精品解析：山东省济南市历城区2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期期中质量检测 八年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 9的平方根是（    ） A. 9 B. C. D. 2. 三角形中，点和点的位置如图所示，点的位置正确的是（ ） A B. C. D. 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，都在直线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，的对边分别记为a，b，c，其中不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为人，物价为钱，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 8. 若点在第二象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点．连接，作关于直线的对称图形，得到交轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的正半轴上，D在直线上，且，．若点P为线段上的一个动点，且点关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分．） 11. 在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则____________ 12. 已知，则____________． 13. 如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为_____． 14. 学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的图①的大正方形的面积是20，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形，则的长为____________． 15. 规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“”作2次变换，表示点M先向右平移一个单位得到，再将关于x轴作轴对称从而得到．若点经过“”共2024次变换后得到点，则点的坐标为____________ 三、解答题（本大题共9个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算 （1） （2）； （3）； （4）． 17. 解方程组： （1）； （2）． 18. 如图所示，已知，，以点圆心，为半径画弧交左侧数轴于点A． （1）写出数轴上点A所表示的数为______； （2）比较大小：点A所表示的数____________（填写“”或“”）； （3）在数轴上找出对应的点，（保留作图痕迹） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并写出点关于轴的对称点的坐标：____________； （2）点为轴上一动点，且使得周长最小，直接写出点的坐标：____________ （3）点在轴上，若，请直接写出点的坐标：____________． 20. 十一黄金周期间，为了给顾客更好的购物体验，某超市便利店在店门口离地面一定高度的墙上D处，设置了一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口及以内时，门铃就会自动发出“欢迎光临”的语音．如图，一个身高的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃到地面的距离与到该生头顶的距离相等． （1）请计算迎宾门铃到地面的距离等于多少米？ （2）若该生继续向前走，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 21. 甲、乙两个乐团决定向某服装厂购买演出服，已知甲乐团购买的演出服每套70元，乙乐团购买的演出服每套80元，两个乐团共75人，购买演出服的总价钱为5600元． （1）甲、乙两个乐团各有多少人？ （2）现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人，去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”，甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责6位小朋友，这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． 22. 共享电动车是一种新理念下交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： （1）分别求，关于x的函数解析式； （2）如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择____________品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） （3）当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？ 23. 阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 24. 在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，．直线交轴于点． （1）求直线的解析式； （2）如图，直线与直线交于点，点为坐标轴上一点，当是以为底边的等腰三角形时，求的长； （3）如图2，点是点下方轴上的一点，且满足，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中质量检测 八年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 9的平方根是（    ） A. 9 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了平方根，根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数． 【详解】解：∵， ∴ 9的平方根是． 故选：B． 2. 三角形中，点和点的位置如图所示，点的位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有序数对表示位置，根据点和点的位置得出的位置为，即可求解． 【详解】解：，在同一条竖直的直线上， ，的横坐标相同，即的横坐标为， ，在同一条水平的直线上， ，的纵坐标相同，即的纵坐标为， 的位置为， 故选：A 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质及二次根式的加减运算法则，掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则，是解题的关键．根据二次根式的性质和二次根式的运算法则对各选项进行分析求解即可得解． 【详解】解：A、与不能合并，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、与不能合并，故本选项错误； D、，故本选项正确； 故选：D． 4. 已知点，都在直线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据即可得出结论. 【详解】解：一次函数中，，y随x的增大而减小， ∵， ∴ 故选：B． 5. 在中，的对边分别记为a，b，c，其中不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据勾股定理及其逆定理可判断A、D选项，根据三角形内角和可判断B、C选项，从而解题． 【详解】解：， ， 故A能判定为直角三角形，不符合题意； ∵，，则，， ， ，则， 故B能判定为直角三角形，不符合题意； ，， ∴最大的角：， 故C不能判定为直角三角形，符合题意； ∵，设，，， ∴，， ， 故D能，不符合题意． 故选：C． 6. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为人，物价为钱，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设人数为ｘ人，物价为ｙ钱，抓住等量关系每人出八钱8x剩三钱；每人出七钱7x少4钱，列方程组即可． 【详解】解：由题设人数为ｘ人，物价为ｙ钱， 由每人出八钱，会多三钱；总钱数y=8x-3, 每人出七钱，又差四钱；总钱数y=7x+4， ∴联立方程组为． 故选：A． 【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤，抓住等量关系：每人出八钱8x剩三钱；每人出七钱7x少4钱列方程组是解题关键． 7. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题要明确：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题根据两直线的交点与二元一次方程组的解知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：关于x，y的方程组的解， 即为一次函数的图象与的图象的交点坐标， 将代入得：， ∴， 故关于x，y的方程组的解是． 故选：A． 8. 若点在第二象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：，，的图象在一、二、三象限，，，的图象在一、三、四象限，，，的图象在一、二、四象限，，，的图象在二、三、四象限．先根据在第二象限判断出，，再判断一次函数图象即可. 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴一次函数的图像过第一，第三，第四象限， 故选：C 9. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点．连接，作关于直线的对称图形，得到交轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化-对称，平行线的判定，勾股定理，过点作轴于点，根据题意得，得到，得出，根据勾股定理求出的值，即可得到点的坐标. 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由题可知， 点的坐标为，轴， ，，， ， ， ， ， 在中， ， ∴， 点的坐标为， 故选：B. 10. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的正半轴上，D在直线上，且，．若点P为线段上的一个动点，且点关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，，进而求出，再由可知点D在线段的垂直平分线上，即在直线上，则，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，根据关于x轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数求出点Q的坐标，再根据点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间，由此建立不等式求解即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴，， ∵C在y轴的正半轴上，， ∴， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上，即在直线上， 在中，当时，， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 同理可得直线的解析式为； ∵点P为线段上的一个动点，且其横坐标为m， ∴， ∵P、Q关于x轴对称， ∴， ∵点Q总在内（不包括边界）， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化—轴对称，正确理解题意得到点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分．） 11. 在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则____________ 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．根据y轴上点的横坐标为0列式计算即可得解． 【详解】解：点在y轴上， ， 解得：． 故答案为：4． 12. 已知，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了利用二元一次方程组求代数式的值，两个方程相加可得，从而可得答案．解题的关键是整体加减，使计算简便． 【详解】解： 由得：，即：， ∴， 故答案为：1． 13. 如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 14. 学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的图①的大正方形的面积是20，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形，则的长为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，设直角三角形的较长直角边长度为，较短直角边长度为，则中间的小正方形长度为，根据图形得，再根据两图形的面积相等即可求出的值，根据即可求解，注意利用图形之间的关系进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图，设直角三角形的较长直角边长度为，较短直角边长度为，则中间的小正方形长度为， 由图2可得，小正方形的边长为， ，即， 围成的矩形长为：， 围成的矩形面积为：， 矩形的面积与大正方形的面积相等， ， 解得 或（舍去）， ， 故答案为：10． 15. 规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“”作2次变换，表示点M先向右平移一个单位得到，再将关于x轴作轴对称从而得到．若点经过“”共2024次变换后得到点，则点的坐标为____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标的变化规律，平移以及轴对称变化，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据平移以及轴对称的性质解决问题即可． 【详解】解：点按序列“01”作变换，表示点A先向右平移一个单位得到，再将关于x轴对称得到，再将作3次变换，可得，，，，, 综上可得，点的横坐标为，纵坐标以四次一个循环， ∴的横坐标为，纵坐标为，为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算 （1） （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，熟练掌握二次根式性质和二次根式混合运算法则，准确计算． （1）利用二次根式性质进行化简，然后再利用二次根式加减混合运算法则进行计算即可； （2）利用二次根式混合运算法则进行计算即可； （3）利用立方根定义，二次根式性质进行化简，然后再利用二次根式加减混合运算法则进行计算即可； （4）利用平方差公式，完全平方公式，根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法解方程组是解此题的关键，注意：解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法． （1）运用加减消元法解出的值，再代入解出的值，即可作答； （2）先去分母，再运用代入消元法解出的值，即可作答． 【小问1详解】 解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组解为； 【小问2详解】 解：， 整理①得，即， 所以整理②得， 把代入， 得， 解得， 把代入， 解得， 所以方程组的解为． 18. 如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点A． （1）写出数轴上点A所表示的数为______； （2）比较大小：点A所表示的数____________（填写“”或“”）； （3）在数轴上找出对应的点，（保留作图痕迹） 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，实数大小比较，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出，然后得出点A表示的数即可； （2）先求出，，根据，得出即可； （3）过点D作，在上截取，连接，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点G，则点G即为所求作的点． 【小问1详解】 解：在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴点A所表示的数为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， 又∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，点G表示的数为． ∵，，， ∴， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并写出点关于轴的对称点的坐标：____________； （2）点为轴上一动点，且使得周长最小，直接写出点的坐标：____________ （3）点在轴上，若，请直接写出点的坐标：____________． 【答案】（1）作图见解析，； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称变换，平面直角坐标系中的点，两点间距离公式； （1）作出点、、三个顶点的对称点、、，然后顺次连接，最后根据平面直角坐标系写出点关于轴的对称点的坐标即可； （2）连接，先求出的解析式，从而求出点； （3）设，由，，，得，求解即可．解题的关键是作出三角形三个顶点对应点、、． 【小问1详解】 解：如图，作出点、、三个顶点的对称点、、，顺次连接，则即为所求； 点关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：连接交y轴于点P，则点即为所求． ∵点关于轴的对称点， ∴， ∴， ∴当、、在同一直线上时，最小， ∴此时最小， ∴此时的周长最小， 设直线为：，把，代入得 解得 ∴直线为：， 令当得， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 解：设， ，，， ∴ ∴， ∴点的坐标或， 故答案为：或． 20. 十一黄金周期间，为了给顾客更好的购物体验，某超市便利店在店门口离地面一定高度的墙上D处，设置了一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口及以内时，门铃就会自动发出“欢迎光临”的语音．如图，一个身高的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃到地面的距离与到该生头顶的距离相等． （1）请计算迎宾门铃到地面的距离等于多少米？ （2）若该生继续向前走，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，则，，设迎宾门铃距离地面，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）为该生向前走后的位置，则，，由（1）可知，，然后在中，由勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，，，， 过点作于点，如图1， 则，， 设迎宾门铃距离地面，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：． 答：迎宾门铃到地面的距离等于； 【小问2详解】 解：为该生向前走后的位置，如图2， 则， ， 由（1）可知，， 在中，由勾股定理得， 答：此时迎宾门铃距离该生头顶． 21. 甲、乙两个乐团决定向某服装厂购买演出服，已知甲乐团购买的演出服每套70元，乙乐团购买的演出服每套80元，两个乐团共75人，购买演出服的总价钱为5600元． （1）甲、乙两个乐团各有多少人？ （2）现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人，去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”，甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责6位小朋友，这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． 【答案】（1）甲乐团有40人，乙乐团有35人 （2）共有两种方案：从甲乐团抽调7人，从乙乐团抽调5人；或者从甲乐团抽调1人，从乙乐团抽调10人 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，读懂题意，根据题意列出方程组是解本题的关键． （1）设甲乐团有人，乙乐团有人，然后根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）根据题意可得，然后求得正整数解即可． 【小问1详解】 解：设甲乐团有人，乙乐团有人， 根据题意，得， 解得， 答：甲乐团有40人，乙乐团有35人； 【小问2详解】 由题意，得， 变形得， 因为，，且，均为整数， 所以或， 所以共有两种方案：从甲乐团抽调7人，从乙乐团抽调5人；或者从甲乐团抽调1人，从乙乐团抽调10人． 22. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： （1）分别求，关于x的函数解析式； （2）如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择____________品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） （3）当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？ 【答案】（1）， （2）A （3）5或40 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式、解一元一次方程，利用待定系数法正确求出函数解析式，并学会利用分类讨论思想解决问题． （1）用待定系数法即可求解； （2）①先分段求出关于的函数解析式，再根据“时间路程速度”求出小明从家骑行到工厂所需时间，再分别求出选择A和B品牌共享电动车所需费用，比较即可求解； ②分两种情况讨论：当时，；当时，或．以此列出方程，求解即可． 小问1详解】 解：由图象可得，， 设， 将点代入得，， 解得：， ， 关于的函数解析式为； 设当时，， 将点，代入得，， 解得， 当时，， ； 【小问2详解】 由图象可知，当时，， 小明从家骑行到工厂所需时间为， A品牌所需费用为元， B品牌所需费用为元， ， 选择A品牌共享电动车更省钱； 故答案为：A； 【小问3详解】 当时，，， ， 解得：， 当时，或， 或， 解得：（舍去）或， 综上，当的值为5或40时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 23. 【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）6；（2）450元． 【解析】 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 24. 在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，．直线交轴于点． （1）求直线的解析式； （2）如图，直线与直线交于点，点为坐标轴上一点，当是以为底边的等腰三角形时，求的长； （3）如图2，点是点下方轴上的一点，且满足，求点坐标． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可得解； （2）求出点的坐标是，进而分在轴上和在轴上两种情况讨论，根据题意可得，据此利用勾股定理建立方程求解即可； （3）当点在点的下方，由得到，过点作交直线于点，过点作于点，过点作于点，证明，进一步求出，求出直线的解析式为，从而即可求解． 【小问1详解】 解；在中，令时，，解得 ∴ 设直线：， 把代入得， ， 解得， ∴直线的解折式为：； 【小问2详解】 解：联立，解得 ∴点的坐标是， 当在轴上时，设点的坐标为，则， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 当在轴上时，设点的坐标为，则， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，长为或； 【小问3详解】 解：当点在点的下方， 在中，当时， ∴ ∵ ∴轴， ∴， ， ； 如图所示，过点作交直线于点，过点作于点，过点作于点， 为等腰直角三角形， ， ，， ， 又， ， ，， ∴， ， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $