精品解析： 广西南宁市四校联考2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年广西南宁市四校联考九年级（上）期中数学试卷 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑） 1. 以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是（　　） A. B. C. D. 2. 对称性揭示了自然的秩序与和谐，是数学之美的体现，在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 年国庆期间，南宁方特共接待游客约人次，数字用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 在英语单词中任意选出一个字母，选出的字母为的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的是一所学校的平面示意图，若用，表示教学楼，，表示旗杆，则实验楼的位置可表示成(　　) A. B. C. D. 8. 已知点，均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，线段是的直径，于点E，若，，则的长是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 11. 商场某种商品平均每天可售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．若商场销售该商品日盈利要达到元，则每件商品应降价多少元？设每件商品降价元，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 12. 如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____． 14. 比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 15. 半径为的圆中的圆心角所对的弧长为__________． 16. 如图，点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，，__________． 17. 如图，在中，，，以中点D为圆心、长为半径作半圆交线段于点E，则图中阴影部分的面积为______． 18. 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为______． 三、解答题（本大题共8小题，其中19，20题每题6分，其余每题10分，共72分） 19. 计算： 20. 解方程：． 21. 为了纪念西藏民主改革65周年，弘扬爱国主义精神，学校举办了“感悟历史奇迹，担当时代使命”的历史知识竞赛活动．从七、八年级中各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分）如下： 七年级：80 96 82 92 89 84 73 90 89 97 八年级：94 82 95 94 85 89 92 79 98 93 请根据以上信息，解答下列问题： （1）七年级这10名学生成绩的中位数是________；八年级这10名学生成绩的众数是________； （2）若成绩90分以上（含90分）定为优秀等次，请估计八年级400名学生中有多少名学生能达到优秀等次； （3）根据本次竞赛成绩，七、八年级各推荐了两名学生，学校准备再从这四名学生中随机抽取两人参加市级竞赛，请用列表或画树状图的方法求抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率． 22. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）将绕点O顺时针旋转得到，作出并写出点的坐标； （2）关于原点对称的中心对称图形为，作出并写出点的坐标． 23. 综合实践 草莓种植大棚的设计 生活 背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间． 建立 模型 如图，已知某草莓园的种植大棚横截面由抛物线和矩形，其中点为抛物线的顶点，大棚最高处离地面，宽，．现以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 任务一 求抛物线的解析式． 任务二 已知，照明灯到地面的距离均为，求灯之间的水平距离． 24. 如图，是的外接圆，AB是的直径，于点E，P是AB延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 25. 图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长，与墙垂直的一边栅栏长为． （1）求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； （2）若栅栏总长度为122米，求的长； （3）若想使花圃是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？ 26. 问题情境：已知正方形，E是对角线上任意一点． （1）发现：如图1，若连接，则线段与的数量关系为_______． （2）探究：如图2，经过点B作，与的延长线交于点F，与交于点G． ①判断的形状并说明理由； ②连接，若G是的中点，且，，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广西南宁市四校联考九年级（上）期中数学试卷 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑） 1. 以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案，注意负数比较大小，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得 ， ∴平均气温最低的是， 故选：． 2. 对称性揭示了自然的秩序与和谐，是数学之美的体现，在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，此平面图形为中心对称图形，是解题的关键．根据中心对称图形的定义，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A，不是中心对称图形，不符合题意； B，不是中心对称图形，不符合题意； C，不是中心对称图形，不符合题意； D，是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 年国庆期间，南宁方特共接待游客约人次，数字用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数：科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：． 故选：B． 4. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴ 故选：C 5. 在英语单词中任意选出一个字母，选出的字母为的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，根据概率的计算公式直接计算即可求解，掌握概率的计算公式是解题的关键． 【详解】解：在英语单词中任意选出一个字母，选出的字母为的概率为， 故选：． 6. 如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了钟面角，用乘以两针相距的份数是解题关键．根据钟面的特点，钟面平均分成12份，每份是，根据时针与分针相距的份数，可得答案． 【详解】解：2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是， 故选：C． 7. 如图所示的是一所学校的平面示意图，若用，表示教学楼，，表示旗杆，则实验楼的位置可表示成(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案． 【详解】解：如图所示：实验楼的位置可表示成． 故选：D． 8. 已知点，均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象的增减性即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：反比例函数中，， ∴反比例函数图象在第二、四象限，如图所示， ∴在每个象限中随的增大而增大， ∵， ∴，   故选： A． 9. 如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了求圆锥的侧面积，先根据圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出圆锥的母线长；再结合圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，据此可得出扇形的弧长； 最后利用扇形的面积计算方法，即可． 【详解】解：由勾股定理得，圆锥的母线长为， ∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为， ∴圆锥的侧面积为：． 故选：C． 10. 如图，线段是的直径，于点E，若，，则的长是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据垂径定理求出的长是解此题的关键．连接，根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出，最后根据线段的和差求解即可． 【详解】解：如图，连接， 线段是的直径，于点E， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 11. 商场某种商品平均每天可售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．若商场销售该商品日盈利要达到元，则每件商品应降价多少元？设每件商品降价元，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别计算出每件商品降价元后，销售的数量（件），每件盈利的数量（元），根据销售数量与每件盈利数量的积即为该商品日盈利额，由此列式即可求解． 【详解】解：每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，设每件商品降价元， ∴销售件数为：件， ∵每件盈利元，每件商品降价元， ∴降价后的每件的盈利为元， 若商场销售该商品日盈利要达到元， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程与销售，利润的问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握运用一元二次方程解决销售、盈利问题的方法是解题的关键． 12. 如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得到，则点E在以为直径的圆上，取中点G，当过点G时，有最小值，由旋转的性质得到，则此时也取最小值，即可解答． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 取中点G，连接，当过点G时，有最小值， 又∵按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴此时也取最小值， ∵，为的半径，即， ∴此时， ∴， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题给条件，从而得到点的轨迹． 二、填空题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．根据分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ． ． 故答案为：． 14. 比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方法比较两个数的大小，对于带根号的实数的大小关系的比较，平方法是比较常用的一个技巧．只需比较与的大小关系，即可得到与的大小关系，然后再进行判断． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 15. 半径为的圆中的圆心角所对的弧长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键． 直接利用弧长公式求解即可． 【详解】解：半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为： （）， 故答案为：． 16. 如图，点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，，__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义得，即可求得结果． 【详解】解：∵点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，即图像上的点向坐标轴作垂线与坐标轴所围成的矩形面积．掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键． 17. 如图，在中，，，以中点D为圆心、长为半径作半圆交线段于点E，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，然后根据已知条件求出，，从而得到，最后结合扇形的面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，． ∵为直径， ∴． ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴阴影部分的面积= ． 故答案为：． 【点睛】本题考查阴影部分面积计算问题，涉及到扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，直径所对的圆周为直角等，掌握扇形面积计算公式是解题关键． 18. 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到． 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系， 由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴投掷距离为； 故答案为：4． 三、解答题（本大题共8小题，其中19，20题每题6分，其余每题10分，共72分） 19. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】先算乘方，再算乘除法，然后算加法即可．本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解： ． 20. 解方程：． 【答案】或 【解析】 【分析】由十字相乘法即可求出答案． 【详解】解：， ， 或， 或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，灵活运用解一元二次方程的方法是解题的关键． 21. 为了纪念西藏民主改革65周年，弘扬爱国主义精神，学校举办了“感悟历史奇迹，担当时代使命”的历史知识竞赛活动．从七、八年级中各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分）如下： 七年级：80 96 82 92 89 84 73 90 89 97 八年级：94 82 95 94 85 89 92 79 98 93 请根据以上信息，解答下列问题： （1）七年级这10名学生成绩的中位数是________；八年级这10名学生成绩的众数是________； （2）若成绩90分以上（含90分）定为优秀等次，请估计八年级400名学生中有多少名学生能达到优秀等次； （3）根据本次竞赛成绩，七、八年级各推荐了两名学生，学校准备再从这四名学生中随机抽取两人参加市级竞赛，请用列表或画树状图的方法求抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率． 【答案】（1）；94 （2）估计八年级400名学生中有名学生能达到优秀等次 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）用总人数乘以样本中优秀等次人数所占比例即可得解； （3）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：将七年级这10名学生成绩按从小到大排列为：73，80，82，84，89，89，90，92，96，97，处在中间的两个数为89，89，故中位数为； 八年级这10名学生成绩出现次数最多的是94，故中位数为94； 【小问2详解】 解：（名）， 故估计八年级400名学生中有名学生能达到优秀等次； 【小问3详解】 解：令七年级的两名学生为、，八年级的两名学生为、， 列表得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中抽到一名七年级学生和一名八年级学生的情况有种， 故抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率为． 【点睛】本题考查了中位数、众数、由样本估计总体、列表法或画树状图求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 22. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）将绕点O顺时针旋转得到，作出并写出点的坐标； （2）关于原点对称的中心对称图形为，作出并写出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求．由图可得，点的坐标为． （2） 如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转称的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 综合实践 草莓种植大棚的设计 生活 背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间． 建立 模型 如图，已知某草莓园的种植大棚横截面由抛物线和矩形，其中点为抛物线的顶点，大棚最高处离地面，宽，．现以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 任务一 求抛物线的解析式． 任务二 已知，照明灯到地面的距离均为，求灯之间的水平距离． 【答案】任务一：；任务二：． 【解析】 【分析】任务一：由题意得抛物线的顶点为，然后利用待定系数法求解即可； 任务二：当时，即，解方程求出的值，求出的横坐标即可； 本题考查了二次函数的应用，读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键． 【详解】解：任务一：由题意得抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 又∵抛物线过， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 任务二：当时，即， 解得：， ∴的横坐标分别为，， ∴， 答：两灯间的水平距离为． 24. 如图，是的外接圆，AB是的直径，于点E，P是AB延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接． ∵， ∴． ∵于点E， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． ∵是半径， ∴是的切线． （2）5 【解析】 【分析】（1）连接．根据圆周角定理和同角的余角相等可得．然后由切线的判定方法可得结论； （2）的半径为，，由垂径定理知再结合勾股定理进行列式，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为， 因为， 所以， 因为， 所以， 在中，， 即， ， 所以的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定与圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识内容，难度适中，正确掌握切线的判定内容以及垂径定理运用是解题的关键． 25. 图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长，与墙垂直的一边栅栏长为． （1）求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； （2）若栅栏总长度为122米，求的长； （3）若想使花圃是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？ 【答案】（1） （2） （3）花圃至少需要围栏米． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解一元二次方程和分式方程，根据矩形的面积公式得出y与x的函数关系式是关键，注意结合实际取自变量的取值范围． （1）根据长方形面积公式列式求解即可； （2）根据栅栏总长度为122米列方程求解即可； （3）根据题意得到，然后代入求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵设花圃与墙平行的一边长，与墙垂直的一边长为，面积为， ∴ ∴ ∵可利用的最大长度为 ∴ ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵栅栏总长度为122米 ∴ 整理得， 解得或120（舍去） 经检验，符合题意 ∴； 【小问3详解】 解：∵使花圃长是宽的倍 ∴ ∴代入得， ∴ ∴或（舍去） ∴ ∴ ∴花圃至少需要栅栏米． 26. 问题情境：已知正方形，E是对角线上任意一点． （1）发现：如图1，若连接，则线段与的数量关系为_______． （2）探究：如图2，经过点B作，与的延长线交于点F，与交于点G． ①判断的形状并说明理由； ②连接，若G是的中点，且，，直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） ①为等腰三角形；理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ② 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结果； （2）①根据全等三角形的对应角相等，对顶角相等，以及等角的余角相等，得到，进而得到，即可得出结论；②过点F作，由三角形的中线平分面积得到，得到，利用三角形的面积公式求出的长，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①略 ②过点F作， ∵， ∴， ∵，点G为的中点， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $