精品解析：河北省石家庄正定中学2024-2025学年高二上学期期中数学试题

河北正定中学/河北正中实验中学高二上学期期中考试 数学 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出该直线的方程，由点在该直线上，即可得出该直线方程. 【详解】设该直线方程为 由点在该直线上，则，即 即该直线方程为 故选：C 【点睛】本题主要考查了由两直线垂直求直线方程，属于中档题. 2. 对于空间一点和不共线三点，且有，则（ ） A. 四点共面 B. 四点共面 C. 四点共面 D. 五点共面 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，得到四点共面，即可求解. 【详解】由，得， 可得，由于， 根据空间向量的基本定理，得四点共面. 故选：B. 3. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0，截距为0则过原点；截距不为0用截距式设出方程后带点即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：，，则 ①，则直线过原点，则直线方程为： ②则，则设直线方程为：，即，则，∴直线方程为： 综上所述：该直线方程为或 故选：D 4. 我国的航天事业取得了辉煌的成就，归功于中国共产党的坚强领导，这归功于几代航天人的不懈奋斗.中国工程院院士､中国探月工程总设计师､巴中老乡吴伟仁先生就是其中最杰出的代表人物之一，同学们应当好好学习航天人和航天精神.我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心(地球的中心)为一个焦点的椭圆.已知它的近地点(离地面最近的点)距地面千米，远地点(离地面最远的点)距离地面千米，并且､､在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知即可求出a，c的值，进而可以求出b的值，从而可以求解． 【详解】由题意可得，， 故， 即， 所以， 所以椭圆的短轴长为． 故选：A． 5. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ） A. B. AB与平面所成的角为 C. D. 与平面所成的角为 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出． 【详解】如图所示： 不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得． 对于A，，，，A错误； 对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，与平面所成角为，，而，所以．D正确． 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，，点P满足．设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ） A. 圆C的方程为 B. 直线与圆相切 C. 在C上存在K使得 D. 当三点不共线时，射线是的平分线 【答案】D 【解析】 【分析】设点P的坐标，根据题意把几何关系转化为代数方程可判断A、B，同样求出点K的轨迹方程，与P点的轨迹方程联立判断C，由角平分线的性质可判断D. 【详解】选项A，在平面直角坐标系中，，，点满足， 设，则，化简可得，故A错误； 选项B，因为圆：的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 当时，则直线与圆相交， 当时，此时直线与圆相切，故B错误； 选项C，若存在点，使得， 可设，即有，化简可得， 联立，可得方程组无解，故不存在，故C错误； 选项D，当，，三点不共线时，由，可得射线是的平分线，故D正确. 故选：D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义以及的位置关系及长度，构造齐次方程即可解得离心率. 【详解】如下图所示：    因为的中点，且，则， 由椭圆的定义，则， 又为的中点，可得， 因为，由勾股定理可得， 即；又因， 代入整理得：，即， 解得或（舍）. 故选：C. 8. 已知点，且点在直线上，则下列命题中错误的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 的最大值为3 【答案】A 【解析】 【分析】判断以为直径的圆与直线线的位置关系即可判断A是否正确；求出满足的点的轨迹方程，在判断与直线关系是否有公共点即可；求出点关于直线的对称点为，利用三角形不等式可求出的最小值；利用三角形不等式即可判断. 【详解】对于A：构造以为直径的圆，其方程为. 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 所以在直线不存在点，使得，故A错误; 对于B：设，由可得， ， 化简得，即， 所以圆心为，半径为， 可判断圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交 所以存在点，使得，故B正确； 对于C项：设关于直线的对称点为， 由可解得，即， 则， 所以，故C正确； 对于D项：当点与不共线时 当点与共线时， 此时点，故D正确. 故选:A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 B. 空间的基底有且仅有一个 C. 两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的基底的含义，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】对于A，能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的3个向量， 由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 即向量，与任何一个向量均共面，则，必共线，A正确； 对于B，空间的基底不唯一，不共面的3个向量，均可作为空间的一组基底，B错误； 对于C，由于两两垂直的三个非零向量不共面，故可以构成空间的一个基底，C正确； 对于D，由于是空间的一个基底，故不共面， 而与共面，故与不共面，且不共线， 故也是空间的一个基底，D正确， 故选：ACD 10. 已知直线l：，圆：，与圆：．则下列结论正确的是（ ） A. 直线l与圆的位置关系是相切 B. 直线l与圆的位置关系是相离 C. 圆与圆的公共弦长是 D. 圆上的点到直线l的距离为1的点有3个 【答案】BC 【解析】 【分析】由点线距与两半径的关系可判断A、B两项；将两圆方程作差，由弦长公式可判断C项；通过计算圆心到直线的距离结合条件从而判断出D选项. 【详解】对于选项A: 因为圆：，所以圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 因为，所以直线l与圆的位置关系是相交，故选项A错误； 对于选项B: 因为圆：，所以圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 因为，所以直线l与圆的位置关系是相离，故选项B正确； 对于选项C：联立，相减得公共弦所在得直线方程为：， 所以圆心到的距离为， 所以公共弦长为，故选项C正确; 对于选项D：因为，且， 所以圆上的点到直线l的距离为1的点有4个（在直线l的两侧各2个）, 故选项D错误; 故选：BC. 11. 在正三棱柱中，，点P满足，其中，则下列说法错误的是（ ） A. 当且时，有 B. 当且时，有 C. 当时，的周长为定值 D. 当时，三棱锥的体积为定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】当且时，点为棱的中点，可判定是异面直线，即可判断A；当且时，点是棱中点，计算可判断B；当时，点在棱上，分别计算，时的周长，即可判断C；当时，点在棱上，利用线面平行的性质以及棱锥的体积公式，即可判断D. 【详解】对于A，当且时，，则点为棱的中点，如图， 因为平面，平面，，平面，所以是异面直线，故A错误； 对于B，当且时，，则点是棱中点，如图， 因为 ， 所以与不垂直，故B错误； 对于C，当时，，则，点在棱上，周长为，如图， 当时，点为棱中点，， 当时，点与点重合，， 从而可知的周长不是定值，故C错误； 对于D，当时，，则，点在棱上，如图， 因平面平面，则平面，因此点到平面距离为定值， 而面积是定值，即有三棱锥的体积为定值，故D正确. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线关于x轴对称的直线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得直线与坐标轴的交点为和，得出关于的对称点为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线，令，可得，即直线与轴的交点为， 再令，可得，即直线过点， 则点关于的对称点为， 又由，所以直线关于轴的对称直线为，即. 故答案为：. 13. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 14. 如图，是椭圆的左、右顶点，P是上不同于的动点，线段与椭圆C交于点Q，若，则椭圆的离心率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，得到和，两式相除即可求解. 【详解】根据椭圆以及圆的对称性，不妨设P点在第一象限，设， 则， ， 两式相乘得①, 因为直径所对的角是直角，所以， 所以②，结合， ①除以②得，故， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，分别是上的点，且．设． （1）试用表示向量； （2）若，求异面直线与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由空间向量的基本定理求解即可； （2）先用基向量表示与，然后求解与以及数量积，然后计算夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 由图可得： . 【小问2详解】 由（1）可知， 因为， 所以，，， ， 所以， ，， 所以， 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 16. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 （1）求的值； （2）若点D为边的中点，，求的值． 【答案】（1）4；（2）． 【解析】 【分析】（1）由，带入余弦定理整理可得，所以，带入即可得解； （2）作边上的高，垂足为E，因为，所． 又，所以，因为点D为边的中点且，所以，再根据勾股定理即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 即． 又， 所以． （2）如图，作边上的高，垂足为E， 因为，所以． 又，所以． 因为点D为边的中点，，所以． 在直角三角形中，，所以． 在直角三角形中，，所以． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点. （1）求证：平面PCD； （2）求平面BPD与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 在正方形中，， 又侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为是正三角形，是的中点，所以， 又，，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先根据面面垂直证线面垂直，得平面，再得线线垂直，再根据正三角形三线合一证，最后由线面垂直的判定，证得平面PCD； （2）建系，用空间向量坐标计算面面夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点为中点为，连接，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设， 则，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则 由得 取，则， 由（1）知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆的离心率，其右焦点到点的距离为，直线交椭圆于两点． （1）求椭圆的方程； （2）若直线过点且与直线垂直，求的面积； （3）若直线过定点，若线段恰被点所平分，求直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设椭圆右焦点为，依题意得到、的方程组，即可求出椭圆方程； （2）首先求出直线的方程，联立直线与椭圆方程，求出弦，再求出点到直线的距离，最后由面积公式计算可得； （3）设，，利用点差法求出中点弦的斜率，再由点斜式计算可得. 【小问1详解】 设椭圆右焦点为， 则由题意得，解得，则， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 设，， 由及，所以， 所以直线为， 由，得，则， 所以，， ， 因为点到直线的距离为， 所以. 【小问3详解】 设，， 所以，， 两式作差得， 由于是的中点，故，， 所以， 所以，所以， 所以中点弦的方程为， 所求的直线方程． 19. 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为． （1）求轨迹的方程； （2）若直线与E交于不同的两点、，线段的中点记为，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围． （3）若过轨迹右焦点的直线交于，两点，交直线于点．且，设直线，，的斜率分别为，，，若，探究，，的数量关系． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆与圆的位置关系可得，根据椭圆的定义可得解； （2）联立直线与椭圆方程，由可得，结合韦达定理可得点的坐标，进而可中垂线方程，可得，代入不等式可得点的取值范围； （3）易知直线斜率一定存在，设，可得，可得，联立直线与椭圆，结合韦达定理与斜率公式可得，即可得. 【小问1详解】 由已知圆，即，圆心，半径， 圆，即，圆心，半径， 又动圆与圆内切，且与圆外切， 则，， 则， 即动点到定点与的距离之和为定值， 即动点的轨迹为以点与为焦点的椭圆，设其方程为， 则长轴长为，焦距为，短轴长为， 所以轨迹的方程为； 【小问2详解】 设，， 联立直线与椭圆， 得， 则，即， 且，， 则的中点，且直线的中垂线斜率为， 即直线的中垂线方程为， 又直线过点，即，化简可得， 则，解得， 即或； 【小问3详解】 易知直线斜率一定存在，设斜率为，则直线， 令，得，即， 则， 设直线与椭圆交于，两点， 联立直线与椭圆，得，， 则，， 且，， 则， 即. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北正定中学/河北正中实验中学高二上学期期中考试 数学 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 对于空间一点和不共线三点，且有，则（ ） A. 四点共面 B. 四点共面 C. 四点共面 D. 五点共面 3. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 我国的航天事业取得了辉煌的成就，归功于中国共产党的坚强领导，这归功于几代航天人的不懈奋斗.中国工程院院士､中国探月工程总设计师､巴中老乡吴伟仁先生就是其中最杰出的代表人物之一，同学们应当好好学习航天人和航天精神.我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心(地球的中心)为一个焦点的椭圆.已知它的近地点(离地面最近的点)距地面千米，远地点(离地面最远的点)距离地面千米，并且､､在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A. B. C. D. 5. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ） A. B. AB与平面所成的角为 C. D. 与平面所成的角为 6. 在平面直角坐标系中，，点P满足．设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ） A. 圆C的方程为 B. 直线与圆相切 C. 在C上存在K使得 D. 当三点不共线时，射线是的平分线 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，且点在直线上，则下列命题中错误的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 的最大值为3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 B. 空间的基底有且仅有一个 C. 两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10. 已知直线l：，圆：，与圆：．则下列结论正确的是（ ） A. 直线l与圆的位置关系是相切 B. 直线l与圆的位置关系是相离 C. 圆与圆的公共弦长是 D. 圆上的点到直线l的距离为1的点有3个 11. 在正三棱柱中，，点P满足，其中，则下列说法错误的是（ ） A. 当且时，有 B. 当且时，有 C. 当时，的周长为定值 D. 当时，三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线关于x轴对称的直线方程为______. 13. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 14. 如图，是椭圆的左、右顶点，P是上不同于的动点，线段与椭圆C交于点Q，若，则椭圆的离心率为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，分别是上的点，且．设． （1）试用表示向量； （2）若，求异面直线与的夹角的余弦值． 16. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 （1）求的值； （2）若点D为边的中点，，求的值． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点. （1）求证：平面PCD； （2）求平面BPD与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率，其右焦点到点的距离为，直线交椭圆于两点． （1）求椭圆的方程； （2）若直线过点且与直线垂直，求的面积； （3）若直线过定点，若线段恰被点所平分，求直线的方程. 19. 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为． （1）求轨迹的方程； （2）若直线与E交于不同的两点、，线段的中点记为，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围． （3）若过轨迹右焦点的直线交于，两点，交直线于点．且，设直线，，的斜率分别为，，，若，探究，，的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $