2023-2024学年北京市各区八年级下学期期末数学试题分类汇编：四边形综合应用

2024北京各区八年级下学期期末数学 分类汇编：四边形综合应用 1、（2024北京朝阳区八下期末试题）如图，E为正方形内部一点，且，的延长线交于点F． （1）求证：； （2）作于点G，交于点H， 用等式表示线段的数量关系，并证明． 2、（2024北京二中八下期末试题）如图，在正方形中，点在边上，连接，过点作于点，延长至点，使，连接，． （1）依题意补全图形； （2）的度数为__________； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 3、（2024北京西城区八下期末试题）在正方形中，E是边上的一个动点（不与点B，C重合），连接，P为点B关于直线的对称点． （1）连接，作射线交射线于点F，依题意补全图1． ①若，求的大小（用含的式子表示）； ②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明； （2）已知，连接，若，M，N是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，直接写出的最小值． 4、（2024北京石景山区八下期末试题）已知：在正方形中，点是延长线上一点，且，连接，过点作的垂线交直线于点，连接，取的中点，连接． （1）当时， ①补全图； ②求证：； ③用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． （2）如图，当时，请你直接写出线段，，之间的数量关系． 5、（2024北京顺义区八下期末试题）如图，在四边形中，，于点，为中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）延长到点，使得，连接．若，，求的长． 6、（2024北京清华附中八下期末试题）如图，在△ABC中，，点D，E分别是的中点．连接并延长至点F，使得. 连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，，求的长． 7、（2024北京海淀区八下期末试题）如图1，AC和BD是▱ABCD的对角线，AB＝BD. 点E为射线BD上的一点，连接AE. （1）当点E在线段BD的延长线上，且DE＝BD时， ①依题意补全图1； ②求证：AE＝AC； （2）如图2，当点E在线段BD上，且∠AEB＝2∠ACD时，用等式表示线段AE，BE和AB的数量关系，并证明. 图1 图2 8、（2024北京昌平区八下期末试题）如图，在平行四边形中，平分交延长线于点E，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 9、（2024北京门头沟区八下期末试题）如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点，连接与直线交于点Q． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 10、（2024北京大兴区八下期末试题）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB． 11、（2024北京怀柔区八下期末试题）如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点O，平分，过点D作交于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 12、（2024北京十一学校八下期末试题）如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接． （1）计算的度数； （2）如图2，过点A作，垂足为G，连接．用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 13、（2024北京平谷区八下期末试题）已知，矩形，，对角线交于点，点在射线上，，作，与交于点，与交于点． （1）如图1 ①依题意补全图形，求证：； ②连接，求证：． （2）当在延长线上时，依题意补全图2，并用等式表示线段与的数量关系，并证明． 14、（2024北京丰台区八下期末试题）如图，E是正方形边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点A作的垂线交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，取中点P，连接并延长，交于点H，依题意补全图形，直接写出的大小，并证明． 15、（2024北京东城区八下期末试题）如图,正方形ABCD中，点M在BC延长线上，点P是BM的中点，连接AP，在射线BC上方作PQ⊥AP，且PQ=AP.连接MD，MQ. （1） 补全图形; （2） 用等式表示MD与MQ的数量关系并证明； （3） 连接CQ，若正方形边长为5，,直接写出线段CM的长. (备用图) 16、（2024北京通州区八下期末试题）如图，在正方形中，E是边延长线上一点，连接，过点D作且，连接交边于点G． （1）求证：； （2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 17、如图， 菱形对角线和相交于点O， E是的中点， 点F， G在线段上， ， （1）求证： 四边形是矩形； （2）若 求和 的长． 参考答案 1、【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】（1）证明：∵正方形， ∴， 如图1，作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下； ∵正方形，， ∴四边形是矩形， ∴， 如图2，将绕着点逆时针旋转到，连接交于， 由旋转可知，，，，，， ∴，， ∴三点共线， 设，则，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2、【答案】（1）见解析 （2） （3），理由见解析． 【解析】（1）解：如图所示， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 过点作，交的延长线于点，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴△CBH≌△CDF（） ∴，， ∴， ∴． 3、【答案】（1）补全图形见解析，①；②，证明见解析 （2） 【解析】（1）解：补全图形如下： ①∵点P与点B关于直线对称 ∴垂直平分，，且， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴ ②过点A作于点G，如下图：则 ∵， ∴， ∵， 由①可知，，， ∴ ∴， ∴ 在中，， ∴， 即． （2）由对称性得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则, ∴E为的中点， ∵， ∴， 过点A作，且， 则四边形为平行四边形， ∴，， ∴的最小值就等于， ∴当点G，M，E三点共线时，取最小值， ∵， ∴， 过点G作交于点Q，作交延长线于点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则的最小值为． 4、【答案】（1）①见解析；②见解析；③，理由见解析； （2），理由见解析． 【解析】 （1）解：①如图即为所求， ②证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴△ADF≌△CDE（ASA）； ③，理由如下： 在上取一点，使得，连接， ∵△ADF≌△CDE（ASA）， ∴； ∵，点是的中点， ∴是△EFM的中位线， ∴， 由②得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 在延长线上取一点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴△ADF≌△CDE（ASA）， ∴， ∵点是的中点， ∴是△EFM的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5、【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】（1）证明：， ，， 又为中点， ， △DCO≌△BAO（AAS）， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形；． （2）解：，为中点， ， ，， ， ， 菱形中，，， 又， ，， 四边形是平行四边形， ． 6、【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 （1）证明：∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵ 在△ABC中，，点D是的中点， ∴ ． ∴ 四边形是菱形． （2）解：过点F作交的延长线于点G． ∴． ∵四边形是菱形，， ∴． ∴． ∴． 在△CFG中，， ∴ ． ∴ ． ∵． ∴． 在△BFG中，， ∴． 7、【解析】解：（1）① 依题意补全图形. ②证明：∵ AB=BD， ∴ ∠BAD=∠BDA. ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥DC，AB=DC. ∴ ∠BAD+∠ADC=180°. ∵ ∠BDA+∠ADE=180°， ∴ ∠ADE=∠ADC. ∵ DE=BD， ∴ DE=DC. 在△ADE和△ADC中， ∴ △ADE≌△ADC（SAS）. ∴ AE=AC. （2）线段AE，BE和AB的数量关系为AE+BE=2AB. 证明：延长BD至点F，使得DF=BD，连接AF. 由（1）②可得△ADF≌△ADC. ∴ ∠F=∠ACD. ∵ ∠AEB=2∠ACD， ∴ ∠AEB=2∠F. ∵ ∠AEB=∠EAF+∠F， ∴ ∠EAF =∠F. ∴ EF＝AE. ∴ AE+BE=EF+BE=BF=2BD=2AB. 8、【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）如图，过作， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴S菱形ADFE=DF·AG=4×2=8． ∴四边形的面积为． 9、【答案】（1）见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 （1）依题意补全图形，如图． （2）解：四边形是正方形， ，． 点B，F是关于直线对称， ，，． ． ． ， ． ， ． ，即． （3）． 证明：过点C作交延长线于点H． ． ， ． ． ， ． ． ． ． 在中，． ． 10、【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵CF＝AE， ∴BE＝DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠DFA＝∠FAB． 在Rt△BCF中，由勾股定理，得， ∴AD＝BC＝DF＝5， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴∠DAF＝∠FAB， 即AF平分∠DAB． 11、【答案】（1）证明见解析； （2）6 【解析】 (1)证明∵AB//DC， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵AB//DC， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． (2)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，为的中点 ∴． ∴． 12、【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 （1）解：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ∴△ADE≌△ABF（ASA）， ， ∴△AEF是等腰直角三角形 ； （2）． 理由：如图，取的中点，连接，， ∵△AEF是等腰直角三角形，， 是的中点， ， 同理，在Rt△EFC中，， ， ，， ∴△ADG≌△CDG（SSS）， ， ∴∠ADG+∠CDG=90°， ； ∵， 为△FEC的中位线， ，， ， 在Rt△DGM中，， ∴△DMG为等腰三角形， ， ， ， ， ， ． 13、【答案】（1）①作图见解析，证明见解析；②证明见解析 （2）补全图形见解析，，证明见解析 【解析】 （1）解：①补全图形如下： 证明：∵， ∴． ∵矩形 ∴． ∴； ②如图：连接， ∵矩形 ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵O为中点 ∴． （2）解：当在延长线上时，根据题意补全图形如下： 数量关系，证明如下： 证明：如图：过点D作交的延长线于点N， ∵矩形， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14、【答案】（1）见详解 （2），证明见详解 【解析】（1）证明： 四边形是正方形， ，， ， ， ， ∴△ABE≌△ADF（ASA）． ； （2）解：，证明如下： ∵四边形是正方形， ，， ∴ ∵点P是中点 ∴ 如图：射线交于一点W， ∵ ∴△APB≌△WPF ∴ ∵△ABE≌△ADF（ASA） ∴ ∴ 即 ∵ ∴△ADW≌△DCE ∴ ∵ ∴ 15、【解析】（1）补全图形 (2) 猜想：MD=MQ 证明：连接DQ,AQ,延长QP到点E，使得PE=PQ，连接AE、BE ∵P为BM中点， ∴PB=PM. 又∵∠1=∠2 , PE=PQ, ∴△PBE≌△PMQ. ∴BE=MQ ∠BEP=∠3. ∵PQ⊥AP，且PQ=AP, ∴∠PQA=∠PAQ=45°. ∵PQ⊥AP , PE=PQ, ∴AP是QE的垂直平分线. ∴AE=AQ. ∴∠AEQ=∠PQA=45°. ∴∠EAQ=90°. ∵四边形ABCD是正方形. ∴AB=AD. ∠BAD=90°. ∴∠BAD-∠EAD=∠EAQ-∠EAD 即∠BAE=∠DAQ. ∴△ABE≌△ADQ ∴BE=DQ. ∠AEB=∠AQD. ∴DQ=MQ . 设∠AEB=∠AQD =,则∠DQP=45°-,∠BEP=45°+ ∵∠3=∠BEP, ∴∠3=45°+. ∴∠DQM=∠DQP+∠3=90°. ∵在Rt△QDM中 MD2=DQ2+MQ2=2MQ2 ∴MD= MQ (3)CQ=7 16、【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】（1）证明：∵正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下； ∵正方形， ∴，，， 如图，作的延长线于， ∵，，， ∴△ECD≌△DMF（AAS）， ∴，， ∵，，， ∴△FGM≌△AGD（AAS）， ∴， ∴． 17、【答案】（1）见解析 （2）5，2 【解析】 （1）证明：∵菱形对角线和相交于点O， ∴． ∵E是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解∶∵四边形是菱形 ， ∴． 在 Rt△AOD中 ，E为中点， ∵， ∴在Rt△AFE中 ， ， ∵四边形 是矩形， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$