河北省唐山市开滦市第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

试卷第 1 页，共 2 页 开滦二中 2024~2025 学年高二年级第一学期期中考试 数学试卷 命题人：高丽洁 审核人：杨秀江 说明：1、本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分 2、本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 一、单项选题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分） 1、两平行直线2 3 2 0  x y 与4 6 7 0x y   之间的距离为（ ） A． 13 26 B． 13 13 C． 3 13 26 D． 5 13 26 2、若{ , , }a b c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A． b c ， c ，b c B． b ， a b ，a b C． a b ，a b ， c D． a b ，a b c  ， c 3．若点  1,2P  在圆 C： 2 2 0x y x y m     的外部，则 m 的取值可能为（ ） A．5 B．1 C． 4 D． 7 4．直线  1 : 1 2 1 0l a x ay    和直线 2 : 3 0l ax y   ，则“ 1a  ”是“ 1 2l l ”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5、如图，在直三棱柱 1 1ABC AB C 中， 2AC  ， 3BC  ， 1 4CC  ， 90ACB  ，则 1BC 与 1AC 所成的角的余弦值为（ ） A． 3 2 10 B． 82 10 C． 305 25 D． 8 5 25 6．已知  4,2M 是直线 l 被椭圆 2 24 36x y  所截得的线段𝐴𝐵的中点，则直线 l 的方程为 （ ） A．2 8 0x y   B． 2 8 0x y   C． 2 8 0x y   D．2 6 0x y   7．若圆   2 2 2 1 : ( 1) ( 2) 0C x y r r     上恰有 2 个点到直线 : 4 3 10 0l x y   的距离为 1，则 实数 r 的取值范围为（ ） A．  3, B．  5, C．  3,5 D． 3,5 8． ,x y R，函数       2 2 1 , 1 4 3 4 5 5 f x y x y x y       的最小值为（ ） A．2 B． 12 5 C． 14 5 D． 16 5 二、多项选择题（本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每个小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分） 9．已知椭圆 2 2 : 1 12 8 x y C   的长轴端点分别为 1 2,A A ，两个焦点分别为 1 2, ,F F P是C 上任意 一点，则（ ） A．椭圆C 的离心率为 3 3 B． 1 2PF F 的周长为  4 3 1 C． 1 2PA A△ 面积的最大值为4 2 D． 1 2 0PF PF  10．以下四个命题为真命题的是（ ） A．过点  10,10 且在 x轴上的截距是在 y 轴上截距的 4 倍的直线的方程为 1 15 4 2 y x   B．直线  cos 3 2 0x y    R 的倾斜角的范围是 π 5π 0, ,π 6 6            C．当点  3,2P 到直线 1 2 0mx y m    的距离最大时，m的值为 1 D．直线 2 3 0x y   关于 1,0A 对称的直线方程为 2 1 0x y   11、已知点 P 在曲线 2 2x y x y   上，点  2,0Q ，则|𝑃𝑄|的可能取值为（ ） A． 3 2 B．1 C． 26 2 2  D．4 试卷第 2 页，共 2 页 三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12．．已知空间中 , ,A B C 三点的坐标分别为 (1,1, 1),(0,0,1),( 1,1,0)  ，则点C 到直线 AB的距 离为 . 13．若曲线 24y x  与直线 0x y m   有两个公共点，则实数 m 的取值范围是 ． 14、已知    1 22,0 , 2,0F F ，点 P 是直线 4 19 0l x y  : 上的一点，以 1 2,F F 为焦点的椭圆过 点 P，则当该椭圆的离心率取得最大值时，该椭圆的方程为 ． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，用黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，答在 试卷上无效） 15、（本题 13 分）已知直线 l过定点  2,3P ，根据下列条件求直线 l 的方程. (1)若直线 l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为 16； (2)若直线 l 与圆 C： 2 2( 1) 1  x y 相切，求直线 l 的方程. 16、（本题 15 分）如图，在六棱柱 1 1 1 1 1 1ABCDEF A B C D E F 中，底面 ABCDEF 是正六边形， 设 ,AB a AF b  ， 1AA c ． 若 1 1 1 1 cos cos , 2, 4 4 BAA FAA AB AA      ，求： （1）试用向量 , ,a b c 表示 1A D， 1AC ，并求 1 1AC A D 的值； （2）求 1AE ． 17、（本题 15 分）已知圆 C：     2 2 22 3 ( 0)    x y r r 与圆C：   22 1 5x y   . (1)若圆 C 与圆C相外切，求 r 的值. (2) 若 r=1，试求: ①圆 C 与圆C所得的公共弦长； ②经过两圆 C 与圆C的交点且与 y 轴相切的圆 M 的方程. 18．（本题 17 分）在Rt ABC△ 中， 90C  ， 3BC  ， 6AC  ， ,D E 分别是 ,AC AB上的 点，满足DE BC∥ 且DE 经过 ABC 的重心，将 ADE沿DE 折起到 1A DE△ 的位置，使 1AC CD ，M 是 1A D的中点，如图所示. (1)求证： 1AC 平面BCDE； (2)求CM 与平面 1A BE 所成角的大小； (3)在线段 1AC 上是否存在点N ，使平面CBM 与平面BMN 成角余弦值为 3 4 ？若存在， 求出CN 的长度；若不存在，请说明理由. 19、（本题17分）已知O为坐标原点，P 是圆   2 2 2: 2 1 4 0 1A x y x a a      上一点，且  1 0B , ， 线段 PB的垂直平分线交线段PA于点M ，设动点M 的轨迹为曲线C ，且曲线C 与直线 3y  相切． (1)求C 的方程； (2)过点  0,4 且斜率为 k 的直线 l 与曲线C 交于 ,D E 两点，求 ODE面积的最大值． 试卷第 1 页，共 23 页 开滦二中 2024~2025 学年高二年级第一学期期中考试 数学试卷 （参考答案及评分标准） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C B D B C C 题号 9 10 11 12 13 14 答案 ABD BCD BC 21 3 2,2 2 2 2 1 25 21 x y   一、单项选题（本题共 8个小题，每小题 5分，共 40分） 1、两平行直线 2 3 2 0  x y 与 4 6 7 0x y   之间的距离为（ ） A ． 13 26 B ． 13 13 C ． 3 13 26 D ． 5 13 26 答案： C 【详解】由题意 4 6 7 0x y   化为 7 2 3 0 2 x y   ， 所以两平行直线 2 3x y  2 0 与 4 6 7 0x y   之间的距离为 2 2 7 2 3 132 262 ( 3) d       ．故选： C ． 2、若 { , , }a b c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A ． b c ， c ， b c B ． b ， a b ， a b 试卷第 2 页，共 23 页 C ． a b ， a b ， c D ． a b ， a b c  ， c 【答案】 C 【分析】根据共面向量定理，即可判断三个向量是否共面 . 【详解】 A.  2b c c b c    ，所以 b c ， c ， b c 是共面向量，故 A 错误； B .     1 1 2 2 b a b a b    ，所以 b ， a b ， a b 是共面向量，故 B 错误； C.不存在实数 , ，使  a b a b c     ，所以 a b ， a b ， c 不是共面向量，故 C 正确； D.  a b a b c c     ，所以 a b ， a b c  ， c 是共面向量，故 D 错误 . 故选： C 3．若点  1,2P  在圆 C： 2 2 0x y x y m     的外部，则 m 的取值可能为（ ） A ． 5 B ． 1 C ． 4 D ． 7 【答案】 C 【分析】根据点在圆外及方程表示圆求出 m 的范围得解 . 【详解】因为点  1,2P  在圆 C： 2 2 0x y x y m     的外部， 所以 2 2( 1) 2 1 2 0m      ，解得 6m   ， 试卷第 3 页，共 23 页 又方程表示圆，则 1 1 4 0m   ，即 1 2 m  ， 所以 1 6 2 m   ，结合选项可知，m 的取值可以为 4 .故选：C 4．直线  1 : 1 2 1 0l a x ay    和直线 2 : 3 0l ax y   ，则 “ 1a  ”是“ 1 2l l ”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 B 【分析】求出两直线垂直时参数值，再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】 1 2l l ，则 ( 1) 2 0a a a   ，解得 1a  或 0a  ，题中应是充分不必要条件，故选： B ． 5、如图，在直三棱柱 1 1ABC AB C 中， 2AC  ， 3BC  ， 1 4CC  ， 90ACB  ，则 1BC 与 1AC 所成的角 的余弦值为（ ） A ． 3 2 10 B ． 82 10 C ． 305 25 D ． 8 5 25 【答案】 D 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用 1 1 1 1 1 1 cos , BC CA BC CA BC CA    计算出 1BC 与 1AC 所成的角的余弦值 . 试卷第 4 页，共 23 页 【详解】以 C 为坐标原点， 1, ,CA CB CC 所在直线分别为 , ,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 则        1 10,0,0 , 2,0,4 , 0,3,0 , 0,0,4C A B C ， 则    1 10, 3,4 , 2,0,4BC CA   ， 则 1BC 与 1AC 所成的角的余弦值为    1 1 1 1 1 1 0, 3,4 2,0,4 16 8 5 cos , 259 16 4 16 10 5 BC CA BC CA BC CA           . 6．已知  4,2M 是直线 l 被椭圆 2 24 36x y  所截得的线段 𝐴𝐵的中点，则直线 l 的方程为（ ） A ． 2 8 0x y   B ． 2 8 0x y   C ． 2 8 0x y   D ． 2 6 0x y   【答案】 B 【分析】设出直线 l 方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用 k 表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于 k 的方程可得解 . 【详解】当直线 l 的斜率不存在时，由对称性可知 l 被椭圆截得线段 AB 的中点在 x 轴上，不合题意； 故可设直线 l 的方程为  2 4y k x   ，代入椭圆方程 2 24 36x y  化简得，    2 2 2 21 4 16 32 64 64 20 0k x k k x k k       ， 试卷第 5 页，共 23 页 有 0  ， 2 1 2 2 32 16 8 1 4 k k x x k      ，解得 1 2 k   ， 所以直线 l 的方程为   1 2 4 2 y x    ，即 2 8 0x y   . 故选： B . 7．若圆  2 2 21 : ( 1) ( 2) 0C x y r r     上恰有 2 个点到直线 : 4 3 10 0l x y   的距离为 1 ，则实数 r 的取值范围为（ ） A ．  3, B ．  5, C ．  3,5 D ．  3,5 【答案】 C 【分析】求出与直线 l 平行且到直线 l 的距离为 1 的直线的方程为 4 3 5 0x y   和 4 3 15 0x y   ，数形结合可知，圆 1C 与直线 4 3 5 0x y   相交，与直线 4 3 15 0x y   相离，利用点到直线的距离公式可求得 r 的取值范围 . 【详解】如图所示 . 设与直线 l 平行且与直线 l 之间的距离为 1 的直线方程为 4 3 0x y c   ， 则 2 2 10 1 4 ( 3) c     ，解得 5c   或 15c   ， 圆心  1 1, 2C  到直线 4 3 5 0x y   的距离为 1 2 2 4 6 5 3 4 ( 3) d        ， 试卷第 6 页，共 23 页 圆  1 1,2C  到直线 4 3 1 5 0x y   的距离为 2 2 2 4 6 15 5 4 ( 3) d        ， 由图可知，圆 1C 与直线 4 3 5 0x y   相交，与直线 4 3 15 0x y   相离， 所以 1 2d r d  ，即 3 5r  . 故选： C 8． ,x y R，函数       2 2 1 , 1 4 3 4 5 5 f x y x y x y       的最小值为（ ） A ． 2 B ． 12 5 C ． 14 5 D ． 16 5 【答案】 C 【分析】利用两点之间的距离及点到直线的距离公式计算即可 . 【详解】设点  ,A x y ，  1,4B 和直线 : 3 4 5 0l x y   ， ,A B到 l 的距离分别为 1 2,d d ， 易知   1,f x y A B d  ，显然   1 2 3 1 4 4 5 14 , 5 5 f x y AB d d          .当且仅当 ,A B重合时取得等号 . 故选： C 二、多项选择题（本题共 3个小题，每小题 6分，共 18分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分 选对得部分分，有错选得 0分） 9．已知椭圆 2 2 : 1 12 8 x y C   的长轴端点分别为 1 2,A A ，两个焦点分别为 1 2, ,F F P 是 C 上任意一点，则（ ） A ．椭圆 C 的离心率为 3 3 B ． 1 2PF F 的周长为  4 3 1 试卷第 7 页，共 23 页 C ． 1 2PA A△ 面积的最大值为 4 2 D ． 1 2 0PF PF  【答案】 A B D 【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解 . 【详解】椭圆 2 2 : 1 12 8 x y C   的长半轴长 2 3a  ，短半轴长 2 2b  ，半焦距 2 2 2c a b   ， 对于 A ，椭圆 C 的离心率为 3 3 c e a   ，故 A 正确； 对于 B ， 1 2PF F 的周长为  2 2 4 3 1a c   ，故 B 正确； 对于 C ， 1 2 2 4 3A A a  ，设  0 0 0, , 2 2P x y y  ，则 1 2PA A△ 面积的最大值为 1 2 1 1 2 2 2 2 A A    4 3 2 2 4 6  ，故 C 错误； 对于 D ，设       2 20 0 1 2 0 0 2 , , 2,0 , 2,0 , 8 3 P x y F F y x   ，    1 0 0 2 0 02 , , 2 ,PF x y PF x y       ， 因此 2 2 2 1 2 0 0 0 1 4 4 0 3 P F P F x y x      ，故 D 正确 . 故选： A B D. 10．以下四个命题为真命题的是（ ） A ．过点  10,10 且在 x 轴上的截距是在 y 轴上截距的 4 倍的直线的方程为 1 15 4 2 y x   试卷第 8 页，共 23 页 B ．直线  cos 3 2 0x y    R 的倾斜角的范围是 π 5π 0, ,π 6 6            C ．当点  3,2P 到直线 1 2 0mx y m    的距离最大时， m 的值为 1 D ．直线 2 3 0x y   关于 1, 0A 对称的直线方程为 2 1 0x y   【答案】 B C D 【分析】利用直线的截距式分直线是否过原点分别求解即可判断选项 A ；求出直线的斜率根据 tank  （  为倾斜角）即可求解；根据 直线 BC 垂直于 x 轴，即可得出 BC 边的中垂线平行于 x 轴且过 BC 的中点，即可求出直线方程；设出对称直线上任一点的坐标，利用中 点坐标更是求出关于点 A 的对称点，将其代入直线方程 2 3 0x y   即可求解 . 【详解】选项 A ，当直线过原点时直线方程为 y x  ， 当直线不过原点时，设直线方程为 1 4   x y b b ， 将点  1 0 , 1 0 代入得 10 10 1 4b b    ，解得 15 2 b  ， 所以直线方程为 1 15 4 2 y x   ， 综上所述该直线方程为 y x  或 1 15 4 2 y x   ，错误； 选项 B ，因为直线  cos 3 2 0x y    R 的斜率为 3 cos 3 k   ，所以 3 3 3 3 k   ， 所以倾斜角的范围是 π 5π 0, ,π 6 6             ，正确； 试卷第 9 页，共 23 页 选项 C ， .将直线方程变形为  2 1 0m x y    ，由 2 0 1 0 x y      得 2 1 x y    ， 直线 1 2 0mx y m    过定点  2,1Q ，斜率为 m . 当直线 1 2 0mx y m    与 PQ垂直时，点  3,2P 到直线 1 2 0mx y m    的距离最大 . 因为 2 1 1 1, 3 2 PQ PQk mk ，所以 1 1 PQ m k     ，选项 C 正确； 选项 D ，设直线 2 3 0x y   关于  1, 0A 对称的直线上任意一点的坐标为  0 0,x y ， 则该点关于点  1,0A 对称的点为  0 02 ,x y  ， 将  0 02 ,x y  点代入 2 3 0x y   得 0 02 1 0x y   ，即 2 1 0x y   ，故 D 正确； 故选： BCD . 11、已知点 P 在曲线 2 2x y x y   上，点  2 , 0Q ，则 |𝑃𝑄|的可能取值为（ ） A ． 3 2 B ． 1 C ． 26 2 2  D ． 4 【答案】 B C 【分析】根据对称性可知：只需讨论 x 轴以及其上方的图象即可，分 0, 0x y  和 0, 0x y  两种情况， 试卷第 10 页，共 23 页 结合圆的性质分析求 |𝑃𝑄|的最值，结合选项分析判断 . 【详解】对于方程 2 2x y x y   ， 将 y 换成 y 可得：   22x y x y     ，即 2 2x y x y   ， 可知曲线关于 x 轴对称， 且点  2 , 0Q 在 x 轴上，则只需讨论 x 轴以及其上方的图象即可， 当 0, 0x y  ，则曲线方程化为 2 2x y x y   ，即 2 2 1 1 1 2 2 2 x y                ， 此时曲线为以 1 1 , 2 2 A       为圆心，半径 1 2 2 r  的半圆， 可知 1m i n 1 0 2 2 P Q A Q r     ，当且仅当 P 为线段 AQ 与曲线的交点 1P 时，等号成立； 当 0, 0x y  ，则曲线方程化为 2 2x y x y    ，即 2 2 1 1 1 2 2 2 x y                ， 此时曲线为以 1 1 , 2 2 B       为圆心，半径 2 2 2 r  ， 可知 2m a x 2 6 2 2 P Q B Q r     ，当且仅当 P 为 QB 的延长线与曲线的交点 2P 时，等号成立； 即 10 2 26 2 2 2 PQ     ， 试卷第 11 页，共 23 页 结合选项可知： A D 错误； B C 正确 . 故选： B C. 三、填空题(本题共 3小题，每小题 5分，共 15分) 12．．已知空间中 , ,A B C 三点的坐标分别为 (1,1, 1),(0,0,1),( 1,1,0)  ，则点 C 到直线 AB 的距离为 . 【答案】 21 3 【分析】根据题意，求得 ( 1, 1,2), ( 2,0,1)AB AC     ，结合点到直线的向量公式，即可求解 . 【详解】由点 (1,1, 1), (0,0,1), ( 1,1,0)A B C  ，可得 ( 1, 1,2), ( 2,0,1)AB AC     ， 所以点 C 到直线 AB 的距离为 2 24 211 ( ) 5 1 ( ) 36 5 AB AC d AC AB AC          ， 所以点 C 到直线 AB 的距离为 21 3 . 故答案为： 21 3 . 13．若曲线 24y x  与直线 0x y m   有两个公共点，则实数 m 的取值范围是 ． 【答案】 2,2 2 【分析】画出图形，根据点到直线的距离公式与数形结合的思想计算即可求解 . 【详解】由 24y x  可得   2 2 4 0x y y   ， 试卷第 12 页，共 23 页 即曲线 24y x  表示以原点为圆心， 2 为半径的圆的上半部分， 画出图形，可得当直线 l 经过点 𝐴(−2,0)时， 2m  ， 当直线与曲线相切时，由圆心到直线的距离 2 2 m  可得 2 2m   ，由图可得 2 2m  ， 所以要使直线与曲线有两个公共点，则 2 2 2m  . 故选： C. 故答案为： [2,2 2) 14、已知    1 22,0 , 2,0F F ，点 P 是直线 4 19 0l x y  : 上的一点，以 1 2,F F 为焦点的椭圆过点 P ，则当该椭 圆的 离心 率 取得 最大 值时 ， 该椭圆的方程为 ． 【答案】 2 2 1 25 21 x y   【分析】结合椭圆的定义利用直线对称点结合三角形两边之和大于第三边求解出长轴 a 的取值范围，离心率最大即半长轴 a 取最小值 , 从而求解出椭圆的方程 . 【详解】由题意知：椭圆以    1 22,0 , 2,0F F 为焦点，所以 2c  ， 因为椭圆过点 P ，所以 1PF  2 2PF a ， 试卷第 13 页，共 23 页 设点 2F 关于直线 4 19 0l x y  : 对称的点为  ,A m n ， 则 1 1, 2 4 2 4 19 0, 2 2 n m m n                   解得： 4, 8, m n    所以 1 2 1 12a PF PF PF PA AF     ，当且仅当 1, ,P A F 三点共线时等号成立， 又   2 2 1 4 2 8 10AF     ，所以 2 1 0a  ，即 5a  ， 所以当 5a  时该椭圆的离心率取得最大值， 所以该椭圆的方程为 2 2 1 25 21 x y   ． 故答案为： 2 2 1. 25 21 x y   四、解答题（本题共 5小题，共 77 分，用黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，答在试卷上无效） 15、（本题 1 3 分）已知直线 l 过定点  2 , 3P ，根据下列条件求直线 l 的方程 . (1)若直线 l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为 1 6 ； (2)若直线 l 与圆 C： 2 2( 1) 1  x y 相切，求直线 l 的方程 . 【答案】 ( 1) 2 8 0x y   或 9 2 24 0x y   . (2) 6 16 0x y   试卷第 14 页，共 23 页 【详解】（ 1 ）由题意可知直线斜率存在，设直线截距方程为 1 x y a b   ， 则 2 3 1 a b   ，与 1 16 2 S ab  ------------------------------------------------------- ------------2 分 联立可得 8, 4a b  或 8 , 12 3 a b  . ------------------------------------------------------- ------------4 分 故直线 l 的方程为 2 8 0x y   或 9 2 24 0x y   .---------------------------------------------------5 分 （ 2 ）由题意 ①当直线斜率不存在时，直线 l 方程为 2x ，此时与圆 C 相切，符合题意 ---------------7 分 ②当直线斜率存在时，设直线 l 点斜式方程为 3 ( 2)  y k x ，即 3 2 0   k x y k ， 因为直线 l 与圆 C 相切，所以 2 | 3 | 1 1    k k ， -----------------------------------------------------10 分 解之可得 4 3 k ，此时直线 l 方程为 4 3 1 0  x y ---------------------------------------------- 12 分 综上直线 l 的方程为 2x 或 4 3 1 0  x y ------------------------------ -------------------------13 分 16、（本题 1 5 分）如图，在六棱柱 1 1 1 1 1 1ABCDEF A B C D E F 中，底面 ABCDEF 是正六边形，设 ,AB a AF b  ， 1AA c ． 若 1 1 1 1 cos cos , 2, 4 4 BAA FAA AB AA      ，求： （ 1 ）试用向量 , ,a b c 表示 1A D ， 1AC ，并求 1 1AC A D 的值； 试卷第 15 页，共 23 页 （ 2 ）求 1AE ． 【答案】 ( 1) 1 2 2A D a b c   ， 1 2AC a b c   ， 1 1 14AC A D  (2) 1 2 10AE  【详解】（ 1 ）如图，连接 AD， 因为六边形 ABCDEF 为正六边形， 所以 1 2 A B A F A D  ，则 2 2AD a b  ， 所以 1 1 2 2A D AD AA a b c     ， -------------------------------------------------------------------2 分 1 1 1 2AC A D DC A D AF a b c       ； - ------------------------------------------------------------ 4 分 又因为六边形 ABCDEF 为正六边形，所以 2π 3 BAF  ， 又 1 1 1 1 cos cos , 2, 4 4 BAA FAA AB AA      ， 所以 2π 1 2 , 4 , c o s 2 , 2 3 4 a b c a b a b a c b c a c               ， - ------------------ 6 分 所以     2 2 21 1 2 2 2 4 2 6 3 4               AC A D a b c a b c a b c a b b c a c 16 8 16 12 6 8 14       ； - ------------------------------------------------------------ ----------8 分 试卷第 16 页，共 23 页 （ 2 ）因为 1 1 1 2 2 2AE AD DE EE AD AB AA a b a c a b c             ， - - --------------11 分 所以   2 2 2 2 1 2 4 4 4 2 4 1 6 1 6 8 8 4 2 1 0                  A E a b c a b c a b b c a c ----------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------15 分 17、（本题 1 5 分）已知圆 C：     2 2 22 3 ( 0)    x y r r 与圆 C：   22 1 5x y   . (1)若圆 C 与圆 C相外切，求 r 的值 . (2) 若 r=1，试求 : ①圆 C 与圆 C所得的公共弦长； ②经过两圆 C 与圆 C的交点且与 y 轴相切的圆 M 的方程 . 【答案】 ( 1) 2 2 5 ①√2 ② 2 2( 1) ( 2) 1   x y 或 2 2( 5) ( 6) 25   x y 【详解】（ 1 ）因为圆 C 的圆心为 ( 2,3)，半径为 r1=r；圆 C的圆心为 ( 0 ,1)，半径为 r2= 5 由题意知， 1 2'  CC r r ，即 2 2 5 r 所以 2 2 5 r ----------------------------------------------------------------- ----------------- 3 分 试卷第 17 页，共 23 页 （ 2 ）当 r=1 时，所以 2 2' 2 2 2 2  CC ， r1+r2=1+ 5 ， | r1－ r2|= 5 － 1 所以 5 1 ' 5 1   CC ，所以圆 C 与圆 C相交。 - ----------------------------------------4 分 ①所以两圆的公共弦所在直线方程为       2 2 222 3 1 1 5x y x y           整理得 4 0x y   ， - ------------------------------------------------------ ----------------------------6 分 圆心  0 , 1C 到直线 4 0x y   的距离 1 4 3 2 22 d    ， - -------------------------------------7 分 所以所求弦长为 2 3 2 2 5 2 2         ； - ------------------------------------ -------------------------9 分 ②由题可知设圆 M 的圆心 M(a，b)，半径为 r，则 M 在直线 'CC ： 1y x  上 所以 22 2 | | 1 | 4 | 2 21 1                    r a b a a b r ---------------------------------- -----------------------12 分 解得 1 2 1      a b r 或 5 6 5      a b r ---------------------------------------------------- -------------------14 分 试卷第 18 页，共 23 页 所以圆 M 的方程为 2 2( 1) ( 2) 1   x y 或 2 2( 5) ( 6) 25   x y -------------------------------- 15 分 18．（本题 1 7 分）在 Rt ABC△ 中， 90C  ， 3BC  ， 6AC  ， ,D E 分别是 ,AC AB 上的点，满足 DE BC∥ 且 DE 经过 ABC 的重心， 将 ADE沿 DE 折起到 1A DE△ 的位置，使 1AC CD ， M 是 1A D的中点，如图所示 . (1)求证： 1AC 平面 BC DE； (2)求 CM 与平面 1A B E所成角的大小； (3)在线段 1AC 上是否存在点 N ，使平面 CBM 与平面 BMN 成角余弦值为 3 4 ？若存在， 求出 CN 的长度；若不存在，请说明理由 . 【答案】 ( 1)证明见解析 (2) π 4 (3)存在， 3 或 2 3 【详解】（ 1 ）因为在 Rt ABC△ 中， 90C  ， DE BC∥ ，且 BC CD ， 所以 DE CD ， DE AD ，则折叠后， 1DE A D ， 试卷第 19 页，共 23 页 又 1 1, ,A D CD D A D CD 平面 1A C D， 所以 DE 平面 1A C D， 1AC 平面 1A C D，所以 1DE A C ， 又已知 1AC CD ， CD DE D 且都在面 BCDE 内，所以 1AC 平面 BC DE； - ----------------4 分 （ 2 ）由（ 1 ），以 CD为 x 轴， CB 为 y 轴， 1CA 为 z 轴，建立空间直角坐标系 C xyz . 因为 2AD CD ，故 2 2 3 D E B C  ， 由几何关系可知， 2CD  ， 1 4A D  ， 1 2 3AC  ， 故  0,0,0C ，  2,0,0D ，  2,2,0E ，  0,3,0B ，  1 0,0,2 3A ，  1,0, 3M ，  1,0, 3CM  ，  1 0,3, 2 3A B   ，  1 2,2, 2 3A E   ， -------------------------------------- 5 分 设平面 1A BE 的法向量为  , ,n x y z ，则 1 1 0 0 n A B n A E       ，即 3 2 3 0 2 2 2 3 0 y z x y z        ， 不妨令 2y  ，则 3z  ， 1x  ，  1,2, 3n  . ------------------------------------- ---------7 分 设 CM 与平面 1A B E所成角的大小为  ， 则有 4 2 sin cos , 22 2 2 CM n CM n CM n        ， - ------------------- --------------------------9 分 试卷第 20 页，共 23 页 设  为 CM 与平面 1A BE 所成角，故 π 4   ， 即 CM 与平面 1A B E所成角的大小为 π 4 ； ------------------------------------------ ----------------- 10 分 （ 3 ）假设在线段 1AC 上存在点 N ，使平面 CBM 与平面 BMN 成角余弦值为 3 4 . 在空间直角坐标系中， (1, 3, 3)BM   ， (1,0, 3)CM  ， 1 (0,0,2 3)CA  ， 设 1CN CA ，则 ( 0 , 0 , 2 3 )CN  ， ---------------------------------------------- ----------------11 分 (0, 3,0) (0,0,2 3 ) (0, 3,2 3 )BN BC CN         ， 设平面 BMN 的法向量为  2 2 2 2, ,n x y z ，则有 2 2 0 0 n BM n BN       ，即 2 2 2 2 2 3 3 0 3 2 3 0 x y z y z         ， 不妨令 2 3z  ，则 2 2y  ， 2 6 3x   ，所以  2 6 3,2 , 3n    ， - -------------------------------- 13 分 设平面 CBM 的法向量为  3 3 3 3, ,n x y z ，则有 3 3 0 0 n BM n CM       ，即 3 3 3 3 3 3 3 0 3 0 x y z x z        ， 不妨令 3 3z  ，则 3 3x   ， 3 0y ，所以  3 3,0, 3n   ， - -------------------------------------------14 分 若平面 CBM 与平面 BMN成角余弦值为 3 4 . 试卷第 21 页，共 23 页 则满足 2 3 2 3 2 2 2 3 9 18 3 3 cos , 42 3 9(2 1) 4 3 n n n n n n              ， 化简得 22 3 1 0    ， ---------------------------------------------------- ------------------15 分 解得 1  或 1 2 ，即 1C N C A 或 1 1 2 CN CA ， - ---------------------------------------------------- --------16 分 故在线段 1AC 上存在这样的点 N ，使平面 CBM 与平面 BMN 成角余弦值为 3 4 . 此时 CN 的长度为 3 或 2 3 . ------------------------------------------------------- ---------------------------------------------- 17 分 19、（本题 1 7 分）已知 O 为坐标原点， P 是圆  2 2 2: 2 1 4 0 1A x y x a a      上一点，且  1 0B , ，线段 PB 的垂直平分线交线段 PA 于点 M ，设动点 M 的轨迹为曲线 C ，且曲线 C 与直线 3y  相切． (1)求 C 的方程； (2)过点  0, 4 且斜率为 k 的直线 l 与曲线 C 交于 ,D E 两点，求 ODE 面积的最大值． 【答案】 ( 1) 2 2 1 4 3 x y   (2) 3 【详解】（ 1 ）由题意可知圆 2 2 2: ( 1) 4 ( 1)A x y a a    ， 所以圆心  1,0A  ，半径 2 2r a  ， - ---------------------------------------- -------------------------2 分 试卷第 22 页，共 23 页 因为  1, 0B ，线段 PB的垂直平分线交线段 PA 于点 M ，所以 MB MP ， 又 2MA MP a  ，所以 2 2MA MB a AB    ， - ---------------------------------- -----------4 分 即点 M 的轨迹是以点 ,A B为左、右焦点的椭圆， 所以曲线 2 2 2 2 : 1( 1) 1 x y C a a a     ． ------------------------------------------ ---------------------5 分 因为曲线 C 与直线 3y  相切，故 2 1 3a   ， 解得 2a  ， ---------------------------------------------------------------- --------------------6 分 所以 C 的方程为 2 2 1 4 3 x y   ． - ---------------------------------------------------------------------------7 分 （ 2 ）由题意得直线 : 4l y kx  ，由 2 2 4 3 4 12 y kx x y      ， 得  2 23 4 32 52 0k x kx    ， -------------------------------------------------- --------9 分 令    2 2 2 2Δ 32 4 52 3 4 48 4 13 0k k k        ， 所以 2 13 4 k  ，即 13 2 k   或 13 2 k  ． ----------------------------------------------10 分 设    1 1 2 2, , ,D x y E x y ，则 1 2 1 22 2 32 52 , 3 4 3 4 k x x x x k k       ， - ---------------- --------------------11 分 试卷第 23 页，共 23 页 所以   22 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 4 1 2 2 4 2 1 ODES k x x x x x x x x k               2 2 2 2 2 2 ( 32 ) 52 4 13 2 4 8 3 3 4 4 33 4 k k k kk          ， - -----------14 分 令 24 13 0t k   ，则 2 24 3 16k t   ， 则 2 8 3 8 3 8 3 3 1616 16 2 ODE t S t t t t t        △ ， - -----------------16 分 当且仅当 16 t t  即 29 4, 2 t k   时，等号成立， 所以 ODE 面积的最大值为 3 ． - ---------------------------------------------------- 17 分