专题2.4 实数全章压轴八类必考点（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学上册必考点分类集训系列（苏科版）

专题2.4 实数全章压轴八类必考点 【苏科版】 【考点1 平方根与立方根的含参计算】 1 【考点2 根据平方根与立方根的非负性求值】 2 【考点3 算术平方根的应用】 2 【考点4 探究被开方数与算术平方根、立方根之间小数点位置移动规律】 4 【考点5 含根式的数式规律】 6 【考点6 估算无理数】 7 【考点7 实数与数轴】 8 【考点8 实数中的新定义问题】 10 【考点1 平方根与立方根的含参计算】 1．（2023春•柘城县期中）2a﹣1的平方根为±3，3a﹣b+1的立方根为2，则的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．不确定 2．（2023秋•东阳市月考）已知4a﹣11的平方根是±5，2a+b﹣1的算术平方根是1，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求a+c﹣3b的立方根． 3．（2024秋•鲤城区校级期中）已知某正数的两个平方根分别是3b﹣4和2b﹣6，64的立方根为，关于x的方程满足x2＝9． （1）求a，b，x的值； （2）求a+b+x的算术平方根． 4．（2023秋•深圳月考）（1）如果的算术平方根是2，﹣a+b+1的立方根是﹣2，求2a﹣b的平方根． （2）已知：4a﹣11的平方根为±3，的算术平方根为它本身，3c+13的立方根是4，求a﹣b+c的值． 5．（2023秋•烟台期中）若A是a+3b的算术平方根，B是1﹣a2的立方根，求a与b的值． 6．（2023•饶平县校级模拟）已知M是m+3的算术平方根，N是n﹣2的立方根，试求M﹣N的值． 【考点2 根据平方根与立方根的非负性求值】 1．（2023秋•泗县校级月考）若，则x的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C． D．以上都不对 2．（2024秋•薛城区月考）若，则　 　． 3．（2024春•沾化区期末）若x，y为实数，且（x﹣3）2与互为相反数，则x2+y2的平方根为 　 　． 4．（2023秋•丰泽区校级期中）设x、y为实数，且，则x+y的立方根是 　 　． 5．（2023秋•兰考县期中）已知有理数x，y，z满足，那么（x﹣yz）2的平方根为 　 　． 6．（2023秋•婺城区校级期中）已知，求3a2﹣4a（a﹣b﹣1）﹣c2的平方根． 7．（2023秋•吴兴区校级月考）设a，b，c都是实数，且满足（2﹣a）2|c+8|＝0，ax2+bx+c＝0，求x2+2x﹣1的值． 【考点3 算术平方根的应用】 1．（2024秋•青羊区校级期中）如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，侧这个大正方形的边长是（　　） A． B． C．2 D． 2．（2023秋•运城期末）将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是（　　） A． B． C． D．2 3．（2023春•玉林期中）如图，公园里有一个边长为8m的正方形花坛．现在想扩大花坛的面积，使花坛面积增加80m2后仍为正方形，则边长应扩大（　　） A．2m B．3m C．4m D．5m 4．（2024•东莞市校级一模）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2023秋•鹿城区期中）小明在单位长度为1的方格纸中画出两个小正方形（如图1），再将这两个小正方形剪开拼成一个大正方形（如图2），则大正方形的边长是 　　． 6．（2024春•路桥区期中）如图，分别把两个面积为800cm2的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将这4个小三角形拼成一个大正方形． （1）大正方形的边长是 　 　cm； （2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为1300cm2． 7．（2023秋•阆中市校级期中）如图1，某公园有一块面积为600m2的长方形土地，已知该长方形土地的长与宽之比为3：2，现要对这块土地上进行规划，现有两种方案： 方案一：如图2所示，在长方形土地上开辟横竖两条宽为1m的小路，其余部分为花圃； 方案二：在长方形土地上开辟一个面积为357m2的圆形花圃，其余部分为活动场地． （1）求该长方形土地的周长是多少？ （2）请直接写出方案一中的花圃面积（即图2中阴影部分）是多少． （3）请通过计算说明方案二是否可行（π取3）． 【考点4 探究被开方数与算术平方根、立方根之间小数点位置移动规律】 1．（2024春•崇川区校级期末）已知：0.71，2.24，7.1，22.4，请根据以上规律得到的结果（　　） A．0.071 B．0.224 C．0.025 D．0.0224 2．（2024春•凤凰县期末）已知0.7937，1.7100，那么下列各式正确的是（　　） A．17.100 B．7.937 C．171.00 D．79.37 3．（2023春•兰陵县期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为 a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 （注：表中部分数值为近似值）（　　） A．m＝0.025，n≈7.91 B．m＝2.5，n≈7.91 C．m≈7.91，n＝2.5 D．m＝2.5，n≈0.791 4．（2023春•思明区期中）根据表中的信息判断，下列结论中错误的个数是（　　） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 x2 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 ①；②235的算术平方根比15.3小；③；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出 15.82 比 15.72 增大3.25 A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 5．（2023春•五华区校级期中）在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … （1）通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 　 　倍； （2）已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： 　 　， 　 ； （3）已知，，，则x＝　 　，y ＝ 　； （4）小明思考如果把平方根换成立方根，若，，则 　 　， 　 　． 6．（2023秋•南皮县期中）（1）观察下列各式，并用所得到的规律解决问题： ①0.2646，则2.646，26.46…… ②100，10，1…… 发现规律：①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向 　 　移动 　 　位； ②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向 　 　移动 　 位； （2）应用：①已知0.1732，　 　，　 　； ②已知2.154，0.2154，则a＝　 　； （3）拓展：已知2.449，7.746，计算和的值． 7．（2024春•阿荣旗期末）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1）1.414，14.14，141.4，…，0.1732，1.732，17.32，…． 由此可见，被开方数的小数点每向右移动　 　位，其算术平方根的小数点向　 　移动　 　位． （2）已知3.873，1.225，则　 　；　 　． （3）1，10，100，…，小数点的变化规律是　 　． （4）已知2.154，0.2154，则y＝　 　． 【考点5 含根式的数式规律】 1．（2023•云南）按一定规律排列的单项式：a，，，，，…，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•桃城区校级期中）已知按照一定规律排成的一列实数：则按此规律可推得这一列数中的第729个数应是（　　） A．﹣729 B．﹣27 C．27 D．9 3．（2024春•芜湖期中）有一列数按一定规律排列：，…，则第n个数是（　　） A． B． C． D． 4．（2023春•襄州区月考）设S1＝1，，，…，，则 的值为（　　） A． B． C．24 D．23 5．（2023春•长汀县期中）在草稿纸上计算：①；②；③；④．观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值　 　． 6．（2023秋•白银期末）我们经过探索知道1，1，1，…，若已知an＝1，则　n　（用含n的代数式表示，其中n为正整数）． 7．（2023•恩施市模拟）将按如图所示的方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（8，1）与（10，3）表示的两数之和是 　 　． 【考点6 估算无理数】 1．（2024秋•拱墅区校级期中）数轴上表示的点A的位置应在（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 2．（2024•琼山区校级三模）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数，且，则n的值为（　　） A．43 B．44 C．45 D．46 3．（2024春•唐县期末）计算的结果是（　　） A．0 B．16 C．12 D．4 4．（2024秋•大东区校级月考）已知的小数部分为A，的小数部分是B，则A+B的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024秋•太原期中）观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 x2 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（　　） A．在3.4～3.5之间 B．在3.5～3.6之间 C．在35～36之间 D．在0.35﹣0.36之间 6．（2024春•蚌埠期末）阅读下面的文字，解答问题． 例如：∵，即23，∴的整数部分为2，小数部分为2，请解答： （1）的整数部分是 　 　； （2）已知：8小数部分是m，8小数部分是n，且（x﹣1）2＝m+n，请求出满足条件的x的值． 7．（2024春•内黄县期末）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ∵，即23， ∴的整数部分为2，小数部分为（2）． 请解答：（1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的值； （3）已知：10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数． 【考点7 实数与数轴】 1．（2023秋•苍南县期末）如图所示，3×3的方格放置在数轴上，格点正方形ABCD的顶点D在数轴上表示﹣1．以点D为圆心，DA为半径作半圆，交数轴右侧于点E，则点E所表示的数是 　　． 2．（2023秋•瑞安市月考）如图，在数轴上有一个四分之一圆，其半径的两个端点与数轴上的A、B两点重合，点A、B表示的数分别为a、b，满足，则点A表示的数为 　 　；图形从B点沿数轴向右无滑动滚动一周，圆上一点从A点到达A1点处，则A1表示的数为 　 　．（结果保留π） 3．（2024秋•宁波期中）魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图（1）是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为64cm3． （1）求组成这个4阶魔方的小正方体的棱长． （2）若图（1）中的四边形ABCD是一个正方形，求该正方形的面积及边长． （3）若把正方形ABCD放在数轴上，如图（2），使得点A与表示1的点重合，那么点D在数轴上表示的数为 　　，这个数的绝对值是 　 　． 4．（2023春•湘桥区期中）如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为Vcm3． （1）这个魔方的棱长是　　．（用代数式表示） （2）当魔方体积V＝64cm3时， ①求出这个魔方的棱长． ②图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长． ③把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为　　． 5．（2023秋•蕉城区校级期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向左爬了2个单位长度到达点B，点A表示2，设点B所表示的数为m． （1）实数m的值是 　　；|m+1|+|m﹣1|＝　　． （2）在数轴上还有C、D两点分别表示c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根． 6．（2023秋•汝州市期末）（图1）是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线AB，BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD． （1）在图（1）中，拼成的大正方形ABCD的面积为 　 ，边AD的长为 　　； 知识运用： （2）现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示﹣1的点重合，若以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E表示的数． 【考点8 实数中的新定义问题】 1．（2023秋•鹿城区校级期中）对于整数n，定义[n]为不大于n的最大整数，例如：[2]＝2，[﹣4.5]＝﹣5，则和[﹣π]的距离为（　　） A．2 B．5 C．6 D．7 2．（2023秋•婺城区校级期中）对于两个实数x，y（x+y＞0且x，y≠0），定义一种新的运算如下，x*y，如：3*2，则2*（3*6）的值等于（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•中江县校级期末）对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b，a⊗b，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，[（﹣2）⊕3]⊗2＝2，那么（⊕2）⊗的值为（　　） A．2 B． C．3 D．3 4．（2023春•清丰县校级期末）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2023秋•台江区校级期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：m＜T＜n，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为（m，n），如12，所以的麓外区间为（1，2）． （1）无理数的“麓外区间”是 　 　； （2）若b，求b的“麓外区间”； （3）实数x，y，n满足，求n的算术平方根的“麓外区间”． 6．（2023秋•阆中市校级期中）阅读材料： 材料一：定义[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.5]＝2，[3]＝3，； 材料二：定义新运算a*b＝[a]﹣[b]，如2.5*2＝[2.5]﹣[2]＝2﹣2＝0，对有序实数对（a，b）， 若满足a*b＝1，则称该有序数对为“望一”数对； 若满足a*b＝0，则称该有序数对为“望音”数对． （1）计算：　 　． （2）下列数对是“望一”数对的有　 　，是“望音”数对的有　 　．（填序号） ①；②；③（﹣1.5，﹣2.5）；④（π，2.9）；⑤ （3）若有序数对是“望音”数对，求整数x的值． （4）计算的值，请直接写出答案． 7．（2023春•饶平县校级期末）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：　 　；　 　． （2）若，写出满足题意的x的整数值 　 　． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数，　 　次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 　 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 实数全章压轴八类必考点 【苏科版】 【考点1 平方根与立方根的含参计算】 1 【考点2 根据平方根与立方根的非负性求值】 4 【考点3 算术平方根的应用】 7 【考点4 探究被开方数与算术平方根、立方根之间小数点位置移动规律】 11 【考点5 含根式的数式规律】 14 【考点6 估算无理数】 18 【考点7 实数与数轴】 21 【考点8 实数中的新定义问题】 26 【考点1 平方根与立方根的含参计算】 1．（2023春•柘城县期中）2a﹣1的平方根为±3，3a﹣b+1的立方根为2，则的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．不确定 【分析】根据平方根定义立方根定义列式求出a，b，代入求解即可得到答案； 【解答】解：∵2a﹣1的平方根为±3，3a﹣b+1的立方根为2， ∴2a﹣1＝（±3）2＝9，3a﹣b+1＝23， 解得：a＝5，b＝8， ∴， 故选：B． 2．（2023秋•东阳市月考）已知4a﹣11的平方根是±5，2a+b﹣1的算术平方根是1，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求a+c﹣3b的立方根． 【分析】（1）根据平方根和算术平方根的定义，可列式求出a和b的值，对的估算，即可求得c的值； （2）将a，b，c的值代入即可得出答案． 【解答】解：（1）∵4a﹣11的平方根是±5， ∴4a﹣11＝25， 解得a＝9， ∵2a+b﹣1的算术平方根是1， ∴2a+b﹣1＝1， ∴2×9+b﹣1＝1， 解得b＝﹣16， ∵c是的整数部分，， ∴c＝7． （2）∵a＝9，b＝﹣16，c＝7， ∴， 所以a+c﹣3b的立方根是4． 3．（2024秋•鲤城区校级期中）已知某正数的两个平方根分别是3b﹣4和2b﹣6，64的立方根为，关于x的方程满足x2＝9． （1）求a，b，x的值； （2）求a+b+x的算术平方根． 【分析】（1）根据平方根的性质求出b的值，根据立方根的定义求出a的值，根据平方根的定义求出x的值； （2）将（1）中a、b、x的值代入，再根据算术平方根的定义计算即可． 【解答】某正数的两个平方根分别是3b﹣4和2b﹣6，64的立方根为，关于x的方程满足x2＝9． 解：（1）根据题意得，3b﹣4+2b﹣6＝0， 解得b＝2， ∵64的立方根为4， ∴4， ∴a＝4， ∵x2＝9， ∴x＝±3； （2）由（1）得a＝4，b＝2，x＝±3， 当a＝4，b＝2，x＝3时，a+b+x＝4+2+3＝9， ∵9的算术平方根为3， ∴a+b+x的算术平方根为3； 当a＝4，b＝2，x＝﹣3时，a+b+x＝4+2﹣3＝3， ∵3的算术平方根为， ∴a+b+x的算术平方根为； 综上，a+b+x的算术平方根为3或． 4．（2023秋•深圳月考）（1）如果的算术平方根是2，﹣a+b+1的立方根是﹣2，求2a﹣b的平方根． （2）已知：4a﹣11的平方根为±3，的算术平方根为它本身，3c+13的立方根是4，求a﹣b+c的值． 【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义可求出a、b的值，再代入计算出2a﹣b的值，进而求出其平方根． （2）根据平方根的运算可求出a的，算术平方根的运算及a的值可求出b的值，立方根的运算可求出c的值，计算即可． 【解答】解：（1）∵的算术平方根是2， ∴4， ∴2a+2＝16， 即a＝7， 又∵﹣a+b+1的立方根是﹣2． ∴﹣a+b+1＝﹣8， 即b＝﹣2， ∴2a﹣b＝16， ∴2a﹣b的平方根为±±4； （2）∵4a﹣11的平方根为±3， ∴4a﹣11＝（±3）2， 即4a﹣11＝9， 解得a＝5， ∵的算术平方根为它本身，算术平方根等于其本身的有0或1，且3a+b﹣1≠0， ∴1，即3a+b﹣1＝1，且a＝5， ∴3×5+b﹣1＝1，解得，b＝﹣13， ∵3c+13的立方根是4， ∴3c+13＝43，即3a+13＝64，解得，c＝17， ∴a＝5，b＝﹣13，c＝17， ∴a﹣b+c＝5﹣（﹣13）+17＝5+13+17＝35． 5．（2023秋•烟台期中）若A是a+3b的算术平方根，B是1﹣a2的立方根，求a与b的值． 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，利用根指数列出方程求解即可． 【解答】解：由题意得，6﹣2b＝2，2a﹣3＝3， 解得a＝3，b＝2． 6．（2023•饶平县校级模拟）已知M是m+3的算术平方根，N是n﹣2的立方根，试求M﹣N的值． 【分析】根据算术平方根及立方根的定义，求出M、N的值，代入可得出M﹣N的平方根． 【解答】解：因为M是m+3的算术平方根，N是n﹣2的立方根， 所以可得：m﹣4＝2，2m﹣4n+3＝3， 解得：m＝6，n＝3， 把m＝6，n＝3代入m+3＝9，n﹣2＝1， 所以可得M＝3，N＝1， 把M＝3，N＝1代入M﹣N＝3﹣1＝2． 【考点2 根据平方根与立方根的非负性求值】 1．（2023秋•泗县校级月考）若，则x的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C． D．以上都不对 【分析】根据题意，对原方程变形为，即可得到有2x﹣1＝﹣5x﹣8，解方程即可得出x的值． 【解答】解：0， 即， 故有2x﹣1＝﹣5x﹣8 解之得x＝﹣1， 故选：B． 2．（2024秋•薛城区月考）若，则　 　． 【分析】根据绝对值，偶次幂及算术平方根的非负性求得x，y，z的值，然后将其代入中计算即可． 【解答】解：由题意可得x﹣5＝0，y0，z﹣1＝0， 解得：x＝5，y，z＝1， 则1， 故答案为：﹣1． 3．（2024春•沾化区期末）若x，y为实数，且（x﹣3）2与互为相反数，则x2+y2的平方根为 　 　． 【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【解答】解：∵（x﹣3）2与互为相反数， ∴（x﹣3）20， ∴x﹣3＝0，3y﹣12＝0， 解得x＝3，y＝4， 则x2+y2＝32+42＝25， 故x2+y2的平方根为：±5． 故答案为：±5． 4．（2023秋•丰泽区校级期中）设x、y为实数，且，则x+y的立方根是 　 　． 【分析】可根据算术平方根的非负性得出x、y的值，进而问题可求解． 【解答】解：∵， ∴x﹣5＝0，即x＝5， ∴y＝3， ∴x+y＝8， ∴x+y的立方根是2； 故答案为：2． 5．（2023秋•兰考县期中）已知有理数x，y，z满足，那么（x﹣yz）2的平方根为 　 　． 【分析】根据算术平方根的非负性分别求出x、y、z，根据平方根的概念解答即可． 【解答】解：∵， ∴0，0，0， 解得，x＝0，y＝1，z＝2， 则（x﹣yz）2＝4， ∵4的平方根为±2， ∴（x﹣yz）2的平方根为±2， 故答案为：±2． 6．（2023秋•婺城区校级期中）已知，求3a2﹣4a（a﹣b﹣1）﹣c2的平方根． 【分析】根据绝对值，完全平方公式，算术平方根的非负性求出a，b，c的值，再计算待求式的值，进而得出答案． 【解答】解：∵， ∴a﹣2＝0，2b﹣1＝0，4+2c＝0， 解得a＝2，，c＝﹣2． ∴原式 ＝3×4﹣84 ＝12﹣4﹣4 ＝4， ∵4的平方根是±2， ∴3a2﹣4a（a﹣b﹣1）﹣c2的平方根是±2． 7．（2023秋•吴兴区校级月考）设a，b，c都是实数，且满足（2﹣a）2|c+8|＝0，ax2+bx+c＝0，求x2+2x﹣1的值． 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b、c的值，然后求出x2+2x的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：∵a，b，c都是实数，且满足（2﹣a）2|c+8|＝0， ∴，解得， ∵ax2+bx+c＝2x2+4x﹣8＝2（x2+2x）﹣8＝0， ∴x2+2x4， ∴x2+2x﹣1＝4﹣1＝3． 【考点3 算术平方根的应用】 1．（2024秋•青羊区校级期中）如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，侧这个大正方形的边长是（　　） A． B． C．2 D． 【分析】先求出这个大正方形的面积＝5，再由算术平方根的定义即可得出结论． 【解答】解：由题意可知，这个大正方形的面积＝5×12＝5， ∴这个大正方形的边长是， 故选：A． 2．（2023秋•运城期末）将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是（　　） A． B． C． D．2 【分析】因为正方形的面积与长方形的面积相等，可知正方形的边长． 【解答】解：∵长方形的长为2，宽为1， ∴长方形的面积：2×1＝2， 设正方形的边长为a，则可得：a2＝2， ∴， ∵a是正方形的边长，即a＞0， ∴， 故选：C． 3．（2023春•玉林期中）如图，公园里有一个边长为8m的正方形花坛．现在想扩大花坛的面积，使花坛面积增加80m2后仍为正方形，则边长应扩大（　　） A．2m B．3m C．4m D．5m 【分析】设边长应该延长x米，根据题意得到改造后花坛的边长长为（x+8）米，则其面积为（64+80）平方米，然后根据正方形的面积为（x+8）2＝（64+80）平方米可得到答案． 【解答】解：设边长应该延长x米，根据题意，得 （x+8）2＝64+80， （x+8）2＝144， ∴x+812（负值舍去）， ∴x＝4， 答：边长应该延长4米， 故选：C． 4．（2024•东莞市校级一模）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案． 【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为：9+9＝18， 则大正方形的边长为：， ∵， ∴44.5， ∴大正方形的边长最接近的整数是4． 故选：B． 5．（2023秋•鹿城区期中）小明在单位长度为1的方格纸中画出两个小正方形（如图1），再将这两个小正方形剪开拼成一个大正方形（如图2），则大正方形的边长是 　　． 【分析】利用割补法求出图1中两个正方形的面积，进而求出拼接成的大正方形面积，由此即可求出答案． 【解答】解：由题意得，图1中的两个正方形面积分别为：5，2， ∴图2中拼接成的大正方形面积为5+2＝7， ∴大正方形的边长是． 故答案为：． 6．（2024春•路桥区期中）如图，分别把两个面积为800cm2的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将这4个小三角形拼成一个大正方形． （1）大正方形的边长是 　 　cm； （2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为1300cm2． 【分析】（1）由正方形的面积公式即可求解； （2）设长方形纸片的长和宽分别是5x cm，4x cm，得到5x•4x＝1300，求出x的值，即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意得：大正方形的面积＝800×2＝1600cm2， ∴大正方形纸片的边长40（cm）． 故答案为：40． （2）∵长方形纸片的长宽之比为5：4， ∴设长方形纸片的长和宽分别是5x cm，4x cm， ∴5x•4x＝1300， ∴x2＝65， ∵x＞0， ∴x， ∴长方形纸片的长是5x＝5cm， ∵540， ∴沿着大正方形边的方向不能裁出符合要求的长方形纸片． 7．（2023秋•阆中市校级期中）如图1，某公园有一块面积为600m2的长方形土地，已知该长方形土地的长与宽之比为3：2，现要对这块土地上进行规划，现有两种方案： 方案一：如图2所示，在长方形土地上开辟横竖两条宽为1m的小路，其余部分为花圃； 方案二：在长方形土地上开辟一个面积为357m2的圆形花圃，其余部分为活动场地． （1）求该长方形土地的周长是多少？ （2）请直接写出方案一中的花圃面积（即图2中阴影部分）是多少． （3）请通过计算说明方案二是否可行（π取3）． 【分析】（1）根据长方形的面积和长与宽之比为3：2，求出长方形的长和宽，得出周长即可； （2）根据题意列出算式（20﹣1）×（30﹣1）进行计算即可； （3）先求出圆形花圃的半径，从而得出直径，然后再进行比较即可得出答案． 【解答】解：（1）设长方形的长为3x m，宽为2x m，根据题意得： 3x•2x＝600， 解得：x＝10，负值舍去， ∴长方形的长为30m，宽为20m， 则长方形的周长为：2×（30+20）＝100（m）； （2）方案一中的花圃面积为：（20﹣1）×（30﹣1）＝551（m2）； （3）面积为357m2的圆形花圃的半径为：， 则圆形花圃的直径为， ∵， ∴方案二不可行． 【考点4 探究被开方数与算术平方根、立方根之间小数点位置移动规律】 1．（2024春•崇川区校级期末）已知：0.71，2.24，7.1，22.4，请根据以上规律得到的结果（　　） A．0.071 B．0.224 C．0.025 D．0.0224 【分析】根据被开方数每扩大（缩小）100倍，其算术平方根相应扩大（缩小）10倍，进行解答便可． 【解答】解：∵7.1， ∴， 故选：A． 2．（2024春•凤凰县期末）已知0.7937，1.7100，那么下列各式正确的是（　　） A．17.100 B．7.937 C．171.00 D．79.37 【分析】根据立方根的规律解答即可． 【解答】解：∵； 故选：B． 3．（2023春•兰陵县期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为 a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 （注：表中部分数值为近似值）（　　） A．m＝0.025，n≈7.91 B．m＝2.5，n≈7.91 C．m≈7.91，n＝2.5 D．m＝2.5，n≈0.791 【分析】根据二次根式的乘法法则以及算术平方根的定义解决此题． 【解答】解：由题意得，，，，． ∵0.25×10＝2.5， 0.791×10≈7.91， ∴m＝2.5，n≈7.91． 故选：B． 4．（2023春•思明区期中）根据表中的信息判断，下列结论中错误的个数是（　　） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 x2 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 ①；②235的算术平方根比15.3小；③；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出 15.82 比 15.72 增大3.25 A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 【分析】根据表格中的信息可知x2和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可． 【解答】解：①，故本选项正确，不符合题意； ②235的算术平方根比15.3大，故本选项错误，符合题意； ③1520，故本选项错误，符合题意； ④根据表中数据的变化趋势，可以推断出 15.82 比 15.72 增大3.15，故本选项错误，符合题意． 故选：C． 5．（2023春•五华区校级期中）在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … （1）通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 　10　倍； （2）已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： 　0.2646　， 　26.46　； （3）已知，，，则x＝　104.04　，y 　＝1040400　； （4）小明思考如果把平方根换成立方根，若，，则 　6.69　， 　14.42　． 【分析】（1）根据表中的数据找出变化规律； （2）利用（1）中的规律进行求解； （3）利用（1）中的规律进行求解； （4）类比（1）的规律，求解即可． 【解答】解：（1）被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍， 故答案为：10； （2） 0.2646， 26.46， 故答案为：0.2646，26.46； （3）∵，，， x＝104.04，y＝1040400， 故答案为：104.04，1040400； （4）由（1）的规律可知：被开方数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍， ∵若0.669，， ∴6.69，14.42， 故答案为：6.69，14.42． 6．（2023秋•南皮县期中）（1）观察下列各式，并用所得到的规律解决问题： ①0.2646，则2.646，26.46…… ②100，10，1…… 发现规律：①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向 　右　移动 　1　位； ②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向 　左　移动 　1　位； （2）应用：①已知0.1732，　1.732　，　17.32　； ②已知2.154，0.2154，则a＝　﹣0.01　； （3）拓展：已知2.449，7.746，计算和的值． 【分析】（1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【解答】解：（1）①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动1位， 故答案为：右；1； ②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向左移动1位， 故答案为：左；1； （2）①根据总结的规律可得1.732，17.32， 故答案为：1.732；17.32； ②根据总结的规律可得0.2154， 则a＝﹣0.01， 故答案为：﹣0.01； （3）∵2.449，7.746， ∴22×7.746≈15.492，33×0.2449≈0.7347． 7．（2024春•阿荣旗期末）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1）1.414，14.14，141.4，…，0.1732，1.732，17.32，…． 由此可见，被开方数的小数点每向右移动　两　位，其算术平方根的小数点向　右　移动　1　位． （2）已知3.873，1.225，则　12.25　；　0.3873　． （3）1，10，100，…，小数点的变化规律是　被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位　． （4）已知2.154，0.2154，则y＝　﹣0.01　． 【分析】（1）由已知等式得出被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动1位； （2）利用以上所得规律求解即可； （3）从被开方数及其结果小数点移动的方向和位数求解即可； （4）利用以上所得规律求解即可． 【解答】解：（1）由题意知被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动1位， 故答案为：两，右，1； （2）∵3.873，1.225， ∴12.25；0.3873， 故答案为：12.25，0.3873； （3）1，10，100，…，小数点的变化规律是被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位； 故答案为：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位． （4）∵2.154，0.2154， ∴y＝﹣0.01， 故答案为：﹣0.01． 【考点5 含根式的数式规律】 1．（2023•云南）按一定规律排列的单项式：a，，，，，…，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题干所给单项式总结规律即可． 【解答】解：第1个单项式为a，即a1， 第2个单项式为a2， 第3个单项式为a3， ．．． 第n个单项式为an， 故选：C． 2．（2023秋•桃城区校级期中）已知按照一定规律排成的一列实数：则按此规律可推得这一列数中的第729个数应是（　　） A．﹣729 B．﹣27 C．27 D．9 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第729个数． 【解答】解：∵一列实数：﹣1，，，﹣2，，，，，，，… ∴这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， ∵729÷3＝243， ∴这一列数中的第729个数应是， 故选：D． 3．（2024春•芜湖期中）有一列数按一定规律排列：，…，则第n个数是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题干中的数据总结规律即可． 【解答】解：第1个数：（﹣1）2； 第2个数：（﹣1）3； 第3个数：（﹣1）4； ……， 第n个数是（﹣1）n； 故选：B． 4．（2023春•襄州区月考）设S1＝1，，，…，，则 的值为（　　） A． B． C．24 D．23 【分析】观察第一步的几个计算结果，得出一般规律． 【解答】解：1+1，1，1，1，…， ， ∴ ＝1+11 ＝24+1 ＝24． 故选：C． 5．（2023春•长汀县期中）在草稿纸上计算：①；②；③；④．观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值　55　． 【分析】先分别求出①②③④的结果，发现的规律①＝1；②＝1+2；③＝1+2+3；④＝1+2+3+4．以此类推，1+2+3+4+…+10＝55． 【解答】解：1， 1+2， 1+2+3， 1+2+3+4， …， ∴1+2+3+4+…+10＝55， 故答案为：55． 6．（2023秋•白银期末）我们经过探索知道1，1，1，…，若已知an＝1，则　n　（用含n的代数式表示，其中n为正整数）． 【分析】由1，1，1，…，得，那么an＝1，故1，从而解决此题． 【解答】解：∵1，1，1，…， ∴以此类推，． ∵an＝1， ∴1． ∴1+1，1，1，…，1． ∴ ＝1+1111 ＝n+1 ＝n． 故答案为：n． 7．（2023•恩施市模拟）将按如图所示的方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（8，1）与（10，3）表示的两数之和是 　1　． 【分析】根据四个数一循环，先算出七排最后一位数和九排最后一位数，按照数的循序确定下一排第几个数，最后计算即可． 【解答】解：根据图示排列，1，，，循环排列，排数和数据个数相同． 第七排总计数的个数为1+2+3+4+5+6+7＝28，四个数一循环，28÷4＝7，则七排最后一个数是，八排第一个数是1． ∴（8，1）表示的数是1． ∵第九排总计数据是：1+2+3+4+5+6+7+8+9（1+9）×9＝45，45÷4＝11……1，九排最后一个数是1， ∴十排第一个数是，第二个数，第三个数是． ∴（10，3）表示的数是． ∴（8，1）与（10，3）表示的两数之和是1． 故答案为：1． 【考点6 估算无理数】 1．（2024秋•拱墅区校级期中）数轴上表示的点A的位置应在（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【分析】先估算出的取值范围，进而可得出结论． 【解答】解：∵16＜17＜25， ∴45， ∴﹣54， ∴1＜62， 故选：A． 2．（2024•琼山区校级三模）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数，且，则n的值为（　　） A．43 B．44 C．45 D．46 【分析】首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间． 【解答】解：∵1936＜2014＜1025， ∴， 即， 又∵，n为整数， ∴n＝44， 故选：B． 3．（2024春•唐县期末）计算的结果是（　　） A．0 B．16 C．12 D．4 【分析】先计算、，再加减． 【解答】解：8﹣4＝4． 故选：D． 4．（2024秋•大东区校级月考）已知的小数部分为A，的小数部分是B，则A+B的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先确定，进而求出A，B，代入求值即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴的小数部分为：， ∴的小数部分为：， 的小数部分为：， ∴A+B， 故选：A． 5．（2024秋•太原期中）观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 x2 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（　　） A．在3.4～3.5之间 B．在3.5～3.6之间 C．在35～36之间 D．在0.35﹣0.36之间 【分析】根据算术平方根的定义以及二次根式的性质，估算无理数的大小即可． 【解答】解：∵3.6，而， ∴3.6， 又∵3.5，而， ∴3.5， ∴3.53.6， 故选：B． 6．（2024春•蚌埠期末）阅读下面的文字，解答问题． 例如：∵，即23，∴的整数部分为2，小数部分为2，请解答： （1）的整数部分是 　3　； （2）已知：8小数部分是m，8小数部分是n，且（x﹣1）2＝m+n，请求出满足条件的x的值． 【分析】（1）估算无理数的大小即可； （2）估算8、8的大小确定m、n的值，代入方程求解即可． 【解答】解：（1）∵， ∴34， ∴的整数部分为3； （2）∵34， ∴﹣43， ∴4＜85， ∴8的小数部分m＝84＝4， ∴11＜812， ∴8的小数部分n＝8113， ∴（x﹣1）2＝43＝1， 解得x＝0或x＝2． 7．（2024春•内黄县期末）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ∵，即23， ∴的整数部分为2，小数部分为（2）． 请解答：（1）的整数部分是 　4　，小数部分是 　4　． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的值； （3）已知：10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数． 【分析】（1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出、的范围，求出a、b的值，再代入求出即可； （3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【解答】解：（1）∵45， ∴的整数部分是4，小数部分是 ， 故答案为：4，4； （2）∵23， ∴a2， ∵34， ∴b＝3， ∴a+b2+31； （3）∵1＜3＜4， ∴12， ∴11＜1012， ∵10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1， ∴x＝11，y＝10111， ∴x﹣y＝11﹣（1）＝12， ∴x﹣y的相反数是﹣12． 【考点7 实数与数轴】 1．（2023秋•苍南县期末）如图所示，3×3的方格放置在数轴上，格点正方形ABCD的顶点D在数轴上表示﹣1．以点D为圆心，DA为半径作半圆，交数轴右侧于点E，则点E所表示的数是 　　． 【分析】根据已知条件可知AO＝2，OD＝1，∠AOD＝90°，利用勾股定理求出AD，再由已知条件得到AE＝DE，然后利用数轴上的两点间的距离公式求出答案即可． 【解答】解：由题意可知：AO＝2，OD＝1，∠AOD＝90°， ∴AD＝DE， ∵点D表示的数为﹣1， ∴点E表示的数为：， 故答案为：． 2．（2023秋•瑞安市月考）如图，在数轴上有一个四分之一圆，其半径的两个端点与数轴上的A、B两点重合，点A、B表示的数分别为a、b，满足，则点A表示的数为 　﹣9　；图形从B点沿数轴向右无滑动滚动一周，圆上一点从A点到达A1点处，则A1表示的数为 　23+8π/8π+23　．（结果保留π） 【分析】首先根据算术平方根和绝对值的非负性得到a+9＝0，b﹣7＝0，进而求出a＝﹣9，b＝7，即可得到点A表示的数为﹣9，点B表示的数为7，然后求出AB＝BC＝7﹣（﹣9）＝16，然后根据题意得到A1C的长为以AB为半径的圆的周长的，进而求解即可． 【解答】解：如图所示， ∵， ∴a+9＝0，b﹣7＝0， ∴a＝﹣9，b＝7， ∴点A表示的数为﹣9，点B表示的数为7； 根据题意得，AB＝BC＝7﹣（﹣9）＝16， ∴AC＝AB+BC＝32， ∴， ∴BA1＝BC+A1C＝16+8π， ∵点B表示的数为7， ∴A1表示的数为7+16+8π＝23+8π． 故答案为：﹣9，23+8π． 3．（2024秋•宁波期中）魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图（1）是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为64cm3． （1）求组成这个4阶魔方的小正方体的棱长． （2）若图（1）中的四边形ABCD是一个正方形，求该正方形的面积及边长． （3）若把正方形ABCD放在数轴上，如图（2），使得点A与表示1的点重合，那么点D在数轴上表示的数为 　　，这个数的绝对值是 　．　． 【分析】（1）求出一个小正方体的体积，进而求出求棱长即可； （2）利用勾股定理求出边长，再根据正方形面积计算公式求解即可； （3）根据（2）所求结合数轴上两点距离计算公式求解即可． 【解答】解：（1）组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为1cm； （2）由勾股定理得，则正方形ABCD的边长为， ∴正方形ABCD的面积为； （3）∵，点A表示的数为1， ∴点D表示的数为． 这个数的绝对值是． 故答案为：，． 4．（2023春•湘桥区期中）如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为Vcm3． （1）这个魔方的棱长是　　．（用代数式表示） （2）当魔方体积V＝64cm3时， ①求出这个魔方的棱长． ②图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长． ③把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为　1﹣2　． 【分析】（1）根据体积的计算方法，可表示其棱长， （2）①由魔方体积V＝64cm3，开立方可求出魔方的棱长； ②求出每个小立方体的棱长，再根据勾股定理可求出答案； ③求出点D所表示数的绝对值，再得出点D所表示的数． 【解答】解：（1）因为拼成的魔方体积为Vcm3， 所以这个魔方的棱长为cm； 故答案为：； （2）当魔方体积V＝64cm3时， ①∵43＝64， ∴4， 所以这个魔方的棱长为4cm； ②因为魔方的棱长为4cm； 所以每个小立方体的棱长为4÷2＝2（cm）， 所以阴影部分正方形ABCD的边长为2（cm）， S正方形ABCD＝（2）2＝8（cm2）， 答：阴影部分正方形ABCD的面积是8cm2，边长为2cm； ③点D到原点的距离为：21， 又因为点D在原点的左侧， 所以点D所表示的数为﹣（21）＝1﹣2， 故答案为：1﹣2． 5．（2023秋•蕉城区校级期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向左爬了2个单位长度到达点B，点A表示2，设点B所表示的数为m． （1）实数m的值是 　　；|m+1|+|m﹣1|＝　2　． （2）在数轴上还有C、D两点分别表示c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根． 【分析】（1）点A表示2，沿着x轴向左移动2个单位到达点B，B所表示的数为22，即：，进而化简|m+1|+|m﹣1|，并求出代数式的值； （2）根据非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c﹣3d的值，再求出2c﹣3d的平方根． 【解答】解：（1）m＝22； ∵m，则m+1＜0，m﹣1＜0， ∴|m+1|+|m﹣1|＝﹣m﹣1+1﹣m＝﹣2m＝2； 故答案为：，2． （2）∵|2c+d|与互为相反数，， ∴|2c+d|0， ∴|2c+d|＝0，且0， ∴|2c+d|＝0，0， 解得：c，d＝5，或c，d＝﹣5， ①当c，d＝5时， 所以2c﹣3d＝﹣20，无平方根． ②当c，d＝﹣5时， ∴2c﹣3d＝20， ∴2c﹣3d的平方根为±2， 6．（2023秋•汝州市期末）（图1）是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线AB，BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD． （1）在图（1）中，拼成的大正方形ABCD的面积为 　10　，边AD的长为 　　； 知识运用： （2）现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示﹣1的点重合，若以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E表示的数． 【分析】（1）根据10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD可得正方形ABCD的面积，由正方形面积公式可得AD的长度； （2）根据数轴上的点表示的数的特点可得E表示的数． 【解答】解：（1）∵由10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD， ∴大正方形ABCD的面积为10×12＝10； ∴AD2＝10， ∴AD； 故答案为：10，； （2）∵BC＝AD， ∴以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，点E表示的数为﹣1或﹣1． 【考点8 实数中的新定义问题】 1．（2023秋•鹿城区校级期中）对于整数n，定义[n]为不大于n的最大整数，例如：[2]＝2，[﹣4.5]＝﹣5，则和[﹣π]的距离为（　　） A．2 B．5 C．6 D．7 【分析】结合定义，利用无理数的估算求得[]和[﹣π]，然后作差即可． 【解答】解：∵4＜5＜9， ∴23， ∴[]＝2，[﹣π]＝﹣4， 则2﹣（﹣4）＝2+4＝6， 即[]和[﹣π]的距离为6， 故选：C． 2．（2023秋•婺城区校级期中）对于两个实数x，y（x+y＞0且x，y≠0），定义一种新的运算如下，x*y，如：3*2，则2*（3*6）的值等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题干中提供的信息进行计算即可． 【解答】解：2*（3*6） ＝2*（﹣1） ，故C正确． 故选：C． 3．（2024春•中江县校级期末）对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b，a⊗b，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，[（﹣2）⊕3]⊗2＝2，那么（⊕2）⊗的值为（　　） A．2 B． C．3 D．3 【分析】直接利用已知运算公式，结合运算规律计算得出答案． 【解答】解：由题意可得：（⊕2）⊗ ⊗3 ． 故选：B． 4．（2023春•清丰县校级期末）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据a，b的范围，然后再代入求出2a﹣b的值即可． 【解答】解：∵min{，a}＝a，min{，b}． ∴a，b． ∵a，b是两个连续的正整数． ∴a＝5，b＝6． ∴2a﹣b＝2×5﹣6＝4． 故选：D． 5．（2023秋•台江区校级期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：m＜T＜n，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为（m，n），如12，所以的麓外区间为（1，2）． （1）无理数的“麓外区间”是 　（4，5）　； （2）若b，求b的“麓外区间”； （3）实数x，y，n满足，求n的算术平方根的“麓外区间”． 【分析】（1）估计出的取值，按定义解答即可． （2）根据相反数的算术平方根可得b，估算出的值可得结论； （3）根据被开方数非负的取值，表示y的值代入再求出n的值，再按定义判断即可． 【解答】解：（1）∵45， ∴的“麓外区间”是（4，5）； 故答案为：（4，5）； （2）∵b， ∴a＝2，b， ∵23， ∴﹣32， ∴b的“麓外区间”是（﹣3，﹣2）； （3）∵x+y﹣41≥0，41﹣x﹣y≥0， ∴x+y﹣41＝0， ∴x+y＝41， ∵， ∴0， ∴82+y﹣n＝0，123+y﹣2n＝0， ∴n＝41， ∵67， ∴n的算术平方根的“麓外区间”是（6，7）． 6．（2023秋•阆中市校级期中）阅读材料： 材料一：定义[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.5]＝2，[3]＝3，； 材料二：定义新运算a*b＝[a]﹣[b]，如2.5*2＝[2.5]﹣[2]＝2﹣2＝0，对有序实数对（a，b）， 若满足a*b＝1，则称该有序数对为“望一”数对； 若满足a*b＝0，则称该有序数对为“望音”数对． （1）计算：　1　． （2）下列数对是“望一”数对的有　③④　，是“望音”数对的有　①⑤　．（填序号） ①；②；③（﹣1.5，﹣2.5）；④（π，2.9）；⑤ （3）若有序数对是“望音”数对，求整数x的值． （4）计算的值，请直接写出答案． 【分析】（1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据“望音”数对定义列出方程，解方程即可； （4）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【解答】解：（1）2﹣1＝1； （2）①∵0﹣0＝0， ∴（0，）是“望音”数对； ②∵1﹣2＝﹣1， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ③∵﹣1.5*﹣2.5＝[﹣1.5]﹣[2.5]＝﹣2﹣（﹣3）＝1， ∴（﹣1.5，﹣2.5）是“望一”数对； ④π*2.9＝[π]﹣[2.9]＝3﹣2＝1， ∴（π，2.9）是“望一”数对； ⑤∵2﹣2＝0， ∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有③④，是“望音”数对的有①⑤． （3）∵有序数对是“望音”数对， ∴0， ∴0， 即0， ∴01， 解得：x＜3， ∴整数x的值为0、1、2． （4）1，1，1， 2，2，2，2，2， 3，3，3，3，3，3，3， ……， 44，44， 2×43+1＝87， 3+5+……+871935， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个43，89个44， ＝1﹣1+1﹣2+2﹣2+……+44﹣44 ＝﹣1×22 ＝﹣22． 7．（2023春•饶平县校级期末）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：　2　；　5　． （2）若，写出满足题意的x的整数值 　1，2，3　． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数，　3　次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 　255　． 【分析】（1）先估算和的大小，再由并新定义可得结果； （2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值； （3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1； （4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36， ∴56， ∴[2]＝2，[]＝5， 故答案为：2，5； （2）∵12＝1，22＝4，且， ∴x＝1，2，3， 故答案为：1，2，3； （3）第一次：[]＝10， 第二次：[]＝3， 第三次：[]＝1， 故答案为：3； （4）最大的正整数是255， 理由是：∵[]＝15，[]＝3，[]＝1， ∴对255只需进行3次操作后变为1， ∵[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1， ∴对256只需进行4次操作后变为1， ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255； 故答案为：255． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$