精品解析：四川省成都市列五中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

四川省成都市列五中学2024—2025学年高一上学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，再求解与的交集. 【详解】根据题意可得，则. 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由命题的否定的定义判断． 【详解】全称命题的否定是特称命题． 命题“，”的否定是：，． 故选：D． 3. 下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用函数奇偶性的定义和单调性的性质分别对各个选项分析判断即可. 【详解】对于A，为奇函数，在和上为减函数，而在定义域内不是减函数，所以A不合题意； 对于B，为奇函数，在定义域上为减函数，所以B符合题意； 对于C，为偶函数，所以C不合题意； 对于D，由于为非奇非偶函数，所以D不合题意， 故选：B. 4. 下列选项中，表示的是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同一函数的定义对每一选项的函数分析得解. 【详解】A. 函数定义域为R，函数的定义域为,两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数； B. 两函数的定义域相同，但是对应关系不同，所以它们不是同一函数； C. 函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数； D. 两函数的定义域都是R,函数，所以两函数的对应关系相同，所以两函数是同一函数. 故选D 【点睛】本题主要考查同一函数的定义及判断，考查函数定义域的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 5. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立. 【详解】当，时，， 则当时，有，解得，充分性成立； 当，时，满足，但此时，必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的定义域即可判断. 【详解】由于，得，所以的定义域是， 由此排除ABD选项，所以正确的选项为C. 故选：C. 7. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由偶函数定义域的对称性可求，从而可得在上为增函数，在上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，即可求解． 【详解】是定义在上的偶函数， ， ， 在上为增函数， 在上为减函数， 由可得， 解得或， 故不等式的解集为或 故选：B． 【点睛】本题主要考查不等式的解法，函数奇偶性和单调性的应用，属于中档题． 8. 设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可. 【详解】若时，，； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值； 若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得. 故选：B 【点睛】关键点睛：利用分类讨论法，结合最值的性质是解题的关键. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题自要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，集合，若，则实数的值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，则，分和进行讨论，从而确定的取值. 【详解】由，则， 又， 当时，则，此时符合题意； 当时，即，则， 当，即，此时，，符合题意； 当，即，此时，，符合题意； 故选：ACD. 10. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意，都满足，则下述正确的是（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法,对，取特殊值代入已知表达式进行求解，逐项分析即可． 【详解】对于A，令，则，故A正确 对于B，令，则，则，故B正确 对于C，令，则，所以， 又令，，则， 所以是奇函数，故C错误 对于D，令，，则， 所以，故D正确. 故选：ABD． 11. 已知x，y均为正实数，则（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的最大值为8 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式，可判定A、C正确，B错误，再由，化简得到，得出，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】A中，因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以，即的最大值为，所以A正确； B中，由，则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，所以B不正确； C中，若，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； D中，由，可得， 则， 令，则， 又由，所以当，可得， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质求解. 【详解】∵，∴， 又∵，∴， ∴的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】由可知函数在定义域内单调递减，结合分段函数单调性可列不等式，进而可得解. 【详解】由，不妨设， 则，， 则函数在上单调递减， 当时，单调递减，则，即， 当时，单调递减，则， 又函数在上单调递减，则，即， 综上所述，， 故答案为：. 14. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】化简可得，再变换形式利用基本不等式求解即可. 【详解】即，恒成立. 又 . 当且仅当，即，时取等号，故 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 集合，，. （1）求； （2）现有两个条件：①，②条件，，若是的充分不必要条件；在这两个条件中任选一个填到横线上，并解答本题，选择多个条件作答时，按第一选择给分. 已知______，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）选①或②， 【解析】 【分析】（1）先求出集合,,根据集合的并集运算求得答案； （2）若选①，则可得，考虑为空集情况，列出相应的不等式组求解； 若选②，可知是的真子集，考虑为空集情况，列出相应的不等式组求解； 【小问1详解】 ，解得 ， ∴． ， 解得，∴． ∴． 【小问2详解】 选①：∵，∴． 当，即时，满足题意； 当，即，解得． 综上，． 选②：条件，，若是的充分不必要条件，则是的真子集, 当，即时，满足题意； 当，即，与不同时成立，解得． 综上，． 16. 设函数． （1）命题，使得成立．若为假命题，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）由题意可得不等式在R上恒成立，讨论a是否为0，结合判别式解不等式，即可求得答案； （2）不等式等价于，分类讨论a的取值范围，确定与1的大小关系，即可求得答案. 【小问1详解】 为假命题， ，恒成立为真命题，即不等式在R上恒成立， 当时，恒成立，则满足题意． 当时，需满足，解得， 综上，． 【小问2详解】 不等式等价于． 当时，则，原不等式即为，解得； 当时，则，解得或； 当时，则，解得或； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 17. 中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. （1）已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式； （2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 【答案】（1） （2）产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元 【解析】 【分析】（1）由分段代入计算即可得. （2）借助一次函数、二次函数的性质与基本不等式计算每段的利润最大值即可得. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 当时，， 所以的函数解析式为. 【小问2详解】 当时，， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当，即时取等号，则， 而，所以当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）证明：函数在区间上单调递增； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） ，且，有 ， ， ， ，即， 所以函数在区间上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再由求得，由此可得的解析式； （2）利用单调性的定义，结合作差法即可证明； （3）利用奇函数的性质得到，再利用（2）中结论去掉即可求解；特别强调，去掉时要注意定义域的范围. 【小问1详解】 由题意可知， ，即， ，， 又，即， ，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为为奇函数， 所以由，得， 又因为函数在区间上单调递增， 所以，解得，故， 所以实数的取值范围是 19. 已知是二次函数，且满足． （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在区间上的最小值的表达式． （3）在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）求出的对称轴为，然后进行分类讨论求解； （3）将问题转化为，求出，然后得到不等式，对进行分类讨论求解． 【小问1详解】 设， 又 即， ， 解得， 即， 【小问2详解】 由题意得，， 则二次函数的对称轴为， 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 所以； 【小问3详解】 在（2）的条件下，对任意的，存在， 使得成立， 即， 作如下图形： 故是单调递减函数， ，当时，， 当时，， ， ， ， 因为 所以时取最大值， 所以不等式， 解得：或； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，分段函数的解析式及最值问题、不等式中恒成立问题，利用分类讨论的思想及转化思想求解是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都市列五中学2024—2025学年高一上学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项中，表示的是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题自要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，集合，若，则实数的值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意，都满足，则下述正确的是（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 若，则 11. 已知x，y均为正实数，则（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的最大值为8 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的取值范围是______． 13. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是______ 14. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 集合，，. （1）求； （2）现有两个条件：①，②条件，，若是的充分不必要条件；在这两个条件中任选一个填到横线上，并解答本题，选择多个条件作答时，按第一选择给分. 已知______，求实数的取值范围. 16. 设函数． （1）命题，使得成立．若为假命题，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集. 17. 中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. （1）已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式； （2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）证明：函数在区间上单调递增； （3）若，求实数的取值范围． 19. 已知是二次函数，且满足． （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在区间上的最小值的表达式． （3）在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $