福建省漳州市龙海区2024-2025学年九年级上学期期中测评数学试卷

龙海区2024～2025学年第一学期阶段性素养评价 九年级数学试卷 （全卷共三个大题 满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（每题4分，满分共40分，每小题只有一个正确的答案，请把正确的选项填在答题卡相应的表格内） 1. 下列式子，属于最简二次根式的是（） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 2 C. D. 5 5. 将一元二次方程配方成的形式，则a的值为（ ） A. B. C. 4 D. 8 6. 如图，将一个矩形纸片沿，的中点，的连线对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则（ ） A. B. C. D. 7. 设方程的两个根为α，β， 那么的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 3 8. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，线段上的一点把分割为两条线段、，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是等腰直角三角形，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每小题4分，共24分，请把正确答案填写在答题卡相应横线上） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 12. 将方程化为一般式是________． 13. 如图，身高m的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得m，m，则树的高度为_____． 14. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 15. 若一元二次方程 的两个实数根分别是的两条边，则这个直角三角形的面积为__________________． 16. 如图，已知，则与的面积比是________． 三、解答题（9大题，共86分，请把解答过程填写在答题卡上） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 列方程或方程组解应用题： 某公司在2014年的盈利额为200万元，预计2016年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？ 20. 根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：第式，第式，第式，第式．… （1）根据规律直接写出第式； （2）若，求的值． 21. 学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点，分别在、的延长线上取点、，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为60米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 22. 若时，代数式的值也为，则称是这个代数式的“优值”．例如，当时，代数式的值为；当时，代数式的值为，所以和都是的“优值”． （1）判断代数式是否存在“优值”，并说明理由； （2）代数式存在两个“优值”且差为，求的值． 23. 如图，在矩形中，，，是边上一个动点（不与，重合），连接，作，交边于点． （1）求证：； （2）利用尺规作图（保留作图痕迹），在边上作一点，使得，并证明：． 24. 在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角点阵，从上到下有无数行，其中第一行有个点，第二行有个点……第行有个点…… 【发现问题】：在探究的过程中，容易发现是三角形前行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】：前多少行的点数和是？ 【分析问题】：数形结合是解决数学问题的重要思想；下面表格分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法． 例：求前行的点数 ①， 由①式倒序： ②， ①②： 所以，即前行点数为个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】： （1）根据以上材料，解决前面所提出的问题； 【应用延伸】： （2）如图3，该点阵的点数从上到下依次为：，，，，，，这个点阵的点数和能是吗？请说明理由． 25. 阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 材料：三角形的内角平分线定理：如图1，在中，平分，交于点，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作，交的延长线于点． （1）【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； （3）【拓展延伸】如图4，中，平分，的延长线交外角角平分线于点．若，，求的长． 龙海区2024～2025学年第一学期阶段性素养评价 九年级数学试卷 （全卷共三个大题 满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（每题4分，满分共40分，每小题只有一个正确的答案，请把正确的选项填在答题卡相应的表格内） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】D 二、填空题（每小题4分，共24分，请把正确答案填写在答题卡相应横线上） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】m 【14题答案】 【答案】4 【15题答案】 【答案】或 【16题答案】 【答案】 三、解答题（9大题，共86分，请把解答过程填写在答题卡上） 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】 【19题答案】 【答案】10％. 【20题答案】 【答案】（1） （2）168 【21题答案】 【答案】桥的长度为90米 【22题答案】 【答案】（1） 不存在“优值” 理由如下：假设存在优值为，则有， 整理得：， 关于的一元二次方程根的判别式为： ， 这个关于的一元二次方程没有实数根， 即代数式不存在“优值”； （2）或 【23题答案】 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （2） 解：尺规作图如图所示： ，， ， ， ， ， ①， 由（1）知， ， ②， ①②得，， ，， ， ． 【24题答案】 【答案】（1）前行的点数和是； （2） 解：这个点阵的点数和能是，理由如下： 设，， 则， 依据（1）中的方法同理可求得：， 所以， 当时，解得或（不合题意，舍去）， 所以当时，这个点阵的点数和能是． 【25题答案】 【答案】（1） 证明：， ， ，， 平分， ， ， ， ， ； （2）6 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $