精品解析：江苏省无锡市锡中实验学校2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试卷

省锡中实验学校2024—2025学年度第一学期 初三数学期中测试 一．选择题（10小题，共30分） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 某种零件在设计图上的长是2厘米，它的实际长是4米，则这幅设计图的比例尺是（ ） A. 200：1 B. 2000：1 C. 1：2000 D. 1：200 3. 已知的半径为5，，则点在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定 4. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 三个点确定一个圆 B. 长度相等的弧是等弧 C. 直径所对的圆周角是直角 D. 正五边形是中心对称图形 6. 如图，在中，为上一点，，与交于点．若，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 5.2 D. 4.8 7. 下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图在⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠C=45°，∠AMD=75°，则∠D的度数是（ ） A. 15° B. 25° C. 30° D. 75° 9. 如图，中，，，，D为边的中点，以上一点O为圆心的和、均相切，则的半径为（ ） A. B. C. D. 10. 已知的半径为4，四边形是的内接四边形，且，，垂足分别为E、F，关于下列四个命题：①的最大值是8；②；③若，则；④若，则．其中正确的命题的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二．填空题（8小题，共24分） 11. 已知，则___________． 12. 小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了______米． 13. 以为位似中心，将按相似比1：2扩大得到，若的周长为，则的周长为__________． 14. 请写出一个锐角的值，使得，你写出的的值为__________． 15. 如图，四边形是圆内接四边形，是延长线上一点，若，则的大小是__________． 16. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为_____m． 17. 已知：在△ABC中，AB=6，AC=8，点D是AB的中点，E是AC边上的一点，若以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为_____． 18. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，记点关于直线的对称点为N，若以N为圆心，为半径的与x轴相切，则外接圆的半径为___________；m的值为___________． 三．解答题（10小题，共96分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 21. 在中，，、、的对边分别是a、b、c，根据下列条件解直角三角形． （1），； （2），． 22. 如图，在四边形中，，，点E，F分别在线段，上，且，． （1）求证：； （2）若，求证：． 23. 如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求的长． 24. 在矩形中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图．先在上确定点，使．再在上确定点F，使以F为圆心的圆经过点和点； （2）在（1）的条件下，若，且，则AE的长为____________．（如需要画草图请使用图2） 25. 如图，一艘海警船在海上巡逻，航行到A处测得南偏东60°的方向上有一灯塔B，海警船以20海里每小时的速度向正东方向航行2小时到达C处，测得此时灯塔B在C处南偏东15°的方向上． （1）求A处与灯塔B相距多少海里？ （2）海警船从点C出发继续向正东方向航行，还需要航行多少小时，使得海警船与灯塔的距离最小．（结果保留根号） 26. “谁言寸草心，报得三春晖”表达的是儿女的孝心像小草一样，无法报答得了母亲如同春晖一般的恩情．在数学中，三角形也有“心”，现在已经发现的三角形的心已经超过4万多个，其中有4个心对它们熟悉的人比较多，这4个心分别是垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”，其实三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，而“重心”就是三角形三条中线的交点，如图1中，三条中线AD、BE、CF的交点G就是的重心，且．请你解决以下问题： （1）三角形的重心在三角形的__________部；三角形的内心在三角形的__________部；（选填“内”或“外”） （2）在图1中，若的面积为6，则的面积为__________； （3）如图2，是的内心，，AI的延长线分别与BC和的外接圆交于D、E两点，若，求IE的长． 27. 如图，的顶点在直线上，，，，点是直线上位于点右侧的一点，且，点是直线上的一个动点，以点为圆心，2为半径的圆记作． （1）若点是上的任意一点，当与边相切时，的最大值是__________； （2）当时，设与边的交点为，求的面积； （3）当与的边恰有两个交点时，请直接写出的取值范围． 28. 如图，，为线段上一点（异于点），分别以与为边长在同侧作正方形和正方形，连接，连接交于点，设． （1）当时：①__________；②__________； （2）设的面积为，求关于的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 省锡中实验学校2024—2025学年度第一学期 初三数学期中测试 一．选择题（10小题，共30分） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值求解． 【详解】解： 故选A 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值. 2. 某种零件在设计图上的长是2厘米，它的实际长是4米，则这幅设计图的比例尺是（ ） A. 200：1 B. 2000：1 C. 1：2000 D. 1：200 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例尺的计算方法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据图上距离比实际距离得出结果即可． 【详解】解：∵米厘米； ∴ 故选：D． 3. 已知的半径为5，，则点在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径）． 【详解】解：， 点与的位置关系是点在圆外， 故选：C． 【点睛】考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系． 4. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握余弦的定义是解题的关键．利用勾股定理算出，再结合求解，即可解题． 【详解】解：，，， ， ， 故选：A． 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 三个点确定一个圆 B. 长度相等的弧是等弧 C. 直径所对的圆周角是直角 D. 正五边形是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理，以及中心对称和轴对称定义等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故选项说法错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项说法错误，不符合题意； C、直径所对的圆周角是直角，说法正确，符合题意； D、正五边形是轴心对称图形，故选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了确定圆的条件、等弧的认识，圆周角定理的知识，以及中心对称和轴对称定义，解题的关键是掌握有关的定义及定理． 6. 如图，在中，为上一点，，与交于点．若，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 5.2 D. 4.8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识点，能综合应用相似三角形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．根据四边形是平行四边形，证出，然后利用其对应边成比例即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的三边对应成比例成为解题的关键． 先求出题干三角形的三边长的比，然后求得各选项三边长的比并进行比较即可解答． 【详解】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为； A．三角形三边为与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误； B．三角形三边与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确； C．三角形三边与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误； D.三角形三边与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误． 故选：B． 8. 如图在⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠C=45°，∠AMD=75°，则∠D的度数是（ ） A. 15° B. 25° C. 30° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形外角定理求得∠CAB的度数，再由圆周角定理可求∠D的度数． 【详解】∵∠C=45°，∠AMD=75°， ∴∠CAB=∠AMD-∠C=75°-45°=30°，据同弧所对的圆周角相等得 ∠D=∠CAB=30°， 故选：C． 【点睛】此题考查同弧所对的圆周角相等，其关键是要检验圆周角所对的弧是同一个弧． 9. 如图，中，，，，D为边的中点，以上一点O为圆心的和、均相切，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质与三角形的面积．注意运用切线的性质来进行计算或论证，通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． 过点O作于点E，于点F，连接，根据切线的性质，可知、是的半径；勾股定理求出，然后由三角形的面积间的关系，列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可． 【详解】解：过点O作于点E，于点F，连接 、是的切线， 点E、F是切点， 、是的半径； ， 在中， ，，， 根据勾股定理，得， D是边的中点， ， 又， ， 即， 解得： 故选：A． 10. 已知的半径为4，四边形是的内接四边形，且，，垂足分别为E、F，关于下列四个命题：①的最大值是8；②；③若，则；④若，则．其中正确的命题的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】正确作出图象，为的弦，且的直径为8，即可得出的最大值，可判断①；根据圆周角定理得出，证出，根据相似三角形的性质即可得出，可判断②；连接并延长交于点，连接，证明，推出，连接，再证明是的中位线，即可得出，可判断③；根据，推出，再根据圆周角定理得出，可判断④； 【详解】解：∵的半径为4， ∴直径为8， ∵为的弦， ∴的最大值是8；故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故②正确； 如图，连接并延长交于点，连接， ∵为的直径， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的是①②④共3个． 故选：B． 【点睛】该题是圆综合题，主要考查的知识点有：圆周角定理、垂径定理、三角形中位线定理、特殊角的三角函数、相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出图象和辅助线，掌握以上知识点． 二．填空题（8小题，共24分） 11. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：， ． 故答案为：． 12. 小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了______米． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，此题关键是用同一未知数表示出上升高度和水平前进距离.根据题意设铅直距离为x，则水平距离为，根据勾股定理求出x的值，即可得到结果． 【详解】解：设垂直距离为x米，则水平距离为米， 根据题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴她实际上升了50米， 故答案为：50 13. 以为位似中心，将按相似比1：2扩大得到，若的周长为，则的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的比值关系，熟悉掌握周长比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形周长比等于相似比运算求解即可． 【详解】解：∵相似比为：， ∴周长比为：， ∵的周长为：， ∴的周长为：， 故答案为： 14. 请写出一个锐角的值，使得，你写出的的值为__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦的知识，理解正弦的定义是解题关键．在直角三角形中，任意一锐角的对边与斜边的比，叫作的正弦，记作，在度范围内，角度越大，正弦函数值越大．据此即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，可有， ∴的值为可能为． 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，四边形是圆内接四边形，是延长线上一点，若，则的大小是__________． 【答案】##95度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形、邻补角等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键． 根据圆内接四边形的对角互补得到，而和为邻补角，即可获得答案． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形，是四边形的一个外角， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为_____m． 【答案】2 【解析】 【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后即可计算出DE的长． 【详解】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图， ∴AE＝BE＝AB＝×8＝4， 在Rt△AEO中，OE＝＝＝3， ∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m）， 答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键． 17. 已知：在△ABC中，AB=6，AC=8，点D是AB的中点，E是AC边上的一点，若以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为_____． 【答案】4或． 【解析】 【分析】根据相似三角形对应边成比例即可解答，由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论． 【详解】解：分两种情况： ①△ADE∽△ABC， ∴AD：AB=AE：AC， 即3：6=AE：8， ∴AE=4； ②△ADE∽△ACB， ∴AE：AB=AD：AC， 即AE：6=3：8， ∴AE=， 故答案为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 18. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，记点关于直线的对称点为N，若以N为圆心，为半径的与x轴相切，则外接圆的半径为___________；m的值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求得点A、B坐标，利用勾股定理求得，根据直角三角形的外接圆圆心为斜边的中点求解半径即可； 如图，连接交直线于P，过N作轴于E，过M作于K，交于S，根据轴对称的性质得到点P为的中点，且，证明得到，设，则，，根据圆的切线性质得到，则，求得，利用中点坐标公式求得，将点P代入中，即可求得m值． 【详解】解：对于，当时，， 当时，由得， ∴，， ∴，，又， ∴， ∴外接圆的半径为； 如图，连接交直线于P，过N作轴于E，过M作于K，交于S， ∵点关于直线的对称点为N， ∴点P为的中点，且，则， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， 设，则，， ∵以N为圆心，为半径的与x轴相切，轴于E， ∴， ∴， 解得，，则， ∵点P为的中点， ∴，又点P在直线上， ∴，解得， 故答案为：；． 【点睛】本题考查一次函数图像与坐标轴的交点问题、直角三角形的外接圆问题、圆的切线性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形等知识，是填空题中的压轴题，有一定的难度． 三．解答题（10小题，共96分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，零指数与负指数幂，绝对值，二次根式的性质等知识，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． （1）分别计算零指数幂、特殊角的三角函数及负指数幂，最后求解即可； （2）分别进行二次根式的化简、特殊角的三角函数值、绝对值的化简等运算，然后合并． 【小问1详解】 原式． 【小问2详解】 解：原式 ； 20. 如图，，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）3 【解析】 【分析】（1）本题考查相似三角形的判定和性质，根据得到，结合即可得到证明； （2）根据得到，结合，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 在中，，、、的对边分别是a、b、c，根据下列条件解直角三角形． （1），； （2），． 【答案】（1），， （2），， 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，利用勾股定理以及特殊角三角函数值求解是解题的关键． （1）首先利用三角形内角和定理求出，然后解直角三角形求出，然后利用勾股定理求出； （2）根据勾股定理可求得c，然后根据，，可得，的度数． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴ ∴， ∴． 22. 如图，在四边形中，，，点E，F分别在线段，上，且，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：， ， 又， ， ； （2） 证明：， ， ． ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据全等三角形的判定证明，即可得． （2）结合相似三角形的判定证明，则可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，结合等腰三角形性质，对顶角性质，得到，，进而得到，即可证明是的切线； （2）结合解题直角三角形，得到，再结合等腰三角形性质得到，，进而得到，即可得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，解题直角三角形，等腰三角形性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及解直角三角形的方法和步骤． 24. 在矩形中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图．先在上确定点，使．再在上确定点F，使以F为圆心的圆经过点和点； （2）在（1）的条件下，若，且，则AE的长为____________．（如需要画草图请使用图2） 【答案】（1）如图； （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，灵活运用所学的知识是解题的关键． （1）以为圆心，为半径作弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，连接即可； （2）设，，构造方程求出，设，利用勾股定理解方程即可． 【小问1详解】 解：以为圆心，为半径作弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点， 连接如图所示． 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， 设， 在中， 解得：， ∴， 故答案为：． 25. 如图，一艘海警船在海上巡逻，航行到A处测得南偏东60°的方向上有一灯塔B，海警船以20海里每小时的速度向正东方向航行2小时到达C处，测得此时灯塔B在C处南偏东15°的方向上． （1）求A处与灯塔B相距多少海里？ （2）海警船从点C出发继续向正东方向航行，还需要航行多少小时，使得海警船与灯塔的距离最小．（结果保留根号） 【答案】（1）海里 （2）小时 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形方向角的应用，熟悉掌握勾股定理，内角和定理，三角函数的比值关系，合理做出辅助线是解题的关键． （1）过作，垂足为，利用勾股定理解直角三角形即可解答； （2）过点作于点，利用三角函数的比值关系解答即可； 【小问1详解】 解：过作，垂足为，并进行标注如图所示： ∴由题意可得：，，，， ∴，， ∴在中，， ， ∵， ∴， ∴， ∴ 所以A处与灯塔B相距海里； 【小问2详解】 解：过点作于点如图所示： 由（1）可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴航行时间小时； 26. “谁言寸草心，报得三春晖”表达的是儿女的孝心像小草一样，无法报答得了母亲如同春晖一般的恩情．在数学中，三角形也有“心”，现在已经发现的三角形的心已经超过4万多个，其中有4个心对它们熟悉的人比较多，这4个心分别是垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”，其实三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，而“重心”就是三角形三条中线的交点，如图1中，三条中线AD、BE、CF的交点G就是的重心，且．请你解决以下问题： （1）三角形的重心在三角形的__________部；三角形的内心在三角形的__________部；（选填“内”或“外”） （2）在图1中，若的面积为6，则的面积为__________； （3）如图2，是的内心，，AI的延长线分别与BC和的外接圆交于D、E两点，若，求IE的长． 【答案】（1）内，内 （2）1 （3） 【解析】 【分析】本题考查了重心、内心的定义，底高成比例的三角形的三角形面积也成相同比例，等边三角形的性质，同弧所对圆心角相等，勾股定理． （1）运用三角形重心、内心的定义回答； （2）底高成比例的三角形的三角形面积也成相同比例； （3）根据等边三角形的性质，同弧所对圆心角相等及勾股定理解答． 【小问1详解】 解：∵三角形的重心是三角形的三条中线的交点， ∴三角形的重心在三角形的内部， ∵三角形的内心是三角形的内切圆圆心， ∴三角形的内心在三角形的内部， 故答案为：内，内． 【小问2详解】 解：∵的面积为6，是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 【小问3详解】 解：连接，做于 ， ∴． 是等边三角形 于，， 故答案为： 27. 如图，的顶点在直线上，，，，点是直线上位于点右侧的一点，且，点是直线上的一个动点，以点为圆心，2为半径的圆记作． （1）若点是上的任意一点，当与边相切时，的最大值是__________； （2）当时，设与边的交点为，求的面积； （3）当与的边恰有两个交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）首先结合三角函数解得，当与边相切时，连接并延长，交于点，此时取最大值，利用勾股定理解得的值，即可获得答案； （2）分点在点右侧和点在点左侧两种情况，根据勾股定理解得的值，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）令点从右向左移动，逐步分析与的边的交点情况，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 如下图，当与边相切时，连接并延长，交于点， 此时取最大值， ∵的半径为2， ∴， ∵当与边相切， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值是． 故答案为：； 【小问2详解】 分两种情况讨论， 当点在点右侧时，如下图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在点左侧时，如下图， 此时， ∴， ∴． ∴综上所述，的面积为或； 【小问3详解】 如下图，当点在右侧，且经过点时， 此时， 点继续向左移动，与的边有两个交点，如下图， 点继续向左移动，当与相切时，设切点为，如下图， 此时与的边有三个交点， ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， 若点继续向左移动，与的边有四个交点，如下图， 点继续向左移动，经过点时，如下图， 此时点重合，， 点继续向左移动，与的边有两个交点，如下图， 点继续向左移动，点到达点左侧，且经过点时， 此时，若点继续向左移动，与的边将没有交点． 综上所述，当与的边恰有两个交点时，的取值范围为或或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，理解题意，正确作出相应图形是解题关键，并注意分情况讨论，避免遗漏． 28. 如图，，为线段上一点（异于点），分别以与为边长在同侧作正方形和正方形，连接，连接交于点，设． （1）当时：①__________；②__________； （2）设的面积为，求关于的函数表达式． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正切的定义计算的值；设交于点，过点作于点，首先求得，的值，进而可求得得值，再证明为等腰直角三角形，结合三角形函数可解得，进而可得的值，然后根据正切的定义计算的值即可； （2）过点作，分别交，于，，设交于，证明，易得，可得，再证明，同理可证，结合相似三角形的性质可得，设，则，代入并解得，然后求解关于的函数表达式即可． 【小问1详解】 解：∵四边形，均为正方形，，， ∴，，， ∴； 设交于点，过点作于点，如下图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴，， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；； 【小问2详解】 ∵四边形，均为正方形，，， ∴， 过点作，分别交，于，，设交于，如下图， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $