精品解析：陕西省西安市第八十九中学2025-2026学年第二学期期中质量检测高二数学试题

2025～2026学年度第二学期期中质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分100分，时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是奇函数，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 某学校为培养学生创新思维和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，抽取200名参赛学生，统计其成绩，将所得数据分为5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ） A. B. 成绩在的频数为50 C. 成绩中位数在内 D. 成绩平均数在内 7. 在矩形中，，，设矩形所在平面内一点满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足数学模型：，其中为环境容纳量，为增长率，为常数．某实验小组做培养变形虫的实验，初始时，在培养皿中放入5个变形虫，观察到时，种群数量为126，已知环境容纳量，根据上面的模型，可估算变形虫种群的增长率为（　　）参考数据：． A. 1.09 B. 1.35 C. 1.54 D. 1.73 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 外接圆的半径为 D. 的面积为 10. 下列说法正确的有（） A. 若，，则 B. 当时，的最小值为 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D. 若命题“，”的否定为真命题，则实数 11. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于直线对称 C. 函数的最小正周期为 D. 在上的值域为 12. 已知函数，，.则下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数互为反函数 B. 函数在区间内有零点 C. 若，，均为正实数，且满足，则 D. 若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，，则 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 函数的定义域为______． 14. 已知幂函数在上单调递减，则实数的值为________． 15. 已知，则______． 16. 如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高分别为8和2，底面半径均为4．在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为________． 四、解答题：本题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 18. 把正弦曲线（函数的图象）向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标缩短到原来的，最后把曲线上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的值； （3）若，，求的值． 19. 某市图书馆为了解馆内图书借阅情况，随机对馆内的部分读者进行了为期一年的跟踪调查，得到下表数据，其中部分数据意外缺失，分别用字母a，b，c，d（）表示． 读者类型 调查人数 年人均借阅量（册） 某类读者图书借阅量分类占比情况 文学类 科技类 教辅类 社科类 其他 在职人员 600 18.5 35% 25% 10% 20% 10% 大学生 800 24.3 30% 40% 13% a b 中学生 500 15.2 25% 20% 40% c d 假设每位读者的每次借阅情况互不影响．用频率估计概率． （1）在参与调查的读者中，比较这一年里“在职人员”借阅的文学类图书量与“中学生”借阅的教辅类图书量的大小，说明理由： （2）在该市图书馆的所有读者中随机选出2名大学生和1名中学生，已知这3人每人借阅了1册书，估计所借的3册书中至少有2册为科技类图书的概率； （3）为分析同一类读者的偏好，市图书馆将图书借阅量分类占比的平均差定义为该类读者的“偏好度”，其中为其图书借阅量分类占比值，为所有的均值，n为图书的类别个数．记“在职人员”、“大学生”和“中学生”的“偏好度”分别为，写出这三个“偏好度”的大小关系．（结论不要求证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期中质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分100分，时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由集合，，得. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， . 【点睛】 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，即. 4. 已知函数是奇函数，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数的定义域为R， 由是奇函数可得， 即，结合，得. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】， 于是，反之不成立， 于是“”是“”的充分不必要条件. 6. 某学校为培养学生创新思维和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，抽取200名参赛学生，统计其成绩，将所得数据分为5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ） A. B. 成绩在的频数为50 C. 成绩中位数在内 D. 成绩平均数在内 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由频率分布直方图的性质列方程，能求出；对于B，由频率分布直方图得成绩落在的参赛学生的频率，再求频数即可判断；对于C，由频率分布直方图得的频率为，的频率为，确定成绩的中位数所在区间即可判断；对于D，求出成绩的平均分即可判断． 【详解】对于A，由频率分布直方图的性质得： ，解得，故A正确； 对于B，由频率分布直方图得成绩在的参赛学生的频率为， 成绩在的参赛学生的频数为，故B正确； 对于C，由频率分布直方图得： 的频率为， 的频率为， 成绩的中位数位于内，故C正确； 对于D，成绩的平均分为： ， 成绩的平均分落在内，故D错误． 7. 在矩形中，，，设矩形所在平面内一点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由向量的加法运算可得，然后结合向量的数量积运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 ， 则. 8. 在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足数学模型：，其中为环境容纳量，为增长率，为常数．某实验小组做培养变形虫的实验，初始时，在培养皿中放入5个变形虫，观察到时，种群数量为126，已知环境容纳量，根据上面的模型，可估算变形虫种群的增长率为（　　）参考数据：． A. 1.09 B. 1.35 C. 1.54 D. 1.73 【答案】D 【解析】 【分析】将已知数据代入函数模型，求出的值，再利用指对互化以及对数运算求解即可． 【详解】已知初始时，在培养皿中放入5个变形虫，则， 又时，种群数量为126；环境容纳量， 则，则， 因此， 所以， 解得． 所以变形虫种群的增长率约为1.73． 故选：D． 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 外接圆的半径为 D. 的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】先用余弦定理求得，判断C为钝角，确定三角形类型；接着算出，代入面积公式求出三角形面积；最后利用正弦定理，计算外接圆半径，最后逐一判断选项对错． 【详解】A选项，根据余弦定理可得： ， 故A选项错误； B选项，根据题意可知， ， 所以C为钝角，是钝角三角形， 故B选项正确； C选项， 由， 可得， 根据正弦定理，其中为外接圆的半径， 则， 故C选项错误； D选项， 由， 可得的面积为 故D选项正确． 10. 下列说法正确的有（） A. 若，，则 B. 当时，的最小值为 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D. 若命题“，”的否定为真命题，则实数 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A：不等式两边同乘得：；结合， 相加得：，即，A选项结论成立； 选项B：当时，令，原式变形为：， 由基本不等式，对正实数有，当且仅当即（对应）时取等号， 因此原式最小值为，B选项错误； 选项C：设扇形半径为，代入、： 代入扇形面积公式：，C选项结论成立； 选项D：全称命题“，”的否定为： 特称命题：“，”，该否定为真命题， 配方得：，该二次函数的最小值为， 要存在使得函数值小于，只需最小值小于，即 即实数，D选项结论成立. 11. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于直线对称 C. 函数的最小正周期为 D. 在上的值域为 【答案】ACD 【解析】 【详解】A.，为偶函数，故A正确； B.关于对称，不关于直线对称，故B错误； C.，由的图象，轴上方的图象不变，下方的图象沿轴翻折可得， 所以函数的最小正周期为，故C正确； D.因为 ，所以，故D正确. 12. 已知函数，，.则下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数互为反函数 B. 函数在区间内有零点 C. 若，，均为正实数，且满足，则 D. 若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据反函数的定义、零点存在定理、函数的图像等知识逐项判断即可. 【详解】对于A： 因为，所以与互为反函数，A正确； 对于B： 令，即， 当时，；当时，， 根据零点存在定理，则函数在区间内有零点，B正确； 已知函数，，，画出图像为： 如图符合题意，而，所以C错误； 对于D： 令，则，令，则. 因为函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，， 所以①，②，假设，则. 将其代入①式中得，与②式相同，所以D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】且解不等式即可． 【详解】且，由此解得,故填 【点睛】求函数的定义域是基本考点，根式下面的值要大于等于0． 14. 已知幂函数在上单调递减，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由幂函数在上单调递减， 得，解得. 15. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】 . 16. 如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高分别为8和2，底面半径均为4．在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求该几何体内切球的表面积，根据几何关系求半径，再求表面积. 【详解】几何体内最大的球为几何体的内切球，如图，点分别是切点， 连接交圆锥底面于点，连结，，， 因为，所以， 又，，且， 所以四边形是正方形，且， 则，即，解得：， 所以内切球的表面积为，即这个球的表面积的最大值为. 四、解答题：本题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：由直三棱柱性质可得，， 又由，分别是，的中点，得，， 则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据三棱锥体积公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，，得，所以， 又，所以平面，故平面， 所以点到平面的距离为， 由是的中点，得点到平面的距离为， 故． 18. 把正弦曲线（函数的图象）向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标缩短到原来的，最后把曲线上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的值； （3）若，，求的值． 【答案】（1） （2），最小值为-1． （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的变换规则列出解析式即可. （2）根据换元法求出正弦函数的最值即可. （3）先求出的值，然后利用正弦函数的和差公式化简求值即可. 【小问1详解】 把正弦曲线向左平移个单位长度得到的函数图象， 再把曲线上各点的横坐标变为原来的得到的函数图象， 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的函数图象， 故的解析式为． 【小问2详解】 当时，， 故当，即时，取得最小值为． 【小问3详解】 由，得， ，，， ． 19. 某市图书馆为了解馆内图书借阅情况，随机对馆内的部分读者进行了为期一年的跟踪调查，得到下表数据，其中部分数据意外缺失，分别用字母a，b，c，d（）表示． 读者类型 调查人数 年人均借阅量（册） 某类读者图书借阅量分类占比情况 文学类 科技类 教辅类 社科类 其他 在职人员 600 18.5 35% 25% 10% 20% 10% 大学生 800 24.3 30% 40% 13% a b 中学生 500 15.2 25% 20% 40% c d 假设每位读者的每次借阅情况互不影响．用频率估计概率． （1）在参与调查的读者中，比较这一年里“在职人员”借阅的文学类图书量与“中学生”借阅的教辅类图书量的大小，说明理由： （2）在该市图书馆的所有读者中随机选出2名大学生和1名中学生，已知这3人每人借阅了1册书，估计所借的3册书中至少有2册为科技类图书的概率； （3）为分析同一类读者的偏好，市图书馆将图书借阅量分类占比的平均差定义为该类读者的“偏好度”，其中为其图书借阅量分类占比值，为所有的均值，n为图书的类别个数．记“在职人员”、“大学生”和“中学生”的“偏好度”分别为，写出这三个“偏好度”的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1）在职人员借阅的文学类图书量更大 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据“总借阅量=调查人数×年人均借阅量×对应类别占比”的公式，分别列出在职人员文学类、中学生教辅类的借阅量计算式，再代入数据比较大小； （2）先根据大学生各类借阅占比和为，求出的值，得到大学生借阅科技类的概率；同理根据中学生各类借阅占比和为，求出的值，得到中学生借阅科技类的概率；然后将“3册书中至少有2册为科技类图书”分解为“2册科技类1册非科技类”和“3册都是科技类”两个子事件，利用独立事件概率公式和互斥事件概率加法公式计算总概率； （3）根据偏好度的定义，计算各类读者的“偏好度”，可得答案. 【小问1详解】 在职人员借阅文学类图书总量： （册）， 中学生借阅教辅类图书总量： （册）， 因为，所以这一年里在职人员借阅的文学类图书量更大； 【小问2详解】 用频率估计概率：大学生借阅科技类的概率为，中学生借阅科技类的概率为， 三人借阅相互独立，“至少2册科技”包含三种情况： ① 2名大学生均借科技，中学生不借科技：， ② 仅1名大学生借科技，中学生借科技：， ③ 3人均借科技：， 总概率：. 【小问3详解】 在职人员的5个占比分别为：，即，   ， ，故； 大学生的已知占比为：， 因此未知占比满足， 由题设得，因此，， 即都小于均值，因此，， ， ，  因此：； 中学生的已知占比为：， 因此未知占比满足， 同理，由得，， 因此，， ， ， 因此：. 综上： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $