精品解析：江西省宜春市丰城市江西省丰城中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

丰城中学2024-2025学年上学期初三期中考试试卷 数 学 总分120分 时长120分钟 考试范围（九下） 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 已知，那么下列比例式正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、比例的性质；由平行线与直线相交分成的线段对应成比例．解决本题的关键是看比例式的写在对应位置的线段是否对应线段． 【详解】解：如下图所示， A选项：，，其中线段与是对应线段，线段与是对应线段，故A选项正确； B选项：，，其中线段与不是对应线段，线段与也不是对应线段，故B选项错误； C选项：，，其中线段与不是对应线段，线段与也不是对应线段，故C选项错误； D选项：，，其中线段与不是对应线段，线段与也不是对应线段，故D选项错误． 故选：A． 2. 如图在网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都在格点上，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点O作交延长线于点C，再根据正切的定义结合网格即可求解． 【详解】如图，过点O作交延长线于点C， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查求角的正切值．正确作出辅助线是解题关键． 3. 如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，即BC：AC＝1：2，若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为（　　） A. 4米 B. 6米 C. 6米 D. 24米 【答案】C 【解析】 【分析】根据坡面AB的坡比以及AC的值，求出BC，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长． 【详解】解：∵大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，AC＝12米， ∴， ∴BC＝6， ∴AB＝＝＝6（米）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键． 4. 如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，俯视图是从几何体的正上方往下看所观察到的图形． 【详解】由图可知，从俯视方向看，可看到一个里面含有边为虚线长方形的圆， 故选：D． 5. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 它的图象分布在一、三象限 B. 它的图象与坐标轴没有交点 C. 它的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 当时，的值随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；根据的图象与性质判断即可． 【详解】解：函数的图象分布在一、三象限，图象与坐标轴无交点，它的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，在每个象限内，的值随的增大而减小； 故选项A、B、C正确，选项D错误； 故选：D． 6. 如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，过点B作，使．将绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，当第2022次旋转结束时，点C的对应点落在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. -40 B. 40 C. 80 D. -80 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，可证得△AOB∽△BDC，从而得到，再分别求出OA=3，OB=4，然后根据，可得，从而得到点C的坐标为（8，10），再根据将绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可得到旋转4次一个循环，从而得到当第2022次旋转结束时，此时点C的对应点落在第三象限，且与（8，10）关于原点对称，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥y轴于点D， 根据题意得：∠AOB=∠BDC=90°， ∴∠ABO+∠BAO=90°， ∵， ∴∠ABC=90°， ∴∠ABO+∠CBD=90°， ∴∠BAO=∠CBD， ∴△AOB∽△BDC， ∴， ∵直线与x轴、y轴分别相交于点A，B， 当x=0时，y=4， 当y=0时，x=3， ∴点A（3，0） ，B（0，4）， ∴OA=3 ，OB=4， ∵． ∴， 解得：CD=8，BD=6， ∴OD=10， ∴点C的坐标为（8，10）， ∵将绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， ∴旋转4次一个循环， ∵， ∴当第2022次旋转结束时，此时点C的对应点落在第三象限，且与（8，10）关于原点对称， ∴此时， ∵点落在反比例函数的图象上， ∴k=80． 故选：C 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，相似三角形的判定和性质，一次函数和反比例函数的图象和性质，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知函数是反比例函数，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义列出方程，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得，n2﹣2＝﹣1且n+1≠0， 整理得，n2＝1且n+1≠0， 解得n＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式（k≠0），也可转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件． 8. 在中，若，则是________． 【答案】等腰直角三角形 【解析】 【分析】根据题意可得，．据此即可求得答案． 【详解】根据题意，得 ，． 可得 ，． 则 ． 所以，． 所以，为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的判定，牢记，，的锐角三角函数值是解题的关键． 9. 在反比例函数的图象上有三个点，则的大小关系为____________．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】先由得到函数在第一象限和第三象限的函数值随的增大而减小，然后即可得到，，的大小关系． 【详解】解：， 反比例函数在第一象限和第三象限的函数值随的增大而减小， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是会判断的正负． 10. 如图，若点A的坐标为 ，则 =________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理，可得OA的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案． 【详解】解：如图， 点A的坐标为 ， 由勾股定理，得：OA==2 sin∠1=， 故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理，正弦的概念，比较简单． 11. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确构造相似三角形是解题的关键．作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：． 12. 定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，P是对角线AC上一点，且AP：PC＝2：3，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFP是等腰直角四边形，则AE的长是_____． 【答案】2或3.6 【解析】 【分析】根据题意，分三种情况：①当BF=AB=6时；②当AE=AB=6；③当EF⊥BC时进行讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC=∠BAC=90°， ∴AE：CF=AP：PC=2：3， ①当BF=AB=6时，如图①，四边形ABFP是等腰直角四边形， ∴CF=BC﹣BF=9﹣6=3， 由AE：CF= 2：3得：AE=2； ②当AE=AB=6，如图②，由AE：CF =2：3得，CF=9=BC， 此时点F与B重合，故不符合题意； ③当EF⊥BC时，如图③，则四边形ABEF为矩形， ∴EF∥AB，∠BFP=90°，AE=BF， ∴PF：AB=CF：BC=CP：CA=3:5， 解得：PF=3.6，CF=5.4， ∴AE=BF=BC﹣CF=9﹣5.4=3.6，即BF=PF， 故四边形ABFP是等腰直角四边形， 综上，当AE为2或3.6时，四边形ABFP是等腰直角四边形． 故答案为：2或3.6． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、平行线分线段成比例，理解题意，利用分类讨论及数形结合思想求解是解答的关键． 三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算：-（π-1）0-2cos45°+（）-2． 【答案】. 【解析】 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值化简，然后进行二次根式的混合运算后合并即可． 【详解】原式=31﹣2×+4 =31﹣+4 =23． 【点睛】本题考查了实数的混合运算．掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和二次根式的混合运算是解题的关键． 14. 如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，CD=CE，试说明△ACE∽△BAD． 【答案】证明见解析. 【解析】 【详解】试题分析：由CE=CD，利用等边对等角得到一对角相等，利用等角的补集相等得到一对角相等，再由已知角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证． 证明：∵CE=CD， ∴∠CED=∠CDE， ∴∠AEC=∠ADB， ∵∠DAC=∠B， ∴△ACE∽△BAD． 考点：相似三角形的判定． 15. 如图是一个几何体的三视图． （1）写出几何体的名称； （2）根据图中标出的数据，计算这个几何体的表面积（结果可含）． 【答案】（1）圆锥 （2） 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥的计算； （1）由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥； （2）根据图中给定数据结合圆锥表面积公式计算即可． 【小问1详解】 由三视图可知，原几何体为圆锥； 【小问2详解】 这个几何体的表面积． 16. 如图，在每个小正方形边长为1个单位长的网格中，建立平面直角坐标系，点，，均在格点上． （1）请在轴的右侧画出，使其与关于点成位似图形，且位似比为； （2）直接写出（1）中点的坐标为______． 【答案】（1） 如图，即为所求三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或： （1）根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的横纵坐标都乘以2得到点的坐标，然后描点即可； （2）由（1）得到点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求三角形； 【小问2详解】 解：根据（1）得点的坐标为 17. 已知，与x成正比例，与成反比例，且当时，；当时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】考查了待定系数法的应用． （1）根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可； （2）将代入（1）中求值即可． 【小问1详解】 解：设，， 则， 根据题意，得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：当时，． 四．（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 桑梯是我国古代发明的一种采桑工具，图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角大小的绳索．（参考数据：，，，最后结果精确到0.01米） （1）求绳索长的最大值． （2）若时，求桑梯顶端D到地面的距离． 【答案】（1）1.5米 （2）2.54米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意得当时，绳索的长最大，根据已知易得是等边三角形，利用等边三角形的性质可得米，即可解答； （2）过点D作，垂足为E，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，根据已知求得，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得：当时，绳索BC的长最大， ∵米， ∴是等边三角形， ∴米， ∴绳索长的最大值为1.5米； 【小问2详解】 解：过点D作，垂足为E， ∴， ∵米，， ∴， ∵米， ∴（米） 在中，（米）， 答：桑梯顶端D到地面的距离约为2.54米． 19. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且． （1）求反比例函数表达式； （2）点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据直线解析式求点坐标，得的长度；根据三角函数定义可求的长度，得点的横坐标；根据点在直线上可求点的坐标．从而可求的值； （2）根据反比例函数解析式可求点坐标；作点关于轴的对称点，连接与轴的交点就是满足条件的点位置，进而即可求解． 此题考查反比例函数与一次函数的综合应用，三角函数定义，涉及线路最短问题，难度中等． 【小问1详解】 解：由可知，即． ， ． 轴， 点的横坐标为1． 点在直线上， 点的纵坐标为4．即． 点在上， ． ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：存在．过程如下： 过点作关于轴的对称点，连接，交轴于，连接，如图所示： 此时最小． 点在反比例函数上， ，即点的坐标为． 与关于轴的对称， 的坐标为． 设直线的解析式为． 把和代入，得， 解得 直线的解析式为． 令，得． 点坐标为， 20. 如图，点，，在上，是弦的中点，点在的延长线上，连接，，，． （1）求证：是切线； （2）连接，若，，，求的长． 【答案】（1）证明：如图1， 是弦的中点，过圆心， 即． 在四边形中， ， ． 又是的半径， 是切线． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理的条件得出，根据已知条件得出，即可证得； （2）先延长，交于点F，利用三角函数和证明即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：延长，交于点F，如图2． ， ． 在中，， ． 在中，， ． ， 即 ． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理、三角函数、相似三角形等知识的综合运用，正确做出辅助线是解题的关键． 五．（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使－边在上，其余两个顶点分别在上． （1）当点P恰好为的中点时，___________． （2）当时，求出的长度； （3）若，则这个矩形的长、宽各是多少？ 【答案】（1） （2） （3）矩形的长，宽为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，熟记性质并列出比例式是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）根据矩形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可； （3）设宽为，则长为，根据相似三角形的性质求解即可； 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ，又 ∴， ∵点恰好为中点， ∴， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵四边形为矩形， 【小问3详解】 故设，则长为， 由题意知 ∵四边形为矩形， 故． 答：矩形的长，宽为． 22. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ； 【深入探究】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上，则 ； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象的草图，观察图象可知该图象可由函数 的图象平移得到； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是 （多选）． A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点 B．y随着x的增大而减小 C．y随着x的增大而增大 D．图象经过点 【答案】（1）不是，4； （2）①18；②； （3）①； ②画出草图如图所示，； ③A，B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． （1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）①根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； ②先由①得出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，令直线与轴交于点，当时，求出点的坐标，最后根据进行计算即可； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案； ②描点连线即可得到图象，由图象观察可知，该图象可由平移得到； ③先画出草图，再根据图象逐一判断即可得到答案； 【详解】解：（1）∵， ∴点不是“美好点”， ∵点是第一象限内的一个“美好点”， ∴， 解得：， 故答案为：不是，4； （2）①∵是“美好点”， ∴， 解得：， ， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； ②∵在双曲线上， ， ， 设直线的解析式为：， ， 解得， ∴直线的解析式为：， 令直线与轴交于点， 当时，， 解得：， ∴， 画出图如图所示： ； （3）①∵点是第一象限内的“美好点”， ， 化简得：， ∵第一象限内的点的横坐标为正， ， 解得：， ∴关于的函数表达式为：； ②该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； ③由图象可得： A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B．由图象可知随着的增大而减小，故B正确，符合题意； C．随着的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D．当时，，所以图象经过点，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：A，B； 六、（本大题共12分） 23. 【问题情境】 如图1，在正方形中，，，分别是，，上的点，于点．求证：． 小明在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法1：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 方法2：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 【尝试应用】 （1）请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明； （2）如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，求的值． 【答案】（1）见解析； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）方法1：平移线段至交于点，证明四边形是平行四边形，得出，由证得，即可得出结论； 方法2：平移线段至交于点，则四边形是矩形，由证得，即可得出结论； （2）①平移线段至处，连接，由证得，得出，，证明，得出，即可得出结果； ②证明，得出． 【小问1详解】 证明：方法1：平移线段至交于点，如图， 由平移的性质得：， 四边形是正方形， ，，， 四边形是平行四边形， ． ， ， ， ． ， ． 在和中，， ， ， ； 方法2：平移线段至交于点，如图， ∴四边形是矩形，， ，． 四边形是正方形， ，， ，． ， ． ， ． 在和中，， ， ； 【小问2详解】 解：①平移线段至处，连接，如图， ∴，四边形是平行四边形， ． 四边形与四边形都是正方形， ，，， ， ． 在和中，， ， ，， ， ， ， 由平移性质得， ； ②如图， 为正方形的对角线， ， ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平移的性质，勾股定理等知识．掌握特殊四边形的判定定理和性质定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城中学2024-2025学年上学期初三期中考试试卷 数 学 总分120分 时长120分钟 考试范围（九下） 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 已知，那么下列比例式正确的是（    ） A. B. C. D. 2. 如图在网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都在格点上，则是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，即BC：AC＝1：2，若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为（　　） A. 4米 B. 6米 C. 6米 D. 24米 4. 如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 它的图象分布在一、三象限 B. 它的图象与坐标轴没有交点 C. 它的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 当时，的值随的增大而增大 6. 如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，过点B作，使．将绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，当第2022次旋转结束时，点C的对应点落在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. -40 B. 40 C. 80 D. -80 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知函数是反比例函数，则的值为__________． 8. 在中，若，则是________． 9. 在反比例函数的图象上有三个点，则的大小关系为____________．（用“<”连接） 10. 如图，若点A的坐标为 ，则 =________． 11. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则________． 12. 定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，P是对角线AC上一点，且AP：PC＝2：3，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFP是等腰直角四边形，则AE的长是_____． 三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算：-（π-1）0-2cos45°+（）-2． 14. 如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，CD=CE，试说明△ACE∽△BAD． 15. 如图是一个几何体的三视图． （1）写出几何体的名称； （2）根据图中标出的数据，计算这个几何体的表面积（结果可含）． 16. 如图，在每个小正方形边长为1个单位长的网格中，建立平面直角坐标系，点，，均在格点上． （1）请在轴的右侧画出，使其与关于点成位似图形，且位似比为； （2）直接写出（1）中点的坐标为______． 17. 已知，与x成正比例，与成反比例，且当时，；当时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当时，求y的值． 四．（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 桑梯是我国古代发明的一种采桑工具，图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角大小的绳索．（参考数据：，，，最后结果精确到0.01米） （1）求绳索长的最大值． （2）若时，求桑梯顶端D到地面的距离． 19. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且． （1）求反比例函数表达式； （2）点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 20. 如图，点，，在上，是弦的中点，点在的延长线上，连接，，，． （1）求证：是切线； （2）连接，若，，，求的长． 五．（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使－边在上，其余两个顶点分别在上． （1）当点P恰好为的中点时，___________． （2）当时，求出的长度； （3）若，则这个矩形的长、宽各是多少？ 22. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ； 【深入探究】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上，则 ； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象的草图，观察图象可知该图象可由函数 的图象平移得到； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是 （多选）． A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点 B．y随着x的增大而减小 C．y随着x的增大而增大 D．图象经过点 六、（本大题共12分） 23. 【问题情境】 如图1，在正方形中，，，分别是，，上的点，于点．求证：． 小明在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法1：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 方法2：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 【尝试应用】 （1）请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明； （2）如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $