安徽省蚌埠市G5联考2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

书 ２０２４～２０２５学年第一学期期中调研 九年级数学试题（沪科版） 注意事项： １你拿到的试卷满分１５０分，考试时间为１２０分钟。 ２试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分。 ３请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。 一、选择题（本大题共１０小题，每小题４分，满分４０分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题意的，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑） １若ｘｙ＝ ３ ２，则 ｘ＋ｙ ｙ ＝ （　　） Ａ１２ Ｂ ３ ２ Ｃ ５ ２ Ｄ ２ ５ ２抛物线ｙ＝ｘ２＋２ｘ的对称轴是 （　　） Ａ直线ｘ＝１ Ｂ直线ｘ＝－１ Ｃ直线ｘ＝２ Ｄ直线ｘ＝－２ ３二次函数ｙ＝ａ（ｘ＋ｂ）２＋ｃ的图象经过平移后与 ｙ＝－（ｘ＋３）２的图象完全重合，则 ａ，ｂ，ｃ 的值可能为 （　　） Ａａ＝１，ｂ＝０，ｃ＝－２ Ｂａ＝２，ｂ＝６，ｃ＝０ Ｃａ＝－１，ｂ＝－３，ｃ＝０ Ｄａ＝－２，ｂ＝－３，ｃ＝－２ ４如图，直线ａ∥ｂ∥ｃ，下列比例式子不成立的是 （　　） 　第４题图 ＡＡＣＣＥ＝ ＢＤ ＤＦ ＢＡＥＡＣ＝ ＢＦ ＢＤ ＣＡＣＢＤ＝ ＣＥ ＤＦ ＤＡＣＤＦ＝ ＢＤ ＣＥ ５如图，∠１＝∠２，添加一个条件后，仍不能判定△ＡＢＣ与△ＡＤＥ相似的是 （　　） 　第５题图 Ａ∠Ｃ＝∠ＡＥＤ Ｂ∠Ｂ＝∠Ｄ ＣＡＢＡＤ＝ ＢＣ ＤＥ ＤＡＢＡＤ＝ ＡＣ ＡＥ ６若点（－３，ｙ１），（０，ｙ２），（１，ｙ３）都在二次函数 ｙ＝（ｘ＋２） ２ 的图象上，则 ｙ１，ｙ２，ｙ３的大小关 系是 （　　） Ａｙ１＞ｙ３＞ｙ２ Ｂｙ３＞ｙ２＞ｙ１ Ｃｙ１＞ｙ２＞ｙ３ Ｄｙ３＞ｙ１＞ｙ２ ）页６共（页１第）版科沪（卷试学数级年九 　第７题图 ７如图，在ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＣＤ上一点，连接ＡＥ，ＢＤ交于点Ｆ， Ｓ△ＤＥＦ∶Ｓ△ＡＢＦ＝４∶２５，则ＤＦ∶ＢＦ为 （　　） Ａ２∶５ 　　　　Ｂ２∶３ Ｃ３∶５ 　　　　Ｄ３∶２ ８已知函数ｙ１＝ ｋ ｘ和ｙ２＝－ ｋ ｘ（ｋ＞０），当３≤ｘ≤４时，函数 ｙ１的最大值是 ａ，函数 ｙ２的最小 值是ａ－４，则ａｋ的值为 （　　） 　第９题图 Ａ６　　　　　　Ｂ８　　　　　　Ｃ１０　　　　　　Ｄ１２ ９如图，在等边△ＡＢＣ中，Ｄ为 ＢＣ边上一点，Ｅ为 ＡＢ边上一点，且 ∠ＡＤＥ＝６０°，ＣＤ＝６，ＢＥ＝４，则ＢＣ长为 （　　） Ａ１２ 　　　　Ｂ１４ Ｃ１６ 　　　　Ｄ１８ 　第１０题图 １０如图，两个全等的等腰直角△ＡＢＣ和△ＤＥＦ的斜边ＡＢ＝ ＤＥ＝１０，点 Ｅ与点 Ａ重合，斜边 ＡＢ与 ＤＥ在一条直线 上，△ＡＢＣ保持不动，△ＤＥＦ以每秒２个单位长度的速度 向右运动，直到点Ｄ与点Ｂ重合时停止运动设运动时 间为ｘ秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为 ｙ个 平方单位，则ｙ与ｘ函数关系的图象大致是 （　　） 　　　 　　　 　　　 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 二、填空题（本大题共４小题，每小题５分，满分２０分请将答案直接填在答题卡相应的横线上） １１若线段ａ＝４，ｂ＝９，则线段ａ，ｂ的比例中项为  １２如图，一次函数 ｙ１＝ｋｘ＋ｍ与二次函数 ｙ２＝ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ的图象相交于点 Ａ（－２，５）， Ｂ（７，２），则能使ｙ１＞ｙ２成立的ｘ的取值范围是  １３如图，矩形ＯＡＢＣ中，点Ｂ在反比例函数ｙ＝６ｘ的图象上，反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ（ｋ≠０）与ＢＣ交 于点Ｄ，若△ＢＯＤ的面积为２，则ｋ的值是  　　　　　　 第１２题图 第１３题图 第１４题图 ）页６共（页２第）版科沪（卷试学数级年九 １４如图，直线ｙ＝－ｘ＋３与ｘ轴，ｙ轴分别交于点Ａ，Ｃ，过点Ａ，Ｃ的抛物线与ｘ轴的另一个交 点为Ｂ（－１，０），点Ｄ为第一象限内抛物线上的一动点，连接ＢＤ与ＡＣ交于点Ｅ （１）当ＣＤ∥ＡＢ时，ＤＥＢＥ＝ ； （２）Ｓ△ＣＤＥ∶Ｓ△ＣＢＥ的最大值为  三、（本大题共２小题，每小题８分，满分１６分） １５已知ａ，ｂ，ｃ是△ＡＢＣ的三边长，且ａ３＝ ｂ ５＝ ｃ ４ （１）求ｂ＋ｃａ的值； （２）若△ＤＥＦ∽△ＡＢＣ，相似比为２∶３，且△ＡＢＣ的周长为２４ｃｍ，求△ＤＥＦ的周长 １６已知抛物线的顶点坐标为（－１，３），且经过点（２，１２） （１）求抛物线对应的函数表达式； （２）当－１≤ｘ≤３时，求函数的最大值 四、（本大题共２小题，每小题８分，满分１６分） １７如图，方格网的小方格是边长为１的正方形 第１７题图 （１）下列网格中的三角形与△ＡＢＣ相似的是 ；（填序号） （２）在网格内画一个△ＣＥＦ（Ｅ，Ｆ均在格点上），使得△ＣＥＦ与△ＡＢＣ相似，且相似比为２∶１ ）页６共（页３第）版科沪（卷试学数级年九 １８如图，反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的图象经过Ｒｔ△ＡＯＢ斜边的中点Ｐ，与ＡＢ交于点Ｑ，连接 　第１８题图 ＯＱ，点Ａ的坐标为（１２，６） （１）求反比例函数的表达式； （２）证明：△ＢＯＱ∽△ＢＡＯ 五、（本大题共２小题，每小题１０分，满分２０分） １９某超市销售一种成本为每千克３０元的商品，已知这种商品的月销售量ｙ（千克）与销售单 价ｘ（元／千克）之间的函数关系式为ｙ＝－１０ｘ＋６００ （１）设该商品的销售利润为ｗ，求ｗ与ｘ的函数表达式； （２）如果该商品的销售单价ｘ不超过４５元／千克，超市想要每月通过销售这种商品获得的 利润不低于２０００元，那么该超市对这种商品的销售单价 ｘ定在什么范围时可以实现 目标？ ２０操作与探究 沪科版教材九年级上册７３页阅读与欣赏《奇妙的黄金数》中介绍了“黄金比与黄金矩 形”，材料中指出：一个矩形如果切掉一个正方形后，剩下的小矩形与原来的矩形相似，这 样的矩形叫做黄金矩形，此时矩形宽与长的比等于黄金比某数学兴趣小组在阅读课本 后发现可以通过折纸得到黄金矩形 【操作过程】请根据操作完成填空（设矩形纸片的宽ＭＮ为２） 步 骤 图　示 操作说明 步 骤 一 把一张矩形纸片的一端按图１的方法折出一 个正方形，然后把纸片展平，则ＮＣ＝ＭＮ＝２； 步 骤 二 如图２，把这个正方形对折成两个相同的矩 形，再把纸片展平，则ＡＣ＝１； ）页６共（页４第）版科沪（卷试学数级年九 步 骤 三 折出内侧矩形的对角线 ＡＢ，并把 ＡＢ折到图 ３中所示的ＡＤ处，则ＡＤ＝ＡＢ＝　①　； 步 骤 四 展平纸片，按照所得到的点 Ｄ折出 ＤＥ，得到 矩形ＢＣＤＥ，则ＣＤ＝　②　 结 论 如图４，ＣＤＢＣ＝　③　，所以矩形ＢＣＤＥ是一个黄金矩形 【探究证明】证明：矩形ＭＮＤＥ是黄金矩形 六、（本题满分１２分） ２１如图，一块三角形的铁皮ＡＢＣ，ＢＣ边为２００ｍｍ，ＢＣ边上的高ＡＤ为１２０ｍｍ，要将它加工成 矩形铁皮ＥＦＧＨ，使它的一边ＦＧ在ＢＣ上，其余两个顶点Ｅ，Ｈ分别在ＡＢ，ＡＣ上 　第２１题图 （１）若四边形ＥＦＧＨ是正方形，那么正方形边长是多少？ （２）在矩形ＥＦＧＨ中，设ＥＦ＝ｘｍｍ，ＦＧ＝ｙｍｍ ① 求ｙ与ｘ的函数表达式，并写出自变量ｘ的取值范围； ② 设矩形 ＥＦＧＨ的面积为 Ｓ，当 ｘ取何值时，Ｓ取最大 值，最大值是多少？ 七、（本题满分１２分） ２２如图，抛物线ｙ１＝ｘ ２－３ｘ与ｘ轴交于点Ｏ和点Ａ，将抛物线ｙ１沿ｘ轴向右平移３个单位长 　第２２题图 度，得到抛物线ｙ２ （１）抛物线ｙ２表达式为 ； （２）点Ｐ是抛物线 ｙ１在第四象限内一点，连接 ＰＡ并延长，交抛 物线ｙ２于点Ｑ设点Ｐ的横坐标为ｐ，点Ｑ的横坐标为ｑ ① 若ｐ＝１，求ｑ－ｐ的值； ② 试判断ｑ－ｐ是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请 说明理由 ）页６共（页５第）版科沪（卷试学数级年九 八、（本题满分１４分） ２３综合与实践　小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度 【问题初探】如图１，马路上有一路灯杆 ＡＢ，在灯光下，小明在地面上离灯座 Ｂ点８ｍ的 Ｄ 点处的影子长 ＤＥ为 ３ｍ，小明的身高为 １８ｍ，则路灯 ＡＢ的高度为 ｍ；接着，小明从 Ｄ点沿 ＢＤ方向行走４ｍ到达 Ｈ点，如图２，此时 影子ＨＦ的长度为 ｍ； 【联系模型】小明发现图２为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均 有呈现《海岛算经》中题为：如图２，今要测量海岛上一座山峰 ＡＢ的高度，在 Ｄ处和Ｈ处竖立标杆 ＣＤ和 ＨＧ，标杆的高都是３丈，Ｄ和 Ｈ两处相隔１０００ 步，并且ＡＢ，ＣＤ，ＧＨ都在同一平面内从标杆 ＣＤ后退１２３步的 Ｅ处可以看 到顶峰Ａ和标杆顶端Ｃ在同一直线上；从标杆 ＧＨ后退１２７步的 Ｆ处可以看 到顶峰Ａ和标杆顶端Ｇ在同一直线上，则山峰 ＡＢ的高度是多少步？请你求 出山峰ＡＢ的高度；（这里古制１丈＝１０尺，１步＝６尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主 干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（ＡＢ和 ＣＤ）之间，如图３，并且自己被 两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为３ｍ（即ＨＥ＝ ３ｍ），左边的影子长为１５ｍ（即 ＨＦ＝１５ｍ）已知小亮身高为１８ｍ，两盏路 灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为１２ｍ（即 ＢＣ＝１２ｍ）根据以上信息， 请你帮助小亮求出路灯的高度 　　第２３题图 ）页６共（页６第）版科沪（卷试学数级年九 ２０２４～２０２５学年第一学期期中调研 九年级数学（沪科版）参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共１０小题，每小题４分，满分４０分） 题　号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答　案 Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ｄ Ｃ 二、填空题（本大题共４小题，每小题５分，满分２０分） １１６　　１２－２＜ｘ＜７　　１３２　　１４（１）１２（２分）　　（２） ９ １６（３分） 三、（本大题共２小题，每小题８分，满分１６分） １５（１）解：设ａ３＝ ｂ ５＝ ｃ ４＝ｋ，则ａ＝３ｋ，ｂ＝５ｋ，ｃ＝４ｋ， ∴ｂ＋ｃａ ＝ ５ｋ＋４ｋ ３ｋ ＝３； ４分………………………………………………………………… （２）解：∵△ＤＥＦ∽△ＡＢＣ，相似比为２∶３， ∴ Ｃ△ＤＥＦ Ｃ△ＡＢＣ ＝２３， ∵△ＡＢＣ的周长为２４ｃｍ， ∴ Ｃ△ＤＥＦ ２４ ＝ ２ ３，解得：Ｃ△ＤＥＦ＝１６ｃｍ， ∴△ＤＥＦ的周长为１６ｃｍ ８分…………………………………………………………… １６（１）解：∵抛物线的顶点坐标为（－１，３）， ∴设函数表达式为ｙ＝ａ（ｘ＋１）２＋３， 把（２，１２）代入得：１２＝ａ（２＋１）２＋３，解得：ａ＝１， ∴抛物线对应的函数表达式为ｙ＝（ｘ＋１）２＋３； ４分…………………………………… （２）解：∵当ｘ≥－１时，ｙ随ｘ的增大而增大， ∴在－１≤ｘ≤３中，当ｘ＝３时，ｙ有最大值为（３＋１）２＋３＝１９ ８分………………… 四、（本大题共２小题，每小题８分，满分１６分） １７（１）①； ４分…………………………………………………………………………………… （２）如图，△ＣＥＦ或△ＣＥ′Ｆ′为所求（画出一个即可） 　　 ８分………………………………………………… ）页４共（页１第案答考参）版科沪（学数级年九 １８（１）解：∵点Ａ的坐标为（１２，６），Ｐ是ＯＡ的中点， ∴Ｐ（６，３）， ∵反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）经过点Ｐ（６，３）， ∴ｋ＝６×３＝１８， ∴反比例函数的表达式为ｙ＝１８ｘ； ４分…………………………………………………… （２）证明：当ｙ＝６时，１８ｘ＝６，解得：ｘ＝３， ∴Ｑ（３，６） ∴ＢＱ＝３，ＯＢ＝６，ＡＢ＝１２， ∵ＢＱＯＢ＝ ３ ６＝ １ ２， ＢＯ ＡＢ＝ ６ １２＝ １ ２， ∴ＢＱＯＢ＝ ＢＯ ＡＢ， 又∵∠ＯＢＱ＝∠ＡＢＯ， ∴△ＢＯＱ∽△ＢＡＯ ８分………………………………………………………………… 五、（本大题共２小题，每小题１０分，满分２０分） １９（１）解：由题意得： ｗ＝（ｘ－３０）·ｙ＝（ｘ－３０）·（－１０ｘ＋６００）＝－１０ｘ２＋９００ｘ－１８０００； ４分…………… （２）解：由题意得：－１０ｘ２＋９００ｘ－１８０００＝２０００， 解得：ｘ１＝４０，ｘ２＝５０， ８分………………………………………………………………… ∵ａ＝－１０＜０， ∴抛物线开口向下， ∴４０≤ｘ≤５０时，ｗ≥２０００， ∵ｘ≤４５， ∴当４０≤ｘ≤４５时，ｗ≥２０００， 答：超市想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于２０００元，那么该超市对这种商 品的销售单价ｘ定在４０≤ｘ≤４５时可以实现目标 １０分…………………………… ２０【操作过程】①槡５； ２分……………………………………………………………………… ②槡５－１； ４分………………………………………………………………………………… ③ 槡５－１２ ； ６分………………………………………………………………………………… 【探究证明】∵ＭＮ＝２，ＮＤ 槡 槡＝２＋５－１＝５＋１， ∴ＭＮＮＤ＝ ２ 槡５＋１ ＝２（槡５－１）４ ＝ 槡５－１ ２ ， ∴矩形ＭＮＤＥ是黄金矩形 １０分…………………………………………………………… ）页４共（页２第案答考参）版科沪（学数级年九 六、（本题满分１２分） ２１（１）解：∵ＥＨ∥ＢＣ，∴△ＡＥＨ∽△ＡＢＣ，∴ＡＮＡＤ＝ ＥＨ ＢＣ， 设正方形的边长为ｘ， ∴ ｘ２００＝ １２０－ｘ １２０ ，解得：ｘ＝７５， 答：这个正方形的边长是７５ｍｍ； ４分…………………………………………………… （２）① 在矩形ＥＦＧＨ中，ＥＦ＝ｘｍｍ，ＦＧ＝ｙｍｍ， 由（１）可得：ｙ２００＝ １２０－ｘ １２０ ，即ｙ＝－ ５ ３ｘ＋２００（０＜ｘ＜１２０）； ８分…………………… ② 由题意得：Ｓ＝ｘ·ｙ＝ｘ· －５３ｘ( )＋２００ ＝－ ５ ３（ｘ－６０） ２＋６０００， ∴当ｘ＝６０时，Ｓ取最大值，最大值是６０００ １２分………………………………… 七、（本题满分１２分） ２２（１）ｙ２＝ｘ ２－９ｘ＋１８； ３分……………………………………………………………………… （２）① 解：把ｐ＝１代入ｙ１＝ｘ ２－３ｘ得：ｙ１＝１－３＝－２， ∴点Ｐ（１，－２）， 当ｙ１＝ｘ ２－３ｘ＝０时，解得：ｘ１＝０，ｘ２＝３， ∴点Ａ（３，０）， 设直线ＰＡ的表达式为：ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 将点Ｐ（１，－２），Ａ（３，０）的坐标代入得： ｋ＋ｂ＝－２， ３ｋ＋ｂ{ ＝０　解得： ｋ＝１， ｂ{＝－３ ∴直线ＡＰ的表达式为：ｙ＝ｘ－３， ５分……………………………………………… 联立直线ＡＰ和抛物线的表达式得： ｙ＝ｘ－３， ｙ＝ｘ２－９ｘ{ ＋１８ 解得：ｘ１＝３，ｘ２＝７，即ｑ＝７， ∴ｑ－ｐ＝７－１＝６； ７分………………………………………………………………… ② 由题意得：Ｐ（ｐ，ｐ２－３ｐ），Ｑ（ｑ，ｑ２－９ｑ＋１８）， 第２２题答案图 分别过点Ｐ，Ｑ作ＰＢ⊥ｘ轴，ＱＣ⊥ｘ轴，垂足分别为 点Ｂ，Ｃ，如图， ∵∠ＰＡＢ＝∠ＱＡＣ，∠ＰＢＡ＝∠ＱＣＡ＝９０°， ∴△ＰＡＢ∽△ＱＡＣ， ∴ＡＢＰＢ＝ ＡＣ ＣＱ，即 ３－ｐ －（ｐ２－３ｐ） ＝ ｑ－３ ｑ２－９ｑ＋１８ ， ∴１ｐ＝ １ ｑ－６， ∴ｑ－ｐ＝６， ∴ｑ－ｐ为定值，这个定值为６ １２分………………………………………………… ）页４共（页３第案答考参）版科沪（学数级年九 八、（本题满分１４分） ２３【问题初探】６６，４５； ４分…………………………………………………………………… 【联系模型】解：由题意得：ＡＢ⊥ＢＦ，ＣＤ⊥ＢＦ， ∴∠Ｂ＝∠ＣＤＥ＝９０°， ∵∠ＡＥＢ＝∠ＣＥＤ， ∴△ＣＤＥ∽△ＡＢＥ， ∴ＣＤＡＢ＝ ＤＥ ＢＥ， 同理可得：△ＧＨＦ∽△ＡＢＦ， ∴ＧＨＡＢ＝ ＦＨ ＦＢ， 设ＡＢ＝ｘ步，ＢＤ＝ｙ步， ∵ＤＥ＝１２３步，ＤＨ＝１０００步，ＨＦ＝１２７步，ＣＤ＝ＧＨ＝３丈＝３０尺＝５步， ∴ＢＥ＝ｙ＋１２３，ＢＦ＝ｙ＋１０００＋１２７＝１１２７＋ｙ， 则 ５ ｘ＝ １２３ ｙ＋１２３ ５ ｘ＝ １２７ ｙ { ＋１１２７ ，解得：ｘ＝１２５５， 答：山峰ＡＢ的高度为１２５５步； ９分…………………………………………… 【拓展应用】解：设ＡＢ＝ＣＤ＝ｘ，ＢＦ＝ｙ， 由△ＥＧＨ∽△ＥＡＢ，可得：ＧＨＡＢ＝ ＥＨ ＥＢ， 由△ＦＧＨ∽△ＦＤＣ，可得：ＧＨＣＤ＝ ＦＨ ＦＣ， 则 １８ ｘ＝ ３ ｙ＋３＋１５ １８ ｘ＝ １５ １２－ { ｙ ，解得：ｘ＝６６， 答：路灯的高为６６ｍ １４分…………………………………………………… （以上答案仅供参考，其他解法请酌情赋分） ）页４共（页４第案答考参）版科沪（学数级年九