湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

1 / 4 株洲市二中 2024 年下学期高一年级期中考试试卷 数学试题 命题人：陈诗如、吴孝 强审题人：吴萍 时量：120 分钟 分值：150 分 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合  2 0A x x x= − =∣ ， {0, 1, 2}B = − − ，则 A B =（） A.{0} B.{0,1} C.{0, 1, 2}− − D.{0,1, 1, 2}− − 2.“ 1x  ”是“ 2 0x x−  ”的（） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知 ( )f x 的定义域为 ( )1,3 则 1 f x       的定义域为（） A. 1 ,1 3       B. 1 ,1 3       C. 1 1 , 3 2       D. 1 ,1 2       4.已知 0.1 0.5 22 , 2 , 0.5a b c= = = ，则 a，b，c的大小关系为（） A.b c a  B.c a b  C. a b c  D. a c b  5.已知 , Ra b ，且3 2 0a b− − = ，则 1 27 3 a b + 的最小值为（） A.2 B.4 C.6 D.8 6.放射性核素锶 89 会按某个衰减率衰减，设初始质量为 0M ，质量M 与时间T（单位：天） 的函数关系式为 0 1 2 T H M M   =     （其中H 为常数），若锶 89 的半衰期（质量衰减一半所用 时间）约为 50 天，那么质量为 0M 的锶 89 经过 30 天衰减后质量约变为（）（参考数据： 0.62 1.516) A. 00.52M B. 00.66M C. 00.70M D. 00.87M 7.设函数 ( ) ( )  ( ) 2 2023 2 1 2,2 1 x x f x x x + + =  − + 的最大值为M ，最小值为m ，则M m+ =（） A.1 B.2 C.0 D.4 2 / 4 8.已知定义在R 上的函数 ( )f x 满足： x R，都有 ( ) ( )2024 2028f x f x− = − ，且 ( )f x 对任意 ( )1 2 1 2, [2, )x x x x +  ，都有 ( ) ( )2 1 2 1 0 f x f x x x −  − ，若 ( ) ( )3 1f a a + ，则实数a 的取值范围是（） A. 1 3 , 2 4   −    B. 2, 1− − C. 1 , 2   − −    D. 3 , 4   +    二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列四个结论中正确的是（） A. ,x y R ， 2 2 4 2 5 0x y x y+ − + + = B.命题“ x R， 23 2 1 0x x− −  ”的否定是“ 0x R ， 2 0 03 2 1 0x x− −  ” C.“ a b ”是“ 1a b + ”的充分不必要条件 D.“ 3 3x y ”的充要条件是“ x y ” 10.下列命题中正确的是（） A.任意非零实数 a，b，都有 2 b a a b +  B.若正数 x，y满足 2 1 3 x y + = ，则2x y+ 的最小值为 3 C.当0 10x  时， ( )10x x− 的最大值是 5 D.当 1x  时， 1 1 x x + − 的最小值是 2 11.已知函数 ( )f x 的定义域为 ( )1,1− ，且满足 ( ) ( ) 1 x y f x f y f xy  − − =   −  ，当 ( )1,0x − 时， ( ) 0f x  ，则（） A. ( )f x 是奇函数 B. ( )f x 是增函数 C. 1 1 2 3 4 3 f f f       +             D. 1 1 1 3 4 2 f f f       +             三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知幂函数 ( ) ( ) 21 2 2 23 a a f x a x + − = − 在 ( )0,+ 上单调递增，则a的值为_____. 13.已知函数 ( ) 2 2 , 0, , 0 x x x f x ax bx x  +  =  −  为奇函数，则2a b+ 等于_____. 3 / 4 14.正实数 a，b满足 ( )2 2 4 1 72a b a   + − =    ，则 ( )1 a b+ 的最小值为_____. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.计算： （1） ( ) ( ) 1 2 23 0 3 1 27 8 6 2 5 3 125 −    + + − + −    ； （2）已知 3log 2a = ， 2log 9b = ，求 2 1 11 3 3 34 22a b a b −− −     −        的值. 16.记函数 ( ) 1 2 f x x = − 的定义域为集合 A，函数 ( ) 29g x x= − 的定义域为集合B ， （1）求 A B和 ( )RC A B ； （2）若 { 2 3 2 1}C x p x p= −   +∣ ， A C A ，且 A C 中只有三个整数元素，求实数 p 的取值范围. 17.随着中国老龄化趋势加深、医保体制日益健全以及人民生活水平不断提升，人均医疗保 健消费支出和卫生费用保持快速增长，低值医用耗材市场增速客观。某医疗器械公司为了进 一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200万元， 最 大 产 能 为 100 台 . 每 生 产 x 台 ， 需 另 投 入 成 本 ( )G x 万 元 ， 且 ( ) 2 120 ,0 50 4900 201 2100,50 100 x x x G x x x x  +    =  + −    ，由市场调研知，该产品每台的售价为 200 万 元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）写出年利润 ( )W x 万元关于年产量 x 台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少? 4 / 4 18.已知函数 ( ) 2 4 x m f x nx + = + 是定义在 2, 2− 上的奇函数，且 ( ) 1 1 5 f − = − . （1）求 m，n的值； （2）判断 ( )f x 在 2, 2− 上的单调性，并用定义证明； （ 3 ）设 ( ) 2 5g x kx k= − − ，若对任意的  1 0,3x  ，总存在  2 2,2x  − ，使得 ( ) ( )1 2g x f x 成立，求实数 k 的取值范围. 19.若定义在 D 上的函数 ( )y f x= 满足对任意的区间 I D ，存在正整数 k ，使得 ( ) ( )kf I I   ，则称 ( )f x 为 I 上的“ k 阶交汇函数”.对于函数 ( )y f x= ，记 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 3 1, , , , n nf x f x f x f f x f x f f f x f x f f x+= = =  = ，其中 1,2,3,n = ，并对任意的 A D ，记集合 ( ) ( ) ( ) ( ) n nf A f x x A=  ，并规定 ( ) ( )nf  = . （1）若 ( ) 3 2f x x= + ，函数 ( )y f x= 的定义域为R ，求 ( )  ( )2 1,0f − 并判断 ( )f x 是否 为 1,0− 上的“2 阶交汇函数”； （2）若函数 ( ) ( ) 1 1 1 x f x x x − =  − + ，试比较 ( ) ( )2024 1f 和 ( ) ( )2024 2f 的大小； （ 3 ） 设 ( )0,1a ， 若 函 数 ( )y f x= 的 定 义 域 为 (0,1] ， 且 表 达 式 为 ： ( ) ( )1 ,0 , 1 x a x a f x x a a x  + −   =  −   ，试证明对任意的区间 (0,1]I  ，存在正整数 k ，使得 ( )f x 为 I 上的“ k 阶交汇函数”. 试卷第 1页，共 14页 株洲市二中 2024 年下学期高一年级期中考试试卷 数学试题 时量：120 分钟 分值：150 分 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1．已知集合  2| 0A x x x   ，  0, 1 2B   ， ，则 A B  （ ） A． 0 B． 0,1 C． 0, 1 2 ， D． 0,1, 1 2 ， 【答案】D 【分析】利用列举法表示集合A，再利用并集的定义求解即得. 【详解】依题意，集合  0,1A  ，而  0, 1 2B   ， ， 所以  0,1, 1 2A B   ， . 故选：D 2．“ 1x  ”是“ 2 0x x  ”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由 2 0x x  等价0 1x  ，再结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】由 2 0x x  可得0 1x  ， 因为    0,1 ,1    ， 所以“ 1x  ”是“ 2 0x x  ”的必要不充分条件， 故选：A 3．已知  f x 的定义域为  1,3 则 1f x       的定义域为（ ） A． 1 ,1 3       B． 1 ,1 3      C． 1 1, 3 2       D． 1 ,1 2       【答案】A 【分析】应用抽象函数定义域求解即可. 【详解】因为  f x 的定义域为  1,3 ， 试卷第 2页，共 14页 所以 1 1 3 x  所以 1f x       的定义域为 1 ,1 3       . 故选：A. 4．已知 0.1 0.5 22 , 2 , 0.5a b c   ，则 , ,a b c的大小关系为（ ） A．b c a  B． c a b  C．a b c  D．a c b  【答案】B 【分析】根据指数函数性质以及中间量“1”即可比较大小. 【详解】根据指数函数性质知 0.1 0.51 2 2 ，即1 a b  ， 又因为 20.5 0.25 ，则 c a b  . 故选：B. 5．已知 a， Rb ，且3 2 0a b   ，则 27 1 3 a b 的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用均值不等式结合指数幂的运算即可求得答案 【详解】解：因为3 2 0a b   ，所以3 2a b  因为 33 30, 0,a b  所以 3 3 3 227 2 2 21 3 3 3 3 3 3 3 6a a abb b a b       ， 当且仅当 33 3 3 2 a b a b      即 3 1 1 a b       时，取等号， 故27 1 3 a b 的最小值为 6， 故选：C 6．放射性核素锶 89会按某个衰减率衰减，设初始质量为 0M ，质量M 与时间T（单位：天） 的函数关系式为 0 1 2 T H M M       （其中H为常数），若锶 89的半衰期（质量衰减一半所用时 间）约为 50天，那么质量为 0M 的锶 89经过 30天衰减后质量约变为（ ）（参考数据： 0.62 1.516 ） 试卷第 3页，共 14页 A． 00.52M B． 00.66M C． 00.70M D． 00.87M 【答案】B 【分析】根据 50t  时 0 1 2 M M ，代入函数关系式中，可得 h的值，进而代入 30t  求解即 可. 【详解】由题意，锶 89半衰期（质量衰减一半所用的时间）所用时间为 50天， 即 50 0 0 1 1 2 2 H M M       ，则 50H  ， 所以质量为 0M 的锶 89经过 30天衰减后， 质量大约为 30 0.6 50 0 0 0 0 00.6 1 1 1 1 0.66 2 2 2 1.516 M M M M M                  ． 故选：B． 7．设函数�(�) = (�+1) 2+�2023 �2+1 (� ∈ −2,2 )的最大值为 M，最小值为 m，则M m  ( ) A. 1 B.2 C.0 D.4 【答案】 2 【分析】构造函数   2021 2 2 1 x xg x x    ，即     1f x g x  ，可证  g x 为奇函数，结合奇函数 的性质，可求得结果. 【详解】�(�) = � 2+2�+1+�2023 �2+1 = 1 + 2�+� 2023 �2+1 ， 设�(�) = 2�+� 2023 �2+1 ， Rx ， 且�( − �) = −2�+(−�) 2023 (−�)2+1 =− 2�+� 2023 �2+1 =− �(�)，则  g x 为奇函数，    max min 0g x g x   ， 则     1f x g x  ，所以    max max 1f x g x  ，    min min 1f x g x  ， 所以        max min max min 2 2f x f x g x g x     ， 所以 2M m  . 故答案为：2. 8．已知定义在 R上的函数 ( )f x 满足： x R ，都有 ( 2024) (2028 )f x f x   ，且 ( )f x 对 试卷第 4页，共 14页 任意  1 2 1 2, [2, )x x x x   ，都有    2 1 2 1 0 f x f x x x    ，若 ( ) (3 1)f a f a  ，则实数 a的取值 范围是（ ） A． 1 3, 2 4     B．[ 2, 1]  C． 1, 2      D． 3 , 4      【答案】A 【分析】由题可得 ( )f x 图象关于 2x  对称，且在[2, ) 上单调递减，据此可得答案. 【详解】令 2024x t  ，则2028 4x t   ，因 ( 2024) (2028 )f x f x   ， 则    4f t f t  ，则 ( )f x 图象关于 2x  对称； 又 ( )f x 对任意  1 2 1 2, [2, )x x x x   ，都有    2 1 2 1 0 f x f x x x    ， 则 ( )f x 在[2, ) 上单调递减，又 ( )f x 图象关于 2x  对称， 则 ( )f x 在  , 2 上单调递增，在[2, ) 上单调递减.    2 2( ) (3 1) 2 3 1 2 2 3 1f a f a a a a a               1 32 1 4 3 0 2 4 a a a        . 故选：A 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列四个结论中正确的是（ ） A． 2 2, , 4 2 5 0x y x y x y      R B．命题“ 2,3 2 1 0x x x    R ”的否定是“ 20 0 0,3 2 1 0x x x    R ” C．“ a b ”是“ 1a b  ”的充分不必要条件 D．“ 3 3x y ”的充要条件是“ x y ” 【答案】ABD 【分析】根据存在量词命题、全称量词命题、充分和必要条件等知识对选项进行分析，从而 确定正确答案. 试卷第 5页，共 14页 【详解】对于 A， 2 2 2 24 2 5 ( 2) ( 1) 0x y x y x y         ，解得 2, 1x y   ， 即 2 22, 1, 4 2 5 0x y x y x y         ，A正确； 对于 B，根据全称量词命题的否定为存在量词命题知： 命题“ 2,3 2 1 0x x x    R ”的否定为： 20 0 0,3 2 1 0x x x    R ，B正确； 对于 C，若 ,a b 则 1a b  不一定成立，如 1 0.5a b   ，但 1 1 1.5,a b    反之，若 1a b  ，则 a b ，所以“ a b ”是“ 1a b  ”的必要不充分条件，C错误; 对于 D，由于 3y x 是增函数，所以： 若 3 3x y ，则 x y ，反之若 x y ，则 3 3x y ， 所以“ 3 3x y ”的充要条件是“ x y ”， D正确. 故选：ABD. 10．下列命题中正确的是（ ） A．任意非零实数 a，b，都有 2 b a a b   B．若正数 x， y满足 2 1 3 x y   ，则 2x y 的最小值为 3 C．当0 10x  时，  10x x 的最大值是 5 D．当 1x  时， 1 1 x x   的最小值是 2 【答案】BC 【分析】举例说明判断 A；利用基本不等式“1”的妙用求解判断 B, 利用基本不等式求出最值 判断 CD. 【详解】对于 A，取 1, 1a b   ，而 2 2 b a a b     ，A错误； 对于 B，正数 x， y满足 2 1 3 x y   ，则 1 2 1 1 2 22 ( )(2 ) (5 ) 3 3 y xx y x y x y x y        1 2 2(5 2 ) 3 3 y x x y     ，当且仅当 1x y  时取等号，B正确； 对于 C，当0 10x  时， (10 )(10 ) 5 2 x xx x     ，当且仅当 5x  时取等号，C正确； 对于 D，当 1x  时， 1 11 1 2 1 3 1 1 x x x x           ，当且仅当 2x  时取等号，D错误; 故选：BC 试卷第 6页，共 14页 11．已知函数 ( )f x 的定义域为 ( 1,1) ，且满足 ( ) ( ) 1 x yf x f y f xy        ，当 ( 1,0)x  时， ( ) 0f x  ，则（ ） A． ( )f x 是奇函数 B． ( )f x 是增函数 C． 1 1 2 3 4 3 f f f                  D． 1 1 1 3 4 2                   f f f 【答案】ABD 【分析】求出 (0) 0f  ，令 0x  可判断 A；不妨设 1 0x y    可得 ( 1,0)1 x y xy     ，根据 ( )f x 是奇函数可判断 B；令 1 3 y  可得 1 1 4 x y xy    ，根据单调性可判断 CD. 【详解】对于 A，令 0x y  ，则 (0) 0f  ；令 0x  ，则 ( ) ( )f y f y   ，  ( )f x 为奇函数，故 A正确； 对于 B，不妨设 1 0x y    ，则 ( 1,0)1 x y xy     ， ( ) ( )f x f y  ， ( )f x 在 ( 1,0) 为增函数，又 ( )f x 是奇函数，  ( )f x 在 ( 1,1) 为增函数，故 B正确； 对于 CD，令 1 3 y  ， 1 1 4 x y xy    ，则 7 1 13 2 x   ， 1 1 7 1 3 4 13 2 f f f f                         ， 故 C错误 D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知幂函数 21 22 2( ) ( 3) a a f x a x     在 (0, ) 上单调递增，则 a的值为 . 【答案】 2 【分析】先根据幂函数定义确定 a的可取值，再根据单调性确定出 a的值. 【详解】因为  f x 为幂函数，所以 2 3 1a   ，所以 2a   ， 当 2a  时，   2f x x ，在  0,  上单调递增，符合； 当 2a   时，   2f x x ，在  0,  上单调递减，不符合； 故答案为： 2 . 13．已知函数   2 2 0 0 x x x f x ax bx x        ， ， ， 为奇函数，则 2a b 等于 . 试卷第 7页，共 14页 【答案】 3 【分析】根据奇函数求出 0x  时的解析式，对照所给解析式得出 ,a b即可得解. 【详解】设 0x  ，则 0x  ， 所以   2 ( )f x x x f x     ， 所以   2f x x x   ， 又当 0x  时，   2f x ax bx  ， 所以 1, 1a b    ，故2 3a b   ， 故答案为： 3 . 14．正实数 a，b满足  2 2 41 72a b a        ，则  1 a b 的最小值为 ． 【答案】8 2 【分析】根据已知条件得 2b 关于 a的方程，再将 (1 )a b 平方并替换 2b ，最后使用基本不等 式求解即可. 【详解】依题意，因为 2 2 4(1 )( ) 72a b a    ， 所以 2 2 2 14( ) 72b a b a a     ， 所以 2 2 172 4( ) 1 a ab a     ， 即 2 2 2 2 2 2 172 4( ) 1 144 8 8(1 ) [(1 ) 2 ] 72 4( ) 1 1 a a aaa b a a a a a a               2 1 144 1 14472 4( ) 8 80 4( ) 11 aa a a a a a a            1 14480 2 4( ) 80 48 1281( ) a a a a         ， 当且仅当 1 1444( ) 1( ) a a a a    ，即 1 6a a   ,故 3 2 2a   取等号， 所以 (1 )a b 的最小值为 128 8 2 . 故答案为：8 2 . 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是根据已知条件得 2b 试卷第 8页，共 14页 关于 a的方程，再将 (1 )a b 平方并替换 2b ，最后使用基本不等式求解即可. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．计算： (1)     1 2 23 031 278 6 2 5 3 125            ； (2)已知 3 2log 2, log 9a b  ，求 21 11 3 3 34 22a b a b               的值． 【答案】(1)2 5 (2) 2 【分析】（1）由指数运算法则，直接计算即可得解. （2）先根据指数运算法则化简所求式子，然后将已知条件代入，利用换底公式化简计算即 可求解. 【详解】（1）     1 2 23 031 278 6 2 5 3 125              1 32 3 3 31 32 1 2 5 3 5                1 21 32 1 5 2 3 5            4 5 1 5 2 3 3      5分 2 5  . 6分 （2）因为 3 2log 2, log 9a b  ， 所以 2 2 1 1 31 11 3 3 3 2 23 34 2 1 12 2 2 a b a b a b a b                                                 3 2 1 log 2 log 9 2         1 lg2 lg9 2 lg3 lg 2         试卷第 9页，共 14页 1 lg2 2lg3 12 lg3 lg2 2         12分 2  . 13分 16．记函数   1 2 f x x   的定义域为集合 A，函数   29g x x  的定义域为集合 B， （1）求 A B 和  RC A B ； （2）若  2 3 2 1C x p x p     ， A C A ，且 A C 中只有三个整数元素，求实数 p 的取值范围. 【答案】（1）  2,3A B  ，    ,3RC A B   （2） 52, 2 p      【分析】（1）先分别求出函数  f x 、  g x 的定义域 A、B，再利用交集、并集的定义可求 出 A B 和  RC A B . （2）由 A C A ，得到 A与 C的关系，即可求出实数 p的取值范围. 【详解】（1）∵ 2 0x   ，解得 2x  ∴函数   1 2 f x x   的定义域为集合  2A x x  . ∴函数   1 2 f x x   的定义域为集合  2A x x  . 1分 ∵ 29 0x  ，解得 3 3x ≤ ≤ ； 2分 ∴函数   29g x x  的定义域为集合  3 3B x x    . 4分  | 2RC A x x  , 5分        2 3 3 ,3RC A B x x x x        . 7分 （2）∵ A C A , ∴C A ； 由 A C 中只有三个整数元素可得，  3,4,5A C  10分 又∵  2 3 2 1C x p x p     ， ∴ 5 2 2 3 6 2 1p p        ，解得： 52 2 p  故 52, 2 p      . 15分 试卷第 10页，共 14页 【点睛】本题考查了集合的交集和并集运算，根据交集结果求参数. 17．随着中国老龄化趋势加深、医保体制日益健全以及人民生活水平不断提升，人均医疗保 健消费支出和卫生费用保持快速增长，低值医用耗材市场增速客观。某医疗器械公司为了进 一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为 200万元， 最大产能为 100台.每生产 x台，需另投入成本  G x 万元，且   2 120 ,0 50 4900201 2100,50 100 x x x G x x x x           ，由市场调研知，该产品每台的售价为 200万元， 且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润  W x 万元关于年产量 x台的函数解析式（利润 销售收入成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) 2 80 200,0 50 4900 1900,50 100 x x x W x x x x                 （ ） (2)综上可知，该产品的年产量为 70台时，公司所获利润最大，最大利润是 1760万元. 【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售收入-成本的公式，分0 50x  ，50 100x  两种情况讨论，即可求解． （2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式，分别求解分段函数的最大值， 再通过比较大小，即可求解． 【详解】（1）由题意可得：当0 50x  时，    2 2200 120 200 80 200W x x x x x x        ， 3分 当50 100x  时，   4900 4900200 201 2100 200 1900W x x x x x x                  ＝ ＝ ， 6分 故   2 80 200,0 50 4900 1900,50 100 x x x W x x x x                 ． 7分 （2）当0 50x  时，    22 80 200 40 1400W x x x x        ， 得 40x  时  max 1400W x  万元； 10分 试卷第 11页，共 14页 当50 100x  时，   4900 49001900 2 1900 1760W x x x x x             ，当且仅当 4900x x  ，即 70x  时等号成立， 此时  max 1760W x  万元. 13分 综上可知，该产品的年产量为 70台时，公司所获利润最大，最大利润是 1760万元. 15分 18．已知函数 2( ) 4 x mf x nx    是定义在 [ 2,2] 上的奇函数，且 1( 1) 5 f    . (1)求m， n的值； (2)判断 ( )f x 在[ 2,2] 上的单调性，并用定义证明； (3)设 ( ) 2 5g x kx k   ，若对任意的 1 [0,3]x  ，总存在 2 [ 2, 2]x   ，使得 1 2( ) ( )g x f x 成立， 求实数 k的取值范围． 【答案】(1) 0m  ， 1n  ； (2)单调递增，证明见解析 (3) 21 21 8 4 k   【分析】（1）由题可得 ( )f x 图象过点  0,0 结合 1( 1) 5 f    可得m， n的值； （2）由单调性证明步骤可证得结论； （3）由题可得 max max( ) ( )g x f x ，后讨论 k结合单调性可得 max( )g x ，即可得范围. 【详解】（1）)因为函数 2( ) 4 x mf x nx    是定义在 [ 2,2] 上的奇函数，且 1( 1) 5 f    ， 则     0 0 4 1 11 4 5 mf mf n            ，解得 0m  ， 1n  .所以函数 2( ) 4 xf x x   ， 经检验，函数为奇函数，所以 0m  ， 1n  ； 4分 （2） ( )f x 在[ 2,2] 上单调递增. 证明如下：设 1 22 2x x    则    1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( 4)( )( ) ( ) 4 4 4 4 x x x x x xf x f x x x x x           ， 其中 1 2 4 0x x   ， 2 1 0x x  ， 试卷第 12页，共 14页 所以 1 2( ) ) 0(f x f x  ，即 1 2( ) ( )f x f x ， 10分 故函数 ( )f x 在[ 2,2] 上单调递增； （3）因为对任意的 1 [0,1]x  ，总存在 2 [ 2, 2]x   ，使得 1 2( ) ( )g x f x ，所以 max max( ) ( )g x f x ， 因为 ( )f x 在[ 2,2] 上单调递增，所以 max 1( ) = (2) 4 f x f  ， 12分 当 0k  时， ( ) 5g x   ；所以 15 4   恒成立，符合题意； 13分 当 0k  时， ( ) 2 5g x kx k   在[0,3]上单调递增，则 max( ) =g(3) 5g x k  ， 所以 15 4 k   ，解得 210 4 k  ； 15分 当 0k  时，函数 ( ) 2 5g x kx k   在[0,3]上单调递减，则 max( ) =g(0) 5 2g x k   ， 所以 15 2 4 k   ，解得. 21 0 8 k   ， 16分 综上所述，实数 k的取值范围为 21 21 8 4 k   . 17分 19．若定义在D上的函数 ( )y f x 满足对任意的区间 I D ，存在正整数 k，使得 ( )( )kf I I  ，则称 ( )f x 为 I 上的“ k阶交汇函数”．对于函数 ( )y f x ，记    (1)f x f x ，     (2)f x f f x ，      (3)f x f f f x ，…，  ( 1) ( )( ) ( )n nf x f f x  ，其中 1n  ，2，3，…， 并对任意的 A D ，记集合  ( ) ( )( ) ( )n nf A f x x A  ，并规定 ( )( )nf  ． (1)若 ( ) 3 2f x x  ，函数 ( )y f x 的定义域为R ，求   (2) 1,0f  并判断 ( )f x 是否为[ 1,0] 上 的“2阶交汇函数”； (2)若函数 1( ) ( 1) 1 xf x x x      ，试比较 (2024) (1)f 和 (2024) (2)f 的大小； (3)设 (0,1)a ，若函数 ( )y f x 的定义域为 (0,1]，且表达式为： (1 ),0 ( ) , 1 x a x a f x x a a x          ， 试证明对任意的区间 (0,1]I  ，存在正整数 k，使得 ( )f x 为 I 上的“ k阶交汇函数”． 【答案】(1)    (2) ( 1,0 ) 1,8f    ， ( )f x 为[ 1,0] 上的“2阶交汇函数” (2) (2024) (2024)(1) (2)f f (3)证明见解析 【分析】（1）根据新定义直接计算； 试卷第 13页，共 14页 （2）根据新定义直接求值比较即可； （3）由函数定义说明 ( ) ( )nf I 的长度不变，然后得出在 (0) ( )f I ， (1) ( )f I ， (2) ( )f I ，…， ( ) ( )nf I （存在正整数 n，它们的长度和大于 1）中，必然存在正整数 , ( )m l m l ，使得 ( ) ( )( ) ( )m lf I f I   ，再分析得到对任意的 1 2, (0,1]x x  ， 1 2x x  1 2( ) ( )f x f x ，进而得到 ( ) ( )m lf x y  ， ( ) ( )m lf I I   ，从而证明结论成立． 【详解】（1）因为函数 ( ) 3 2f x x  在R 上单调递增， 所以当  1,0x  时，  3 2 1, 2x    ，所以    (1) 21,( ,0 ) 1f   ， 2分 当  1,2x  时，  3 2 1,8x    ，所以    (2) ( 1,0 ) 1,8f    ， 3分 因为      1,8 1,0 1,0      ， 所以 ( )f x 为[ 1,0] 上的“2阶交汇函数”. 4分 （2）由 1 1 ( ) x f x x  ， 1x   ， 则    (1) 1 11 1 0 1 1 f f     ，    (2) 1 01 0 1 0 1 f f     ，    (3) 1 11 1 0 1 1 f f     ， 根据周期性可得 (2024) (1) 1f  ， 6分    (1) 1 2 12 2 2 1 3 f f      ，  (2) 11 1 32 2 13 1 3 f f                    ，    (3) 12 2 3 f f   ， 根据周期性可得  (2024) 2 2f  ， 所以 (2024) (2024)(1) (2)f f . 8分 （3）证明：对于任意有限的区间 I ，记 I 表示区间 I 的长度，如果一个集合A是若干个区 间的并集，则 A 等于组成它的所有区间的长度之和， 对于任意的区间 (0,1]I  ， x I ， ( ) { ( ) | }f I f x x T  ， 不妨设 ( , )I s t (0 1)s t   ， T t s  ， 若 ( , ) (0, ]s t a ，则 ( ) ( 1 , 1 )f I s a t a     ， ( )f T t s  ， 9分 若 ( , ) ( ,1]s t a ，则 ( ) ( , )f I s a t a   ， ( )f T t s  ， 10分 试卷第 14页，共 14页 若 ( , )a s t ，则 ( ) ( 1 ,1] (0, )f I s a t a    ， ( ) 1 ( 1 ) ( ) 0f T s a t a t s         ， 所以 ( )f I I ， 11分 对于任意的区间 (0,1]I  ，显然存在正整数 n，使得 1n I  ， 因此在 (0) ( )f I ， (1) ( )f I ， (2) ( )f I ，…， ( ) ( )nf I （它们的长度和大于 1）中， 必然存在正整数 , ( )m l m l ，使得 ( ) ( )( ) ( )m lf I f I   ， 因此必存在 ,x y I ，使得 ( ) ( )( ) ( )m lf x f y ， 14分 又0 1a  ，则 0 1 1a   ， 则当0 x a  时， ( ) (1 ) (1 ,1]f x x a a     ， 15分 当 1a x  时， ( ) (0,1 ]f x x a a    ， 16分 又 (0,1 ] (1 ,1]a a    ，因此对任意的 1 2, (0,1]x x  ， 1 2x x  1 2( ) ( )f x f x ， 所以 ( 1) ( 1)( ) ( )m lf x f y  ， ( 2) ( 2)( ) ( )m lf x f y  ，…， ( ) ( )m lf x y  ， 这表示 ( ) ( )m lf I I   ，取 k m l  ， 所以对任意的区间 (0,1]I  ，存在正整数 k，使得 ( )( )kf I I  ， 17分 即对任意的区间 (0,1]I  ，存在正整数 k，使得 ( )f x 为 I 上的“ k阶交汇函数”． 【点睛】方法点睛：对于函数新定义问题，关键是正确理解新定义，能迅速运用新定义解题， 加速理解新定义，在问题（3）的证明中抓住函数的定义域区间“长度”与值域“长度”不变， 从而有 ( ) ( )( ) ( )m lf I f I   ，然后利用新定义追根溯源得出 ( )( )kf I I  ．