浙江省杭州市第十五中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（12月份）

2023-2024学年浙江省杭州十五中九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1．（3分）若非零实数，满足，则等于　　 A． B． C． D． 2．（3分）如图所示几何体的左视图为　　 A． B． C． D． 3．（3分）用放大镜将一个的面积放大为原来的4倍，则放大后的　　 A．，，是原来的4倍 B．周长是原来的2倍 C．对应边长是原来的4倍 D．对应中线长是原来的4倍 4．（3分）在一个不透明的盒子中装有3枚仅有颜色不同的棋子，其中1枚白色棋子和2枚黑色棋子．从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色后放回，再从盒子中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，则两次记录的颜色不同的概率是　　 A． B． C． D． 5．（3分）已知二次函数，则　　 A．函数图象的对称轴为直线 B．函数的最大值为2 C．当时，随的增大而增大 D．函数图象与轴的交点坐标为 6．（3分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到的距离等于　　 A．1米 B．米 C．2米 D．米 7．（3分）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则的值为　　 A． B． C． D． 8．（3分）如图，点在线段上，在的同侧作等腰三角形和等腰三角形，，，分别与，交于点，．设，下列结论一定正确的是　　 A．△△ B． C．平分 D． 9．（3分）将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为．已知，，若以点，，为顶点的三角形与相似，那么的长度是　　 A． B． C．或4 D．或4 10．（3分）设是实数，若抛物线与直线有两个交点，且这两个交点在抛物线对称轴的同侧，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）　　． 12．（4分）一名男生在一个水平的训练场地里推铅球，铅球飞行高度与距离该男生的水平距离之间满足：，则铅球推出的距离为 　　． 13．（4分）如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则图案的面积大约为 　　． 14．（4分）如图，点、、、在上，点在的内部，四边形为平行四边形，则　 　度． 15．（4分）如图，在△中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若，则的长为 　　． 16．（4分）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图“，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则　　． 三、解答题（本大题有8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，扇形的圆心角为，半径为． （1）求出此扇形的面积． （2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的底面半径． 18．（6分）杭州第19届亚运会有三个重要的竞赛场馆，分别为：．大莲花奥体中心，．黄龙体育中心，．化蝶游泳馆，小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这三个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同． （1）小明被分配到（大莲花奥体中心）做志愿者的概率是多少？ （2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖都被分配到（黄龙体育中心）做志愿者的概率． 19．（6分） 数学实践活动：901班测量校园小山坡护坡石坝的有关数据 活动1 如图1，测角小组用一根木条斜靠在护坡石坝上，使得与的长度相等，如果测量得到，那么石坝与地面的倾角的度数是 　　． 活动2 如图2，测高小组把一根长为4米的竹竿斜靠在石坝旁点在石坝顶部，点在地面），量出竿长米时离地面的高度为0.5米，请你求出护坡石坝的垂直高度． 实践活动总结归纳 大家总结各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为米的杆子，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为米，点到护坡石坝底部的距离为米．利用测角小组得到的倾角的度数，请你用，，表示出护坡石坝的垂直高度． 20．（8分）如图，四边形是菱形，点在延长线上，． （1）求证：△△． （2）当，时，求的长． 21．（8分）在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点．已知函数，且是的相切函数，为切点． （1）试写出切点的坐标 　　，　　，及与的关系式 　　． （2）当，分别取以下两组值时，①，；②，，不等式是否成立？说明理由． 22．（10分）如图是一座拱桥的截面图，拱桥桥洞的形状是抛物线．平时水面的宽度为，在离水面高处，有一条航运船舶限高杠杆，杠杆长．以为原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系． （1）求此抛物线的表达式． （2）因为上游水库泄洪，水面上涨了，则此时水面的宽度是多少？，结果精确到 23．（10分）【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，，是对角线，点在边上，点在对角线上，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，，，点在边上，点在对角线上，，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，，，点在边上，点在对角线上，，，作交的延长线于点，的延长线交于点，请直接写出，的长． 24．（12分）如图，在△中，，是△的外接圆，连接并延长交于点，连接，．在上取一点，使，连接，，与交于点． （1）试求与的数量关系． （2）求证：． （3）已知的半径为2，若，①试判断△的形状；②求△的面积． 2023-2024学年浙江省杭州十五中九年级（上）月考数学试卷（12月份） 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1．（3分）若非零实数，满足，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据得出，从而即可得出答案． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 2．（3分）如图所示几何体的左视图为　　 A． B． C． D． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形， 故选：． 3．（3分）用放大镜将一个的面积放大为原来的4倍，则放大后的　　 A．，，是原来的4倍 B．周长是原来的2倍 C．对应边长是原来的4倍 D．对应中线长是原来的4倍 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变． 【解答】解：放大前后的两三角形相似， 放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长以及对应边的中线均为原来的2倍， 故选：． 4．（3分）在一个不透明的盒子中装有3枚仅有颜色不同的棋子，其中1枚白色棋子和2枚黑色棋子．从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色后放回，再从盒子中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，则两次记录的颜色不同的概率是　　 A． B． C． D． 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【解答】解：根据题意画出树状图如图： ， 由图可得，共有9种等可能出现的结果，其中两次摸出棋子颜色不同的情况有4种， 两次记录的颜色不同的概率是， 故选：． 5．（3分）已知二次函数，则　　 A．函数图象的对称轴为直线 B．函数的最大值为2 C．当时，随的增大而增大 D．函数图象与轴的交点坐标为 【分析】依照二次函数的性质对比四个选项即可得出结论． 【解答】解：由可知，抛物线的对称轴为直线，故错误； 函数的最大值为，故错误； 因为，则抛物线开口向下所以当时，随的增大而增大，故正确； 令，则，所以函数图象与轴的交点坐标为，故错误． 故选：． 6．（3分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到的距离等于　　 A．1米 B．米 C．2米 D．米 【分析】连接，连接交于点，由题意得：，米，由垂径定理可得米，由勾股定理得出米，最后由即可得出答案． 【解答】解：如图，连接，连接交于点， 由题意得：，米， （米， （米， （米， 故选：． 7．（3分）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】要求的值，想到构造直角三角形，根据已知可得的补角为，所以过点作，交的延长线于点，分别在和中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：过点作，交的延长线于点， ， 设，， ，互为半余角， ， ， 在中，，， ， ， 在中， ， 故选：． 8．（3分）如图，点在线段上，在的同侧作等腰三角形和等腰三角形，，，分别与，交于点，．设，下列结论一定正确的是　　 A．△△ B． C．平分 D． 【分析】根据题意，先得出△△，再根据角之间的关系得出，选项不符合题意，再根据面积比算出选项不符合题意，△和△都是等腰三角形，得出，再证明△△，最后获得，得出符合题意． 【解答】解：、△与△是等腰三角形且， ， 由题意得， ， ②， 由①②得△△， 令， ，， ，故不符合题意； 、由选项所得，△△， ，故不符合题意； 、△△， ， 令到的距离为，到的距离为， ， ， ， 不平分，故不符合题意； 、△和△都是等腰三角形，且， ， 且， ， △△， ， ，故符合题意； 故选：． 9．（3分）将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为．已知，，若以点，，为顶点的三角形与相似，那么的长度是　　 A． B． C．或4 D．或4 【分析】由于折叠前后的图形不变，要考虑△与相似时的对应情况，分两种情况讨论． 【解答】解：根据△与相似时的对应情况，有两种情况： ①△时，， 又因为，，， 所以， 解得； ②△时，， 又因为，，，， 又，即， 解得． 故的长度是或4． 故选：． 10．（3分）设是实数，若抛物线与直线有两个交点，且这两个交点在抛物线对称轴的同侧，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】当时，求出抛物线与直线上对应点的纵坐标，并列出不等式求解，得到，根据抛物线与直线有两个交点，可列不等式并求解，得到，由此即得答案． 【解答】解：由题意，抛物线的顶点坐标为， 当时，， 抛物线与直线有两个交点，且这两个交点在抛物线对称轴的同侧， ， 解得， 令， 则， △， ， 解得， ． 故选：． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）　　． 【分析】根据记忆的内容，即可得出答案． 【解答】解：． 故答案为：． 12．（4分）一名男生在一个水平的训练场地里推铅球，铅球飞行高度与距离该男生的水平距离之间满足：，则铅球推出的距离为 　10　． 【分析】当时，解方程即可求解． 【解答】解：当时，， 解得：，（舍去）， 铅球推出的距离为， 故答案为：10． 13．（4分）如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则图案的面积大约为 　36　． 【分析】根据频率和概率之间的关系解答该题即可． 【解答】解：小点落在不规则图案内的频率趋近于0.6， 故小点落在不规则图案内的概率为0.6， 估计此不规则图案的面积大约为， 故答案为：36． 14．（4分）如图，点、、、在上，点在的内部，四边形为平行四边形，则　60　度． 【分析】由四边形为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得，由圆周角定理，可得，又由内接四边形的性质，可得，即可求得，，然后由三角形外角的性质，即可求得的度数． 【解答】解：法一： 连接并延长， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：60． 法二： 连接 四边形为平行四边形 和都为等边三角形 为圆的内接四边形 15．（4分）如图，在△中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若，则的长为 　15　． 【分析】作于，由角平分线的性质定理得出，由勾股定理得出，证明△△得出，代入计算即可得出答案． 【解答】解：如图，作于， ， 则， 由作图可得：平分， ，， ， ， ， ， △△， ， ， ， 故答案为：15． 16．（4分）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图“，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则　　． 【分析】根据题意得出，即，解方程得出（负值舍去）代入进行计算即可求解． 【解答】解：图中，， ，， 与的面积相等， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 三、解答题（本大题有8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，扇形的圆心角为，半径为． （1）求出此扇形的面积． （2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的底面半径． 【分析】（1）利用扇形的面积公式即可求解； （2）先求得，再根据与圆锥的底面周长等于，进而可求解． 【解答】解：（1）扇形的圆心角为，半径为， 扇形的面积为：． （2）扇形的圆心角为，半径为， ， 圆锥的底面周长为， 圆锥的底面半径为：． 18．（6分）杭州第19届亚运会有三个重要的竞赛场馆，分别为：．大莲花奥体中心，．黄龙体育中心，．化蝶游泳馆，小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这三个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同． （1）小明被分配到（大莲花奥体中心）做志愿者的概率是多少？ （2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖都被分配到（黄龙体育中心）做志愿者的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式即可求解； （2）画出树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小颖都被分配到（黄龙体育中心）做志愿者的结果有1种，再利用概率公式即可求解． 【解答】解：（1）所有可能情况有3种，其中小明被分配到（大莲花奥体中心）做志愿者的可能情况有1种， 小明被分配到（大莲花奥体中心）做志愿者的概率是； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小颖都被分配到（黄龙体育中心）做志愿者的结果有1种， 小明和小颖都被分配到（黄龙体育中心）做志愿者的概率是． 19．（6分） 数学实践活动：901班测量校园小山坡护坡石坝的有关数据 活动1 如图1，测角小组用一根木条斜靠在护坡石坝上，使得与的长度相等，如果测量得到，那么石坝与地面的倾角的度数是 　　． 活动2 如图2，测高小组把一根长为4米的竹竿斜靠在石坝旁点在石坝顶部，点在地面），量出竿长米时离地面的高度为0.5米，请你求出护坡石坝的垂直高度． 实践活动总结归纳 大家总结各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为米的杆子，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为米，点到护坡石坝底部的距离为米．利用测角小组得到的倾角的度数，请你用，，表示出护坡石坝的垂直高度． 【分析】（1）根据等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质求解即可； （2）首先得到△△，然后利用相似三角形的性质得到，然后代数求解即可； （3）首先根据角的正切值得到，然后得到，然后证明出△△，得到，然后代入求解即可． 【解答】解：（1）， ， ． 故答案为：； （2）， △△， ，即， 解得； （3），， ， ， ， ， ， ， ， △△， ，即， 解得． 20．（8分）如图，四边形是菱形，点在延长线上，． （1）求证：△△． （2）当，时，求的长． 【分析】（1）根据菱形的性质得到，证得，即可得到结论； （2）根据相似三角形对应边成比例，代入数值计算即可． 【解答】（1）证明：四边形是菱形， ， ， ， △△； （2）解：△△， ， ，， ， ． 21．（8分）在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点．已知函数，且是的相切函数，为切点． （1）试写出切点的坐标 　1　，　　，及与的关系式 　　． （2）当，分别取以下两组值时，①，；②，，不等式是否成立？说明理由． 【分析】（1）令，求出，然后根据相切函数的定义可得，进而可求得，再把代入即可求出切点的坐标； （2）①当，时，根据整理得，而，故此情况不能使成立；②当，时，根据整理得，故此情况能使成立． 【解答】解：（1）当时，即， 整理得：， ， ， 由相切函数的定义得， ，即． 将代入得， 切点的坐标为， 故答案为：1，0；； （2）①当，时，， 要使成立，即使， ，即， 而， 当，时，不能使成立； ②当，时，， 要使成立，即使， ，即， 当，时，能使成立． 22．（10分）如图是一座拱桥的截面图，拱桥桥洞的形状是抛物线．平时水面的宽度为，在离水面高处，有一条航运船舶限高杠杆，杠杆长．以为原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系． （1）求此抛物线的表达式． （2）因为上游水库泄洪，水面上涨了，则此时水面的宽度是多少？，结果精确到 【分析】（1）由题意，可得抛物线上各点的坐标：，设抛物线的解析式为：，采用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意，可得抛物线上各点的坐标：， 设抛物线的解析式为：， 将代入抛物线得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）由（1）知二次函数， 当时，， 解得：， ， 即此时水面的宽度是． 23．（10分）【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，，是对角线，点在边上，点在对角线上，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，，，点在边上，点在对角线上，，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，，，点在边上，点在对角线上，，，作交的延长线于点，的延长线交于点，请直接写出，的长． 【分析】（1）根据正方形的性质，得，，，，结合，得出，即可作答； （2）连结交于点，证出，根据相似三角形的性质，列式代入数值，计算即可作答； （3）连结交于点，延长交的延长线于点，证明，再根据等面积法，得，运用勾股定理得出的值，根据列式，得出的值，最后由，得，列式代入数值，计算即可作答； 【解答】（1）证明：如图1， 四边形是正方形 ，，，， ， 可得， 即； （2）解：如图2，连结交于点， 四边形是矩形 ， ， ， ， 则 则， （3）解：．过程如下： 如图3，连结交于点，延长交的延长线于点． 四边形是菱形， ， ， ， 则， ，， ，， ， ， ，， ， ， 则． ， ， ， ． 四边形是菱形 ， 得， ， ， ，， ， ， 即， ． 24．（12分）如图，在△中，，是△的外接圆，连接并延长交于点，连接，．在上取一点，使，连接，，与交于点． （1）试求与的数量关系． （2）求证：． （3）已知的半径为2，若，①试判断△的形状；②求△的面积． 【分析】（1）由得出，从而得出，进而得出，由直径所对的圆周角等于得出，从而得出； （2）连接，，由得出垂直平分，从而得到，再证明，即可得出结论； （3）①由，得出，从而得出，进而得出，由平行线的性质可得，结合，即可得出结论；②接并延长交于点，由等腰直角三角形的性质可得，，由勾股定理得，再由即可得出答案． 【解答】（1）解：． 理由如下： ， ， ． ， ． 是直径， ， ． ， ． （2）证明：连接，， ， ， 垂直平分， ， ． ， ． ， ， ． （3）解：①， ． ． ， ， ． ， △为等腰直角三角形． ②连接并延长交于点， ， △为等腰直角三角形， ， ， ． ， ， ， ． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$