精品解析：河南省洛阳市伊川县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期期中质量调研检测九年级 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断． 【详解】A、，与不是同类二次根式，故此选项错误； B、，与不是同类二次根式，故此选项错误； C、与不是同类二次根式，故此选项错误； D、，，与3是同类二次根式，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必须化成最简二次根式． 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解． 【详解】解： 移项得， 两边同时加上，即 ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 3. 下列运算正确的是( ) A. ＝﹣2 B. (2)2＝6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可． 【详解】A：＝2，故本选项错误； B：(2)2＝12，故本选项错误； C：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质及二次根式的相关运算法则，熟练掌握是解题的关键. 4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、， 根据题意得， ∵， ∴， 又∵， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 6. 如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴，，故正确； ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故错误； 故选：． 7. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案. 【详解】解：如图所示， 由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， . 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，. . . 故选：B. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质. 8. 如图，某校劳动实践课程试验园地是长为，宽为的矩形，为方便活动，需要在园地中间开辟一横两纵共三条等宽的小道．如果园地余下的面积为，则小道的宽为多少？设小道的宽为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由小道的宽为米，可得出种植部分可合成长为米，宽为米的矩形，根据种植面积为306平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵小道的宽为米， ∴种植部分可合成长为米，宽为米的矩形． 依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解． 【详解】解：由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，， ∴位似中心的坐标为， 故选：A． 【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键． 10. 如图，在中，，，，为的中点．若点在边上，与相似，则的长为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 分两种情况分别画出图形，利用数形结合的方法解题即可． 【详解】解：，，， ， ①当点为的中点时，如图， ∵点为的中点， ， 与相似， ， ， ， ， ②当时， 当与相似， 则， ， 综上所述，的长为或， 故选：D 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键； 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解． 【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且， 解得：， 故答案为： 12. 请写出一个正整数m的值使得是整数；_____________． 【答案】8 【解析】 【分析】要使是整数，则要是完全平方数，据此求解即可 【详解】解：∵是整数， ∴要是完全平方数， ∴正整数m的值可以为8，即，即， 故答案为：8（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到要是完全平方数是解题的关键． 13. 如图，在中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质和线段中点定义可得，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 点为的中点， ， ， ， ， 即， ， 故答案为：1． 14. 若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0， ∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根， ∴a+b=4，ab=3， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 15. 我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为1，则该矩形的周长为 __________________． 【答案】或4 【解析】 【分析】分两种情况：①边为矩形的长时，则矩形的宽为，求出矩形的周长即可； ②边为矩形的宽时，则矩形的长为，求出矩形的周长即可． 【详解】解：分两种情况： ①边为矩形的长时，则矩形的宽为， 矩形的周长为：； ②边为矩形的宽时，则矩形的长为：， 矩形的周长为； 综上所述，该矩形的周长为或4， 故答案为：或4． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 三．解答题（本大题共8个小题，75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）５ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，解题的关键在于熟练掌握二次根式性质，合并同类二次根式，平方差公式． （1）先利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可． （2）先利用平方差公式展开，二次根式性质化简二次根式，再合并． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 17. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 设一元二次方程．在下面的三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． A．，； B．，； C．，． 【答案】选B ， 【解析】 【分析】由方程有两个不相等的实数根，则，分别验证三组数值，确定满足条件的b，c的值后，解方程即可完成解答． 此题考查了一元二次方程根的判别式和公式法解一元二次方程，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程根的判别式． 【详解】解：这个方程有两个不相等的实数根， ，即， 当，，，故A不满足题意， 当，，，故B满足题意， 则这个方程为， ， ， ∴； 当，，，故C不满足题意． 19. 在中，，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵是斜边上的高． ∴，， ∴， ∴； 又∵， ∴， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）由勾股定理求出的长，根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 本题考查了，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定与性质． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∵， ∴， ∴，解得：． 20. 国土资源部提出“保经济增长、保耕地红线”行动，坚持实行最严格的耕地保护制度，某村响应国家号召，年有耕地亩，经过改造后，年有耕地亩． （1）求该村耕地两年平均增长率； （2）按照(1)中平均增长率，求年该村耕地拥有量． 【答案】（1）该村耕地两年平均增长率为10% （2）2022年该村拥有耕地9583.2亩 【解析】 【分析】（1）设该村耕地两年平均增长率为x,根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）2021年该村耕地拥有量=2019年该村耕地拥有量×（1+年平均增长率），即可求出结论． 【小问1详解】 解：设该村耕地两年平均增长率为x, 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该村耕地两年平均增长率为10%． 【小问2详解】 （亩）． 答：2022年该村拥有耕地9583.2亩． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 22. 如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且， （1）求证： （2）若，求证： 【答案】（1） 证明：， ， 在和中，， ， ． （2） 证明：， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 23. 如图，矩形中，、分别在、上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为，交于． （1）求证：． （2）若为中点，且，，求长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）根据矩形的性质得，得，由折叠得出，得，得，即得； （2）根据矩形的性质以及线段中点，得出，根据代入数值得，，再结合，得，代入数值，得，所以． 【小问1详解】 ∵矩形中，， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵为中点，且，， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴，解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中质量调研检测九年级 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是( ) A. ＝﹣2 B. (2)2＝6 C. D. 4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 6. 如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某校劳动实践课程试验园地是长为，宽为的矩形，为方便活动，需要在园地中间开辟一横两纵共三条等宽的小道．如果园地余下的面积为，则小道的宽为多少？设小道的宽为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，为的中点．若点在边上，与相似，则的长为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为_____． 12. 请写出一个正整数m的值使得是整数；_____________． 13. 如图，在中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为_____． 14. 若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____． 15. 我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为1，则该矩形的周长为 __________________． 三．解答题（本大题共8个小题，75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值： ，其中． 18. 设一元二次方程．在下面的三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． A．，； B．，； C．，． 19. 在中，，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，，求的长． 20. 国土资源部提出“保经济增长、保耕地红线”行动，坚持实行最严格的耕地保护制度，某村响应国家号召，年有耕地亩，经过改造后，年有耕地亩． （1）求该村耕地两年平均增长率； （2）按照(1)中平均增长率，求年该村耕地拥有量． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 22. 如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且， （1）求证： （2）若，求证： 23. 如图，矩形中，、分别在、上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为，交于． （1）求证：． （2）若为中点，且，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $