2025年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（线段周长问题）

2025年中考数学高频压轴题训练—— 二次函数压轴题（线段周长问题） 1．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)判断的形状并证明你的结论； (3)如图2，点P在拋物线上的第二象限内且满足，求出点P的坐标． 2．如图，点A在抛物线上，过点A作与x轴平行的直线交抛物线于点B，延长AO，BO分别与抛物线相交于点C，D，连接AD，BC，设点A的横坐标为m，且m>0． (1).当m=1时，求点A，B，D的坐标； (2).当m为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直； (3).猜想线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论． 3．二次函数图像交轴于两点，点为点A右侧图像上一动点，过点作轴于点．点为该函数轴上方图像上一动点（不与点重合），直线交轴于点，连接、．如图，当，轴； (1)若，判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，在点、运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点． （1）求抛物线的解析式和顶点的坐标； （2）找出图中与相等的一个角，并证明； （3）若点是第二象限内抛物线上的一点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标． 5．如图，点P是直线上的一点，过点P的另一条直线m交抛物线于A，B两点．求证：对于直线l上给定任意一点P，在抛物线上都能找到点A，使成立． 6．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点且点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，并证明你的结论； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 7．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A，B两点，OA＝1，与y轴交于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求点A，C的坐标； (2)若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求直线PA与y轴交点的坐标； (3)点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．求证：DM+DN为定值，并求出这个定值． 8．已知抛物线经过、两点（点在点的左侧），与轴交于点，，． (1)如图1，求此抛物线的表达式； (2)如图2，直线经过点，交于点，点为线段的中点，过点作轴于点，作于点，连结、． ①求证：是等腰直角三角形； ②当的周长最小时，求直线的表达式． 9．如图，在矩形中，点、点分别在轴和轴上，点．抛物线经过两点，交的延长线于点，与轴另一个交点为，且． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点，轴，，垂足为． ①猜想：与的数量关系，并证明你的猜想； ②设的长为，点的横坐标为，求与的函数表达式，并求的最大值． （3）如果是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，过抛物线y＝ax2+bx上一点A（4，﹣2）作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C在直线AB上，抛物线交x轴正半轴于点D（2，0），点B与点E关于直线CD对称． （1）求抛物线的表达式； （2）①若点E落在抛物线的对称轴上，且在x轴下方时，求点C的坐标．②AE最小值为　 　． 11．如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与 轴交于点，抛物线的顶点为，点是轴上方抛物线上的一个动点，过作轴于，交直线于． (1)求二次函数表达式及顶点的坐标； (2)当时，求点的坐标； (3)设抛物线对称轴与轴交于点，连接交对称轴于，连接并延长交对称轴于，证明的值为定值，并求出这个定值． 12．如图，已知抛物线图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与端点A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F． ①求证：四边形DECF是矩形； ②试探究：在点D运动过程中，DE、DF、CF的长度之和是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，试说明变化情况． 13．如图，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．    (1)求点和点的坐标； (2)求线段的最大值及此时点的坐标； (3)当最大时，在二次函数的图象上是否存在点，使以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 14．已知抛物线． (1)将抛物线向左移动一个单位，所得抛物线的解析式为 ． (2)已知，，，交y轴于M，N点在直线上方的抛物线上．若使得的N点只有一个，求a的值 (3)在（1）所得的抛物线中，令，过作直线与此抛物线交于B、C两点，作轴于E，轴于F．求证：． 15．如图，在平面直角坐标系中，动直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧），动直线l分别交y轴、x轴于C、D两点． (1)若点A的横坐标是，求点B的坐标； (2)若直线运动过程中，有，求此时k的值； (3)若线段的中点是点E，垂直x轴于F，在直线运动过程中，探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)， (2)是直角三角形 (3) 2．（1）A（1，）， B（-1，）， D（2，-）．（2）当m=4时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直．（3）线段CD=2AB 3．(1) (2)，为定值 4．（1），顶点坐标；（2）图中与相等的一个角是，（3）点的坐标是． 6．(1)，顶点的坐标为 (2)是直角三角形 (3)点的坐标为 7．(1)点A、C的坐标分别为（1，0）、（0，﹣3） (2)直线PA在与y轴交点的坐标为（0，）或（0，） (3)DM+DN＝8 8．(1) (2)② 9．（1）；（2）①；②的最大值为；（3）存在，点的坐标：，，． 10．（1）y＝﹣x2+x；（2）①C的坐标为（，﹣2），②AE的最小值为2﹣2， 11．(1)二次函数的表达式为，顶点D的坐标为； (2)当时，点P的坐标为 (3)这个定值为9 12．(1);（2）②不变,. 13．(1) (2)当时，线段的最大值为4，此时点的坐标为 (3)存在，或或 14．(1) (2) 15．(1) (2)或 (3) 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$