专题01 幂、指数与对数重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第一册）

专题01 幂与指数重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 根式的化简求值 题型二 根式化简求值的复杂计算 题型三 指数幂的运算 题型四 分数指数幂与根式的互化 题型五 指数幂的化简、求值 题型六 指数幂运算的求值问题 题型七 指数幂等式及幂的方程问题 题型八 指数幂等式的证明 知识点1　指数幂的拓展 1.正分数指数幂 互素指的是两个数之间除了1之外没有更多的公约数 给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂,记作b=.这就是正分数指数幂. 有时,也把写成的形式. 2.负分数指数幂 给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),定义 3.无理数指数幂 一般地,给定正数a,对于任意的正无理数α,自然地,规定a-α=. 这样,指数幂中指数的范围就拓展到了全体实数. 知识点2　指数幂的运算性质 对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质: 运算性质的成立需此约束条件的限制 (1)aα·aβ=aα+β; (2)(aα)β=aαβ; (3)(ab)α=aαbα. 知识点3　指数幂的化简,求值 对于指数幂的化简与求值要注意以下两点: (1)对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式. (2)对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 【经典例题一 根式的化简求值】 【例1】（23-24高一上·福建厦门·期中）下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一·全国·单元测试）下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则 . 3．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：； （2）化简：； （3）已知，求的值. 【经典例题二 根式化简求值的复杂计算】 【例2】（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·天津·期中）化简（其中）的结果是 A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式： （1） =                     （2）（= （3 设，则的值为 3．（2024高一·全国·专题练习）阅读材料，解决问题： 化简：．由于题目没有给出x的取值范围，所以要分类讨论，． 令，，令，得； ∴的零点值为3，的零点值为，在数轴上标出3和的点，数轴被分成三段，即，，； 当时，原式；当时，原式=5；当时，原式． (1)求和的零点值； (2)化简：． (3)求方程：的整数解． 【经典例题三 指数幂的运算】 【例3】（24-25高一上·湖南·开学考试）估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 1．（23-24高一上·浙江·期末）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）对于正整数和非零实数，若，则的值为 . 3．（2024高一·全国·专题练习）化简并求值． (1)若，，求的值； (2)设，求的值． 【经典例题四 分数指数幂与根式的互化】 【例4】（23-24高一·全国·课后作业）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．（） B． C．（） D．（） 1．（23-24高一·全国·课后作业）化简 (a，b＞0)的结果是(　　) A． B．ab C． D．a2b 2．（2024高三·全国·专题练习）计算化简： （1）.＝ ； （2）.＝ . 3．（24-25高一上·广西南宁·期中）（1）计算：； （2）已知且，求下列各式的值： ①； ②． 【经典例题五 指数幂的化简、求值】 【例5】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·辽宁·期末）人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（    ） A．3 B．6 C．9 D．4 2．（24-25高一上·北京朝阳·期末）某学校球类社团组织学生进行单淘汰制的乒乓球比赛（负者不再比赛），如果报名人数是2的正整数次幂，那么每2人编为一组进行比赛，逐轮淘汰.以2024年世界杯足球赛为例，共有16支队进入单淘汰制比赛阶段，需要四轮，场比赛决出冠军.如果报名人数不是2的正整数次幂，则规定在第一轮比赛中安排轮空（轮空不计入场数），使得第二轮比赛人数为2的最大正整数次幂.（如20人参加单淘汰制比赛，第一轮有12人轮空，其余8人进行4场比赛，淘汰4人，使得第二轮比赛人数为16.）最终有120名同学参加校乒乓球赛，则直到决出冠军共需 轮；决出冠军的比赛总场数是 . 3．（2024高三·全国·专题练习）化简求值： (1)； (2). (3)； (4)已知，计算：. 【经典例题六 指数式的给条件求值问题】 【例6】（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数满足. 求的值( ) A．1 B．2 C．3 D．4 1.（23-24高一上·四川乐山·期中）若，求的值（ ） A．24 B．32 C．47 D．52 2. （23-24高一上·全国·课后作业）若，则= 3.（23-24高一上·浙江·课后作业）（1）已知，化简. （2）设，，，求的值. 【经典例题七 指数幂等式及幂的方程问题】 【例7】（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解是（    ） A． B． C． D． 1.（23-24高一·江苏·课后作业）方程的解为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2. （23-24高一上·浙江台州·开学考试）若，，且满足，，则的值为 3.（2024高一·全国·专题练习）方程的解集是 【经典例题八 指数幂等式的证明】 【例8】（2024高一·全国·专题练习）已知且，，求( ) A. B ． C．2n D．3m 1.（2024高一·全国·专题练习）已知，求3k2+2的值( ) A.m B C．2k D．3 2. （23-24高一上·山西临汾·期中）（1）计算= 3.（23-24高一·全国·课后作业）若a，b为不等于1的正数，并且实数x，y，z满足关系式．求证： (1)若，则； (2)若，则． 1．（2023高一·全国·课后作业）下列运算结果中正确的为 A． B． C． D． 2．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024高一上·安徽芜湖·专题练习）若实数满足等式，则（    ） A． B． C． D．4 4．（2024·福建南平·二模）对任意非零实数，当充分小时，.如：，用这个方法计算的近似值为（    ） A．1.906 B．1.908 C．1.917 D．1.919 5．（23-24高一上·山东青岛·开学考试）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存期，则利息为（    ） A．5.94万元 B．1.18万元 C．6.18万元 D．0.94万元 6．（2024高一上··全国·专题练习）已知，，则的值为 ． 7．（24-25高一上·上海·期中）若实数、、满足，，则的最小值是 . 8．（25-26高一上·上海·单元测试）若， ，，则 ． 9．（24-25高一上·江西南昌·期中）（1） . （2）已知，那么等于 . 10．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 11．（24-25高一上·浙江温州·期中）化简： (1) (2)（） 12．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）（1）求值： （2）已知是方程的两根，且，求的值. 13．（24-25高一上·上海·期中）已知函数（其中，且）. (1)若，求的值. (2)求关于的方程的解. 14．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列各式的值. (1)若，求； (2)已知，求的值； (3)若，求； (4)若，求. 15．（23-24高一上·浙江杭州·期中）通货膨胀率被定义为物价总水平的增长率，已知某件商品2015年10月的定价为21.5，而该商品2024年10月的定价为22.8.该商品的增长率恰与某地区的物价总水平的增长率一致. (1)求该地区2015年至2024年的年平均通货膨胀率； (2)资金的增长率被称为名义利率，以欧文·费雪（Irving Fisher）（20世纪一位伟大的货币经济学家）命名的费雪方程式给出了关于实际利率的定义，费雪方程式表明名义利率等于实际利率加上通货膨胀率.已知某银行三年期定期存款的利率如下图所示（银行定期年利率为单利，三年存款的利息=本金*年利率*3）. 图中数据见下表： 存入日 存期 到期日 起息日 年利就 操作员 流水号 20241021 36月 20241021 20241021 3.8500% 22628 583081 （i）求该存款2024年至2024年的实际年平均利率（精确到）； （ii）若在2015年至2024年间该存款以同样的年利率（3.8500%，单利）存五年定期，则其实际年平均利率与三年定期相比是大还是小?（只写出结论，不要求证明） 参考数据：，，，，，，， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 幂与指数重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 根式的化简求值 题型二 根式化简求值的复杂计算 题型三 指数幂的运算 题型四 分数指数幂与根式的互化 题型五 指数幂的化简、求值 题型六 指数幂运算的求值问题 题型七 指数幂等式及幂的方程问题 题型八 指数幂等式的证明 知识点1　指数幂的拓展 1.正分数指数幂 互素指的是两个数之间除了1之外没有更多的公约数 给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂,记作b=.这就是正分数指数幂. 有时,也把写成的形式. 2.负分数指数幂 给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),定义 3.无理数指数幂 一般地,给定正数a,对于任意的正无理数α,自然地,规定a-α=. 这样,指数幂中指数的范围就拓展到了全体实数. 知识点2　指数幂的运算性质 对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质: 运算性质的成立需此约束条件的限制 (1)aα·aβ=aα+β; (2)(aα)β=aαβ; (3)(ab)α=aαbα. 知识点3　指数幂的化简,求值 对于指数幂的化简与求值要注意以下两点: (1)对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式. (2)对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 【经典例题一 根式的化简求值】 【例1】（23-24高一上·福建厦门·期中）下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质可判断AC选项；根据根式与指数幂的互化可判断BD选项. 【详解】对于A选项，，A选项错误； 对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确. 故选：D. 1．（23-24高一·全国·单元测试）下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【分析】根据分式指数幂及根式的运算法则，正确运算，即可判断出正误． 【详解】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误； 对于B，，故，选项B正确； 对于 C，， ，因为，所以，选项C错误； 对于D，，选项D错误. 故选：B． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则 . 【答案】 【分析】根据算术平方根可解得，，代入即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以 所以，， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：； （2）化简：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）112；（2）；（3）23 【分析】（1）利用指数幂和根式的运算法则化简求解； （2）利用指数幂的运算法则化简求解； （3）根据指数幂的运算法则，利用平方即可求解. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）因为， 两边同时平方得，， 整理得，， 所以. 【经典例题二 根式化简求值的复杂计算】 【例2】（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算求解. 【详解】设，， ，， ， . . 又，， ，. 故选：D 1．（23-24高一上·天津·期中）化简（其中）的结果是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分数指数幂化简即可. 【详解】=,选C. 【点睛】本题考查分数指数幂运算,考查基本求解能力,属基础题. 2．（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式： （1） =                     （2）（= （3 设，则的值为 【答案】 0 / 7 【分析】（1）根据指数幂的运算性质，化简求值，即得答案； （2）将根式化为指数幂的形式，结合指数幂的运算，即可求得答案； （3）将平方，即可求得答案. 【详解】（1） . （2）； （3）因为， . 故答案为：（1）0；（2）；（3）7 3．（2024高一·全国·专题练习）阅读材料，解决问题： 化简：．由于题目没有给出x的取值范围，所以要分类讨论，． 令，，令，得； ∴的零点值为3，的零点值为，在数轴上标出3和的点，数轴被分成三段，即，，； 当时，原式；当时，原式=5；当时，原式． (1)求和的零点值； (2)化简：． (3)求方程：的整数解． 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3)，，，，，， 【分析】（1）令，，求出的值即可． （2）利用零点分段法分类讨论，分别计算可得． （3）利用零点分段法分类讨论，分别计算可得． 【详解】（1）解：可令和， 解得和，∴，分别为和的零点值． （2）解： 当时， ， 原式 当时， ， 原式 当时， ，， 原式 （3）解：当时， ∴， ∴方程左边； 当时，∴， ∴方程左边； 当时，∴，， ∴方程左边， ∴， ∴整数解为：，，，，，，． 【经典例题三 指数幂的运算】 【例3】（24-25高一上·湖南·开学考试）估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】化简，将代入即可. 【详解】因为， 且， 所以. 故选：C. 1．（23-24高一上·浙江·期末）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案． 【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1， 则512天后甲的质量为：, 乙的质量为：， 由题意可知，， 所以. 故选：A. 2．（2024高三·全国·专题练习）对于正整数和非零实数，若，则的值为 . 【答案】 【分析】利用指数幂的运算，由已知可得，可得，结合已知可求的值. 【详解】.同理可得， 所以，又， 所以，又为正整数，且均不为1， 又因为，所以. 故答案为：. 3．（2024高一·全国·专题练习）化简并求值． (1)若，，求的值； (2)设，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数的幂的运算可得答案； （2）由，构造出，再由幂的运算法则可得答案. 【详解】（1）原式 ． 当，时， 原式； （2）因为，所以， 所以． 所以． 【经典例题四 分数指数幂与根式的互化】 【例4】（23-24高一·全国·课后作业）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．（） B． C．（） D．（） 【答案】C 【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可. 【详解】A中，（），故A错误； B中，，故B错误； C中，（），故C正确； D中，（），故D错误． 故选：C． 1．（23-24高一·全国·课后作业）化简 (a，b＞0)的结果是(　　) A． B．ab C． D．a2b 【答案】C 【分析】由题意结合分数指数幂的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由分数指数幂的运算法则可得： 原式. 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查分数指数幂的运算法则，属于基础题. 2．（2024高三·全国·专题练习）计算化简： （1）.＝ ； （2）.＝ . 【答案】 0.09 【分析】由分数指数幂定义计算即可得答案. 【详解】（1）＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09. （2）＝ ＝ ＝ 故答案为：0.09； 3．（24-25高一上·广西南宁·期中）（1）计算：； （2）已知且，求下列各式的值： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①7；② 【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解； （2）利用平方关系求解. 【详解】（1）原式； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 【经典例题五 指数幂的化简、求值】 【例5】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【详解】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 1．（23-24高一上·辽宁·期末）人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（    ） A．3 B．6 C．9 D．4 【答案】B 【分析】在公式中令求解即可. 【详解】设， 令 解得则即方程的正实数根. 由， 可得. 因为方程的实数根为负数， 所以，即， 故. 故选：B. 2．（24-25高一上·北京朝阳·期末）某学校球类社团组织学生进行单淘汰制的乒乓球比赛（负者不再比赛），如果报名人数是2的正整数次幂，那么每2人编为一组进行比赛，逐轮淘汰.以2024年世界杯足球赛为例，共有16支队进入单淘汰制比赛阶段，需要四轮，场比赛决出冠军.如果报名人数不是2的正整数次幂，则规定在第一轮比赛中安排轮空（轮空不计入场数），使得第二轮比赛人数为2的最大正整数次幂.（如20人参加单淘汰制比赛，第一轮有12人轮空，其余8人进行4场比赛，淘汰4人，使得第二轮比赛人数为16.）最终有120名同学参加校乒乓球赛，则直到决出冠军共需 轮；决出冠军的比赛总场数是 . 【答案】 7 119 【分析】根据比赛规则，第一轮有8人轮空，有112人进行淘汰赛，共进行了56场比赛，以后每轮淘汰一半同学，按每轮分析计算即可. 【详解】因为， 所以第二轮需要64名同学参加比赛， 则第一轮淘汰人， 即第一轮有8人轮空，有112人进行淘汰赛，共进行了56场比赛， 则第二轮有64名同学参加比赛， 所以共进行了32场比赛，淘汰了32人， 则第三轮有32名同学比赛，则进行了16场比赛， 第四轮有16名同学参加比赛，共进行了8场比赛， 第五轮有8名同学参加比赛，共进行了4场比赛， 第六轮有4名同学参加比赛，共进行了2场比赛， 第七轮有2名同学参加比赛，共进行了1场比赛， 故直到决出冠军共需7轮比赛， 共进行了场比赛， 故答案为：7；119. 3．（2024高三·全国·专题练习）化简求值： (1)； (2). (3)； (4)已知，计算：. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把根式转化为分数指数幂化简即可. （2）（3）分数指数幂的运算法则，结合分母有理化计算即可. （4）多次进行完全平方运算，结合指数幂的运算法则即可求解. 【详解】（1）. （2）. （3） . （4），即， ，，即， ， . 【经典例题六 指数式的给条件求值问题】 【例6】（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数满足. 求的值( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将两边平方得. 【详解】将两边平方得， 所以. 故选C 1.（23-24高一上·四川乐山·期中）若，求的值（ ） A．24 B．32 C．47 D．52 【答案】C 【分析】运用完全平方公式计算即可. 【详解】由，得，即， 则有，得，即， 所以． 故选C 2. （23-24高一上·全国·课后作业）若，则= 【答案】 【分析】由，结合隐含的条件即可求解. 【详解】，由题意知，所以. 3.（23-24高一上·浙江·课后作业）（1）已知，化简. （2）设，，，求的值. 【答案】（1） （2）8 【分析】（1）由已知得，结合指数运算法则化简； （2）令，，结合因式分解可得，，则，结合已知即可求值. 【详解】（1）由，得， ∴. （2）令，，则 ，， ， . ∴. 【经典例题七 指数幂等式及幂的方程问题】 【例7】（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将方程化为同底数幂的形式后，再求解即可. 【详解】由，得， 所以，， 解得. 故选：B. 1.（23-24高一·江苏·课后作业）方程的解为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设，转化为求一元二次方程的正实数根，先求出的值，进而得出方程的解． 【详解】设，即转化为求方程的正实数根由得或 (舍)所以，则 故选：B. 2. （23-24高一上·浙江台州·开学考试）若，，且满足，，则的值为 【答案】 【分析】由已知可得，解得，再代回已知等式求出，可得的值. 【详解】由，，得，即，解得， 把代入，得，即，两边平方得，由得， 则. 3.（2024高一·全国·专题练习）方程的解集是 【答案】 【分析】根据题意，先把转化为，且，然后再化简求值即可． 【详解】原方程可化为：，即，解得：． 【经典例题八 指数幂等式的证明】 【例8】（2024高一·全国·专题练习）已知且，，求( ) A. B ． C．2n D．3m 【答案】A 【分析】根据题意，由，得到，即可得到证明. 【详解】∵且，， ∴，∴， ∴．∴． 故选：A 1.（2024高一·全国·专题练习）已知，求3k2+2的值( ) A.m B C．2k D．3 【答案】B 【分析】由，化为2|m|2+3k2，两边平方整理利用完全平方公式即可得出． 【详解】∵， ∴2|m|2+3k2， 两边平方可得：， 化为， ∴． 故选：B 2. （23-24高一上·山西临汾·期中）（1）计算= 【答案】41 【分析】由指数幂的运算规则化简计算 【详解】； 3.（23-24高一·全国·课后作业）若a，b为不等于1的正数，并且实数x，y，z满足关系式．求证： (1)若，则； (2)若，则． 【分析】（1）依题意可得，代入，根据指数幂的运算法则计算可得； （2）依题意可得，由可得，，再代入根据指数幂的运算法则计算可得． 【详解】（1）证明：由得 将①代入②，得，∴，∴，∴，∴． （2）证明：由，得， ∵，∴，． 由，得，即， ∴．两边同乘以，得． 1．（2023高一·全国·课后作业）下列运算结果中正确的为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质和法则逐个分析判断即可. 【详解】对于A，，所以A错误， 对于B，，而，所以B错误， 对于C，0的0次幂没有意义，当时,无意义，所以C错误， 对于D，由幂的乘方可得，所以D正确， 故选D. 2．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的概念即可判断. 【详解】因为， 所以能推出，且不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2024高一上·安徽芜湖·专题练习）若实数满足等式，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】移项化简得，根据非负性求解即可. 【详解】由条件知，根据非负性可知，所以， 故选：A. 4．（2024·福建南平·二模）对任意非零实数，当充分小时，.如：，用这个方法计算的近似值为（    ） A．1.906 B．1.908 C．1.917 D．1.919 【答案】C 【分析】将化为，根据新定义，直接计算取近似值即可． 【详解】 . 故选：C. 5．（23-24高一上·山东青岛·开学考试）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存期，则利息为（    ） A．5.94万元 B．1.18万元 C．6.18万元 D．0.94万元 【答案】D 【分析】由指数的运算得出存期的本利和，再减去本金得出所求利息. 【详解】由题意可得，则， 即存期，本利和为， 则存期，则利息为万元. 故选：D 6．（2024高一上··全国·专题练习）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】将变形为，设，求出t的值，可化为，即可求得答案. 【详解】由，，可得， 设，则，则， 解得，（舍去）， 故， 故答案为： 7．（24-25高一上·上海·期中）若实数、、满足，，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由基本不等式求得，化简即可求解. 【详解】由可得：， 即，当且仅当，即时取等号， 由， 可得：，又由得：， 所以，因为， 所以，当且仅当取等号， 故答案为： 8．（25-26高一上·上海·单元测试）若， ，，则 ． 【答案】 【分析】由指数运算法则可得证. 【详解】， ， ， 所以，原式， 故答案为： 9．（24-25高一上·江西南昌·期中）（1） . （2）已知，那么等于 . 【答案】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质，即可求解； （2）根据，再结合时，则，即可求解. 【详解】（1）原式 . （2）由， 因为，则，所以， 得到， 故答案为：，. 10．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，，结合基本不等式可得，可化为，求二次函数在区间上的最小值即可. 【详解】不妨设，，则，， 所以，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号， 所以 ，（） 所以当时，取得最小值. 故答案为： 11．（24-25高一上·浙江温州·期中）化简： (1) (2)（） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分数指数幂的运算法则计算； （2）把根式化为分数指数幂后再运算． 【详解】（1）原式 （2）原式 12．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）（1）求值： （2）已知是方程的两根，且，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用幂的运算性质去化简运算即可解决； （2）利用根与系数的关系及根式的性质去求解即可解决. 【详解】（1） （2）已知是方程的两根，则 由， 可得 13．（24-25高一上·上海·期中）已知函数（其中，且）. (1)若，求的值. (2)求关于的方程的解. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入函数解析式，结合完全平方公式可求得的值. （2）将代入函数解析式可得具体方程，再结合完全平方公式可解得方程的解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以. （2）因为， 则， 所以， 又因为，且， 所以. 14．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列各式的值. (1)若，求； (2)已知，求的值； (3)若，求； (4)若，求. 【答案】(1) (2)3 (3) (4)4 【分析】（1）将可化成的形式，代入数据即可求得结果为； （2）原式可表示为，代入即可求出答案为3； （3）将化简为，代入的值可计算出结果为； （4）化简后可得原式，将的值可得结果是4. 【详解】（1）利用指数运算法则可知， 将代入可得. （2）易知，又， 所以 （3）化简得， 将代入可得 （4）易知 又，所以 15．（23-24高一上·浙江杭州·期中）通货膨胀率被定义为物价总水平的增长率，已知某件商品2015年10月的定价为21.5，而该商品2024年10月的定价为22.8.该商品的增长率恰与某地区的物价总水平的增长率一致. (1)求该地区2015年至2024年的年平均通货膨胀率； (2)资金的增长率被称为名义利率，以欧文·费雪（Irving Fisher）（20世纪一位伟大的货币经济学家）命名的费雪方程式给出了关于实际利率的定义，费雪方程式表明名义利率等于实际利率加上通货膨胀率.已知某银行三年期定期存款的利率如下图所示（银行定期年利率为单利，三年存款的利息=本金*年利率*3）. 图中数据见下表： 存入日 存期 到期日 起息日 年利就 操作员 流水号 20241021 36月 20241021 20241021 3.8500% 22628 583081 （i）求该存款2024年至2024年的实际年平均利率（精确到）； （ii）若在2015年至2024年间该存款以同样的年利率（3.8500%，单利）存五年定期，则其实际年平均利率与三年定期相比是大还是小?（只写出结论，不要求证明） 参考数据：，，，，，，， 【答案】(1) (2)（i）；（ii）五年期实际年平均利率小 【分析】（1）设年平均通货膨胀率为，列式计算可得解； （2）设名义年平均利率为，由题意列式得出的值，进而求出实际年平均利率得解. 【详解】（1）设年平均通货膨胀率为，由， 解得，故年平均通货膨胀率为. （2）（i）设名义年平均利率为，由，解得， ，故实际年平均利率约为. （ii）五年期实际年平均利率小. 由，解得，， 故五年期实际年平均利率比三年期小. 学科网（北京）股份有限公司 $$