精品解析：北京市第八中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度第-学期期中练习题 年级：高二 科目：数学 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知直线的斜率分别是，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 2. 二项式的展开式中项的系数为，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知圆C：过点，则圆C的圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（　　） A. =1 B. =1 C. =1 D. =1 5. 某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 7种 D. 9种 6. 已知椭圆的左焦点为，且椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积最大值为，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 7. “”是“直线与直线垂直”的 A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 9. 抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则＝ A. B. C. D. 10. 如图F1、F2是椭圆C1：与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　） A. B. C. D. 二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分． 11. 设圆x2+y2﹣4x﹣5＝0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是__ 12. 二项式的展开式的常数项是___________． 13. 设、为椭圆 的左、右焦点，经过的直线交椭圆于、两点，若的面积为的等边三角形，则椭圆的方程为______________. 14. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 15. 如图所示，在的长方形区域（含边界）中有两点，对于该区域中的点，若其到的距离不超过到距离的一半，则称处于的控制下，例如原点满足，即有点处于的控制下.同理可定义处于的控制下. 给出下列四个结论： ①点处于的控制下； ②若点不处于的控制下，则其必处于的控制下； ③若处于的控制下，则； ④图中所有处于的控制下的点构成的区域面积为. 其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 从位女生，位男生中选出人参加垃圾分类宣传活动. （1）共有多少种不同的选择方法？ （2）如果至少有位女生入选，共有多少种不同的选择方法？ 17. 已知椭圆的短轴的两个端点分别为，焦距为． （1）求椭圆的方程． （2）已知直线与椭圆有两个不同的交点M，N，设D为直线AN上一点，且直线BD，BM的斜率的积为－．证明：点D在x轴上． 18. 设，分别为椭圆：的左、右焦点，斜率为直线l经过右焦点，且与椭圆相交于，两点． （1）如果线段的中点在轴上，求直线的方程； （2）如果以为直径的圆过点，求直线的斜率． 19. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 20. 已知圆：. （1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程； （2）当圆与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）时.问：是否存在圆：，使得过点M的任一条直线与该圆的交点，，都有？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由. 21. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第-学期期中练习题 年级：高二 科目：数学 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知直线的斜率分别是，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率和倾斜角的关系直接判断即可. 【详解】由图象可知：，，； 设的倾斜角分别为，则，，即， . 故选：C. 2. 二项式的展开式中项的系数为，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】二项式的展开式的通项是， 因为的系数为，所以，即，解得或， 因为，所以. 3. 已知圆C：过点，则圆C的圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把已知点坐标代入圆方程，变更字母即可得． 【详解】圆C：过点，则， 所以圆心的轨迹方程是， 故选：D． 4. 已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（　　） A. =1 B. =1 C. =1 D. =1 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线的概念和性质，结合题意即可求解. 【详解】椭圆的焦点坐标为，则双曲线的焦点坐标为，可得c=3， 又双曲线C：=1的离心率为， 所以，即a=2， 所以b=， 故所求的双曲线方程为=1. 故选：B. 5. 某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 7种 D. 9种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】分3类，买1本书，买2本书，买3本书， 各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种). 故选：C 6. 已知椭圆的左焦点为，且椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积最大值为，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据题意得到，再根据椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积的最大值为，得到，再结合，即可求得，，即得椭圆方程. 【详解】解：椭圆C的右焦点为， ， 又椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积的最大值为， 即① 又， 即② 由①②解得：，， 故椭圆C的方程为． 故选：C. 7. “”是“直线与直线垂直”的 A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先由两直线垂直求出的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为直线与直线垂直， 则，即，解得或； 因此由“”能推出“直线与直线垂直”，反之不能推出， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件. 故选B 【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型. 8. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】取双曲线的右焦点，渐近线，由点到直线距离公式得，然后利用公式可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】取双曲线的右焦点，取双曲线的渐近线，即， 依题意得，即， 所以离心率. 故选：B 9. 抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则＝ A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可． 【详解】抛物线的焦点坐标为（，0），准线方程为：x， 准线方程与双曲线y2﹣x2＝1联立可得：y2﹣（）2＝1， 解得y＝±， 因为△ABF为等边三角形，所以 2|y|，即p2＝3y2， 即p2＝3（1），解得p＝2． 故选B． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力． 10. 如图F1、F2是椭圆C1：与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义，结合离心率求解的方法求解即可. 【详解】设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：上的点， ∴2a=4，b=1，c=； ∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AF1BF2为矩形， ∴，即x2+y2=（2c）2==12，② 由①②得：，解得x=2-，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c， 则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2=2， ∴双曲线C2的离心率 故选:D． 二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分． 11. 设圆x2+y2﹣4x﹣5＝0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是__ 【答案】x+y-4=0 【解析】 【分析】先把圆的方程变为标准形式，得到圆心O坐标和半径，根据垂径定理可知OP与AB垂直，求出OP的斜率，即可得AB的斜率，写出AB的方程即可． 【详解】解：由x2+y2﹣4x﹣5＝0得：（x﹣2）2+y2＝9，得到圆心O（2，0），所以求出直线OP的斜率为1，根据垂径定理可知OP⊥AB 所以直线AB的斜率为﹣1，过P（3，1），所以直线AB的方程为y﹣1＝﹣1（x﹣3）即x+y﹣4＝0 故答案为x+y﹣4＝0 【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，会根据两直线垂直得到斜率的乘积为﹣1，会写出直线的一般式方程． 12. 二项式的展开式的常数项是___________． 【答案】7 【解析】 【详解】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为, 令得，故所求的常数项为 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数. 13. 设、为椭圆 的左、右焦点，经过的直线交椭圆于、两点，若的面积为的等边三角形，则椭圆的方程为______________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据的面积为的等边三角形得，再根据过焦点的三角形的周长得，从而得点、关于轴对称，再根据几何关系即可求得答案. 【详解】设椭圆的焦距为 ，如下图所示： 由于的面积为的等边三角形，则， 得，即是边长为的等边三角形， 该三角形的周长为，可得， 由椭圆的对称性可知，点、关于轴对称，则且轴， 所以，，，， ，则，因此，椭圆的标准方程为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用焦点三角形的相关性质求解椭圆方程，是基础题. 14. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解. 【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点， 且，所以四边形为矩形， 设，则， 所以， ，即四边形面积等于. 故答案为：. 15. 如图所示，在的长方形区域（含边界）中有两点，对于该区域中的点，若其到的距离不超过到距离的一半，则称处于的控制下，例如原点满足，即有点处于的控制下.同理可定义处于的控制下. 给出下列四个结论： ①点处于的控制下； ②若点不处于的控制下，则其必处于的控制下； ③若处于的控制下，则； ④图中所有处于的控制下的点构成的区域面积为. 其中所有正确结论的序号是_________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据新定义，直接验证判断①，取特殊点判断②，根据定义求出点所在区域，判断③，结合图象求出面积判断④. 【详解】由图可知, 设，则，,满足，故①正确； 点不处于的控制下则，即，得不到， 例如取点，，，，即 点不处于的控制下，也不处于B的控制下，故②错误； 若处于的控制下，则，设， 则，化简整理得， 作出图象如图， 由图可知，当点在矩形且在圆及圆内部分满足处于的控制下,由图可知，当处于时，有最大值，故③正确； 由③知处于的控制下点构成的区域面积，可以看作是圆与矩形的面积之和，如图， 故面积为，故④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】关键点睛：本题作为一道创新型试题，关键在于理解所给新定义，对于①②可以利用具体点去直接判断结论正确与否，在这一特殊化的过程中进一步理解新定义，对于③需要根据新定义求出点满足的轨迹方程（边界），需要对求平面轨迹方程的方法熟练，关键在于求出点所在区域，利用数形结合思想判断③，对于④关键在于把区域分割为四分之一圆面与矩形，其中需要割补思想的应用. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 从位女生，位男生中选出人参加垃圾分类宣传活动. （1）共有多少种不同的选择方法？ （2）如果至少有位女生入选，共有多少种不同的选择方法？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据组合数公式，即可求出结果； （2）由题意可知，“没有女生入选”是“至少有位女生入选”的对立事件，由此即可求出结果 【小问1详解】 解：从位女生，位男生中选出人参加垃圾分类宣传活动， 选择方法数为. 【小问2详解】 解：没有女生入选的选择方法数为， 所以至少有位女生入选的选择方法数为. 17. 已知椭圆的短轴的两个端点分别为，焦距为． （1）求椭圆的方程． （2）已知直线与椭圆有两个不同的交点M，N，设D为直线AN上一点，且直线BD，BM的斜率的积为－．证明：点D在x轴上． 【答案】（1） （2） 设，则， 所以直线BM的斜率为， 直线AN的方程为， 因为直线BD，BM的斜率的积为， 所以直线BD的斜率为， 所以直线BD的方程为， 联立方程组，解得， 因为点M在椭圆C上，所以， 则，所以点D在x轴上． 【解析】 【分析】（1）由题意得到，结合，求得的值，即可得到椭圆的方程. （2）设，则，分别求得直线的直线方程，联立方程组，求得，根据点M在椭圆C上，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：由椭圆的短轴的两个端点分别为，焦距为， 可得，又由，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 18. 设，分别为椭圆：的左、右焦点，斜率为直线l经过右焦点，且与椭圆相交于，两点． （1）如果线段的中点在轴上，求直线的方程； （2）如果以为直径的圆过点，求直线的斜率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）直线方程代入椭圆方程化简后，由中点在轴得是该方程的解， 代入后可求得，从而得直线方程； （2）设，直线方程代入椭圆方程消元后应用韦达定理得， 然后代入可求得值． 【小问1详解】 由已知，因此， 直线的方程为， 由得， 的中点在轴上，则点横坐标为， ∴是方程的一个解， ∴，又，故解得， 所以直线的方程为，即； 【小问2详解】 设，由（1）得，， 以为直径的圆过，则， 所以 , 解得（负值舍去）． 19. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程； （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可； 【小问1详解】 解：依题意可得，，又， 所以，所以椭圆方程为； 【小问2详解】 由题意，过点斜率为k的直线为， 设、，不妨令， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 所以， 即 即 即 整理得，解得 20. 已知圆：. （1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程； （2）当圆与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）时.问：是否存在圆：，使得过点M的任一条直线与该圆的交点，，都有？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或 （2）存在圆：，使得. 【解析】 【分析】（1）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论即可； （2）联立直线与圆的方程，根据斜率关系结合韦达定理即可求解. 【小问1详解】 圆的标准方程为：， 当直线的斜率不存在时，直线的方程，与圆相切， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以，解得， 故所求直线的方程或. 【小问2详解】 令，得，即， 求得，或，所以，. 假设存在圆：，当直线与轴不垂直时，设直线方程， 联立得：， 设，，从而，. 因为、的斜率之和为， 因为，所以、的斜率互为相反数， 即，所以，即. 当直线与轴垂直时，仍然满足，即、的斜率互为相反数. 综上，存在圆：，使得. 21. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值． 【答案】（1） （2） 解法一：由题意可知，，设， 直线的方程为，直线的方程为， 联立方程组可得， 可得，所以， 则，故． 由可得，可得，所以， 则，故， 所以， 故直线的方程为， 即，， 故直线过定点，所以的周长为定值8． 当时，或，可知是椭圆的通径， 经过焦点，此时的周长为定值， 综上可得，的周长为定值8． 解法二：当直线斜率存在时，设其方程为：， 由． 设，则有， 直线，令，得， 直线，令，得，所以， 由， 所以， 即， 化简得或． 时直线过点（舍），所以， 即直线的方程为，过定点． 当直线的斜率不存在时，设其方程为：， 则有，代入， 直线也过定点， 综上所述，直线始终经过椭圆的右焦点，故的周长为定值． 解法三：当M位于椭圆的上顶点，则此时，直线与相交于点， 则直线的方程为， 联立椭圆方程可得：，则可知， 易知直线经过椭圆的右焦点，此时的周长为定值， 猜想，若的周长为定值，则直线经过椭圆的右焦点． 证明如下： 依题意直线的斜率不为0，设直线的方程为， 代入椭圆方程得：， 设，则． 直线，令，得， 直线，令，得， 因为， 所以直线的交点在直线上，即过直线上的点T所作的两条直线和分别与椭圆相交所得的两点M、N形成的直线始终经过椭圆的右焦点， 故的周长为定值． 【解析】 【分析】（1）、利用已知条件列出方程组，求解，从而得到椭圆得标准方程； （2）、设出直线、的方程，与椭圆方程联立，求出坐标，计算，求出直线的方程，分析出故直线经过定点，从而求出的周长为定值． 【小问1详解】 ，， 椭圆经过点，， ，， 椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $