精品解析：广东省揭阳市普宁市华侨中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

普宁市华侨中学2024-2025学年度第一学期高一级 期中考数学科试题 说明：1.本试题共4页.满分150分，考试时间120分钟.命题人：陈泽斌、温丽沣 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，再求交集. 【详解】或，所以. 【点睛】易错点晴:集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 2. 下列选项中表示同一函数的是（ ） A. 与 B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用定义域是否相同和解析式是否相同,来判断是否为同一函数即可. 【详解】对于A，由于的定义域为，而的定义域为， 所以两函数的定义域不同，故A错误； 对于B，由于的定义域为，而的定义域为， 所以两函数的定义域不同，故B错误； 对于C，两个函数的定义域都是， 又，故C正确； 对于D，由于的定义域为，而的定义域为， 所以两函数的定义域不同，故D错误； 故选：C. 3. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围. 【详解】设， 所以，解得：，， 因为，，所以， 故选：A. 4. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出命题为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立. 令，则函数在上单调递增，所以在当时，取得最大值4， 可得， 所以各选项中只有是的真子集， 即是“”为真命题的一个充分不必要条件. 故选：B 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除C，根据特殊值法可排除BD，即可求解. 【详解】由于定义域为，所以， 故，为奇函数，图象关于原点对称，C错误； ，B错误，，D错误， 故选：A． 6. 已知函数是上的偶函数，当时，，且，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据偶函数，解得参数即可. 【详解】因为函数是上的偶函数，所以，解得. 故选：A. 7. 已知函数，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：D. 8. 定义在R上的奇函数对任意都有，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造，结合题设易知在上递减，且在R上的奇函数，进而有在上递减，进而求出不等式的解集. 【详解】由题设对任意都有， 所以在上递减，又为R上的奇函数， 所以， 故在R上也为奇函数，则在上递减， 又，则，故， 综上，有. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 逐项判断各项的值域，即可得解. 【详解】对于A，由可得，故A正确； 对于B，由可得该函数的值域为，故B错误； 对于C，由可得该函数的值域为，故C正确； 对于D，，所以该函数的值域不为，故D错误. 故选：AC. 10. 德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为，则下列关于狄利克雷函数的说法错误的是（ ） A. 对任意实数， B. 既不是奇函数又不是偶函数 C. 对于任意的实数，， D. 若，则不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意结合奇偶性、一元二次不等式的解法逐项分析判断. 【详解】若是有理数，则； 若是无理数，则，故A正确； 若是有理数，则也是有理数，此时； 若是无理数，则也是无理数，此时； 即为偶函数，故B错误； 若是无理数，取，则是无理数，此时，，即，故C错误； 若是有理数，则的解集为； 若是无理数，，显然不成立，故D错误． 故选：BCD． 11. 若函数在上是单调函数，则的取值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的单调性求出a的取值范围，即可得到选项. 【详解】当时，为增函数， 所以当时，也为增函数， 所以，解得. 故选：BC 【点睛】此题考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，易错点在于忽略掉分段区间端点处的函数值辨析导致产生增根. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象经过点，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 设幂函数的解析式为，代入点，求得，即可求解的值，得到答案. 【详解】设幂函数的解析式为， 因为幂函数的图象经过点， 可得，解得，即， 所以. 故答案为：. 13. 若是奇函数，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定的分段函数，结合奇函数的定义求解作答. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 14. 已知函数的定义域为，则的定义域为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题设结合抽象函数，根式与分式的意义列出关于x的不等式计算即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，所以， 所以函数定义域为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简： （2）计算： （3）若，求 【答案】（1）1；（2）41；（3） 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算法则即可求解； （2）由指数幂的运算法则即可求解； （3）利用平方的方法，求得所求表达式的值. 【详解】（1）； （2）； （3）由于，可知，所以.，所以. 16. 已知是定义在上的奇函数． 求的解析式； 判断并证明的单调性； 解不等式： 【答案】（1） （2）函数在上为增函数． 证明如下，任取， 为上的增函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，列出方程求出、的值，代入解析式； （2）先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：设元，作差，变形，判断符号，下结论． （3）根据函数的单调性即可得到关于的不等式组，解得即可． 【详解】解：是定义在上的奇函数， ，即． 又． 略 ，即， ，解得， 解集为： 【点睛】本题考查奇函数的性质的应用，以及函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论． 根据奇函数的性质，列出方程求出的值，代入解析式； 先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：设元，作差，变形，判断符号，下结论 根据函数的单调性即可得到关于x的不等式组，解得即可． 17. 华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完 （1）求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润=销售额-成本） （2）2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）2023年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润为9000万元 【解析】 【分析】（1）由题意得到，从而根据求出（万元）关于年产量（千部）的函数关系式； （2）时，配方求出的最大值，时，利用基本不等式求出的最大值，比较后得到结论. 【小问1详解】 由题意得：， 故当时，， 当时，， 故（万元）关于年产量（千部）的函数关系式为： . 【小问2详解】 当时，， 故当时，取得最大值，最大值为万元； 当时，由基本不等式得： （万元）， 当且仅当，时，等号成立， 因为，所以2023年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润为9000万元. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求在上的取值范围； （2）求的函数关系式； （3）设，若对于任意，都存在，使得，求正数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数单调性求最值； （2）利用函数的奇偶性求函数在对称区间上的解析式； （3）根据题意求出，转化为的值域包含的值域即可得解. 【小问1详解】 因为的对称轴为， 所以函数在单调递减，在单调递增， 因为，所以在上的值域为； 【小问2详解】 因为是定义在上的奇函数，所以； 设，则，所以； 又因为是定义在上的奇函数，所以， 所以 【小问3详解】 因为，所以，所以， 当时，，因为在上递增，所以在上递增， 所以，所以， 所以，所以， 当时，， 因为在上递减，在上递增， 此时，因为，，所以， 所以不符合题意， 综上，. 19. 对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数，的值域是，则称区间为函数的“保值”区间. （1）写出函数的一个“保值”区间； （2）若函数存在"保值"区间，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据“保值”区间的定义直接求解即可； （2）设"保值"区间为，根据两种情况讨论，，，根据单调性得到关于的等式，然后根据二次函数性质即可求得. 【小问1详解】 设函数的一个“保值”区间为， 则令，即，解得或， 且函数在上单调递增， 则函数的一个“保值”区间可为. 【小问2详解】 设"保值"区间为， 若，则在上为增函数， 所以， 即为方程的两个不等实根， 设，则， 所以； 若，则在上为减函数， 所以，相减得， 代入得， 所以方程有两个不等实根， 所以有， 解得， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普宁市华侨中学2024-2025学年度第一学期高一级 期中考数学科试题 说明：1.本试题共4页.满分150分，考试时间120分钟.命题人：陈泽斌、温丽沣 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 2. 下列选项中表示同一函数的是（ ） A. 与 B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是上的偶函数，当时，，且，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 7. 已知函数，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上的奇函数对任意都有，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 10. 德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为，则下列关于狄利克雷函数的说法错误的是（ ） A. 对任意实数， B. 既不是奇函数又不是偶函数 C. 对于任意的实数，， D. 若，则不等式的解集为 11. 若函数在上是单调函数，则的取值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象经过点，则的值为__________. 13. 若是奇函数，则___________. 14. 已知函数的定义域为，则的定义域为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简： （2）计算： （3）若，求 16. 已知是定义在上的奇函数． 求的解析式； 判断并证明的单调性； 解不等式： 17. 华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完 （1）求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润=销售额-成本） （2）2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求在上的取值范围； （2）求的函数关系式； （3）设，若对于任意，都存在，使得，求正数的取值范围. 19. 对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数，的值域是，则称区间为函数的“保值”区间. （1）写出函数的一个“保值”区间； （2）若函数存在"保值"区间，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $