浙江省杭州市临平区2023—2024学年九年级上学期12月独立作业数学试题

2023-2024学年浙江省杭州市临平区九年级（上）独立作业数学试卷（12月份） 一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）已知圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，则这点在　　 A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定 2．（3分）下列事件中，属于必然事件的是　　 A．射击运动员射击一次，命中10环 B．有一匹马奔跑的速度是70米秒 C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下 3．（3分）已知△，且，，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．（3分）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是　　 A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴有唯一交点 5．（3分）如图，直线，若，，，则　　 A．7 B．8 C．9 D．12 6．（3分）已知在中，，、、的对边分别是、、，则下列关系式错误的是　　 A． B． C． D． 7．（3分）以下点可能成为二次函数顶点的是　　 A． B． C． D． 8．（3分）如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，设，，则　　 A． B． C． D． 9．（3分）若二次函数的图象经过三个不同的点，，，则下列选项正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（3分）如图，在中，直径与弦相交于点，连结弦，，．若，给出下列结论：①；②，则下列判断正确的是　　 A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）　　． 12．（4分）某一公园有3个入口和2个出口，小明从进入公园到走出公园，一共有 　　种不同出入路线的可能． 13．（4分）已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的弧长是 　　． 14．（4分）如图，已知点是的重心，过作的平行线，分别交于点、交于点；作，交于点，若的面积为18，则的面积为　　． 15．（4分）二次函数的函数值自变量之间的部分对应值如表：此函数图象的开口方向是 　　（填“向上”或“向下” ；当时，　　． 0 1 4 4 16．（4分）如图，先将一张正方形纸片对折，得到折痕．铺平后再折出矩形的对角线．将边折到线段上，点的落点为，得到折痕，则　　． 三、全面答一答（本题有8个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.） 17．（6分）随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，陈老师和陆老师都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付． （1）陆老师选择用“微信”支付的概率是 　　； （2）请用画树状图或列表的方法表示所有结果，并求出两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率． 18．（6分）小李利用所学三角函数知识对小区楼房的高度进行测量．他们在地面的点处用测角仪测得楼房顶端点的仰角为，向楼房前行在点处测得楼房顶端点的仰角为，已知测角仪的高度是（点，，在同一条直线上），根据以上数据： （1）求点到点的距离； （2）求楼房的高度． 19．（6分）已知二次函数经过和． （1）求该二次函数的表达式． （2）求该二次函数的与轴的交点坐标． 20．（8分）如图，已知是的直径，弦于点，如果，弦． （1）求的长． （2）求弧的长． 21．（8分）如图，在中，，是边上一点，，为线段中点，连结并延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 22．（10分）在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长，宽的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于，不大于．设出口长均为，活动区面积为． （1）求关于的函数表达式； （2）当取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？ （3）若活动区布置成本为10元，绿化区布置成本为8元，布置场地的预算不超过1850元，当为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的值及此时的布置成本． 23．（10分）设二次函数，是常数）的图象与轴交于，两点． （1）若，两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图象的对称轴． （2）若函数有最小值， ①求的最小值． ②设一次函数是常数），若函数的对称轴为直线，当函数的图象经过点，时，求的值． 24．（12分）如图，已知内接于圆，，分别连接，并延长，交于点，交于点． （1）若，求的度数． （2）求证：． （3）点是上一点，连接交于点，，，若，，试探究与的数量关系，并说明理由． 2023-2024学年浙江省杭州市临平区九年级（上）独立作业数学试卷（12月份） 参考答案与试题解析 一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）已知圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，则这点在　　 A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定 【分析】根据点与圆的位置关系即可得． 【解答】解：， 这点在圆外， 故选：． 2．（3分）下列事件中，属于必然事件的是　　 A．射击运动员射击一次，命中10环 B．有一匹马奔跑的速度是70米秒 C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：．射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意； ．有一匹马奔跑的速度是70米秒，是不可能事件，不符合题意； ．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下，是随机事件，不符合题意； ．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，是必然事件，符合题意． 故选：． 3．（3分）已知△，且，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应角相等进而得出答案． 【解答】解：△， ，， 则． 故选：． 4．（3分）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是　　 A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴有唯一交点 【分析】先利用配方法得到，可根据二次函数的性质可对、、进行判断；通过解方程可对进行判断． 【解答】解：， 抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，当时，随的增大而增大， 令，则，解方程解得，， △， 抛物线与轴有两个交点． 故选：． 5．（3分）如图，直线，若，，，则　　 A．7 B．8 C．9 D．12 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：， ， ，，， ， 解得：， ， 故选：． 6．（3分）已知在中，，、、的对边分别是、、，则下列关系式错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】先画出图形，根据锐角三角函数的定义，判断各选项即可． 【解答】解： 、，则，选项表示正确； 、，则，选项表示正确； 、，则，选项表示正确； 、，则，选项表示错误． 因本题选错误的，故选：． 7．（3分）以下点可能成为二次函数顶点的是　　 A． B． C． D． 【分析】化成顶点式求得顶点坐标为，即可得出横坐标和纵坐标的关系，然后就能确定可能的顶点． 【解答】解：， 顶点坐标为， 可能成为函数顶点的是， 故选：． 8．（3分）如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，设，，则　　 A． B． C． D． 【分析】连接、、，由同圆中，等弧所对的圆周角相等，得到，同弧所对的圆周角相等，，即，，在中三角形的内角和为，可以得出，在中，，，即可以得出与的关系． 【解答】解：如图， 连接、、， 、分别是、中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， ， ， 故选：． 9．（3分）若二次函数的图象经过三个不同的点，，，则下列选项正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】根据抛物线的对称性求得对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断． 【解答】解：二次函数的图象经过三个不同的点，，， ，关于对称轴对称， 对称轴为直线， 抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， 、若，则对称轴为直线， ， ，故错误，不符合题意； 、若，则对称轴为直线， ， ，故正确，符合题意； 、若，则对称轴为直线， ， ，故错误，不符合题意； 、若，则对称轴为直线， ， ，故错误，不符合题意； 故选：． 10．（3分）如图，在中，直径与弦相交于点，连结弦，，．若，给出下列结论：①；②，则下列判断正确的是　　 A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 【分析】连接，利用圆周角定理和等量代换得到，利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质即可得出①的结论正确；通过证明，利用相似三角形的性质得到，利用直径等于半径的2倍，利用等量代换即可得出②的结论正确． 【解答】解：连接，如图， ，， ． ， ， ， ， ． ①的结论正确； ，， ， ， ， ， ， ． ， ． ②的结论正确． 判断正确的是①②． 故选：． 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）　　． 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解． 【解答】解：． 故答案为：． 12．（4分）某一公园有3个入口和2个出口，小明从进入公园到走出公园，一共有 　6　种不同出入路线的可能． 【分析】根据乘法原理得出结论即可． 【解答】解：方法一：设3个入口分别为，，，两个出口分别为，， 则出入路线有，，，，，， 即有6种不同的出入路线， 故答案为：6． 方法二：入口有3种可能，出口有2种可能， 出入路线为（种， 故答案为：6． 13．（4分）已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的弧长是 　　． 【分析】设扇形的半径是，根据扇形的面积公式得出，求出半径，再根据弧长公式求出弧长即可． 【解答】解：设扇形的半径是， 扇形的面积为，圆心角为， ， 解得：（负数舍去）， 所以扇形的弧长为， 故答案为：． 14．（4分）如图，已知点是的重心，过作的平行线，分别交于点、交于点；作，交于点，若的面积为18，则的面积为　8　． 【分析】延长交于．由，推出，，由，，推出，，由此即可解决问题． 【解答】解：如图，延长交于． 点是的重心， ， ， ，， ，， ，， ，， ，， ． 15．（4分）二次函数的函数值自变量之间的部分对应值如表：此函数图象的开口方向是 　向上　（填“向上”或“向下” ；当时，　　． 0 1 4 4 【分析】依据题意，根据抛物线的对称性，、时的函数值相等，然后列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，、时的函数值都是相等， 此函数图象的对称轴为直线，即直线． 又当时，随的增大而减小， 抛物线开口向上． 抛物线的对称轴是直线， 当时与当时的函数值相等． 当时，， 当时，． 故答案为：向上，4． 16．（4分）如图，先将一张正方形纸片对折，得到折痕．铺平后再折出矩形的对角线．将边折到线段上，点的落点为，得到折痕，则　　． 【分析】由垂直平分，得，，由正方形的性质得，则四边形是矩形，设交于点，作于点，则，设，则，所以，，由，求得，则，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：由折叠得垂直平分， ，， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， 设交于点，作于点， 由折叠得， 平分，于点，于点， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、全面答一答（本题有8个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.） 17．（6分）随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，陈老师和陆老师都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付． （1）陆老师选择用“微信”支付的概率是 　　； （2）请用画树状图或列表的方法表示所有结果，并求出两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）陆老师选择用“微信”支付的概率是， 故答案为：； （2）将“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：、、， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的结果有2种， 两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率为． 18．（6分）小李利用所学三角函数知识对小区楼房的高度进行测量．他们在地面的点处用测角仪测得楼房顶端点的仰角为，向楼房前行在点处测得楼房顶端点的仰角为，已知测角仪的高度是（点，，在同一条直线上），根据以上数据： （1）求点到点的距离； （2）求楼房的高度． 【分析】（1）根据题意可得：，，，，，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，求出； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：，，，，， 是△ 的外角， ， ， ， ； （2）在△中， ， ， 即楼房的高度为 米． 19．（6分）已知二次函数经过和． （1）求该二次函数的表达式． （2）求该二次函数的与轴的交点坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）令，得到关于的方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）令，则， 解得或， 该二次函数的与轴的交点坐标为，． 20．（8分）如图，已知是的直径，弦于点，如果，弦． （1）求的长． （2）求弧的长． 【分析】（1）先利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到的长，从而得到的长； （2）根据弧长公式计算即可． 【解答】解：（1）， ，， ， ， ； （2）如图，连接， ，， ， ， 答：弧的长为． 21．（8分）如图，在中，，是边上一点，，为线段中点，连结并延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得到，根据垂直的定义证明结论； （2）证明，根据相似三角形的性质得到进而得出结论． 【解答】（1）证明：， ，又， ， ， 即； （2）解：为线段中点， ， 设， ，， ， ， ， ． 22．（10分）在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长，宽的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于，不大于．设出口长均为，活动区面积为． （1）求关于的函数表达式； （2）当取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？ （3）若活动区布置成本为10元，绿化区布置成本为8元，布置场地的预算不超过1850元，当为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的值及此时的布置成本． 【分析】（1）根据活动区域的面积等于矩形的面积减去绿化区的面积，可得与的关系式； （2）根据二次函数的增减性可得结论； （3）根据列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得： ， 与的函数关系式为； （2）由（1）知：， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值，最大值为176， 当取时，活动区面积最大，最大面积是； （3）设布置场地所用费用为元， 则 ， 令， ， 解得：或， ， ， 活动区域面积为，，对称轴为直线， 当时，活动区面积最大，此时的布置成本为1850元． 23．（10分）设二次函数，是常数）的图象与轴交于，两点． （1）若，两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图象的对称轴． （2）若函数有最小值， ①求的最小值． ②设一次函数是常数），若函数的对称轴为直线，当函数的图象经过点，时，求的值． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，利用对称轴公式求得对称轴即可； （2）①根据题意函数为，则，把代入得到，进一步得到，再根据二次函数的性质求出其最小值； ②把，代入求出关于的函数表达式，再根据其图象过点，，把，代入其表达式，形成关于的一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）二次函数，是常数）的图象过点，， ，即． 抛物线的对称轴为直线． （2）①函数有最小值， ． 当时，， ， 的最小值为； ②函数的对称轴为直线，函数有最小值， ， ， 函数的图象经过点，， ， 令，则， ， 解得或． 的值为0或． 24．（12分）如图，已知内接于圆，，分别连接，并延长，交于点，交于点． （1）若，求的度数． （2）求证：． （3）点是上一点，连接交于点，，，若，，试探究与的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）证出为的中垂线，平分，则可得出结论； （2）证明，得出，则可得出结论； （3）在上取一点，点与点关于对称，证出，，，则可得出结论． 【解答】（1）解：，， 为的中垂线，平分， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ； （3）解：， 理由：在上取一点，点与点关于对称， ， ， ，， ， 则． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$