精品解析：山东省济南市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

山东名校考试联盟 2024-2025学年高一年级上学期期中检测 数学试题 2024.11 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数在其定义域上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过x的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.某校要召开学生代表大会，规定各班每8人推选一名代表，若某班人数除以8的余数大于5时该班再增选一名代表.那么各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设集合，，函数已知，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在上的值域是的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 若，则 C. D. 若，则 11. 我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数x，y的二元函数，则以下说法正确的是（ ） A. B. 对任意的， C. 若对任意实数x，，则实数a的取值范围是 D. 若存在，使不等式成立，则实数a的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象关于对称，且，则________. 13. 已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为________. 14. 已知，，且，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，若：，：. （1）写出q的一个充分不必要条件； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 16. 已知函数的图象过点，且满足． （1）求函数的解析式： （2）求函数在上的最小值； 17. 已知甲产品在30天内（包括第30天），销售价格为12元/件，日销售量（单位：件）与第x天的部分数据如下表所示： 5 15 18 22 26 30 35 45 48 48 44 40 给出下列三个函数模型：①；②；③. （1）请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的函数关系，并求出该函数的解析式及定义域. （2）若乙产品在这30天内（包括第30天）的日销售收入（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，根据（1）中所求函数求这30天内甲产品的日销售收入不少于乙产品的总天数. 18. 已知定义在上的函数，满足对任意的，都有.当时，，且. （1）求； （2）求证：在上是增函数； （3）解关于x的不等式. 19. 已知集合，若数组，满足：①；②；则称集合为“漂亮集合”，并称为的“配对数组”. （1）已知，，若是的一个“配对数组”，写出a，b，c的值； （2）判断是否是“漂亮集合”，并证明你的结论； （3）若集合是“漂亮集合”，证明：集合的“配对数组”为偶数个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东名校考试联盟 2024-2025学年高一年级上学期期中检测 数学试题 2024.11 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数在其定义域上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用减函数概念，结合特殊值逐个判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，，且，而，所以A错误； 对于B，是幂函数，定义域为，因为，所以在其定义域是减函数，所以B正确； 对于C，是幂函数，定义域为，因为，所以在其定义域是增函数，所以C错误； 对于D，显然是定义在上的增函数，所以D错误. 故选：B. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式得出集合M，N，结合交集、并集的概念逐一判断即可. 【详解】，， 所以，， 故选：A. 3. 已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的概念求得，结合幂函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以， 因此，所以是定义在上的增函数， 又因为，所以，解得， 故选：A. 4. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，由此可判断二次函数的图象可能的位置，即得答案. 【详解】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，则图像，开口向上，对称轴为；D正确. 故选：D 5. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为，，则，，，，， 对于A，，所以，选项A错误； 对于B，，所以，选项B错误； 对于C，，所以，选项C错误； 对于D，，所以，选项D正确. 故选：D. 6. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过x的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.某校要召开学生代表大会，规定各班每8人推选一名代表，若某班人数除以8的余数大于5时该班再增选一名代表.那么各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合新定义分析直接得出结果. 【详解】因为余数大于5进1，相当于大于等于6时进1， 所以加2即可.即. 故选：C 7. 若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，得，则化简后利用基本不等式可求出其最小值为4，从而得，解不等式可求得答案. 【详解】由，，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立． 因为不等式有解, 所以，解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D． 8. 设集合，，函数已知，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，求的范围，判断其与集合的关系即可． 【详解】结合函数图象， 当时，则， 又因为，所以结合图象得， 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在上的值域是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分别判断各选项中的函数在上的值域是否为即可. 【详解】函数在上单调递增，所以，值域为，选项A正确； 函数，当时，，所以选项B错误； 函数在上单调递增，所以，值域为，选项C正确； 函数当时，，所以选项D错误. 故选：AC. 10. 已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再结合基本不等式逐项判断. 【详解】令，由，得，解得，则， 对于A，，为偶函数，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，， 当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，由选项C知，， 解得，D正确. 故选：ACD 11. 我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数x，y的二元函数，则以下说法正确的是（ ） A. B. 对任意的， C. 若对任意实数x，，则实数a的取值范围是 D. 若存在，使不等式成立，则实数a的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】代入可判选项A，利用基本不等式可判选项B，利用二次函数恒成立可判选项C，利用不等式 能成立的条件可判选项D. 【详解】对于A，，所以选项A错误； 对于B，，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以选项B正确； 对于C，， 所以， 所以对任意实数x恒成立， 所以，所以，故选项C正确； 对于D，存在，使，所以， 因为在为单调增函数， 所以，所以，所以，所以选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象关于对称，且，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用图象法或函数的对称性或由计算即可求解. 【详解】法一：如图， 点关于点对称， 则，解得，即. 法二：因为函数的图象关于对称， 所以， 令，得， 由，解得. 法三：由知的图象过点， 又函数的图象关于对称， 则，解得； 由，解得， 所以. 故答案为：1 13. 已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理求出，再解不等式即可. 【详解】由解集的形式可知2，3为对应方程的两根，且，从而 则，所以， 即，解得. 故答案为：. 14. 已知，，且，则的最小值为________. 【答案】##6.25 【解析】 【分析】由基本不等式得，，利用对勾函数的单调性求最小值. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 由于，当且仅当时等号成立， 对勾函数在上单调递减， 可知当，即时取得最小值. 所以的最小值. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，若：，：. （1）写出q的一个充分不必要条件； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1）(只要是集合的真子集即可). （2） 【解析】 【分析】（1）求出的解集，根据充分不必要条件的定义求解； （2）该问题可以转化为⫋，列出不等关系式求解. 【小问1详解】 由：，得，解得， 命题： 从而的一个充分不必要条件是(只要是集合的真子集即可). 【小问2详解】 命题：，即， 由于，从而，则， 由于p是q的必要不充分条件，从而⫋， 所以，解得，所以. 当时，，满足⫋. 综上可知，实数的取值范围是. 16. 已知函数的图象过点，且满足． （1）求函数的解析式： （2）求函数在上的最小值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出方程，求得的值，即可求得函数的解析式； （2）根据题意，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：函数满足，则函数的图象关于对称， 可得，解得，即， 又由函数的图象过点，可得，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，可得其图象开口向上，对称轴为， 当时，可得在区间上单调递增，所以； 当时，可得在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以； 当时，可得在上单调递减，所以， 所以函数在上的最小值. 17. 已知甲产品在30天内（包括第30天），销售价格为12元/件，日销售量（单位：件）与第x天的部分数据如下表所示： 5 15 18 22 26 30 35 45 48 48 44 40 给出下列三个函数模型：①；②；③. （1）请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的函数关系，并求出该函数的解析式及定义域. （2）若乙产品在这30天内（包括第30天）的日销售收入（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，根据（1）中所求函数求这30天内甲产品的日销售收入不少于乙产品的总天数. 【答案】（1），定义域为 （2）11天 【解析】 【分析】（1）选出正确的函数模型后求参数即可； （2）因为甲产品的日销售收入不少于乙产品的日销售，则，结合一元二次不等式与绝对值不等式解不等式，即可得结论． 【小问1详解】 由表格中的数据知，当时间x增加时，先增后减， 而①③函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型， 所以选择模型②：. 由，可得，解得， 所以. 由 解得，. 所以， 定义域为. 【小问2详解】 因为甲产品的日销售收入不少于乙产品的日销售， 所以， 所以， 所以，所以， 解得， 因为， 所以这30天内甲产品的日销售收入不少于乙产品的总天数为11天. 18. 已知定义在上的函数，满足对任意的，都有.当时，，且. （1）求； （2）求证：在上是增函数； （3）解关于x的不等式. 【答案】（1） （2） 任取，且， 因为， 所以， 因为时，，所以， 所以，即， 所以在上是增函数. （3） 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）令，即可求解； （2）由，结合题意，利用定义法即可证明； （3）由题意，将原不等式转化为，利用函数的单调性解不等式可得，分类讨论解含参的一元二次不等式即可. 【小问1详解】 令， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 所以， 则， 因为，所以， 所以，所以， 由（2）得在上是增函数， 所以，即， 所以， 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 19. 已知集合，若数组，满足：①；②；则称集合为“漂亮集合”，并称为的“配对数组”. （1）已知，，若是的一个“配对数组”，写出a，b，c的值； （2）判断是否是“漂亮集合”，并证明你的结论； （3）若集合是“漂亮集合”，证明：集合的“配对数组”为偶数个. 【答案】（1），， （2）不是，证明如下： 写法一： ，若是“漂亮集合”， 则的任意一个配对数组的所有元素之和为， 又， （方法一）上述两式相加，得， 所以，与矛盾； 从而，所以不是“漂亮集合”. （方法二）上述两式相减，得， 所以，与矛盾. 从而，所以不是“漂亮集合”. 写法二： 首先分析这个新定义满足的一些性质： 由①，的任意一个“配对数组”的所有元素之和为. 又，可得，所以 由②，得. 所以. 即. 当时，，与矛盾； 所以不是“漂亮集合”. 写法三： 如果是“漂亮集合”，由题意得： ，， 两式相加，得， 即，从而当时，，与矛盾； 所以不是“漂亮集合”. （3） 写法一： 证明：假设，是的一个“配对数组”， 设，，定义，， 由于满足条件①，所以也满足条件①. 又因为对于，， 所以也满足条件②. 因此，也是“配对数组”. 这样，对的每一个“配对数组”，通过上述操作，总可以找到另一个“配对数组”与之对应. 下面证明这种对应是唯一的： 一方面，因为，， 所以； 另一方面，假设，因为，所以，所以， 与矛盾，所以与是不同的数组. 所以与产生了一一对应关系. 故集合的“配对数组”必有偶数个. 写法二： 由题设，对集合的任意一个“配对数组”，作的对偶数组， 其中，，且，，显然也是的一个“配对数组”，且如果，则. 再证.事实上，假如，则由，从而可得，矛盾. 从而，的所有“配对数组”可分成若干个对偶组，每组两个. 因此，的“配对数组”有偶数个. 【解析】 【分析】（1）根据漂亮集合和配对数组定义，利用已知条件计算即可；（2）根据定义假设存在相应的，看是否满足所有条件；（3）证明对于每一个“配对数组”，都能找到唯一的“配对数组”与之对应（两个配对数组不相同）.很自然的一种想法便是考虑“倒序”. 【小问1详解】 根据条件②，，，，6-2=4，所以， 剩下的数字是3和5.根据条件①，得， 由，所以， 综上，，，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $