期末真题重组卷-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•历城区期末）学校运动会中，运动员小明与小刚，要从铅球、跳高两个项目中任意选择一个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•中宁县期末）一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•海淀区）若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有一个根为1，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣3 4．（2024春•福田区校级期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A．23（1﹣x）2＝18.63 B．18.63（1+x）2＝23 C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63 5．（2023秋•常宁市期末）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D． 6．（2023秋•乐陵市期末）如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2024春•东平县期末）如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（　　） A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 8．（2023秋•常州期末）随着科技的进步，机器人在各个领域的应用越来越广泛．如图为正方形形状的擦窗机器人，其边长是28cm．在某次擦窗工作中，PM、PN为窗户的边缘，擦窗机器人的两个顶点A、B分别落在PM、PN上，PA＝14cm，将擦窗机器人绕中心O逆时针旋转一定的角度，使得AD∥PM，则旋转角度是（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 9．（2024春•肇源县期末）在函数y＝（k＜0）的图象上有A（1，y1）、B（﹣1，y2）、C（﹣2，y3）三个点，则下列各式中正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 10．（2023秋•许昌期末）如图，在反比例函数的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝3，则k的值为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．无法确定 二．填空题（共8小题） 11．（2023秋•临江市期末）某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为 　 　． 12．（2023秋•建邺区期末）设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣4＝0的两个根，则x1+x2的值是 　 　． 13．（2023秋•江北区期末）某菜鸟驿站第一天揽件100件，第三天揽件169件，设该菜鸟驿站揽件日平均增长率为x，根据题意所列方程为 　 　． 14．（2023秋•包河区期末）如图，已知，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，则AF：FC＝　 　． 15．（2023秋•科左中旗期末）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D的运动速度为1cm/s，点E的运动速度为2cm/s．若D，E两点同时出发，则当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为 　 　s． 16．（2023秋•三明期末）如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，若∠1＝20°，则∠2的度数为 　 　． 17．（2024春•临颍县期末）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 　 　． 18．（2023秋•福州期末）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为6，则k的值是 　 　． 三．解答题（共8小题） 19．（2023秋•桓台县期末）由7个相同的小立方块搭成的几何体如图所示． （1）画出此几何体的主视图、左视图、俯视图； （2）若小立方块的棱长为1，则该几何体的表面积 　 　． 20．（2023秋•中江县期末）解方程： （1）x2﹣8x+12＝0； （2）2x2﹣5x﹣1＝0． 21．（2024春•寿县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值． 22．（2023秋•西湖区期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B． （1）证明：△ADB∽△AED． （2）若AB＝9，AD＝6，求AE的长． 23．（2023秋•龙岗区校级期末）如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长． 24．（2023秋•西安期末）如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求b的值； （2）已知P为反比例函数的图象上一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标． 25．（2023秋•蓬江区期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤40时，图象是反比例函数的一部分． （1）求反比例函数解析式和点A、D的坐标； （2）陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 26．（2023秋•白银期末）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝2OB，反比例函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点C． （1）求点C的坐标； （2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形 A'B'CD'，点A'恰好落在反比例函数的图象上，求此时点D'的坐标； （3）在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、A'、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•历城区期末）学校运动会中，运动员小明与小刚，要从铅球、跳高两个项目中任意选择一个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：画树状图为： 共有4种等可能的结果，其中两人恰好都选择铅球项目的结果数为1种， 所以两人恰好都选择铅球项目的概率＝． 故选：C． 2．（2023秋•中宁县期末）一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从上面看，是一个正方形，正方形内部有两条纵向的虚线． 故选：D． 3．（2024•海淀区）若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有一个根为1，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣3 【解答】解：把x＝1代入方程2x2+x﹣m＝0得2+1﹣m＝0， 解得m＝3． 故选：A． 4．（2024春•福田区校级期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A．23（1﹣x）2＝18.63 B．18.63（1+x）2＝23 C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63 【解答】解：根据题意得：23（1﹣x）2＝18.63． 故选：A． 5．（2023秋•常宁市期末）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D． 【解答】解：∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， 故A不符合题意； ∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， 故B不符合题意； ∵AB2＝AD•AC， ∴＝， 又∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， 故C不符合题意； 根据＝，不能判定△ADB∽△ABC， 故D符合题意； 故选：D． 6．（2023秋•乐陵市期末）如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：∵AC∥BD， ∴∠C＝∠D，∠A＝∠B， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵OA＝6，OC＝3，OD＝2， ∴， ∴OB＝4． 故选：B． 7．（2024春•东平县期末）如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（　　） A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 【解答】解：∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处， ∴BA＝BF， ∵折痕为BE，沿EF剪下， ∴四边形ABFE为矩形， ∴四边形ABEF为正方形． 故用的判定定理是：邻边相等的矩形是正方形． 故选：A． 8．（2023秋•常州期末）随着科技的进步，机器人在各个领域的应用越来越广泛．如图为正方形形状的擦窗机器人，其边长是28cm．在某次擦窗工作中，PM、PN为窗户的边缘，擦窗机器人的两个顶点A、B分别落在PM、PN上，PA＝14cm，将擦窗机器人绕中心O逆时针旋转一定的角度，使得AD∥PM，则旋转角度是（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【解答】解：如图，连接A'O，连接AO交A'D'于点E， ∵PA＝14cm，AB＝28cm， ∴cos∠PAB＝＝， ∴∠PAB＝60°， ∴∠PAO＝105°， ∵A'D'∥PM， ∴∠PAO＝∠A'EO＝105°， ∴∠A'OA＝180﹣105°﹣45°＝30°， ∴旋转角为30°， 故选：B． 9．（2024春•肇源县期末）在函数y＝（k＜0）的图象上有A（1，y1）、B（﹣1，y2）、C（﹣2，y3）三个点，则下列各式中正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 【解答】解：∵y＝（k＜0）的图象上有A（1，y1）、B（﹣1，y2）、C（﹣2，y3）三个点， ∴1×y1＝k，﹣1×y2＝k，﹣2×y3＝k， ∴y1＝k，y2＝﹣k，y3＝﹣k， 而k＜0， ∴y1＜y3＜y2． 故选：C． 10．（2023秋•许昌期末）如图，在反比例函数的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝3，则k的值为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．无法确定 【解答】解：∵点P1，P2，P3，P4在反比例函数的图象上，且它们的横坐标依次为1，2，3，4， ∴P1（1，k），，，， ∴，，， ∵S1+S2+S3＝3， ∴， 解得：k＝4， 故选：C． 二．填空题（共8小题） 11．（2023秋•临江市期末）某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为 　　． 【解答】解：∵捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右， 设鲫鱼的条数为x，可得：＝0.25； 解得：x＝500， ∴捞到草鱼的概率为＝， 故答案为：． 12．（2023秋•建邺区期末）设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣4＝0的两个根，则x1+x2的值是 　﹣1　． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣＝﹣1， 故答案为：﹣1． 13．（2023秋•江北区期末）某菜鸟驿站第一天揽件100件，第三天揽件169件，设该菜鸟驿站揽件日平均增长率为x，根据题意所列方程为 　100（1+x）2＝169　． 【解答】解：设该菜鸟驿站揽件日平均增长率为x，根据题意所列方程为： 100（1+x）2＝169． 故答案为：100（1+x）2＝169． 14．（2023秋•包河区期末）如图，已知，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，则AF：FC＝　1：2　． 【解答】解：过点D作DH∥BF，交AC于H， 则＝，＝， ∵AD是△ABC的中线，E是AD的中点， ∴BD＝DC，AE＝ED， ∴CH＝HF，AF＝FH， ∴AF：FC＝1：2， 故答案为：1：2． 15．（2023秋•科左中旗期末）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D的运动速度为1cm/s，点E的运动速度为2cm/s．若D，E两点同时出发，则当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为 　3或4.8　s． 【解答】解：设运动时间为t s时，以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时， 则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t， ①当D与B对应时，△ADE∽△ABC， ∴， 即， ∴t＝3； ②当D与C对应时，△ADE∽△ACB， ∴， 即， ∴t＝4.8， ∴当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为3s或4.8s， 故答案为：3或4.8． 16．（2023秋•三明期末）如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，若∠1＝20°，则∠2的度数为 　70°　． 【解答】解：∵AC，BD是菱形ABCD的对角线， ∴∠DAC＝∠1＝20°，∠ADB＝∠2， ∴∠DAB＝40°， ∵DC∥AB， ∴∠ADC＝140°， ∴∠2＝70°． 故答案为：70°． 17．（2024春•临颍县期末）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 　48　． 【解答】解：设图1中分成的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b， ，得， ∴图1中菱形的面积为：×4＝48， 故答案为48． 18．（2023秋•福州期末）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为6，则k的值是 　﹣12　． 【解答】解：如图，连接OA， ∵AB⊥x轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△CAB＝6， 而S△OAB＝|k|， ∴|k|＝6， ∵k＜0， ∴k＝﹣12． 故答案为﹣12． 三．解答题（共8小题） 19．（2023秋•桓台县期末）由7个相同的小立方块搭成的几何体如图所示． （1）画出此几何体的主视图、左视图、俯视图； （2）若小立方块的棱长为1，则该几何体的表面积 　28　． 【解答】解：（1）如图所示． （2）该几何体的表面积为1×1×（5+4+5）×2＝28． 故答案为：28． 20．（2023秋•中江县期末）解方程： （1）x2﹣8x+12＝0； （2）2x2﹣5x﹣1＝0． 【解答】解：（1）∵x2﹣8x+12＝0， ∴（x﹣2）（x﹣6）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣6＝0， ∴x1＝2，x2＝6； （2）∵2x2﹣5x﹣1＝0， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）＝33， ∴， ∴，． 21．（2024春•寿县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×（m﹣1）≥0，解得m≤2； （2）p是方程的一个实数根，则p2﹣2p+m﹣1＝0，则p2﹣2p+3＝4﹣m， 则（p2﹣2p+3）（m+4）＝7即（4﹣m）（4+m）＝7， 解得：m＝3（舍去）或﹣3． 故m的值为﹣3． 22．（2023秋•西湖区期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B． （1）证明：△ADB∽△AED． （2）若AB＝9，AD＝6，求AE的长． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠DAE， ∵∠B＝∠ADE， ∴△ADB∽△AED． （2）解：∵△ADB∽△AED， ∴＝， ∵AB＝9，AD＝6， ∴AE＝＝＝4， ∴AE的长是4． 23．（2023秋•龙岗区校级期末）如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AD﹣DF＝BC﹣BE， 即AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝EC， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD＝BC， 在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3， 根据勾股定理，得AE＝＝＝5， ∵四边形AECF是菱形， ∴EC＝AE＝5， ∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8， ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠AEB， ∵DG⊥AE， ∴∠DGA＝∠B＝90°， ∴△ADG∽△EAB， ∴＝， 即＝， ∴DG＝． 24．（2023秋•西安期末）如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求b的值； （2）已知P为反比例函数的图象上一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标． 【解答】解：（1）∵点A（m，4）在反比例函数的图象上， ∴4＝， 解得：m＝1， ∴点A的坐标为（1，4）， 又∵点A（1，4）在一次函数y＝x+b的图象上， ∴4＝1+b， 解得：b＝3， ∴b的值为3； （2）由（1）可知：直线AB的解析式为y＝x+3． 当y＝0时，x+3＝0， 解得：x＝﹣3， ∴点B的坐标为（﹣3，0）， ∴OB＝3； 当x＝0时，y＝1×0+3＝3， ∴点C的坐标为（0，3）， ∴OC＝3． ∵S△OBP＝2S△OAC， ∴•OC•|yP|＝2וOC•xA， 即×3|yP|＝2××3×1， 解得：yP＝±2， 当y＝2时，＝2， 解得：x＝2， ∴点P的坐标为（2，2）； 当y＝﹣2时，＝﹣2， 解得：x＝﹣2， ∴点P的坐标为（﹣2，﹣2）． 综上所述，点P的坐标为（2，2）或（﹣2，﹣2）． 25．（2023秋•蓬江区期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤40时，图象是反比例函数的一部分． （1）求反比例函数解析式和点A、D的坐标； （2）陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y＝， 将点C（20，40）代入反比例函数解析式得：40＝， ∴k＝800， ∴反比例函数解析式为：y＝， 当x＝40时，y＝20， ∴A（0，20），D（40，20）； （2）直线过A（0，20）B（10，40），设直线AB的解析式为y＝kx+b， ，解得， ∴直线AB的解析式为y＝2x+20（0≤x≤10）， 令y＝32，则x＝6， 根据题意可得：32≤， 解得6≤x≤25， ∵陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟， ∴6≤x≤25， ∴要是学生注意力指标都不低于32，陈老师可以讲完一道数学综合题． 26．（2023秋•白银期末）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝2OB，反比例函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点C． （1）求点C的坐标； （2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形 A'B'CD'，点A'恰好落在反比例函数的图象上，求此时点D'的坐标； （3）在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、A'、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）作CH⊥x轴于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBH＝90°， ∵∠ABO+∠OAB＝90°， ∴∠OAB＝∠CBH， ∴△AOB≌△BHC（AAS）， ∴BH＝OA，CH＝OB， ∵OA＝2OB， ∴OH＝3OB， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴3OB2＝27， ∴OB＝3（负值已舍去）， ∴C（9，3）； （2）由（1）同理可得，点D（6，9）， ∵点A'恰好落在反比例函数的图象上， ∴当y＝6时，x＝， ∴反比例函数向右平移个单位长度， ∴D'（6+，9），即D'（，9）； （3）当OA'＝OP时，如图， ∵A'（，6）， ∴OA'＝， ∵四边形OPQA'是菱形， ∴A'Q∥OP，A'Q＝OP， ∴Q′（，）， 当点Q在第四象限时，Q（，﹣）， 当A'O＝A'P时，如图， 则点A'与Q关于y轴对称， ∴Q（﹣，6）， 当PO＝PA'时，如图，设P（0，m）， 则PO＝PA'， ∴m2＝（6﹣m）2+（）2， 解得m＝， ∴OP＝A'Q＝， ∴Q（，）， 综上：Q（，）或（，﹣）或（﹣，6）或（，）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$