精品解析：湖北省宜昌市协作体2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

湖北省宜昌市协作体2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题 考生注意: 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数，三角函数，平面向量，复数，解三角形，数列. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知x，y为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步．假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了（ ） （参考数据：，） A. 60天 B. 65天 C. 70天 D. 75天 7. 已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 8. 在平行四边形ABCD中，，点为平行四边形ABCD所在平面内一点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a，b,m都是负数，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象的一条对称轴方程为 C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数在区间上单调递增 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. C. 函数的图象关于点对称 D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，已知，为线段的中点，若，则______． 13. 已知函数在上有且仅有3个零点，则的最小值为_________. 14. 设函数，正实数满足，则的最小值为______. 四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，且． （1）求； （2）求与的夹角． 16. 已知 （1）求的值； （2）若，求的值. 17. 已知函数是定义域为的偶函数. （1）求a的值； （2）若，求函数的最小值. 18. 已知中，角，，所对的边分别为，，，其中，． （1）若，求的面积； （2）若是锐角三角形，为的中点，求长的取值范围． 19. 设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列． （1）若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由； （2）证明：若的通项公式为，则不是数列； （3）设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省宜昌市协作体2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题 考生注意: 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数，三角函数，平面向量，复数，解三角形，数列. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的定义判断． 【详解】存在量词命题改写为否定形式的格式为存在量词改为全称量词，结论改为原结论的反面， 故原命题的否定为. 故选：B. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可得出，利用复数的除法化简复数，利用复数的加法以及复数的模长公式可求得结果. 【详解】由，得，所以， 所以. 故选：D. 4. 已知x，y为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分充分性、必要性两方面说明即可求解. 【详解】当时，x，y同号，所以，所以“”是“”的充分条件； 若时，，此时，所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知利用等差数列的通项公式和前项和公式求基本量，然后求出，再结合等差数列前项和公式和等差数列的性质求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，则， 解得，所以， 所以. 故选：A. 6. 荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步．假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了（ ） （参考数据：，） A. 60天 B. 65天 C. 70天 D. 75天 【答案】C 【解析】 【分析】设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为a，根据题意结合增长率列出相应方程，利用对数近似计算，即得答案. 【详解】设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为a， 设当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了x天， 由题意得，即， 由于，故， 则（天）， 故选：C 7. 已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的关系，利用相减法结合等比数列的定义求解数列的通项公式，从而将不等式转化为，利用数列的单调性求最值即可得实数的范围，从而得最小值. 【详解】由，令，解得， 当时，由得，即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 由，即恒成立，令，则， 而，所以，即数列单调递减，故， 所以，所以的最小值为. 故选：D. 8. 在平行四边形ABCD中，，点为平行四边形ABCD所在平面内一点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，由向量数量积的坐标表示确定满足的关系式，并用三角换元法，设，计算，结合两角和的正弦公式及正弦函数性质得范围． 【详解】以为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 设，则，，所以， 所以，记， 所以， 所以，其中，， 又，所以，即的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a，b,m都是负数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意利用作差法逐项判断即可. 【详解】因为a，b都是负数，且，所以. 对于A：，则，故A错误； 对于B：，则，故B正确； 对于C：，则，故C错误； 对于D：，则，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象的一条对称轴方程为 C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为，再根据三角函数的性质即可求得. 【详解】 ， 函数的最小正周期为，故A正确； 由，得，不可能取到，故B错误； 由的图象向左平移个单位长度， 得，故C正确； 因为，而函数在上不单调， 故在区间上不单调，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. C. 函数的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据函数的奇偶定义可判定A；对B，利用抽象函数的奇偶性，复合函数求导可判定B；对C，利用抽象函数的对称性可判定C；对D，利用利用抽象函数的递推公式可求得关系式，再求和可判定D. 【详解】对A，因为，所以， 所以函数是偶函数，故A错误； 对B，因为为偶函数，所以，即， 所以，即，令，得， 所以，故B正确； 对C，因为，所以， 即，又，所以， 所以，所以，即， 所以函数的图象关于点对称，故C正确； 对D，因为，令，得， 所以，又，所以， ，…，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，已知，为线段的中点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由向量的线性运算公式可得，由平面向量基本定理可得、的值，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，在中，已知，则， 由于为线段的中点， 则， 又，、不共线，故，， 所以． 故答案为：． 13. 已知函数在上有且仅有3个零点，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由，得，结合与的图象即可求. 【详解】由，得， 因为在区间上有且仅有3个零点， 即在区间上有且仅有3个解. 结合与的图象，知， 解得，即的最小值为. 14. 设函数，正实数满足，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先推导出，再说明的单调性，即可得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 又在定义域上单调递增，且值域为， 在上单调递增，所以在定义域上单调递增， 因为正实数满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，且． （1）求； （2）求与的夹角． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算求得，即可求得； （2）根据向量夹角的坐标公式计算即可求得. 【小问1详解】 因为向量，所以， 由得，解得，所以. 又，所以. 【小问2详解】 设向量与向量的夹角为， 因为，则， 又，所以， 即向量与向量的夹角是. 16. 已知 （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数基本关系式求出，再根据两角差的余弦公式即可得结果， （2）由（1）及同角三角函数基本关系式可求出，，再根据根据两角和与差的余弦公式即可得结果. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以, 所以, 故的值为. 【小问2详解】 由（1），得， 又，所以，又，所以， 所以， . 所以， 故的值为. 17. 已知函数是定义域为的偶函数. （1）求a的值； （2）若，求函数的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义转化为等式恒成立问题，由系数为求值即可； （2）由换元法，把函数转化为二次函数，然后分类讨论确定函数的最小值，从而求得参数值． 【小问1详解】 则， 因为是定义域为的偶函数， 则， 即对任意恒成立，则； 【小问2详解】 由（1）知， 则 ， 令，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 则原函数化为：，， ①当即时， 在上单调递增， 则，即，； ②当，即时， 在单调递减，在单调递增， 则； 即， 综上所述，. 18. 已知中，角，，所对的边分别为，，，其中，． （1）若，求的面积； （2）若是锐角三角形，为的中点，求长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可得，再根据余弦定理可得，故可求三角形面积. （2）根据余弦定理可得，根据锐角三角形可得，故可求长的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得，故， 又，故， 因为，而为三角形内角，故， 所以. 【小问2详解】 在中，由； 在中，由； 而，所以， 故， 而是锐角三角形，故，即， 故， 故即. 19. 设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列． （1）若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由； （2）证明：若的通项公式为，则不是数列； （3）设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值． 【答案】（1）是T数列， 理由：由题知，即， 所以，， 当时，，所以是T数列． （2）证明：假设是数列，则对任意正整数，总是中的某一项， ， 所以对任意正整数，存在正整数满足：， 显然时，存在，满足， 取，得，所以， 可以验证：当，2，3，4时，都不成立， 故不是T数列. （3）或． 【解析】 【分析】（1）由题知，再根据T数列的定义，即可作出判断； （2）先假设是数列，从而有，再进行验证，即可证明结果； （3）根据题设得到，取对数后可得，分类讨论后可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 已知是等比数列，其首项，公比， 所以， 所以， 由题意知对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 即对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 即对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 若，则，任意，这不可能成立； 若， 故对任意，总存在使得该等式成立， 故必为整数， 取，则有正整数解，故， 若，则，此时方程对任意， 必有正整数解； 若，则， 此时方程对任意， 必有正整数解； 综上，或． 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $