精品解析：黑龙江省实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

黑龙江省实验中学2024-2025学年度高二学年上学期期中考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机事件满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知圆，点，若直线，分别切圆于，两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的两个顶点为，，且，的斜率之积等于，则（ ） A. 当时，的轨迹为直线（去掉，两点） B. 当时，的轨迹为双曲线（去掉，两点） C. 当时，的轨迹为椭圆（去掉，两点） D. 当时，的轨迹为抛物线（去掉，两点） 7. 某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点，且离心率为的椭圆.设地球半径为，若其近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，是和的一个公共点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，已知点，P是一个动点，则（ ） A. 若，则点P的轨迹为椭圆 B. 若，则点P的轨迹为双曲线 C. 若，则点P的轨迹为直线 D. 若，则点P的轨迹为圆 10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取一个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是8”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 与互斥 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 与相互独立 11. 已知抛物线的焦点为，准线为.设过且倾斜角为的直线与交于，两点，过作，，垂足分别为和，，与轴分别交于点，，与交于点，则（ ） A. 为的中点 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆，则过点的圆的最短弦所在的直线方程为______. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为16，过且斜率为的直线与在第一象限交于点，且，则______. 14. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上异于原点的一点，过点且斜率为的直线与轴交于点，与轴交于点，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. （1）写出甲、乙抽到牌的所有情况； （2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？ （3）甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？ 16. 已知圆. （1）求过点与圆相切的直线方程. （2）求过点与圆相交且弦长为的直线方程. 17. 已知椭圆的左焦点为F，离心率为，且C经过点. （1）求C的方程； （2）已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于两点，求以M为中点的弦所在的直线方程. 18. 已知和为双曲线上两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）求双曲线的离心率及渐近线方程； （3）若过的直线交于另一点，且的面积为6，求的方程. 19. 已知动圆经过点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设过点且斜率为正的直线交曲线于两点（点在点的上方），的中点为， ①过作直线的垂线，垂足分别为，试证明：； ②设线段的垂直平分线交轴于点，若的面积为4，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省实验中学2024-2025学年度高二学年上学期期中考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算可得. 【详解】直线的斜率，设倾斜角为， 则，又，所以. 故选：C 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程即可求解. 【详解】由可得，所以焦点为， 故选：B 3. 已知随机事件满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求解即可. 【详解】因为， 即，解得. 故选：B 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的焦点位置设出方程，由渐近线方程及实轴长列出的方程，求解即可． 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，方程为， ∵渐近线方程为，实轴长为4， ∴且，解得， ∴的方程为． 当双曲线的焦点在轴上时，方程为， ∵渐近线方程为，实轴长为4， ∴且，解得， ∴的方程为． 综上，的方程为或． 故选：C． 5. 已知圆，点，若直线，分别切圆于，两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知直线为圆和以为直径的圆的公共弦，求出以为直径的圆，即可求出结果． 【详解】因为直线，分别切圆于，两点， 所以， 所以点在以为直径的圆上． 因为， 所以以为直径的圆的圆心为， 半径为， 故以为直径的圆的方程，即， 又圆，即， 两圆方程相减得， 所以直线的方程为：． 故选：A． 6. 已知的两个顶点为，，且，的斜率之积等于，则（ ） A. 当时，的轨迹为直线（去掉，两点） B. 当时，的轨迹为双曲线（去掉，两点） C. 当时，的轨迹为椭圆（去掉，两点） D. 当时，的轨迹为抛物线（去掉，两点） 【答案】C 【解析】 【分析】设，由条件求出的轨迹方程，根据的取值范围确定轨迹的形状即可． 【详解】设，由，的斜率之积等于， 得，即， 当时，方程为， ∴的轨迹是圆（去掉，两点），故A错误； 当时，方程为，且， ∴的轨迹为椭圆（去掉，两点），故B错误； 当时，方程为，且， ∴的轨迹为椭圆（去掉，两点），故C正确； 当时，方程为，且， ∴的轨迹为双曲线（去掉，两点），故D错误． 故选：C． 7. 某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点，且离心率为的椭圆.设地球半径为，若其近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的性质列式求解. 【详解】由题意知且，解得，， 则远地点离地面的距离为. 故选：A. 8. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，是和的一个公共点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合椭圆与双曲线定义可得，然后由向量的运算求解即可. 【详解】如下图所示： 依题意由椭圆定义可得，所以； 即； 依题意由双曲线定义可得，所以； 即； 因此可得； 又易知，即可得； 因此，而， 即满足，所以； 又为的中点，因此. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，已知点，P是一个动点，则（ ） A. 若，则点P的轨迹为椭圆 B. 若，则点P的轨迹为双曲线 C. 若，则点P的轨迹为直线 D. 若，则点P的轨迹为圆 【答案】AD 【解析】 【分析】根据椭圆以及双曲线的定义即可求解AB；根据向量的线性运算，结合圆的定义可判断C；根据点点距离化简，结合圆的一般方程即可求解D. 【详解】对于A，，而，故，故点的轨迹为以为焦点的椭圆，故A正确， 对于B，，而，故，故点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，故B错误； 对于C，由，可得，所以， 则点的轨迹为以原点为圆心的圆，故C错误， 对于D，若，设，则， 化简可得，满足，故点的轨迹为圆，D正确. 故选：AD. 10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取一个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是8”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 与互斥 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】列举出基本事件，再根据互斥事件及相互独立事件的定义判断即可. 【详解】依题意从中有放回地随机取两次球，则可能结果有： ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共个结果. 事件包含的基本事件有：，，，，，共个； 事件包含的基本事件有：，，，，，共个； 事件包含的基本事件有：共个； 事件包含的基本事件有：，，，，，共个； 对于A：显然事件与事件不可能同时发生，所以与互斥，故A正确； 对于B：事件与事件不可能同时发生，所以与互斥，故B正确； 对于C：因为，，， 所以与不独立，故C错误； 对于D：因为，，， 所以与相互独立，故D正确. 故选：ABD 11. 已知抛物线的焦点为，准线为.设过且倾斜角为的直线与交于，两点，过作，，垂足分别为和，，与轴分别交于点，，与交于点，则（ ） A. 为的中点 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：根据为中点以及进行分析；B：先证明，然后证明，由此可判断选项；C：联立直线与抛物线求解出坐标，由此可分析出坐标，表示出直线的方程，联立可得坐标，据此计算并判断；D：根据的坐标计算并判断. 【详解】设准线与轴交于，不妨设在轴上方，在轴下方，如图所示， 对于A：因为，所以为中点， 因为，所以为的中点，故正确； 对于B：因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 由A选项，同理可证为的中点， 又，所以，所以，故正确； 对于C：设，，联立，解得或， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即，，即， 联立，解得，所以且在准线上， 所以，所以，故错误； 对于D：因为，所以，故正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆，则过点的圆的最短弦所在的直线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设点，则最短弦过点P且与垂直，根据两直线垂直时的斜率关系及点斜式方程求解. 【详解】由题意知，圆，设点，最短弦过点P且与垂直， 因为，所以最短弦所在直线的斜率， 所以最短弦所在的直线方程为，即． 故答案为：． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为16，过且斜率为的直线与在第一象限交于点，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用直线的斜率求出，再由及椭圆定义求出，最后利用余弦定理即可求得结果． 【详解】∵直线的斜率，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，解得或（舍）． 所以． 故答案为：． 14. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上异于原点的一点，过点且斜率为的直线与轴交于点，与轴交于点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设出直线的方程，求得坐标，计算可得，即可得解． 【详解】是抛物线上异于原点的一点，则， 由题意知，直线的方程为， 即，即， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. （1）写出甲、乙抽到牌的所有情况； （2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？ （3）甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？ 【答案】（1）分别用2，3，4，表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4， 则甲、乙抽到牌的所有情况为，共12种不同的情况. （2） （3）游戏不公平，理由：甲抽到的牌的数字比乙的大，有，共5种情况， 因此甲胜的概率为，乙胜的概率为. 因此＜，所以此游戏不公平. 【解析】 【分析】（1）由题意写出所有抽牌情况即可； （2）由古典概率计算即可； （3）找到甲抽到的牌的数字比乙的大的情况，再由古典概率计算，比较大小即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4， 因此乙抽到牌的数字比3大的概率是， 【小问3详解】 略 16. 已知圆. （1）求过点与圆相切的直线方程. （2）求过点与圆相交且弦长为的直线方程. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）分直线斜率存在和不存在，利用圆心到直线的距离等于半径列式求解； （2）由弦长求得圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式求解. 【小问1详解】 ∵圆，即， ∴圆心，半径， 当直线斜率存在时，设直线，即， 圆心到直线的距离，解得， 此时直线方程为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切， 综上，所求直线方程为或． 【小问2详解】 ∵过点与圆相交且弦长为， ∴圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为7，不合题意； ∴直线斜率存在，设直线方程为，即， ∵圆心到直线的距离， 整理得，即，解得或， ∴所求直线方程为或． 17. 已知椭圆的左焦点为F，离心率为，且C经过点. （1）求C的方程； （2）已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于两点，求以M为中点的弦所在的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率的定义并将已知点代入椭圆求出椭圆的标准方程；（2）根据已知条件求出直线斜率，用点斜式写出直线方程. 【小问1详解】 依题意可得，解得，所以椭圆方程为； 【小问2详解】 若弦所在直线斜率不存在，根据椭圆的对称性，中点的纵坐标一定是， 同理，若斜率为，则中点的横坐标一定是，与已知矛盾， 故所求弦的斜率存在且不为，可设弦的斜率为. 因为M在椭圆内，故直线与椭圆一定有两个交点，设两个交点为， 将两个点代入椭圆，有：，，两式作差得， 由于是的中点，故，代入上式化简可得， 得到，求出， 所以中点弦的方程为，整理得到：. 故以为中点的弦所在直线方程为：. 18. 已知和为双曲线上两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）求双曲线的离心率及渐近线方程； （3）若过的直线交于另一点，且的面积为6，求的方程. 【答案】（1） （2）离心率为，渐近线方程为 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）将两点坐标代入双曲线方程，解方程组求出，即得答案； （2）根据双曲线的离心率公式与渐近线的方程求解； （3）求出直线的方程，及点到直线的距离，设，根据条件列出方程组，求出得点的坐标，进而可求直线的方程. 【小问1详解】 ∵和为双曲线上两点， ∴且，解得， ∴双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 ∵，∴， ∴双曲线的离心率为，渐近线方程为. 【小问3详解】 ∵和，∴， ∴直线的方程为，即， ， 又点到直线的距离为， ∵，∴， 设，则，即， ∴或， 解得或或或， 即或或或， 当时，直线的方程为； 当时，，直线的方程为，即； 当时，，直线的方程为，即； 当时，，直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或或或． 19. 已知动圆经过点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设过点且斜率为正的直线交曲线于两点（点在点的上方），的中点为， ①过作直线的垂线，垂足分别为，试证明：； ②设线段的垂直平分线交轴于点，若的面积为4，求直线的方程． 【答案】（1） （2）①设直线的方程为，， 则的中点，由（1）可知，， 联立方程组，消去可得， 所以，， 所以， 又，所以，所以； ② 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义知P点轨迹是抛物线，方程为标准方程，求出焦参数可得； （2）①设直线的方程为，，可求得，进而可得，，联立直线与抛物线方程可得，进而可得，可证结论； ②求得的中点，进而可得线段的垂直平分线方程为，进而可得，结合已知可得，可求直线的方程. 【小问1详解】 依题意可得圆心到定点的距离等于到定直线的距离相等， 所以的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 又到直线的距离为，所心抛物线的方程为； 【小问2详解】 ①略 ②由①可得，代入，可得中点的横坐标为， 所以，又线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为， 令，可得，所以， 所以， 所以， 又的面积为4，所以，所以， 解得，所以直线的方程为，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $