广东省广州市越秀区广州华侨外国语学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年广东省广州市越秀区华侨外国语学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（10×3＝30分） 1．（3分）在下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝﹣4，x2＝7，则原方程可化为（　　） A．（x﹣4）（x﹣7）＝0 B．（x+4）（x+7）＝0 C．（x﹣4）（x+7）＝0 D．（x+4）（x﹣7）＝0 3．（3分）若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤ B．k≥ C．k且k≠0 D．k且k≠0 4．（3分）由二次函数可知y＝2（x﹣1）2+3（　　） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴为直线x＝3 C．函数最小值为3 D．y随x的增大而减小 5．（3分）将如图所示的图形绕中心按逆时针方向旋转120°后可得到的图形是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）将抛物线y＝x2+4x﹣4向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到抛物线的表达式为（　　） A．y＝（x+4）2﹣11 B．y＝（x+4）2﹣5 C．y＝x2﹣11 D．y＝x2﹣5 7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（　　） A．∠ABC＝∠ADC B．CB＝CD C．DE+DC＝BC D．AB∥CD 8．（3分）广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　） A．1+x+x2＝25 B．x+x2＝25 C．（1+x）2＝25 D．x+x（1+x）＝25 9．（3分）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点M在CD的边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（6×3＝18分） 11．（3分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣kx+3＝0有两个实根x1、x2，则x1x2＝　 　． 12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1），再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1（点A1，B1，的对应点分别是A2，B2），则A2的坐标是 　 　． 13．（3分）某种型号的微机，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次降价的百分率为　 　． 14．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是 　 　． 15．（3分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，当水面宽度为时，拱顶离水面 　 　m． 16．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣4a（α＞0）图象与y轴交于点A，点C在二次函数的图象上．且AC∥x轴以AC为斜边向上作等腰直角三角形ABC．当等腰直角三角形ABC的边与x轴有两个公共点时a的取值范围是 　 　． 三、解答题（共72分） 17．（6分）解方程：x2+2x+1＝3x+3． 18．（6分）请按以下要求用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）： （1）如图1，将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）如图2，设△EFG绕点Q逆时针旋转得△E'F'G'，画出点Q． 19．（6分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）． （1）求抛物线的对称轴； （2）把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值． 20．（6分）如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAC绕点A逆时针旋转到△P′AB， （1）求∠PAP′的度数． （2）若AP＝3，BP＝4，PC＝5，求∠APB的度数． 21．（8分）如图，利用函数y＝x2﹣4x+3的图象，直接回答： （1）方程x2﹣4x+3＝0的解是 　 　； （2）不等式x2﹣4x+3＜0的解集为 　 　； （3）不等式x2﹣4x+3＞x+3的解集为 　 　． 22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+6﹣p2＝0． （1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两实数根为x1，x2，且满足x1＝4x2，试求出p的值． 23．（10分）某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于70%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示． （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 24．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E是边AB，AC的中点，连接DE，DC，点M，N分别是DE和DC的中点，连接MN． （1）如图1，MN与BD的数量关系是 　 　； （2）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，连接BD，请写出MN和BD的数量关系并就图2的情形说明理由； （3）在△ADE的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段MN的长． 25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+ax﹣3a（a是常数）的顶点为P． （1）直接写出点P的坐标：　 　（用含a的式子表示）； （2）若过点Q（0，b）作平行x轴的直线交抛物线于点A，B（A在Q的左边，B在Q的右边），AQ＝4BQ，求b的最小值； （3）在第（2）问的条件下，将直线AB向上平移与抛物线分别交于A1、B1，与y轴交于Q1，（A1在Q1的左边，B1在Q1的右边），且A1Q1＝nB1Q1，当点P关于直线AB的对称点在直线A1B1的上方时，求n的取值范围． 2024-2025学年广东省广州市越秀区华侨外国语学校九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（10×3＝30分） 1．（3分）在下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断． 【解答】解：A、B、C、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A、B、C不符合题意； D、图形是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义． 2．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝﹣4，x2＝7，则原方程可化为（　　） A．（x﹣4）（x﹣7）＝0 B．（x+4）（x+7）＝0 C．（x﹣4）（x+7）＝0 D．（x+4）（x﹣7）＝0 【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝﹣4，x2＝7， ∴﹣4+7＝﹣p，﹣4×7＝q， ∴p＝﹣3，q＝﹣28， ∴原方程可化为（x+4）（x﹣7）＝0． 故选：D． 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算． 3．（3分）若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤ B．k≥ C．k且k≠0 D．k且k≠0 【分析】由关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有实数根，即可知判别式△≥0，然后可得不等式9+4k≥0，解此不等式即可求得答案． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有实数根， ∴Δ＝9﹣4×1×（﹣k）＝9+4k≥0， ∴k≥﹣． 故选：B． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题难度不大，解题的关键是掌握当△≥0时，一元二次方程有实数根． 4．（3分）由二次函数可知y＝2（x﹣1）2+3（　　） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴为直线x＝3 C．函数最小值为3 D．y随x的增大而减小 【分析】根据二次函数的性质进行逐一判断即可． 【解答】解：∵2＞0， ∴函数图象的开口向上， ∵由二次函数可知y＝2（x﹣1）2+3， ∴函数图象的对称轴为直线x＝1，有最小值3， 当x＞1时，y随x的增大而增大， 当x＜1时，y随x的增大而减小． 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数的性质及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（3分）将如图所示的图形绕中心按逆时针方向旋转120°后可得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据旋转的性质以及旋转的方向得出对应顶点位置即可得出答案． 【解答】解：∵图形绕其中心按逆时针方向旋转120°， ∴旋转后可得到图形是：阴影部分的长边转到下面水平方向， 故选：B． 【点评】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转方向和旋转角度得出对应点位置是解题关键． 6．（3分）将抛物线y＝x2+4x﹣4向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到抛物线的表达式为（　　） A．y＝（x+4）2﹣11 B．y＝（x+4）2﹣5 C．y＝x2﹣11 D．y＝x2﹣5 【分析】先将抛物线y＝x2+4x﹣4化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论． 【解答】解：将y＝x2+4x﹣4化为顶点式为：y＝（x+2）2﹣8， ∴向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到抛物线的表达式为y＝（x+2+2）2﹣8﹣3＝（x+4）2﹣11 故选：A． 【点评】此题考查的是抛物线的平移，掌握抛物线平移规律是解题关键． 7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（　　） A．∠ABC＝∠ADC B．CB＝CD C．DE+DC＝BC D．AB∥CD 【分析】由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，则可得出结论． 【解答】解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴∠ADC＝60°， ∴△ADC为等边三角形， ∴∠DAC＝60°， ∴∠BAD＝60°＝∠ADC， ∴AB∥CD， 故选：D． 【点评】本题考查了旋转的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键． 8．（3分）广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　） A．1+x+x2＝25 B．x+x2＝25 C．（1+x）2＝25 D．x+x（1+x）＝25 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）＝25即可． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）＝25， 即（1+x）2＝25， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的． 9．（3分）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数及二次函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：由一次函数图象可知，a＞0， 由二次函数的图象可知，a＜0， 故A选项不符合题意． 由一次函数图象可知，a＞0，b＞0， 由二次函数的图象可知，a＞0，b＜0， 故B选项不符合题意． 由一次函数图象可知，a＜0，b＞0， 由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0， 故C选项不符合题意． 由一次函数图象可知，a＜0，b＜0， 由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0， 故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数图象及二次函数图象，熟知一次函数及二次函数的图象与性质是解题的关键． 10．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点M在CD的边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接BM．先判定△FAE≌△MAB（SAS），即可得到EF＝BM．再根据BC＝CD＝AB＝5，CM＝3，利用勾股定理即可得到，Rt△BCM中，BM＝，进而得出EF的长． 【解答】解：如图，连接BM． ∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称， ∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE． ∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF， ∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD． ∴∠FAB＝∠MAE ∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE． ∴∠FAE＝∠MAB． ∴△FAE≌△MAB（SAS）． ∴EF＝BM． ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝AB＝5． ∵DM＝2， ∴CM＝3． ∴在Rt△BCM中，BM＝＝＝， ∴EF＝， 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 二、填空题（6×3＝18分） 11．（3分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣kx+3＝0有两个实根x1、x2，则x1x2＝　3　． 【分析】根据根与系数的关系即可得出x1x2＝3，此题得解． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程：x2﹣kx+3＝0有两个实根x1、x2， ∴x1x2＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之积为是解题的关键． 12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1），再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1（点A1，B1，的对应点分别是A2，B2），则A2的坐标是 　（2，2）　． 【分析】根据题意，画出图形，可得结论． 【解答】解：如图，观察图象可知A2（2，2）． 故答案为：（2，2）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，平移等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型． 13．（3分）某种型号的微机，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次降价的百分率为　30%．　． 【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台，可列方程求解． 【解答】解：设平均每次降价的百分率为x， 7200（1﹣x）2＝3528 x＝30%或x＝170%（舍去）． 平均每次降价的百分率为 30%． 故答案为：30%． 【点评】本题考查的是增长率变化的问题，经过了两次变化，知道开始的价格，和降价两次的价格，列方程可求解． 14．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是 　x＜﹣1或x＞5　． 【分析】根据二次函数的对称性求出函数图象与x轴的另一交点，再写出x轴下方部分的x的取值范围即可． 【解答】解：由图可知，对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（5，0）， ∴函数图象与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0）， ∴ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5． 故答案为：x＜﹣1或x＞5． 【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便，求出函数图象与x轴的另一交点坐标是解题的关键． 15．（3分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，当水面宽度为时，拱顶离水面 　6　m． 【分析】如图建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为（0，2），A（﹣2，0），B（2，0），求出抛物线解析式，然后把代入求解即可． 【解答】解：如图建立平面直角坐标系， 由题意得：C为抛物线顶点且坐标为（0，2），A（﹣2，0），B（2，0）， 设抛物线解析式为y＝ax2+2， ∴0＝22a+2 即， ∴抛物线解析式为， 当水面宽度为 时，即当，， ∴水面下降的高度为4m，拱顶离水面6m． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解． 16．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣4a（α＞0）图象与y轴交于点A，点C在二次函数的图象上．且AC∥x轴以AC为斜边向上作等腰直角三角形ABC．当等腰直角三角形ABC的边与x轴有两个公共点时a的取值范围是 　0＜a＜　． 【分析】根据二次函数的解析式求出A、C点的坐标，过B作BD⊥AC于D，由BD＞OA列出a的不等式进行解答便可． 【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax﹣4a＝a（x﹣1）2﹣5a， ∴抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4a的对称轴为：x＝1， 令x＝0，则y＝ax2﹣2ax﹣4a＝﹣4a， ∴A（0，﹣4a）， ∵点C在二次函数的图象上．且AC∥x轴， ∴C（2，﹣4a）， ∴AC＝2， 过B作BD⊥AC于D，如图， ∵∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴BD＝＝1， ∵等腰直角三角形ABC的边与x轴有两个公共点， ∴BD＞OA， ∵A（0，﹣4a）， ∴OA＝4a， ∴4a＜1， ∴a＜， 则0＜a＜， 故答案为：0＜a＜． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，不等式的应用，关键由二次函数确定A、C的坐标，由BD＞OA列出a的不等式． 三、解答题（共72分） 17．（6分）解方程：x2+2x+1＝3x+3． 【分析】利用因式分解法求解即可． 【解答】解：∵x2+2x+1＝3x+3， ∴（x+1）2﹣3（x+1）＝0， 则（x+1）（x﹣2）＝0， ∴x+1＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18．（6分）请按以下要求用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）： （1）如图1，将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）如图2，设△EFG绕点Q逆时针旋转得△E'F'G'，画出点Q． 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）连接EE'，GG'，利用网格分别作线段EE'，GG'的垂直平分线，交点即为所求的点Q． 【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求． （2）如图2，点Q即为所求． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 19．（6分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）． （1）求抛物线的对称轴； （2）把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值． 【分析】（1）根据x＝﹣，可得抛物线的对称轴为：直线x＝﹣＝1； （2）由根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立等式可求出a的值． 【解答】解：（1）由题意可得，抛物线的对称轴为：直线x＝﹣＝1； （2）抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位，可得y′＝ax2﹣2ax+3﹣3|a|， ∵抛物线的顶点落在x轴上， ∴Δ＝（2a）2﹣4a（3﹣3|a|）＝0， 解得a＝或a＝﹣． 【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数图象的几何变换等内容，题目难度不大，掌握相关知识是解题基础． 20．（6分）如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAC绕点A逆时针旋转到△P′AB， （1）求∠PAP′的度数． （2）若AP＝3，BP＝4，PC＝5，求∠APB的度数． 【分析】（1）根据旋转的性质，找出∠PAP′＝∠BAC，根据等边三角形的性质，即可解答； （2）连接PP′，根据旋转的性质及已知可得到△APP′是等边三角形，△BPP′是直角三角形，从而求得答案． 【解答】解：（1）如图， 根据旋转的性质得， ∠PAP′＝∠BAC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠PAP′＝60°； （2）如图， 连接PP'，由旋转可知：△P'AB≌△PAC， 所以∠CAP＝∠BAP'，AP＝AP'＝3，CP＝BP'＝5 又∵∠CAP+∠PAB＝60°， ∴∠P'AP＝∠BAP'+∠BAP＝60°， ∴△P'AP是等边三角形， ∴AP＝AP'＝PP'＝3， ∴∠APP'＝60°， ∵32+42＝52， ∴P'P2+PB2＝P'B2， ∴△P'PB是直角三角形， ∴∠P'PB＝90° ∴∠APB＝∠P'PB+∠APP'＝150°． 【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 21．（8分）如图，利用函数y＝x2﹣4x+3的图象，直接回答： （1）方程x2﹣4x+3＝0的解是 　x1＝1，x2＝3　； （2）不等式x2﹣4x+3＜0的解集为 　1＜x＜3　； （3）不等式x2﹣4x+3＞x+3的解集为 　x＜0或x＞5　． 【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点的横坐标就是二次方程的两个实数根，可直接得结论； （2）观察图象，在x轴下方的部分y总小于0； （3）求得交点坐标，结合图象得结论． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于A（1，0）、B（3，0）， ∴方程x2﹣4x+3＝0的解是：x1＝1，x2＝3． 故答案为：x1＝1，x2＝3． （2）观察图象可知：不等式x2﹣4x+3＜0的解集为1＜x＜3． 故答案为：1＜x＜3． （3）因为函数y＝x2﹣4x+3的图象与直线y＝x+3交于点（0，3）、B（4，7）， 所以不等式x2﹣4x+3＞x+3的解集为x＜0或x＞5． 故答案为：x＜0或x＞5． 【点评】本题考查了待定系数法确定函数解析式、抛物线的性质及二次函数与一元二次方程、不等式的关系，题目综合性较强．会读图用图是解决本题的关键． 22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+6﹣p2＝0． （1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两实数根为x1，x2，且满足x1＝4x2，试求出p的值． 【分析】（1）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求值即可． 【解答】（1）证明：方程为：x2﹣5x+6﹣p2＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4（6﹣p2）＝4p2+1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得x2﹣5x+6﹣p2＝0， ∴，， ∵x1＝4x2， ∴， ， 解得：， ∴实数p的值为． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解题的关键． 23．（10分）某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于70%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示． （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解； （3）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案． 【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0，b为常数） 将点（60，140），（70，120）代入得， 解得：， ∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+260； 解不等式组， 解得：50≤x≤85且x为整数； （2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000， 化简得：x2﹣180x+8000＝0， 解得：x1＝80，x2＝100， ∵x≤50×（1+70%）＝85， ∴x2＝100＞85（不符合题意，舍去） 答：销售单价为80元； （3）设每天获得的利润为w元，由题意得 w＝（x﹣50）（﹣2x+260） ＝﹣2x2+360x﹣13000 ＝﹣2（x﹣90）2+3200 ∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下 ∴w有最大值， ∵50≤x≤85， ∴当x＝85时，w最大值＝3150， 答：销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润是3150元． 【点评】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，难度中等略大． 24．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E是边AB，AC的中点，连接DE，DC，点M，N分别是DE和DC的中点，连接MN． （1）如图1，MN与BD的数量关系是 　MN＝BD　； （2）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，连接BD，请写出MN和BD的数量关系并就图2的情形说明理由； （3）在△ADE的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段MN的长． 【分析】（1）由三角形中位线定理可得MN＝CE，即可求解； （2）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，由三角形中位线定理可得MN＝CE，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求解． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4， ∴BC＝8， ∵点D，E是边AB，AC的中点， ∴AE＝AD＝2＝BD＝CE，DE＝BC＝4， ∵点M，N分别是DE和DC的中点， ∴MN＝CE， ∴MN＝BD， 故答案为：MN＝BD； （2）MN＝BD，理由如下： 如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD， 又∵AE＝AD，AB＝AC， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE， ∵点M，N分别是DE和DC的中点， ∴MN＝CE， ∴MN＝BD； （3）当点E在线段BD上时，如图3，连接CE， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD， 又∵AE＝AD，AB＝AC， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD， ∴∠ABD+∠ABC+∠BCE＝∠ABC+∠BCE+∠ACE＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∵BE2+EC2＝BC2， ∴（EC﹣4）2+EC2＝64， ∴EC＝2+2（负值舍去）， ∵点M，N分别是DE和DC的中点， ∴MN＝CE＝+1， 当点D在线段BE上时，如图4，连接CE， 同理可求：MN＝﹣1， 综上所述：MN的长为+1或﹣1． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+ax﹣3a（a是常数）的顶点为P． （1）直接写出点P的坐标：　　（用含a的式子表示）； （2）若过点Q（0，b）作平行x轴的直线交抛物线于点A，B（A在Q的左边，B在Q的右边），AQ＝4BQ，求b的最小值； （3）在第（2）问的条件下，将直线AB向上平移与抛物线分别交于A1、B1，与y轴交于Q1，（A1在Q1的左边，B1在Q1的右边），且A1Q1＝nB1Q1，当点P关于直线AB的对称点在直线A1B1的上方时，求n的取值范围． 【分析】（1）抛物线y＝x2+ax﹣3a的对称轴为，将代入抛物线y＝x2+ax﹣3a即可求得答案； （2）设点A的横坐标为x1，点B的横坐标为x2，根据题意可得，结合x1x2＝﹣3a﹣b，可得，可知b是c的二次函数； （3）在（2）的条件下，求得当P关于AB的对称点在A1B1上时，，结合函数图象，即可求解． 【解答】解：（1）抛物线y＝x2+ax﹣3a的对称轴为， 将代入抛物线y＝x2+ax﹣3a， 得， ∴点P的坐标为； （2）令y＝b，则x2+ax﹣3a＝b， 即x2+ax﹣3a﹣b＝0， 设点A的横坐标为x1，点B的横坐标为x2， 根据题意可得， 解得， 又∵x1x2＝﹣3a﹣b， ∴， 即， ∵， ∴时，b的最小值为． （3）∵P的坐标为，， ∴P到AB的距离为， 当P关于AB的对称点在A1B1上时， 则， 设Q1（0，b1）， 则， 设A1、B1的横坐标为p，q， 则p，q是方程即的两根， ∴， 解得， ∴， 又∵， ∴， 解得或（因为抛物线开口向上，n＞1，舍去）， 即当P关于AB的对称点在A1B1上时，， 在（2）中，当n＝4， ∴当点P关于直线AB的对称点在直线A1B1的上方时，． 【点评】本题考查二次函数综合，主要考查一元二次方程根与系数的关系，轴对称的性质，添加辅助线是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/21 17:30:52；用户：资源；邮箱：13851372384；学号：59917209 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$