期末精选题练习卷-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

期末精选题练习卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共10小题） 1．2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（　　） A． B． C． D． 2．在一个不透明的盒子中装有a个球，这些球除颜色外无其他差别，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为（　　） A．12 B．15 C．18 D．20 3．如图，该几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是（　　） A．4 B．2 C．5 D．4 5．若关于x的一元二次方程x2+4x+a＝0有两个相等实数根，则a的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2 6．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2.求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 7．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB 8．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，S＝3，则△ABC的面积为（　　） A．15 B．12 C．9 D．6 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形PQMN的顶点P在直线y＝2x上，顶点Q在函数（k＞0，x＞0）的图象上，M、N两点在x轴上．若点Q的横坐标为，则k的值为（　　） A．6 B． C．12 D． 10．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知k1﹣k2的值为8，则△OAB的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．﹣4 二．填空题（共7小题） 11．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为 　 　． 12．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，∠ADE＝60°，如果BD＝1，那么CE＝　 　． 13．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝4cm，则线段AC的长是 　 　． 14．如图，点D、E是△ABC边BC、AC上的点，BD：CD＝2：5，连接AD、BE，交点为F，DF：AF＝1：4，那么的值是 　 　． 15．已知函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象如图所示，点C在x轴正半轴上一点，过点C作AB∥y轴分别交两个图象于点A、B，若AC＝2BC，则k＝ 　 　． 16．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝0.4m，BD＝0.2m，AQ＝12m，则树高PQ＝　 　m． 17．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝　 　度． 三．解答题（共7小题） 18．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数．请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图． 19．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长． 20．某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．设每件商品降价x元． （1）商场日销售量增加 　 　件，每件商品盈利 　 　元（用含x的代数式表示）； （2）要使商场每天销售这种商品的利润达3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 21．每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，嘉祥某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答： （1）接受测评的学生共有 　 　人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为 　 　；并补全条形统计图； （2）若校区共有学生3200人，请估计该校区学生对消防安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数； （3）测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 22．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接AE、CE． （1）求证：四边形OCED为矩形； （2）若菱形ABCD中，DB＝4，AC＝6，则AE的长为 　 　． 23．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题： （1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2； （2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由． 24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x+m与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3，1）和（﹣1，n）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）点P为反比例函数y＝图象上的任意一点，若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标． 期末精选题练习卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 龙 行 龘 龘 龙 （龙，行） （龙，龘） （龙，龘） 行 （行，龙） （行，龘） （行，龘） 龘 （龘，龙） （龘，行） （龘，龘） 龘 （龘，龙） （龘，行） （龘，龘） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的结果有8种， ∴抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为． 故选：A． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 2．在一个不透明的盒子中装有a个球，这些球除颜色外无其他差别，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为（　　） A．12 B．15 C．18 D．20 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【解答】解：根据题意得： ＝0.2， 解得：a＝15， 经检验：a＝15是原分式方程的解， 答：a的值约为15； 故选：B． 【点评】本题考查利用频率估计概率，正确列出方程是本题关键． 3．如图，该几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：从正面看，是一个矩形，矩形中间有一条纵向的虚线． 故选：B． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的形状是正确判断的前提． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是（　　） A．4 B．2 C．5 D．4 【分析】由两点距离公式可求AC的长，由矩形的性质可求OB＝AC＝5，即可求解． 【解答】解：连接AC， ∵点A（4，﹣2），点C（1，2）， ∴AC＝＝5， ∵四边形ABCO是矩形， ∴OB＝AC＝5， ∴点B的横坐标为5， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 5．若关于x的一元二次方程x2+4x+a＝0有两个相等实数根，则a的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2 【分析】根据题意得Δ＝16﹣4a＝0，进行计算即可得． 【解答】解：∵方程x2+4x+a＝0有两个相等实数根， ∴Δ＝16﹣4a＝0， ∴a＝4， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的个数与根的判别式的关系． 6．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2.求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形，结合停车位的占地面积为520m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：若设停车场内车道的宽度为x m，则停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形， 根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝520． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB 【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案． 【解答】解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意； B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意； C、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意； D、当AC2＝AD•AB时，即，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 8．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，S＝3，则△ABC的面积为（　　） A．15 B．12 C．9 D．6 【分析】根据位似变换的概念得到△ABC≌△A1B1C1，BC∥B1C1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形， ∴△ABC≌△A1B1C1，BC∥B1C1， ∴△OBC≌△OB1C1， ∴＝＝， ∴＝（）2， ∵S＝3， ∴△ABC的面积＝3×4＝12， 故选：B． 【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似的两个图形必须是相似形、相似三角形的性质是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形PQMN的顶点P在直线y＝2x上，顶点Q在函数（k＞0，x＞0）的图象上，M、N两点在x轴上．若点Q的横坐标为，则k的值为（　　） A．6 B． C．12 D． 【分析】根据题意可知Q点横坐标，利用直线y＝2x解析式得到，依据正方形性质推出MN＝MQ＝2，根据点Q的坐标求出k值即可． 【解答】解：∵点Q的横坐标为， ∴M（3，0）， ∵直线y＝2x， ∴， ∵四边形MNPQ是正方形， ∴，OM＝3， ∴ON＝， ∴MN＝MQ＝2， ∴Q（3，2）， ∵点Q在反比例函数图象上， ∴k＝3×2＝12． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用直线解析式求出正方形边长是关键． 10．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知k1﹣k2的值为8，则△OAB的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．﹣4 【分析】根据反比例函数k的几何意义得出△AOB的面积为（﹣）＝（k1﹣k2），再根据k1﹣k2＝2即可得出． 【解答】解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为， ∴△AOB的面积为（﹣）＝（k1﹣k2）， ∵k1﹣k2＝8， ∴△AOB的面积为×8＝4， 故选：C． 【点评】本题主要考查反比例函数k的几何意义，熟练利用反比例函数k的几何意义计算三角形面积是解题的关键． 二．填空题（共7小题） 11．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为 　5　． 【分析】把x＝1代入关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0得关于k的方程，解方程即可． 【解答】解：把x＝1代入关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0得： 1+k﹣6＝0， k﹣5＝0， k＝5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义． 12．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，∠ADE＝60°，如果BD＝1，那么CE＝　　． 【分析】根据等边三角形的性质得到∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝3，再证明∠CDE＝∠BAD，然后可判断△CDE∽△BAD，从而利用相似比可求出CE． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝3， ∴CD＝BC﹣BD＝3﹣1＝2， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD， 即∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD， ∴∠CDE＝∠BAD， 而∠B＝∠D， ∴△CDE∽△BAD， ∴＝，即＝， ∴CE＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．灵活运用相似三角形的性质进行几何运算．也考查了等边三角形的性质． 13．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝4cm，则线段AC的长是 　6cm　． 【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E， ∴，即， 解得：AB＝2， ∴AC＝2+4＝6（cm）． 故答案为：6cm． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 14．如图，点D、E是△ABC边BC、AC上的点，BD：CD＝2：5，连接AD、BE，交点为F，DF：AF＝1：4，那么的值是 　　． 【分析】过D作DG∥BE，交AC于G，依据平行线分线段成比例定理，即可得到BD：CD＝EG：GC，DF：AF＝EG：AE，进而可得的值． 【解答】解：如图所示，过D作DG∥BE，交AC于G， 则BD：CD＝EG：GC＝2：5，即：，， ∴DF：AF＝EG：AE＝1：4，即：AE＝4EG， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 15．已知函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象如图所示，点C在x轴正半轴上一点，过点C作AB∥y轴分别交两个图象于点A、B，若AC＝2BC，则k＝ 　﹣2　． 【分析】由于AB∥y轴，AC＝2BC，则S△OBC＝S△OAC，根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得到S△OAC＝×4＝2，所以S△OBC＝S△OAC＝1，然后再根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得到|k|＝1，由于反比例函数图象过第二象限，所以k＝﹣2． 【解答】解：连接OA、OB，如图， ∵AB∥y轴，即OC⊥AB， 而AC＝2BC， ∴S△OBC＝S△OAC， ∵点A在y＝（x＞0）图象上， ∴S△OAC＝×4＝2， ∴S△OBC＝S△OAC＝1， ∵|k|＝1， 而k＜0， ∴k＝﹣2． 故答案为﹣2． 【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 16．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝0.4m，BD＝0.2m，AQ＝12m，则树高PQ＝　6　m． 【分析】根据题意可知：△ABC∽△AQP，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到PQ的长． 【解答】解：由题意可得， BC∥PQ，AB＝0.4m，BD＝0.2m，AQ＝12m， ∴△ABD∽△AQP， ∴， 即， 解得QP＝6， ∴树高PQ＝6m， 故答案为：6． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 17．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝　24　度． 【分析】由菱形的性质可得OD＝OB，∠COD＝90°，由直角三角形的性质可得OH＝BD＝OB，可得∠OHB＝∠OBH，由余角的性质可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OD＝OB，∠COD＝90°，∠DAB＝∠DCB＝48°， ∵DH⊥AB， ∴OH＝BD＝OB， ∴∠OHB＝∠OBH， 又∵AB∥CD， ∴∠OBH＝∠ODC， 在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°， 在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°， ∴∠DHO＝∠DCO＝∠DCB＝24°， 故答案为：24． 【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 18．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数．请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图． 【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为4，1，3，左视图有3列，每列小正方形数目分别为4，2，2．据此可画出图形． 【解答】解：如图所示： 【点评】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 19．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长． 【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证． （2）设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x，根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x的值． 【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB； （2）解：由（1）可知：△ADE∽△ACB， ∴＝， 设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x， ∵AE＝4，AC＝9， ∴＝， 解得：x＝（负值舍去）， ∴BD的长是． 【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型． 20．某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．设每件商品降价x元． （1）商场日销售量增加 　3x　件，每件商品盈利 　（60﹣x）　元（用含x的代数式表示）； （2）要使商场每天销售这种商品的利润达3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 【分析】（1）根据每件商品降价1元，商场每天就可以多售出3件可得商场日销售量增加的件数，由售价减进价可得每件商品利润； （2）根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：商场日销售量增加3x件，每件商品盈利为280﹣x﹣220＝（60﹣x）元， 故答案为：3x，（60﹣x）； （2）根据题意得：（30+3x）（60﹣x）＝3600， 解得x1＝20，x2＝30， ∵要更有利于减少库存， ∴x＝30． 答：每件商品应降价30元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，嘉祥某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答： （1）接受测评的学生共有 　160　人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为 　135°　；并补全条形统计图； （2）若校区共有学生3200人，请估计该校区学生对消防安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数； （3）测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 【分析】（1）根据等级为“中”的人数除以所占百分比可得总人数，即可解决问题； （2）用总人数乘以“良”及“良”以上程度的人数所占比例即可； （3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）接受测评的学生共有40÷25%＝160（人）， 扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为360°×＝135°， 等级为“良”的人数为160﹣（60+40+10）＝50（人）， 故答案为：160，135°； 补全图形如下： （2）估计该校学生对安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数有：3200×＝2200（人）； （3）画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的有4种情况， ∴抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率是＝． 【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 22．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接AE、CE． （1）求证：四边形OCED为矩形； （2）若菱形ABCD中，DB＝4，AC＝6，则AE的长为 　　． 【分析】（1）根据菱形性质得OC＝AC，AC⊥BD，则OC＝DE，再根据DE∥AC可判定四边形OCED为平行四边形，然后根据AC⊥BD即可得出结论； （2）根据菱形及矩形的性质得CE＝OD＝2，∠ACE＝90°，然后在Rt△ACE中由勾股定理即可求出AE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴OC＝AC，AC⊥BD， ∴DE＝AC， ∴OC＝DE， 又∵DE∥AC， ∴四边形OCED为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∴平行四边形OCED为矩形； （2）解：∵菱形ABCD中，DB＝4，AC＝6， ∴OD＝BD＝2， ∵四边形OCED为矩形， ∴CE＝OD＝2，∠ACE＝90°， ∴在Rt△ACE中，AC＝6，CE＝2， 由勾股定理得：AE＝＝， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解决问题的关键． 23．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题： （1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2； （2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解； （2）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可． 【解答】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G 如图 ∴DF∥AG，＝ ∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6． ∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t， ∴＝ 解得DF＝（10﹣t） ∵S△BDE＝BE•DF＝7.5 ∴（10﹣t）•t＝15 解得t＝5． 答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2． （2）存在．理由如下： ①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA， ∴＝即＝， 解得t＝， ②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC， ＝即＝， 解得t＝． 答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形． 24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x+m与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3，1）和（﹣1，n）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）点P为反比例函数y＝图象上的任意一点，若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法即可求出一次函数和反比例函数解析式； （2）求出点B的坐标，根据图象求解即可； （3）根据图象求出S△AOC，再根据S△POC＝3S△AOC求出S△POC，即可求出． 【解答】解：（1）∵直线AB：y＝x+m过点A（3，1），B（﹣1，n）． ∴1＝3+m， ∴m＝﹣2， ∴一次函数的解析式为y＝x﹣2， ∵反比例函数的图象过点A（3，1）， ∴k＝3×1＝3， ∴反比例函数的解析式为y＝； （2）把B（﹣1，n）代入y＝x﹣2，得n＝﹣1﹣2＝﹣3， ∴点B的坐标为（﹣1，﹣3）， 观察图象，不等式的解集为﹣1＜x＜0或x＞3； （3）把y＝0代入y＝x﹣2得：x＝2， 即点C的坐标为：C（2，0）， ∴S△AOC＝＝1， ∵S△POC＝3S△AOC， ∴S△POC＝＝， ∴|yP|＝3， 当点P的纵坐标为3时，则3＝，解得x＝1， 当点P的纵坐标为﹣3时，则﹣3＝，解得x＝﹣1， ∴点P的坐标为（1，3）或（﹣1，﹣3）． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$