浙江省杭州市拱墅区观成教育集团2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（12月份）

2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区观成教育集团九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）在中，，，，则的余弦值是　　 A． B． C． D． 2．（3分）下列事件中，属于必然事件的是　　 A．小明买彩票中奖 B．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 C．任意三角形的两边，其差小于第三边 D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球 3．（3分）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线解析式是　　 A． B． C． D． 4．（3分）如图，在中，、分别是、上的点，，与相交于，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 5．（3分）如图，内接于，，，则的半径为　　 A．1 B． C．2 D． 6．（3分）如图，在扇形中，，正方形的顶点是弧的中点，点在上，点在的延长线上，若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 7．（3分）如图，丁轩同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到点时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行到达点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，已知丁轩同学的身高是，两个路灯的高度都是，则两路灯之间的距离是　　 A． B． C． D． 8．（3分）如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上，若，则的值为　　 A． B． C． D． 9．（3分）如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为　　 A．，1 B．， C．，1 D．， 10．（3分）数学课上，老师给出以下探究问题：“已知二次函数，当时，函数最大值为8，求最小值．”下列关于此题求解所需条件的说法，正确的是　　 A．只需知道，便可求 B．只需知道，便可求 C．，需都知道，才能求 D．即使，都知道，仍无法求 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）　　；若，则锐角　　． 12．（4分）袋中装有6个黑球和个白球（球除颜色外，其余均相同），经过若干次试验，发现“若从袋中任意摸出一个球，恰是黑球的频率稳定在，则这个袋中白球大约有 　　个． 13．（4分）掷实心球是杭州市中考体育测试中的一个项目，如图所示，一名男生掷实心球，实心球行进的路线是一段抛物线，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时达到最高点，此时离地面3.6米，实心球行进路线的抛物线解析式为 　　，这名男生此次抛掷实心球的成绩是 　　米． 14．（4分）已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分面积为　 　． 15．（4分）二次函数的大致图象如图，顶点坐标为，点是抛物线上一点，若点是抛物线上任意一点，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若方程有两个实数根和，且，则．其中正确的是 　　． 16．（4分）如图，在矩形中，点是边上一点，连接，将沿对折，点落在边上点处，与对角线交于点，连接．若，．则　　 三、解答题（本题有8小题，共66分） 17．（6分）将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上，再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，组成一数对． （1）请写出所有可能出现的结果； （2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 18．（6分）如图，已知二次函数的图象经过点， （1）求、的值， （2）求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标， （3）直接写出不等式的解集． 19．（6分）已知：如图在中，为的平分线，交于，以点为圆心，线段的长为半径画弧与边交于点，连接． （1）求证：． （2）若，，求线段的长． 20．（8分）如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知斜屋面的倾斜角为，长度为2米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架水平管长0.2米，求： （1）的长度（结果精确到0.1米）． （2）铁架垂直管的长度（结果精确到0.1米）．，， 21．（8分）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点． （1）求证：． （2）若，求、、的度数． （3）过点作于点，若，，求的长． 22．（10分）北京冬奥会的召开掀起了全民冰雪健身的狂潮，如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小雪坡，运动员从点正上方滑出，滑出后沿一段抛物线运动． （1）当运动员滑到离处的水平距离为6米时，其滑行高度为米，求抛物线的解析式． （2）在（1）的条件下，当运动员滑行高度与小雪坡的竖直距离为米时，求运动员滑出后离处的水平距离． （3）运动员若想滑行到小雪坡坡顶正上方时，与坡顶距离不小于米，求的取值范围． 23．（10分）在二次函数中． （1）若它的图象过点，则的值为多少？ （2）当时，的最小值为，求出的值； （3）如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 24．（12分）如图，△内接于，且，，点是劣弧上一点，的延长线分别交、于点、，与相交于点． （1）求的半径． （2）若． ①求证：； ②求的值． 2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区观成教育集团九年级（上）月考数学试卷（12月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）在中，，，，则的余弦值是　　 A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【解答】解：由勾股定理得， ， 由锐角三角函数的定义可知， 的余弦值，即， 故选：． 2．（3分）下列事件中，属于必然事件的是　　 A．小明买彩票中奖 B．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 C．任意三角形的两边，其差小于第三边 D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念求解． 【解答】解：：小明买彩票属于随机事件， ：任意抛掷一只纸杯，杯口朝下随意随机事件， ：任意三角形的两边之差都小于第三边，是必然事件， ：在一个没有红球的盒子里摸到红球是不可能事件， 故选：． 3．（3分）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线解析式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可． 【解答】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线解析式为， 即， 故选：． 4．（3分）如图，在中，、分别是、上的点，，与相交于，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据，得，，再利用相似三角形对应边成比例即可． 【解答】解：， ， ，故不正确，正确， ， ， ，故、不正确， 故选：． 5．（3分）如图，内接于，，，则的半径为　　 A．1 B． C．2 D． 【分析】连接，并延长交于点，连接，由圆周角定理可得与的度数，再由勾股定理即可解答． 【解答】解：连接，并延长交于点，连接， ，， 为的直径，， ， ，， ， 的半径． 故选：． 6．（3分）如图，在扇形中，，正方形的顶点是弧的中点，点在上，点在的延长线上，若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，根据勾股定理可求的长，根据题意可得出阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积，依此列式计算即可求解． 【解答】解：连接在扇形中，正方形的顶点是的中点， ， ， 阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积 ． 故选：． 7．（3分）如图，丁轩同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到点时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行到达点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，已知丁轩同学的身高是，两个路灯的高度都是，则两路灯之间的距离是　　 A． B． C． D． 【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成两组相似．根据对应边成比例，列方程解答即可． 【解答】解：由题意得出：， ， ， ，， 解得： ，． ． 故选：． 8．（3分）如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据折叠的性质，可得与的关系，根据，可得与的关系，根据勾股定理，可得的长，根据两个角相等的两个三角形相似，可得与的关系，根据正切的意义，可得答案． 【解答】解：设， 沿折叠为， ， ，． ， ． ， ． 在中，由勾股定理，得 ． ，， ， ， ． ． ， 故选：． 9．（3分）如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为　　 A．，1 B．， C．，1 D．， 【分析】由平行线的性质，圆周角定理，垂直的定义，推出，，求出，得到是等边三角形，得到，由等腰三角形的性质求出圆的半径长，求出的度数，即可得到的长，的度数． 【解答】解：连接，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 10．（3分）数学课上，老师给出以下探究问题：“已知二次函数，当时，函数最大值为8，求最小值．”下列关于此题求解所需条件的说法，正确的是　　 A．只需知道，便可求 B．只需知道，便可求 C．，需都知道，才能求 D．即使，都知道，仍无法求 【分析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再分别进行讨论，即可得出函数的最大值与最小值即可得到结论． 【解答】解：二次函数， 该抛物线的对称轴为直线，且， 当， 当时，二次函数有最大值为：，即， 当时，二次函数有最小值为：，即， 当， 当时，二次函数有最大值为：， 当时，二次函数有最小值为：，即， 当， 此时当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值，即， ，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，即， ，当或1时．函数有最大值， 当时，函数有最小值，即， 的值与有关，但与无关， 故选：． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）　　；若，则锐角　　． 【分析】根据特殊锐角三角函数值进行计算即可． 【解答】解： ； ， ， 锐角， 故答案为：，40． 12．（4分）袋中装有6个黑球和个白球（球除颜色外，其余均相同），经过若干次试验，发现“若从袋中任意摸出一个球，恰是黑球的频率稳定在，则这个袋中白球大约有 　2　个． 【分析】根据“若从袋中任意摸出一个球，恰是黑球的频率稳定在 “，可得任意摸出一个球为黑球的概率为，根据概率公式列出方程求解可得． 【解答】解：根据题意得任意摸出一个球为黑球的概率为， 所以， 解得， 经检验是分式方程的解， 这个袋中白球大约有2个． 故答案为：2． 13．（4分）掷实心球是杭州市中考体育测试中的一个项目，如图所示，一名男生掷实心球，实心球行进的路线是一段抛物线，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时达到最高点，此时离地面3.6米，实心球行进路线的抛物线解析式为 　　，这名男生此次抛掷实心球的成绩是 　　米． 【分析】已知抛物线的顶点，抛物线与轴的交点 0，，可设抛物线的顶点式，并求出解析式；要得到实心球的成绩，即求出与轴交点对应的的值即可． 【解答】解：抛物线的顶点，设抛物线的解析式为：， 把代入解析式可求得， 抛物线的解析式为：； 当时，， 解得： （舍去），， 即这名男生此次抛掷实心球的成绩是10米； 故答案是：；10． 14．（4分）已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分面积为　3.75　． 【分析】根据，可将的长求出，由的长可将的长求出，同理根据，可将的长求出，由的长可将的长求出，代入梯形的面积公式可将阴影部分的面积求出． 【解答】解： ，即，解得： ，即，解得： 梯形的面积为： 故图中阴影部分面积为3.75． 15．（4分）二次函数的大致图象如图，顶点坐标为，点是抛物线上一点，若点是抛物线上任意一点，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若方程有两个实数根和，且，则．其中正确的是 　①④　． 【分析】①由抛物线的对称轴方程，和顶点坐标为，便可用的代数式表示、与，进而代入便可由的取值范围确定此小题的结论正确与否；②点关于直线的对称点为，当，则或，便可确定此小题的结论正确与否；③当时，，当，则，便可确定此小题的结论正确与否；④方程有两个实数根和，可得抛物线与直线交点的坐标，和，，再由抛物线与轴的两个交点坐标分别为和，便可确定此小题的结论正确与否． 【解答】解：①二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为， ，且， ，， 抛物线开口向上，则， 于是①的结论正确； ②点关于直线的对称点为， 当，则或， 于是②错误； ③当时，， 当，则， 于是③错误； ④方程有两个实数根和，且， 抛物线与直线交点的坐标，和，， 抛物线时，或3， 即抛物线与轴的两个交点坐标分别为和， ， 于是④正确． 故答案为：①④． 16．（4分）如图，在矩形中，点是边上一点，连接，将沿对折，点落在边上点处，与对角线交于点，连接．若，．则　　 【分析】由对折的性质得，，再由，证明，从而得，由相似三角形的性质求得，进而由勾股定理得． 【解答】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， 由折叠的性质得，，， ， ， ， ， 即， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共66分） 17．（6分）将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上，再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，组成一数对． （1）请写出所有可能出现的结果； （2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【分析】（1）利用枚举法解决问题即可． （2）求出数字之和为奇数的概率，数字之和为偶数的概率即可判断． 【解答】解：（1）所有可能出现的结果：，，，，，，，，． （2）数字之和为奇数的概率，数字之和为偶数的概率， ， 这个游戏不公平． 18．（6分）如图，已知二次函数的图象经过点， （1）求、的值， （2）求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标， （3）直接写出不等式的解集． 【分析】（1）将已知两点代入抛物线解析式求出与的值即可； （2）令抛物线解析式中求出的值，即可确定出另一交点坐标； （4）根据图象及抛物线与轴的交点，得出不等式的解集即可． 【解答】解：（1）将，代入抛物线解析式得：， 解得：，； （2）由（1）得：抛物线解析式为， 令，得到，即， 解得：或， 将代入抛物线解析式得：， 则抛物线与轴另一个交点为； （3）由图象得：不等式的解集为． 19．（6分）已知：如图在中，为的平分线，交于，以点为圆心，线段的长为半径画弧与边交于点，连接． （1）求证：． （2）若，，求线段的长． 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，再根据作图可知从而可得出，即可得出结论； （2）根据，得出，即可得出结果． 【解答】（1）证明：为的平分线， ， 以点为圆心，线段的长为半径画弧与边交于点，连接． ， ， ， ； （2）解：， ， ． ， ． 20．（8分）如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知斜屋面的倾斜角为，长度为2米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架水平管长0.2米，求： （1）的长度（结果精确到0.1米）． （2）铁架垂直管的长度（结果精确到0.1米）．，， 【分析】（1）过点作于，根据余弦的定义求出，进而求出； （2）根据正弦的定义求出，根据正切的定义求出，进而求出． 【解答】解：（1）如图，过点作于， 则四边形为矩形， 米， 在中，米，， 则（米， （米， 答：的长度约为1.6米； （2）在中，米，， 则（米， 在中，米，， 则（米， （米， 答：铁架垂直管的长度约为0.7米． 21．（8分）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点． （1）求证：． （2）若，求、、的度数． （3）过点作于点，若，，求的长． 【分析】（1）连接，利用圆周角定理推知，然后由等腰三角形的性质证得结论； （2）连接，，根据已知条件得到，，所以根据三角形内角和定理求得的度数，即可得解； （3）设半径．则．由可得，，根据射影定理知：，据此列出方程求得的值，最后代入弧长公式求解． 【解答】（1）证明：如图，连接． 是圆的直径， ． 又， ． （2）解：连接，， ，， ， ， ， 在中，， 又， ， ， ，， ． （3），， ． 设半径．则． 由可得，， ，， ，即． 解得． ， 是等边三角形， ． ． 22．（10分）北京冬奥会的召开掀起了全民冰雪健身的狂潮，如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小雪坡，运动员从点正上方滑出，滑出后沿一段抛物线运动． （1）当运动员滑到离处的水平距离为6米时，其滑行高度为米，求抛物线的解析式． （2）在（1）的条件下，当运动员滑行高度与小雪坡的竖直距离为米时，求运动员滑出后离处的水平距离． （3）运动员若想滑行到小雪坡坡顶正上方时，与坡顶距离不小于米，求的取值范围． 【分析】（1）根据题意将点和代入求出、的值即可； （2）根据题意可知，，解方程即可． （3）求出山坡的顶点坐标为，根据题意即，再解出的取值范围即可． 【解答】解：（1）由题意可知抛物线过点和， 将其代入得：， 解得，． ，； 抛物线的解析式为． （2）根据题意可知，当运动员滑行高度与小雪坡的竖直距离为米时， ． 解得（舍去）或． 运动员滑行高度与小雪坡的竖直距离为米时，求运动员滑出后离处的水平距离为8米． （3）抛物线经过点， ， 抛物线， 当时，运动员到达坡顶， 即， 解得， ． 23．（10分）在二次函数中． （1）若它的图象过点，则的值为多少？ （2）当时，的最小值为，求出的值； （3）如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 【分析】（1）将代入即可得； （2）抛物线对称轴为．若，有，若，有，解方程并检验可得的值为； （3）根据，都在这个二次函数的图象上，可得二次函数的对称轴直线即为直线，由，得，因，知在对称轴左侧，在对称轴右侧，抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是． 【解答】解：（1）将代入得： ， 解得：； （2）抛物线对称轴为． 若，当时函数取最小值， ， 解得； 若，当时函数取最小值， ， 解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为； （3），都在这个二次函数的图象上， 二次函数的对称轴直线即为直线， ， ， ， 解得， ， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 在中，令得， 抛物线与轴交点为， 关于对称轴直线的对称点为， ， ， 解得； ①当，都在对称轴左侧时， 随的增大而减小，且， ， 解得， 此时满足的条件为； ②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时， ， 到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离， ， 解得：， 此时满足的条件是， 综上所述，或． 24．（12分）如图，△内接于，且，，点是劣弧上一点，的延长线分别交、于点、，与相交于点． （1）求的半径． （2）若． ①求证：； ②求的值． 【分析】（1）连接，证明△△，得出，平分．得出，，由勾股定理可得出答案； （2）①证明△△，得出，则可得出结论； ②证出，得出，则可得出答案． 【解答】（1）解：连接， ，， △△， ， 平分． 经过圆心，交于， ，平分， ，， ， ， ， 设， ， ； （2）①证明：， ， ， 又， ， ， △△， ， 垂直平分， ； ②解：由（1）可知垂直平分， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$