2025年河北中考数学一轮复习提升训练- 第二章 方程（组）与不等式（组）培优集训 一元二次方程根的判别式的应用+大单元综合复习·任务情境创新练

2025年河北中考数学一轮复习提升训练- 第二章 方程（组）与不等式（组） 培优集训 一元二次方程根的判别式的应用-21- 学科网（北京）股份有限公司 类型一 已知方程，判断根的情况 1.［2024·石家庄桥西区模拟］关于x的一元二次方程x2-4x-2k=0，下列说法正确的为（ ） A． k＜2时，方程有两个不相等的实数根 B． k＜3时，方程有两个不相等的实数根 C． k＞-2时，方程有两个不相等的实数根 D． k＞-3时，方程有两个不相等的实数根 2.［2024·潍坊］已知关于x的一元二次方程x2-mx-n2+mn+1=0，其中m，n满足m-2n=3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ） A． 无实数根 B． 有两个相等的实数根 C． 有两个不相等的实数根 D． 无法确定 类型二 已知方程根的情况，判断未知字母的值 3.［2024·邯郸二模］在解关于x的一元二次方程x2-2x+k=0时，佳佳将k的值写成了-k，解得方程有两个相等的实数根，则原方程（ ） A． 没有实数根 B． 无法判断根的情况 C． 有两个相等的实数根 D． 有两个不相等的实数根 4. 新定义［2024·宿迁］规定：对于任意实数a，b，c，有【a，b】★c=ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1=2×1+3=5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. m＜ B. m＞ C. m＞且m≠0 D. m＜且m≠0 5. 关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m-1）x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根，求此时m的值． 类型三 根的判别式和根与系数的关系结合 6. 已知关于x的方程x2-（k+4）x+2k+4=0． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1- 2）（x2-2）的值． 7. 代数推理 已知关于x的一元二次方程x2-（m+ 6）x+3m+9=0的两个实数根分别为x1，x2． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若n=x1+x2-5，判断动点P（m，n）是否在某定直线上，如果是，请求出这条定直线的函数解析式；如果不是，请说明理由． 培优集训 一元二次方程根的判别式的应用 1. C 2. C 3. D 4. D 提示：根据题意得x（mx）+x+1=0，整理得mx2+x+1=0，∵关于x的方程【x，x+1】★（mx）=0有两个不相等的实数根，∴Δ=12-4m·1＞0且m≠0，解得m＜且m≠0． 5. 解：（1）根据题意得Δ=（-3）2-4k≥0，解得k≤； （2）满足条件的k的最大整数为2，此时方程x2-3x+k=0变形为方程x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2，当相同的解为x=1时，把x=1代入方程（m-1）x2+x+m-3=0，得m-1+1+m-3=0，解得m=；当相同的解为x=2时，把x=2代入方程（m- 1）x2+x+m-3=0，得4（m-1）+2+m-3=0，解得m=1，而m-1≠0，不符合题意，舍去，所以m的值为． 6. 解：（1）证明：Δ=［-（k+4）］2-4（2k+4）=k2+8k+16 -8k-16=k2，∵k2≥0，∴Δ≥0，∴该方程总有两个实数根； （2）∵该方程的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2=k+4，x1·x2=2k+4，∴（x1-2）（x2-2）=x1·x2-2x1-2x2+4=x1· x2-2（x1+x2）+4=2k+4-2（k+4）+4=2k+4-2k-8+4=0． 7. 解：（1）∵Δ=［-（ｍ＋６）］2-4（3m+9）=m2+12m+36-12m-36=m2≥0，∴该一元二次方程总有两个实数根； （2）设关于x的一元二次方程x2-（m+6）x+3m+9=0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2=m+6，又∵n=x1+x2-5， ∴n=m+1，设P（m，n）在y=kx+b上，则n=km+b，将n=m+1代入，得m+1=km+b，∴k=1，b=1，∴P（m，n）在定直线y=x+1上． 大单元综合复习·任务情境创新练——大国重器·航天逐梦-24- （以参观航天展为背景情境） 学科网（北京）股份有限公司 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，顺利将三名航天员送入太空．受此影响，航天展览馆迎来大批人潮. 某校30名同学要去参观航天展览馆. 1. 已知展览馆分为A，B，C 三个场馆. 素材1：购买1张A场馆门票和2张B场馆门票共需130元，购买3张A场馆门票和1张B场馆门票共需190元．C场馆门票为每张15元． 素材2：由于场地原因，每位同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 任务1：确定场馆门票价格： （1）求A场馆和B场馆的门票价格； 任务2：探究经费的使用： （2）在出发前，某同学初步统计了大家的参观意向，其中有12位同学想参观A场馆，9位同学想参观C场馆，其余同学想参观B场馆，求在大家初步意向下所需花费的最少门票总额； 任务3：拟定购买方案： （3）到达展览馆后，实际参观三个场馆的人数均有变化，若最终参观C场馆的同学人数多于参观A场馆的同学人数，且最终购买三种门票共花费了750元，请你写出符合条件的所有购买方案． 参观完展览，大家对航天模型很感兴趣. 2. 某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280元． （1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； （2）该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型m个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过 3 490元，那么该销售店共有几种进货方案？ （3）该销售店计划将每个“神舟”模型的售价定为70元，每个“天宫”模型的售价定为55元，在（2）的条件下，全部售完后，哪种进货方案获得的利润最大？ 最大利润是多少元？ 大单元综合复习·任务情境创新练 ——大国重器·航天逐梦 1. 解：（1）设A场馆的门票价格为x元，B场馆的门票价格为y元， 根据题意，得解得. 答：A场馆的门票价格为50元，B场馆的门票价格为40元； （2）根据题意得50×12+40×（30-12-9）=960（元）， 答：在大家初步意向下所需花费的最少门票总额为960元； （3）设购买m张A场馆门票，n张B场馆门票，则购买（30-2m-n）张C场馆门票， 根据题意得50m+40n+15（30-2m-n）=750， 整理得m=15- ∵m，n均为正整数， ∴30-2m-n=6或30-2m-n=12， ∴共有2种购买方案： ①购买10张A场馆门票，4张B场馆门票，6张C场馆门票； ②购买5张A场馆门票，8张B场馆门票，12张C场馆门票． 2. 解：（1）设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元， 根据题意，得解得 答：每个“神舟”模型的进货价为50元，每个“天宫”模型的进货价为40元； （2）根据题意，得 ∵m取整数，∴m=27，28，29， ∴该销售店共有3种进货方案： ①购进“神舟”模型27个，购进“天宫”模型80-27=53（个）； ②购进“神舟”模型28个，购进“天宫”模型80-28=52（个）； ③购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型80-29=51（个）； （3）方案①的利润为（70-50）×27+（55-40）×53=1 335（元）； 方案②的利润为（70-50）×28+（55-40）×52=1 340（元）；方案③的利润为（70-50）×29+（55-40）×51=1 345（元）；∵1 335＜1 340＜1 345， ∴方案③的利润最大，为1 345元． 答：进货方案③：购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个时获得的利润最大，最大利润为1 345元． $$