云南省昆明八中教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年云南省昆明八中教育集团八年级（上）期中数学试卷 一.选择题（共15小题，每小题2分） 1．（2分）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（　　） A．贵州航空 B．江西航空 C．春秋航空 D．香港航空 2．（2分）观察下面图形，其中具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 3．（2分）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．∠A﹣∠B＝90° D． 4．（2分）现有两根长度分别为20cm和30cm的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（　　） A．10cm B．25cm C．50cm D．55cm 5．（2分）下列运算一定正确的是（　　） A．（﹣xy）2＝﹣x2y2 B．x3•x2＝x4 C．（x3）4＝x7 D．x2+x2＝2x2 6．（2分）如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需（　　） A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC 7．（2分）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（　　） A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 8．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以A、B为圆心，AC为半径画弧，两弧分别交于E、F，直线EF交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长等于（　　） A．7 B．8 C．9 D． 9．（2分）一个多边形，其内角和是外角和的2倍，那么它是（　　）边形． A．四 B．六 C．八 D．九 10．（2分）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝2，则BC＝（　　） A．2 B．1 C． D．无法确定 11．（2分）已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2＝（　　） A．25 B．22 C．19 D．13 12．（2分）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形（a＞b），再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，根据这两个图形的面积关系，写出一个表示因式分解的式子为（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a﹣b）2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 13．（2分）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　） A．45° B．60° C．105° D．120° 14．（2分）如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形…，依此规律，第⑧个图案中有（　　）个三角形． A．23 B．24 C．25 D．26 15．（2分）如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，则有以下五个结论；①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°，其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二.填空题（共4小题，每小题2分） 16．（2分）要使代数式（5﹣x）0有意义，则x的取值范围是 　 　． 17．（2分）分解因式：3ax2+6axy+3ay2＝　 　． 18．（2分）计算：（2m4n﹣9m2n2+3m3）÷3m2＝ 　 　． 19．（2分）如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s），则点Q的运动速度为　 　cm/s，使得A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． 三.解答题（共8小题，共62分） 20．（6分）计算： （1）a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2； （2）（x﹣y）（x2+xy+y2）． 21．（7分）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中，． 22．（6分）如图，AB＝CD，AF＝CE，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF． 23．（7分）如图所示． （1）请画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）求出△A1B1C1的面积； （3）在y轴上作出一点M，使MB+MC的值最小． 24．（8分）已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC＝40°，∠C＝60°，求∠DAE、∠BOE的度数． 25．（8分）如图，已知点D、E为△ABC的边BC上两点．AD＝AE，BD＝CE，为了判断∠B与∠C的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据． 解：过点A作AH⊥BC，垂足为H． ∵在△ADE中，AD＝AE（已知）AH⊥BC（所作）， ∴　 　＝ 　 　（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）． 又∵BD＝CE（已知）， ∴BD+　 　＝CE+　 　（ 　 　）． 即：BH＝ 　 　． 又∵AH⊥BC，垂足为H（所作）， ∴AH为线段 　 　的垂直平分线． ∴AB＝AC（ 　 　）． ∴∠B＝∠C（ 　 　）． 26．（8分）观察下列计算： ，，，，…… （1）第5个式子是 　 　； （2）第n个式子是 　 　； （3）请你推理证明（2）的结论的正确性． 27．（12分）如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足． （1）如图1，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标； （2）如图2，连接OH，求证：∠OHP＝45°； （3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 2024-2025学年云南省昆明八中教育集团八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题（共15小题，每小题2分） 1．（2分）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（　　） A．贵州航空 B．江西航空 C．春秋航空 D．香港航空 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（2分）观察下面图形，其中具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的稳定性即可得． 【解答】解：A、图形由两个长方形构成的大长方形，长方形不具有稳定性，不符合题意； B、图形是由两个三角形组成，三角形具有稳定性，符合题意； C、图形由两个四边形构成的，四边形不具有稳定性，不符合题意； D、图形由两个四边形构成的，四边形不具有稳定性，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 3．（2分）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．∠A﹣∠B＝90° D． 【分析】由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝∠C可求出∠C＝90°，由此可对选项A进行判断；根据∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝α，∠B＝2α，∠C＝3α，再根据∠A+∠B+∠C＝180°得α＝30°，进而得∠C＝3α＝90°，由此可对选项B进行判断；根据∠A﹣∠B＝90°得∠A＝90°+∠B＞90°，此时△ABC为钝角三角形，由此可对选项C进行判断；根据∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得∠C+∠C+∠C＝180°，进而得∠C＝90°，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°， 当∠A+∠B＝∠C时，则∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， 故选项A中的条件，能使△ABC为直角三角形，不符合题意； ∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3 ∴可设∠A＝α，∠B＝2α，∠C＝3α， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴α+2α+3α＝180°， 解得：α＝30°， ∴∠C＝3α＝90°， 故选项B中的条件，能使△ABC为直角三角形，不符合题意； ∵∠A﹣∠B＝90°， ∴∠A＝90°+∠B＞90°， ∴△ABC为钝角三角形， 故选项C中的条件，不能使△ABC为直角三角形，符合题意； ∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C+∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， 故选项D中的条件，能使△ABC为直角三角形，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． 4．（2分）现有两根长度分别为20cm和30cm的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（　　） A．10cm B．25cm C．50cm D．55cm 【分析】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，设第三根木条的长度为x cm，得到10＜x＜50，即可得到答案． 【解答】解：设第三根木条的长度为x cm， 根据三角形的三边关系定理得到：30﹣20＜x＜30+20， ∴10＜x＜50， ∴只有选项B符合要求， 故选：B． 【点评】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 5．（2分）下列运算一定正确的是（　　） A．（﹣xy）2＝﹣x2y2 B．x3•x2＝x4 C．（x3）4＝x7 D．x2+x2＝2x2 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、（﹣xy）2＝x2y2，原选项计算错误，不符合题意； B、x3•x2＝x5，原选项计算错误，不符合题意； C、（x3）4＝x12，原选项计算错误，不符合题意； D、x2+x2＝2x2，原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，理清指数的变化是解题的关键． 6．（2分）如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需（　　） A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC 【分析】△AOB≌△DOC已经具备OA＝OD，∠AOB＝∠COD，故应满足OB＝OC． 【解答】解：△AOB和△DOC已经具备OA＝OD，∠AOB＝∠COD，若添加AB＝DC，是满足“两边及其对角对应相等”，不能判定△AOB≌△DOC，故A不正确； 若添加OB＝OC，是“两边及其夹角对应相等”，故B正确； 若添加∠C＝∠D，是满足“两角及其对边对应相等”，是“AAS”，故C不正确； 添加∠AOB＝∠COD，是本身具备的对顶角相等，不能判定△AOB≌△DOC，故D不正确， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定条件中的边角的位置关系，解决问题的关键是理解全等的判定条件是在同一个三角形中去观察． 7．（2分）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（　　） A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可． 【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键． 8．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以A、B为圆心，AC为半径画弧，两弧分别交于E、F，直线EF交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长等于（　　） A．7 B．8 C．9 D． 【分析】证明DA＝BC，推出△ADC的周长＝AC+CB，可得结论． 【解答】解：由作图可知EF垂直平分线段AB， ∴DA＝DB， ∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+CB＝3+4＝7． 故选：A． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9．（2分）一个多边形，其内角和是外角和的2倍，那么它是（　　）边形． A．四 B．六 C．八 D．九 【分析】设这个多边形是n边形，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：设这个多边形是n边形， 则依题意得：（n﹣2）×180°＝2×360°， 解得n＝6， 故这个多边形是六边形． 故选：B． 【点评】本题考查多边形的内角与外角，熟记任意多边形的外角和都为360°以及其内角和公式为（n﹣2）×180°（其中n为边数）是解答本题的关键． 10．（2分）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝2，则BC＝（　　） A．2 B．1 C． D．无法确定 【分析】先求出∠A＝30°，再根据含有30°角的直角三角形性质可得BC的长． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝2， ∴∠A＝90°﹣∠B＝30°， ∴BC＝AB＝×2＝1， 故选：B． 【点评】此题主要考查了含30°角的直角三角形，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 11．（2分）已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2＝（　　） A．25 B．22 C．19 D．13 【分析】根据完全平方式，将a+b与ab的值代入即可求出答案． 【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣2×3＝19， 故选：C． 【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是正确理解完全平方公式，本题涉及整体的思想． 12．（2分）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形（a＞b），再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，根据这两个图形的面积关系，写出一个表示因式分解的式子为（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a﹣b）2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 【分析】分别用代数式表示各个图形的面积即可． 【解答】解：图1的面积为a2﹣b2，图2的面积为（2b+2a）×（a﹣b）， 即为a2﹣b2＝（b+a）（a﹣b）， 故选：A． 【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确判断的前提． 13．（2分）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　） A．45° B．60° C．105° D．120° 【分析】根据三角板的特点易得∠DAC＝45°，利用三角形的外角的性质，得到∠1＝∠DAC+∠C，即可得出结论． 【解答】解：如图，∠C＝60°，∠CAB＝90°，∠DAB＝45°， ∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝45°， ∴∠1＝∠DAC+∠C＝105°， 故选：C． 【点评】本题考查三角板中角度的计算，三角形的外角的性质．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键． 14．（2分）如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形…，依此规律，第⑧个图案中有（　　）个三角形． A．23 B．24 C．25 D．26 【分析】根据图形的变化规律归纳出第n个图形有3n+1个三角形即可． 【解答】解：由题知，第①个图案中有3+1＝4个三角形， 第②个图案中有3×2+1＝7个三角形， 第③个图案中有3×3+1＝10个三角形， …， 第n个图案中有3n+1个三角形， ∴第⑧个图案中有3×8+1＝25个三角形， 故选：C． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化规律归纳出第n个图形有3n+1个三角形是解题的关键． 15．（2分）如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，则有以下五个结论；①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°，其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD＝BE； ②由△ACD≌△BCE得∠CBE＝∠DAC，加之∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ＝60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确； ③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确； ④根据∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误； ⑤由BC∥DE，得到∠CBE＝∠BED，由∠CBE＝∠DAE，得到∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，同理可得出∠AOE＝120°，进而得出∠AOB＝60°，故⑤正确． 【解答】解：∵等边△ABC和等边△CDE， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD与△BCE中，， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE， ∴①正确， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CBE＝∠DAC， 又∵∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝60°，即∠ACP＝∠BCQ， 又∵AC＝BC， ∴△CQB≌△CPA（ASA）， ∴CP＝CQ， 又∵∠PCQ＝60°可知△PCQ为等边三角形， ∴∠PQC＝∠DCE＝60°， ∴PQ∥AE②正确， ∵△CQB≌△CPA， ∴AP＝BQ③正确， ∵AD＝BE，AP＝BQ， ∴AD﹣AP＝BE﹣BQ， 即DP＝QE， ∵∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°， ∴∠DQE≠∠CDE，故④错误； ∵BC∥DE， ∴∠CBE＝∠BED， ∵∠CBE＝∠DAE， ∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°， 同理可得出∠AOE＝120°， ∴∠AOB＝60°，故⑤正确； 故选：C． 【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量是解题的关键． 二.填空题（共4小题，每小题2分） 16．（2分）要使代数式（5﹣x）0有意义，则x的取值范围是 　x≠5　． 【分析】根据底数不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， 5﹣x≠0， 解得x≠5． 故答案为：x≠5． 【点评】本题考查零指数幂，熟练掌握零指数幂有意义的条件是解题的关键． 17．（2分）分解因式：3ax2+6axy+3ay2＝　3a（x+y）2　． 【分析】先提取公因式3a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：3ax2+6axy+3ay2 ＝3a（x2+2xy+y2） ＝3a（x+y）2． 故答案为：3a（x+y）2． 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 18．（2分）计算：（2m4n﹣9m2n2+3m3）÷3m2＝ 　　． 【分析】根据多项式除以单项式法则，让多项式中的每一项都与单项式相除，再把除得的商相加，进行计算即可． 【解答】解：原式＝2m4n÷3m2﹣9m2n2÷3m2+3m3÷3m2 ＝， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则、单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则． 19．（2分）如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s），则点Q的运动速度为　1或　cm/s，使得A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． 【分析】设点Q的运动速度是xcm/s，有两种情况：①AP＝BP，AC＝BQ，②AP＝BQ，AC＝BP，列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设点Q的运动速度是xcm/s， ∵∠CAB＝∠DBA＝60°， ∴A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等，有两种情况： ①AP＝BP，AC＝BQ， 则1×t＝6﹣1×t， 解得：t＝3， 则4＝3x， 解得：x＝； ②AP＝BQ，AC＝BP， 则1×t＝tx，6﹣1×t＝4， 解得：t＝2，x＝1， 故答案为：1或． 【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 三.解答题（共8小题，共62分） 20．（6分）计算： （1）a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2； （2）（x﹣y）（x2+xy+y2）． 【分析】（1）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答； （2）利用多项式乘多项式进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2 ＝a8+a8+4a8 ＝6a8； （2）（x﹣y）（x2+xy+y2） ＝x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3 ＝x3﹣y3． 【点评】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 21．（7分）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中，． 【分析】将原式的第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并同类项后，得到最简结果，然后将x与y的值代入，计算后即可得到原式的值． 【解答】解：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y） ＝（4x2+12xy+9y2）﹣（4x2﹣y2） ＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2 ＝12xy+10y2， 当x＝，y＝﹣时，原式＝12××（﹣）+10×（﹣）2＝． 【点评】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：多项式的乘法法则，去括号法则，以及合并同类项法则，灵活运用完全平方公式及平方差是解本题的关键．解此类化简求值题应先将原式化为最简后再代值． 22．（6分）如图，AB＝CD，AF＝CE，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF． 【分析】根据等式的性质得出AE＝CF，进而利用HL证明Rt△ABE≌Rt△CDF即可． 【解答】证明：∵AF＝CE， ∴AF﹣EF＝CE﹣EF， 即AE＝CF， 在Rt△ABE与Rt△CDF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）． 【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用HL证明Rt△ABE≌Rt△CDF解答． 23．（7分）如图所示． （1）请画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）求出△A1B1C1的面积； （3）在y轴上作出一点M，使MB+MC的值最小． 【分析】（1）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接，根据C1在坐标系中的位置写出坐标即可； （2）根据割补法即可求得三角形的面积； （3）连接B1C交y轴于点M，则M点即为所求． 【解答】解：（1）如图所示，C1（1，﹣1）； （2）S＝3×＝； （3）如图，点M即为所求． 【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 24．（8分）已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC＝40°，∠C＝60°，求∠DAE、∠BOE的度数． 【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠DAC＝∠BAC，而∠EAC＝90°﹣∠C，然后利用∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC进行计算即可．由三角形外角的性质求得∠AFO＝80°，利用三角形内角和定理得到∠AOF＝50°，所以对顶角相等：∠BOE＝∠AOF＝50°． 【解答】解：①在△ABC中，∵∠ABC＝40°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°． ∵AE是的角平分线， ∴∠EAC＝∠BAC＝40°． ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90° ∴在△ADC中，∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣60°＝30° ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝40°﹣30°＝10°． ②∵BF是∠ABC的平分线，∠ABC＝40°， ∴∠FBC＝∠ABC＝20°， 又∵∠C＝60°， ∴∠AFO＝80°， ∴∠AOF＝180°﹣80°﹣40°＝60°， ∴∠BOE＝∠AOF＝60°． 【点评】考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的高线与角平分线的性质． 25．（8分）如图，已知点D、E为△ABC的边BC上两点．AD＝AE，BD＝CE，为了判断∠B与∠C的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据． 解：过点A作AH⊥BC，垂足为H． ∵在△ADE中，AD＝AE（已知）AH⊥BC（所作）， ∴　DH　＝ 　EH　（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）． 又∵BD＝CE（已知）， ∴BD+　DH　＝CE+　EH　（ 　等式的性质　）． 即：BH＝ 　CH　． 又∵AH⊥BC，垂足为H（所作）， ∴AH为线段 　BC　的垂直平分线． ∴AB＝AC（ 　线段垂直平分线的性质　）． ∴∠B＝∠C（ 　等边对等角　）． 【分析】过点A作AH⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”的性质得DH＝EH，进而根据等式性质得BH＝CH，由此得AH为线段BC的垂直平分线，则AB＝AC，再根据等边对等角即可得出∠B＝∠C． 【解答】解：过点A作AH⊥BC，垂足为H． ∵在△ADE中，AD＝AE（已知），AH⊥BC（所作）， ∴DH＝EH，（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）． 又∵BD＝CE（已知）， ∴BD+DH＝CE+EH（等式的性质）． 即：BH＝CH． 又∵AH⊥BC，垂足为H（所作）， ∴AH为线段BC的垂直平分线． ∴AB＝AC（线段垂直平分线的性质）． ∴∠B＝∠C（等边对等角）． 故答案为：DH；EH；DH；EH；等式的性质；CH；BC；线段垂直平分线的性质；等边对等角． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，理解等腰三角形的判定和性质，熟练掌握，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 26．（8分）观察下列计算： ，，，，…… （1）第5个式子是 　　； （2）第n个式子是 　　； （3）请你推理证明（2）的结论的正确性． 【分析】（1）根据所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）利用分式加减运算法则进行计算证明即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为， ， ， ， …， 所以第n个等式可表示为：； 当n＝5时， 第5个式子是：． 故答案为：． （2）由（1）知， 第n个式子是：； 故答案为：． （3）因为右边＝ ＝ ＝ ＝左边， 所以此等式成立． 【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给等式发现各部分的变化规律，进而得出第n个等式是解题的关键． 27．（12分）如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足． （1）如图1，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标； （2）如图2，连接OH，求证：∠OHP＝45°； （3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【分析】（1）要求点P的坐标，只需求出OP的长度，如图1，易证△OAP≌△OBC，即可得到OP＝OC＝1； （2）要证∠OHP＝45°，只需证明HO平分∠CHA，过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图2，只需证到OM＝ON，只需证明△COM≌△PON即可； （3）连接OD，如图3，易证△ODM≌△ADN，从而有S△ODM＝S△ADN，由此可得S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD＝S△AOB＝4． 【解答】解：（1）如图1， ∵， ∴a+b＝0，a﹣4＝0， ∴a＝4，b＝﹣4， 则OA＝OB＝4． ∵AH⊥BC即∠AHC＝90°，∠COB＝90° ∴∠HAC+∠ACH＝∠OBC+∠OCB＝90°， ∴∠HAC＝∠OBC． 在△OAP与△OBC中， ， ∴△OAP≌△OBC（ASA）， ∴OP＝OC＝1， 则P（0，﹣1）； （2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图2． 在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°， ∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP． 在△COM与△PON中， ， ∴△COM≌△PON（AAS）， ∴OM＝ON． ∵OM⊥CB，ON⊥HA， ∴HO平分∠CHA， ∴∠OHP＝∠CHA＝45°； （3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，等于4． 理由如下： 连接OD，如图3． ∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点， ∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD ∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°， ∴∠DAN＝135°＝∠MOD． ∵MD⊥ND即∠MDN＝90°， ∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA． 在△ODM与△ADN中， ， ∴△ODM≌△ADN（ASA）， ∴S△ODM＝S△ADN ∴S△BDM﹣S△ADN ＝S△BDM﹣S△ODM ＝S△BOD ＝S△AOB ＝×AO•BO ＝××4×4 ＝4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（3）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/21 17:28:40；用户：资源；邮箱：13851372384；学号：59917209 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$