精品解析：江苏省扬州市梅岭集团2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

扬州市梅岭中学教育集团2024-2025学年第一学期期中考试试卷 初二年级 数学学科 （时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中．轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 2. 在实数﹣，0，﹣，506，π，0.101，中，无理数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】由于无理数就是无限不循环小数，利用无理数的概念进行判定即可． 【详解】解：在实数﹣，0，﹣，506，π，0.101，中，、、是无理数，共计3个，其他的为有理数， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但是不循环的无限小数，如0.1010010001…，等． 3. 我市某部门2021年年初收入预算为元，关于近似数，是精确到（ ） A. 百分位 B. 百位 C. 千位 D. 万位 【答案】D 【解析】 【分析】将还原为原数，根据4所在的位数即可求解． 【详解】解：， ∴近似数精确到万位． 故选：D 【点睛】本题考查了近似数的精确度，考虑近似数的精确度时，一般要将科学记数法表示的数还原为原数，再进一步确定近似数的精确度． 4. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 5. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 9，40，41 C. 6，7，8 D. 1，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股数的定义进行分析即可． 【详解】解：A、0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数； B、∵，∴9、40、41是勾股数； C、，∴6，7，8不是勾股数； D、，均不是整数，∴1，，不是勾股数； 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数． 6. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，三角形的三边关系，根据全等三角形的判定解决问题即可． 【详解】解：A、因为，所以不存在三角形，本选项不符合题意； B、边边角，不能唯一确定三角形，本选项不符合题意； C、角边角，能唯一确定三角形，本选项符合题意； D、边角，不能确定三角形，本选项不符合题意． 故选：C． 7. 如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管、、，添的钢管长度都与相等，则最多能添加这样的钢管（ ） A. 4根 B. 5根 C. 6根 D. 7根 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形外角性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算求解． 【详解】解：如图所示，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 故，不能再添加了． 综上，最多能添加这样的钢管5根． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 8. 如图，为等边的高，E、F分别为线段上的动点，且，当取最小值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和判定，最短路径问题，作出辅助线，当取最小值时点的位置是解题的关键．作，使，连接交于点，连接，证明，根据两点间线段最短确定点的位置，即可求出答案． 【详解】解：作，使，连接交于点，连接， 等边，，， ， , ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当为与的交点时，的值最小， 此时， ． 故选D． 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 实数4的算术平方根为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 10. 已知实数x、y满足|x﹣6|+（y﹣7）2＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长为 ________． 【答案】19或20 【解析】 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分x的值是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】解：根据题意得x﹣6＝0，y﹣7＝0， 解得x＝6，y＝7， ①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、7，能组成三角形，三角形的周长为19． ②6是底边时，三角形的三边分别为6、7、7，能组成三角形，三角形的周长为20． 故答案为：19或20． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断． 11. 一个正数的两个平方根为和，则这个数为________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据一个正数有两个平方根且它们互为相反数直接计算求出的值，然后再根据平方根的定义求出这个数． 【详解】解：由题意得，， 解得， ，， ， 这个数为16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了平方根的定义与性质，掌握平方根的定义与性质是解题的关键． 12. 已知整数满足：，则的值为__________； 【答案】4 【解析】 【分析】先估算出两个无理数的范围，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴的值为4； 故答案为：4． 【点睛】本题考查无理数的估算．熟练掌握夹逼法求无理数的范围，是解题的关键． 13. 在中，分别垂直平分，．若，则的周长是___________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质计算即可． 【详解】∵，分别垂直平分，， ∴， ∴的周长是， ∵， ∴的周长是． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 14. 如图，，，，，则__． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，有全等三角形的性质可得出，再利用三角形内角和定理可得出，最后再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，DA=AB=，BC=，DC=1．则∠ADC的度数是______． 【答案】135° 【解析】 【分析】连接BD，根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理判断∠CDB=90°，计算即可． 【详解】解：连接BD， ∵∠A=90°，AD=AB=， ∴∠ADB=45°， 在Rt△ADB中，BD2=AD2+AB2=2+2=4， 在△CDB中，CB2-DC2=()2-12=4， ∴CB2-DC2=BD2， ∴∠CDB=90°， ∴∠ADC=∠ADB+∠CDB=135°． 故答案为135°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接BD，并证明△BCD是直角三角形． 16. 如图，，分别是的中点，若，，则的长为___________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半得出，，再利用N是CD的中点，得出，即有；利用，，求出，，由勾股定理求出NM即可． 【详解】解：∵，M、N分别是AB、CD的中点， ∴，， ∴， ∵N是CD的中点， 在和中，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵，N是CD的中点， ∴， ∴在中，有， 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查了勾股定理和直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半等知识，利用已知得出MC=MD是解题关键． 17. 如图，，均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，，与相交于点，与相交于点，连接，下列结论正确的有______． ①；②；③；④；⑤平分 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是可先证明，可判断①；再证明，可判断②；可证明为等边三角形，可判断③；利用等边三角形的三线合一可判断④，最后根据全等的性质得到，，再利用角平分线的判定可求得答案． 【详解】解：，均为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ， 又由上可知， ， 在和中， ， ， ，故②正确； 为等边三角形， ， ，故③正确； 若，则平分， 则，而由条件无法得出这一条件， 故④不正确； ∵， ∴，， ∴点B到、的距离相等， ∴B点在的平分线上， 即平分； ∴⑤正确； 综上可知正确的有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 18. 如图，在的同侧，，点M为的中点，若，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接，，，为等腰直角三角形，进一步即可解决问题． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接，，，点M为的中点，． ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴的最大值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考常考题型． 三、解答题（共96分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，零次幂的含义，乘方运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算算术平方根，零次幂，乘方运算，再合并即可； （2）先计算乘方，化简绝对值，计算立方根，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 求下面各式中的： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平方根，立方根求方程的解，掌握平方根，立方根的计算是关键． （1）运用平方根的计算求方程的解 （2）运用立方根的计算求方程的解． 【小问1详解】 解：， 系数化为1得，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解： 移项得，， 系数化为1得，， ∵， ∴， ∴． 21. 已知的平方根为，的立方根为2，若c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根，立方根的意义可得，，从而可得，然后再估算出的值的范围，从而求出c的值，最后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：∵的平方根为，的立方根为2， ∴，， 解得：， ∵， ∵， ∴的整数部分为3，即， ∴， 而25的平方根为， ∴的平方根． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，熟练掌握估算无理数的大小，以及平方根与立方根的意义是解题的关键． 22. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C均落在格点上. （1）画出关于直线的轴对称图形． （2）连接、，则的面积为______． （3）在直线上画出点，使的值最小，这个最小值是______． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） （3） 如图，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、割补法求三角形面积、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）连接，交直线于点，此时的值最小，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：由轴对称的性质可得， ∴，由两点之间线段最短可得，此时的值最小为， 由勾股定理可得． 23. 如图，D是的边上一点，，交于点E，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴； （2）3 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质， （1）根据平行线得到角度关系，再根据角角边判定直接证明即可得到答案； （2）根据三角形全等对应边相等直接求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即的长是3． 24. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边．求水深和芦苇长各是多少尺？ 【答案】水深尺，芦苇长尺 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺， 因为尺，所以尺， 在中，， 解之得， 即水深尺，芦苇长尺． 25. 对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （）仿照以上方法计算： ； ． （）若，写出满足题意的的一个整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次 ，这时候结果为． （）对连续求根整数， 次之后结果为． （）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】（）； （）（或，答案不唯一） （） （） 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，无理数大小估算等知识点，读懂题意，理解根整数的定义是解题的关键． （）先估算和的大小，再根据新定义即可得出答案； （）根据定义可得，进而可得到满足题意的的整数值； （）根据定义对连续求根整数，即可得出答案； （）由（）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进而可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，于是得解． 【详解】解：（）∵，，， ， ∴， ∴，， 故答案为：，； （）∵，且， ∴， ∴满足题意的的整数值为：或或， 故答案为：或或； （）第一次：， 第二次：， 第三次：， 故答案为：； （）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中最大的是，理由如下： 由（）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∴对一个正整数进行次连续求根整数运算后结果为，这个正整数最大值为， 故答案为：． 26. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，，显然．（对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，在中，，是边上的高，，求的长度； （3）如图4，在中，是边上的高，，求的长． 【答案】（1） 解：， ， ， ， ， 化简得：； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，构造直角三角形是解题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积进行计算即可； （3）利用勾股定理求出，列出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ， 是边上的高， ， ； 【小问3详解】 解：设， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ． 27. [提出问题]如图，在中，，，点是边上一点(不与重合)，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系为__________． [类比探究]如图，在与中，，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段之间的数量关系，并证明你的结论． [迁移应用]如图，在四边形中，，若，，求的长． 【答案】提出问题：； 类比探究：． 证明：如图， 由（）得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， ∴； 迁移应用： 【解析】 【分析】提出问题：证明，得到，进而得，即可求解； 类比探究：由可得，， 进而得，得到，又由勾股定理得，即得； 迁移应用：作，使，连接，如图，可证，得到，又由可得，即得，进而由即可求解； 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：提出问题：由旋转得，， ∴， 即， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 类比探究：略 迁移应用：作，使，连接，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∴． 28. 在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8． （1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）． ①如图①，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即△AEP的位置，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时DE＝　 　． ②如图②，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长． （2）如图③，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B’处，求BQ的长． 【答案】（1）①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，再作∠EAB的角平分线交BC于点P，连接EP、AP，如下图： DE=6； ②； （2）4或16 【解析】 【分析】（1）①如图1，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，作的角平分线交于点，则点即所求，根据勾股定理求得的长；②由折叠的性质可知设BP＝EP＝x，可求得△GEF≌△PCF（ASA），再勾股定理求解即可； （2）分两种情况进行讨论，点Q在线段AB上和点Q在BA延长线上，分别求解即可． 【详解】解：（1）① 由矩形的性质可知： ∴ ②由折叠的性质，可设BP＝EP＝x， 在和中 ∴△GEF≌△PCF（ASA） ∴GF＝FP，GE＝CP＝8－x ∴GC＝EP＝x ∴ ∴在Rt△ADG中， 解得x＝，即BP＝ （2）①点Q在线段AB上， 由翻折得， ∵CD∥AB， ∴∠DCQ＝∠CQB ∴∠DCQ＝∠CQD ∴CD＝QD＝10 ∵ ∴ ∴ ②点Q在BA延长线上 由翻折得 ∵CD＝10， ∴ 设 ∴在Rt△ADQ中， 解得x＝16，即BQ＝16 综上所述，BQ＝4或16 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，折叠变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程求解问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市梅岭中学教育集团2024-2025学年第一学期期中考试试卷 初二年级 数学学科 （时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中．轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 在实数﹣，0，﹣，506，π，0.101，中，无理数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 我市某部门2021年年初收入预算为元，关于近似数，是精确到（ ） A. 百分位 B. 百位 C. 千位 D. 万位 4. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 5. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 9，40，41 C. 6，7，8 D. 1，， 6. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 7. 如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管、、，添的钢管长度都与相等，则最多能添加这样的钢管（ ） A. 4根 B. 5根 C. 6根 D. 7根 8. 如图，为等边的高，E、F分别为线段上的动点，且，当取最小值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 实数4的算术平方根为_____． 10. 已知实数x、y满足|x﹣6|+（y﹣7）2＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长为 ________． 11. 一个正数的两个平方根为和，则这个数为________． 12. 已知整数满足：，则的值为__________； 13. 在中，分别垂直平分，．若，则的周长是___________． 14. 如图，，，，，则__． 15. 如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，DA=AB=，BC=，DC=1．则∠ADC的度数是______． 16. 如图，，分别是的中点，若，，则的长为___________． 17. 如图，，均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，，与相交于点，与相交于点，连接，下列结论正确的有______． ①；②；③；④；⑤平分 18. 如图，在的同侧，，点M为的中点，若，则的最大值是______． 三、解答题（共96分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 求下面各式中的： （1）； （2）． 21. 已知的平方根为，的立方根为2，若c是的整数部分，求的平方根． 22. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C均落在格点上. （1）画出关于直线的轴对称图形． （2）连接、，则的面积为______． （3）在直线上画出点，使的值最小，这个最小值是______． 23. 如图，D是的边上一点，，交于点E，． （1）求证：． （2）若，求的长． 24. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边．求水深和芦苇长各是多少尺？ 25. 对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （）仿照以上方法计算： ； ． （）若，写出满足题意的的一个整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次 ，这时候结果为． （）对连续求根整数， 次之后结果为． （）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ． 26. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，，显然．（对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，在中，，是边上的高，，求的长度； （3）如图4，在中，是边上的高，，求的长． 27. [提出问题]如图，在中，，，点是边上一点(不与重合)，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系为__________． [类比探究]如图，在与中，，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段之间的数量关系，并证明你的结论． [迁移应用]如图，在四边形中，，若，，求的长． 28. 在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8． （1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）． ①如图①，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即△AEP的位置，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时DE＝　 　． ②如图②，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长． （2）如图③，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B’处，求BQ的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $