江苏省江阴市某校2024-2025学年高二上学期10月学情调研数学试卷

参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A C D C B B C BC AB ABD 12． 13. 已知i是虚数单位，若复数z满足，则__________. 14．4或2 【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，利用向量的数量积运算，结合题意已知可得结果. 【详解】由题意知，，所以， 展开得， 异面直线a，b所成角为，代入， 所以或， 故答案为：4或2 15．(1)2 (2) 【分析】（1）根据纯虚数的概念即可列出方程，进而求解即可； （2）复平面内的点位于第四象限，则横坐标大于0，同时纵坐标小于0，据此列出不等式求解即可. 【详解】（1）由解得或； 当时，是纯虚数， 当时，为实数， 所以. （2）因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以，解得. 16．(1) (2)或. 【分析】（1）由直线的点斜式方程求解即可. （2）分截距为0和不为0两种情况求解. 【详解】（1）因为直线过点，且斜率为， 所以，化简可得：. （2）当横、纵截距都是0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，即直线的方程为. 当截距均不为0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，解得，即直线方程为. 综上，所求直线方程为或. 17．(1)见解析 (2) 【分析】（1）以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，将线面垂直的证明转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线. （2）将面面角转化为两平面的法向量所成角，再利用向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）    证明：以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 根据题意可得，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，即，，则， ， ， 平面. （2）由（1）知，， 设平面的法向量为， 则，令，即，，即， 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 则，令，即，，即， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面的夹角的余弦值为. 18．（1）；（2）最小值是4，方程为． 【分析】（1）由直线过定点可得斜率的范围； （2）求出两点坐标，求出面积，由基本不等式求得最值． 【详解】（1）直线方程为：，它过定点，在第二象限，因此直线不过第四象限，则 ∴的取值范围是； （2）易知，令得，令，得，即， ∴，当且仅当，即时取等号， ∴最小值是4，此时方程为，即． 【点睛】本题考查直线方程的一般式，第（1）小题由直线方程确定直线过定点是解题关键；第（2）小题，用基本不等式求最值是关键． 19．(1)证明见解析 (2)直线在平面内，理由见解析 (3) 【分析】（1）由⊥平面可得，结合利用线面垂直判定定理可证； （2）由代入坐标建立方程组，由方程组有解可得直线在平面内； （3）由点G是线段PB上的一点．设，进而得坐标，求平面的一个法向量，由向量方法表示出，再利用换元法求函数值域可得. 【详解】（1）因为⊥平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面. （2）在底面中，过作，交于， 由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系. 则，，，， 、、、. ，，， 若平面，则且，使得， 则有，解得，故. 所以直线平面. （3）由（2）可知，. 设， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，有，故. 故 ， 令，则 ， 而，， 故. 答案第6页，共11页 答案第7页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度秋学期10月学情调研试卷 高二数学 命题人： 一、单选题(本题包括8小题，每题5分，共40分) 1．直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 2．若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．若是关于的实系数方程的一根，则的值为（    ） A．1 B．1 C．0 D．4 4．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B． C． D． 5．已知平行六面体的所有棱长均为2，，为的中点，则向量的模长为（    ） A． B．4 C． D． 6．已知直线及两点，.若直线与线段（指向）的延长线（不含点）相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（    ）    A． B． C． D． 8.如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若，，，则 =(    ) A. B. C. D. 二、多选题(本题包括3小题，每题6分，共18分) 9．关于直线，下列说法正确的有（    ） A．过点 B．斜率为 C．倾斜角为60° D．在轴上的截距为1 10．已知复数，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的虚部为 C．若，则 D．若，则 11．在棱长为2的正方体中，、、分别为，，的中点，则下列选项正确的是（    ）． A． B．直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．存在实数、使得 三、填空题(本题包括3小题，每题5分，共15分) 12.已知直线的斜率满足，则直线的倾斜角的取值范围为 ． 13.已知i是虚数单位，若复数z满足，则__________. 14．如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且．已知，，．则线段的长为 ． 四、解答题(本题包括5小题，共77分) 15．设，复数. (1)求m为何值时，z为纯虚数； (2)若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 16．求符合下列条件的直线方程： (1)直线过点，且斜率为； (2)直线过点，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的两倍. 17．如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点D是棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 18．已知直线. （1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时l的方程. 19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． (1)求证：CD⊥平面PAD； (2)若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． (3)设CG与平面AEF所成角为，求的范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$