据正方体的对称性可知，其余各棱和球面也只有一个交点， 以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12故答案为:12. 12.已知实数，，成公比为的等比数列，抛物线上每一点到直线的距离均大于，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】设抛物线上的一点为.因为成公比为的等比数列, 所以直线方程变形为, 又因为抛物线上的点到直线的距离均大于, 所以在上恒成立, 又因为恒成立,所以整理得恒成立, 那么满,解得或， 故的取值范围是.故答案为:. 二、选择题 13.D； 14.C； 15.C； 16.D 15.已知等比数列的前项和为，若，则（ ）． A．为递减数列 B．为递增数列 C．有最小项 D．有最大项 【答案】C 【解析】由可得,所以, 因为得,所以, 因为,当时，递增，当时，摆动，错误； 当时,最小项,没有最大项, 当时，且最小项,有最大项 正确,错误。故选:. 三、解答题 17.（1） （2） 18.（1）证明略 （2） 19.（1）4人 （2） （3） 20.已知椭圆的右焦点为，直线． （1）若到直线的距离为，求； （2）若直线与椭圆交于，两点，且的面积为，求； （3）若椭圆上存在点，过作直线的垂线，垂足为，满足直线和直线的夹角为，求的取值范围． 【答案】（1）8 （2）2 （3） 【解析】(1)椭圆的右焦点为, 又到直线的距离为,解得（舍去）或； (2)设直线与轴交于点,与椭圆交,, ,得, 由得,, 解得,经检验判别式大于0成立， (3)若,直线经过,此时直线和直线的夹角为,不符合题意, 若直线和直线的夹角为且,的斜率为0或不存在, 又点在直线上,故或， 直线的方程为或, 代入椭圆方程可得： 解得或, 综上所述:的取值范围为. 21.定义：如果函数和的图像上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系． （1）判断函数和是否具有关系； （2）若函数和不具有关系，求实数的取值范围； （3）若函数和在区间上具有关系，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】(1)由已知得,化简得解得, 故此时函数和具有关系； (2)由已知得在上无解,，显然不满足上式， 故（当且仅当时取等号）， 故时，原方程无解，即函数和不具有关系， 即所求的范围是; (3)由已知得在上有解,即在上有解， 令,, 再令 当时,,且,故此时, 当时,易知时,,此时, 故在上递增,故在上恒成立, 即在上恒成立,故在单调递增，, 故,即,解得即为所求,故所求的范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$