精品解析：湖南省常德市第四中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024年下期中考试试卷 九年级 数学（问卷） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的相关知识点，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，要求二次项系数不为零即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：B． 2. 已知，则把它改写成比例式后，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例的性质逐项分析即可； 【详解】A．由交叉相乘得：，与题干不符，故A错误． B．由交叉相乘得：，与题干一致，故B正确． C．由交叉相乘得：，与题干一致，故C正确． D．由交叉相乘得：，与题干一致，故D正确． 故选A． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，如果a∶b=c∶d或，那么ad=bc，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或（bd≠0）． 3. 已知矩形的面积为，相邻两条边长分别为和，则关于的函数图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，由题意可得，则与之间的函数图象是反比例函数图象，并且分布在第一象限，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和， ∴， ∴函数解析式为：， ∴与之间的函数图象大致是： 故选：A． 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解． 【详解】解： 移项得， 两边同时加上，即 ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 5. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图像位于第二、四象限 B. 图像与坐标轴有公共点 C. 图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D. 图像经过点，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质逐项排查即可解答． 【详解】解：A．的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意； B． 的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意； C． 的图像所在的每一个象限内，随的增大而减小，故该选项符合题意； D． 由的图像经过点，则，计算得或，故该选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，明确题意、正确利用反比例函数的性质是解答本题的关键． 6. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故D错误； ∵， ∴，故C正确， 故选：D． 7. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 8. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 9. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，由题意可得，再代入到代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 反比例函数y=（a＞0，a为常数）和y=在第一象限内的图像如图所示，点M在y=的图像上，MC⊥x轴于点C，交y=的图像于点A；MD⊥y轴于点D，交y=的图像于点B，当点M在y=的图像上运动时，以下结论： ①S△ODB=S△OCA； ②四边形OAMB的面积不变； ③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点． 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质和比例系数的几何意义逐项分析可得出解． 【详解】①由于A、B在同一反比例函数y=图像上，由反比例系数的几何意义可得S△ODB=S△OCA=1,正确，符合题意； ②由于矩形OCMD、△ODB、△OCA为定值，则四边形MAOB的面积不会发生变化，正确，符合题意； ③连接OM，点A是MC的中点，则S△ODM=S△OCM=，因S△ODB=S△OCA=1,所以△OBD和△OBM面积相等，点B一定是MD的中点．正确，符合题意； 故答案选D． 二、填空（每小题3分，共24分） 11. 若点，在双曲线上，则，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据时，在每一象限内，的值随着的增大而减小，据此即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴在每一象限内，的值随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】过点作于，交于， ∵， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 13. 的两根分别为，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】依据题意，由根与系数的关系可以得解． 【详解】解：∵ ∴根据根与系数的关系可得，， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题时要熟练掌握并理解是关键． 14. 如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该大厦的高度约为______m． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 因为小玲和新华大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答． 【详解】解：根据题意，,, ． 即 故； 那么该古城墙的高度是， 故答案为：16． 15. 已知反比例函数的图象在一、三象限，则a的取值范围是_____． 【答案】a<2 【解析】 【分析】反比例函数图象在第一、三象限，说明2-a＞0，由此即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图像在第一、三象限， ∴2-a＞0， 解得：a<2， 故答案为：a<2． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质和图像，属于基础题，熟练掌握反比例函数的图形性质是解决本题的关键． 16. 符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，两点都是的黄金分割点，若，则的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得，故可求得的长． 【详解】解：∵两点都是的黄金分割点，， 故答案为： 17. 如图，某小区规划在一个长为16m、宽为9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为112m2，求小路的宽度．若设小路的宽度为xm，则x满足的方程为__________________． 【答案】（16－2x)(9－x)＝112 【解析】 【详解】设小路的宽度为xm， 那么草坪的总长度和总宽度为（16-2x）m，（9-x）m， 根据题意即可得出方程为：（16-2x）（9-x）=112， 故答案为（16-2x）（9-x）=112. 18. 对于实数，，如果满足，那么称，互为和等积数，点为和等积点．如：由，可知4的和等积数为，点为和等积点．已知直线与双曲线有一个交点是和等积点，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】设与双曲线的交点是和等积点，利用定义得到，代入一次函数得到，进而得到，求出或，由两个函数图象的相交得到，代入即可求出k的值． 【详解】解：设与双曲线的交点是和等积点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得或， ∵，则， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了求反比例函数的解析式，解一元二次方程，一元二次方程的根的判别式，正确理解题意得到是解题的关键． 二、解答题（共8小题，满分66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：原方程可化为： ∴，或， ∴，； 【小问2详解】 解：原方程可化为：， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 20. 如图，为原点，，两点的坐标分别为，． （1）以为位似中心，在轴左侧将放大2倍，得到，请画出图形（，两点的对应点分别为，）； （2）分别写出点，的坐标； （3）若的面积为，则的面积为________． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求， （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图位似变换，点的坐标的特征，相似三角形的性质等知识，准确画出是解题的关键． （1）根据位似图形的性质，找到点、即可； （2）由（1）的图形求解即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图形可知，，； 【小问3详解】 解：∵将放大2倍得到 ∴和的位似比为 ∴和的相似比为 ∴和的面积比为 ∵的面积为 ∴的面积为 21. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图像直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，将代入反比例函数表达式得到，从而求出的坐标是，再利用待定系数法确定一次函数的函数表达式即可得到答案； （2）数形结合，根据函数与不等式的关系求不等式的解集即可得到答案． 【小问1详解】 解：反比例函数的图像经过， ， 反比例函数的解析式为； 在上，则， 的坐标是， 把代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意，数形结合，由图像可知，不等式的解集是或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法求函数表达式，函数图像的关系解不等式等，熟练掌握函数图像与性质是解决问题的关键． 22. 关于的一元二次方程． （1）如果方程有实数根，求的取值范围； （2）如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，根与系数的关系，明确，是一元二次方程的两个根时，，是答题的关键． （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得，，再整理所求的式子，代入相应的值运算即可． 【小问1详解】 解：∵方程有实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵，是这个方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ， 解得：． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1） （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为元， 由题意得， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． 24. 如图，中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，交于点，且． （1）求的长； （2）证明： 【答案】（1） （2） 解：∵ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先根据平行四边形的性质和为的中点，得到，然后证明出，得到，然后代数求解即可； （2）首先由得到，然后证明出，得到，然后等量代换求解即可． 【小问1详解】 解：∵中，为的中点， ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； 【小问2详解】 略 25. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点为坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图像经过的中点，且与交于点，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）若点是轴上一点，且与相似，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，再根据三角形面积公式计算即可； （）设点的坐标为，则，由可得与相似，需满足或，据此解答即可求解； 本题考查了反比例函数的几何应用，矩形的性质，相似三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：四边形为矩形，点的坐标为，点为的中点， ∴， ∵反比例函数的图像经过的中点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积； 【小问3详解】 解：设点的坐标为，则， ∵， ∴与相似，需满足或， 当时，， 解得或； 当时，， 解得或； 综上，点的坐标为或或或． 26. （1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】 （1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）3 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期中考试试卷 九年级 数学（问卷） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则把它改写成比例式后，错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知矩形的面积为，相邻两条边长分别为和，则关于的函数图像大致是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图像位于第二、四象限 B. 图像与坐标轴有公共点 C. 图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D. 图像经过点，则 6. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 9. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 反比例函数y=（a＞0，a为常数）和y=在第一象限内的图像如图所示，点M在y=的图像上，MC⊥x轴于点C，交y=的图像于点A；MD⊥y轴于点D，交y=的图像于点B，当点M在y=的图像上运动时，以下结论： ①S△ODB=S△OCA； ②四边形OAMB的面积不变； ③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点． 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空（每小题3分，共24分） 11. 若点，在双曲线上，则，的大小关系是______． 12. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是_______． 13. 的两根分别为，则__________． 14. 如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该大厦的高度约为______m． 15. 已知反比例函数的图象在一、三象限，则a的取值范围是_____． 16. 符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，两点都是的黄金分割点，若，则的长是______． 17. 如图，某小区规划在一个长为16m、宽为9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为112m2，求小路的宽度．若设小路的宽度为xm，则x满足的方程为__________________． 18. 对于实数，，如果满足，那么称，互为和等积数，点为和等积点．如：由，可知4的和等积数为，点为和等积点．已知直线与双曲线有一个交点是和等积点，则的值为______． 二、解答题（共8小题，满分66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，为原点，，两点的坐标分别为，． （1）以为位似中心，在轴左侧将放大2倍，得到，请画出图形（，两点的对应点分别为，）； （2）分别写出点，的坐标； （3）若的面积为，则的面积为________． 21. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图像直接写出不等式的解集． 22. 关于的一元二次方程． （1）如果方程有实数根，求的取值范围； （2）如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 24. 如图，中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，交于点，且． （1）求的长； （2）证明： 25. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点为坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图像经过的中点，且与交于点，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）若点是轴上一点，且与相似，求点的坐标． 26. （1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $