精品解析：山东省淄博市周村区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

九年级数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 下列函数中，当时，随增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数图象一定经过的点是（　　） A. B. C. D. 3. 已知点在平面直角坐标系中，射线与x轴正半轴的夹角为α，那么的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点处送到离地面3米高的处，则物体从到所经过的路程为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 9米 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，建筑物和旗杆的水平距离为，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）近似满足函数关系．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时，最接近的时刻是（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 9. 在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（　　） A. y1 B. y2 C. y3 D. y4 10. 兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（请将最终结果填入题中的横线上，每小题4分，共20分） 11. 如果，那么锐角的度数是_______ 12. 在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点和，则m的值为______． 13. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行______才能停下来． 14. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是_______． 15. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为10，则k的值是_______． 三、解答题（要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共90分） 16. 已知如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点． （1）求m，n值； （2）若点P是该反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为Q．随着点P的运动，的面积是否发生变化？如果不变，求出面积的值；如果变化．说明理由． 17. 如图，在中，，垂足为D，是边上的中线，． （1）求的长； （2）求的值． 18. 已知抛物线图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … －2 －1 0 1 2 3 … y … 5 0 －3 －4 －3 0 … （1）求此抛物线的解析式，并画出图像； （2）结合图像直接写出当0≤x≤4时，y范围． 19. 如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向南偏东的方向移动，距台风中心的范围内是受台风影响的区域. （1）求城与台风中心之间的最小距离；（2）求城受台风影响的时间有多长？ 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点A，B，与y轴，x轴分别交于点C，D，作轴，垂足为E，． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出x的取值范围； （3）若点P在x轴负半轴上，连接，且，求点P坐标． 21. 如图，点A、B是反比例函数的图象上的点，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，，连接、、，线段交于点，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）若将所在的直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点的坐标； （2）已知点与点都是抛物线上的点． ①求的值； ②如果，求点的坐标． 23. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为． （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 下列函数中，当时，随的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数，反比例函数和二次函数的性质对各项逐一判即可得解． 【详解】A、∵k＞0，∴y随着x的增大而增大； B、∵k＞0，∴在第一象限内y随x的增大而减小； C、∵k＜0，∴在第四象限内y随x的增大而增大； D、∵y=x2，∴对称轴x=0，当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧，y随着x的增大而减小． 故选B． 【点睛】本题综合考查二次函数、反比例函数、正比例函数的性质，掌握这几种性质的应用及区别是解题关键． 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 【详解】解：解：当时，，图象不经过，故A不符合要求； 当时，，图象一定经过，故B符合要求； 当时，，图象不经过，故C不符合要求； 当时，，图象不经过，故D不符合要求； 故选：B． 3. 已知点在平面直角坐标系中，射线与x轴正半轴的夹角为α，那么的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．作轴于H．利用勾股定理求出，再利用余弦的定义即可解决问题． 【详解】解：如图，作轴于H． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点处送到离地面3米高的处，则物体从到所经过的路程为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 9米 【答案】A 【解析】 【分析】根据坡比定义求出AC的长度，再根据勾股定理求出AB长度即可. 【详解】解：设BC⊥AC,垂足为C， ∵i=BC：AC=1：3 ∴3：AC=1:3, ∴AC=9, 在Rt△ACB中，由勾股定理得， ∴AB=米. 故选：A 【点睛】本题考查解直角三角形，明确坡比的概念是解答此题的关键. 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 6. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于； 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 7. 如图，建筑物和旗杆的水平距离为，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键掌握锐角三角函数的定义．根据题意可得，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后利用线段的和差，即可解答． 【详解】解，如图： 由题意得：，， 在中，， ， 在中，， ， ， 故选：D． 8. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）近似满足函数关系．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时，最接近的时刻是（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由点(3,18)、(5,20)、(7,14)在抛物线上，利用待定系数法求出抛物线解析式，将其写成顶点式，即可得出结论． 【详解】由题意得，点(3,18)、(5,20)、(7,14)在抛物线上， ∴ ， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴当时，足球飞行达到最高点， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键． 9. 在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（　　） A y1 B. y2 C. y3 D. y4 【答案】A 【解析】 【分析】由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定． 【详解】由图象可知： 抛物线y1的顶点为（-2，-2），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y1=（x+2）2-2； 抛物线y2的顶点为（0，-1），与x轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y2=x2-1； 抛物线y3的顶点为（1，1），与y轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y3=（x-1）2+1； 抛物线y4的顶点为（1，-3），与y轴的交点为（0，-1），根据待定系数法求得y4=2（x-1）2-3； 综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y1 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键． 10. 兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数自变量的取值范围确定b的取值是解题的关键．由图象可知，当时，，可知；由函数自变量的取值范围可得，结合函数图象可得；从而可得答案. 【详解】解：由图象可知，当时，， ∴； 由函数自变量的取值范围可得，结合函数图象可得； 故选：A． 二、填空题（请将最终结果填入题中的横线上，每小题4分，共20分） 11. 如果，那么锐角的度数是_______ 【答案】##60度 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值计算即可得到锐角的度数． 【详解】解：∵，， ∴锐角的度数为． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点和，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．据此求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行______才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，滑行距离最远时，飞机才停下来，据此利用二次函数的性质求出有最大值时，的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，有最大值， ∴飞机着陆后滑行才能停下来， 故答案为：． 14. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和解直角三角形，连接和，通过证明四边形是平行四边形，得到，进一步证明，再根据勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：如下图所示，连接和， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ 设小正方形的边长为1， 则,，， ∴， ∴三角形是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 15. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为10，则k的值是_______． 【答案】8 【解析】 【分析】过点E作，则，设，由，可得，再由，列方程，即可得出k的值． 【详解】解：过点E作，则， ∴， ∴ 设， ∵ ∴， ∴ ∴ 即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键． 三、解答题（要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共90分） 16. 已知如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点． （1）求m，n的值； （2）若点P是该反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为Q．随着点P的运动，的面积是否发生变化？如果不变，求出面积的值；如果变化．说明理由． 【答案】（1）， （2）的面积不变． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先把代入反比例函数求出，再将代入反比例函数解析式即可得解； （2）根据反比例函数的的几何意义即可得解． 【小问1详解】 解：把代入得：， ， 把代入得：， 解得； 【小问2详解】 解：的面积不变． ∵点P是反比例函数的图象上一点， ． 17. 如图，在中，，垂足为D，是边上的中线，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理： （1）先利用勾股定理解求出，再根据求出，则； （2）先利用勾股定理求出，再利用正弦的定义求． 【小问1详解】 解：在中，， ， 在中，， ， ； 【小问2详解】 解：是边上的中线， ， ， ， ． 18. 已知抛物线图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … －2 －1 0 1 2 3 … y … 5 0 －3 －4 －3 0 … （1）求此抛物线的解析式，并画出图像； （2）结合图像直接写出当0≤x≤4时，y的范围． 【答案】（1），图见解析 （2） 【解析】 分析】（1）根据表格得出抛物线过点、、，将点坐标代入抛物线解析式求出a、b、c即可，再利用描点法画函数图像； （2）利用图像可直接得到答案． 【小问1详解】 解：∵设二次函数的解析式为， 由题意得：当时，， ∴, ∵时，，当时，， ∴， 解得， ∴； ∵当时，， ∴根据表格描点，用平滑曲线连结，抛物线图像如图： 【小问2详解】 解：由图可得，抛物线的顶点为， ∴当0≤x≤4时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图像，根据图像求函数值范围，熟练掌握待定系数法和描点法画函数图像是解题关键． 19. 如图，城气象台测得台风中心在城正西方向处，以每小时的速度向南偏东的方向移动，距台风中心的范围内是受台风影响的区域. （1）求城与台风中心之间的最小距离；（2）求城受台风影响的时间有多长？ 【答案】（1）城与台风中心之间的最小距离是；（2）城遭受这次台风影响的时间为小时. 【解析】 【分析】（1）城与台风中心之间的最小距离即为点A到OB的垂线段的长，作，根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求解即可； （2）设上点，千米，则还有一点，有千米,则在DG范围内，城遭受这次台风影响，所以求出DG长，除以台风移动的速度即为时间. 【详解】解：作 在中， ，则 答：城与台风中心之间的最小距离是 设上点，千米，则还有一点，有 千米 是等腰三角形， 是的垂直平分线， 在中，千米，千米 由勾股定理得，（千米） 千米，遭受台风影响的时间是：（小时） 答：城遭受这次台风影响个时间为小时 【点睛】本题考查了含直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，正确理解题意是解题的关键. 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点A，B，与y轴，x轴分别交于点C，D，作轴，垂足为E，． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出x的取值范围； （3）若点P在x轴负半轴上，连接，且，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）求出点A坐标，即可求出反比例函数解析式； （2）观察图象特点，即可得出取值范围； （3）先证明，再根据正切值相等，最后由线段和差即可求出长． 【小问1详解】 解：轴， ，即点A的纵坐标为4， 代入，得，解得，， ． 将代入，得， ， ∴反比例函数的解析式为：， 【小问2详解】 当时，解得，， ． ∴当时，x的取值范围是：或． 【小问3详解】 作轴，垂足为M，则． 当，解得，， ． ， ∴ ∴． ． ， 即， 解得． ∴点P的坐标为 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的性质、求解反比例函数解析式、根据图象确定自变量的取值范围，锐角三角函数等知识，注重数形结合是解答本题的关键． 21. 如图，点A、B是反比例函数的图象上的点，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，，连接、、，线段交于点，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）若将所在的直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求求出，长，确定点的坐标，代入反比例函数解析式即可； （2）求出的长，确定的长，根据三角形面积公式求得； （3）求出的函数解析式，再确定平移后的函数解析式，和反比例函数联立，转化为一元二次方程，根据求得． 【小问1详解】 在中， ， 可设，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ，， ， ， 即：， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 设的解析式是：， ， ， ， 平移后的函数解析式是：， 由得， ， ，（舍去）， ． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数图象和性质，相似三角形性质以及一元二次方程根的判别式，解决问题的关键是熟练掌握基础知识．本题属于基础题． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点的坐标； （2）已知点与点都是抛物线上的点． ①求的值； ②如果，求点的坐标． 【答案】（1）．点的坐标为 （2）①；②点的坐标为， 【解析】 【分析】（1）将和点代入即可求解； （2）①过点作，垂足为点．求出，根据等腰直角三角形的性质可得，则，根据正切函数的定义即可求解； ②过点作轴，垂足为点．可证出，根据正切函数的定义以及二次函数图象上点的坐标特征即可求解． 【小问1详解】 解：将、代入得， ，解得， 该抛物线的表达式为． 当时，， 点的坐标为； 【小问2详解】 ①连接，过点作，垂足为点． 在上， ，， ，， ，，， ， ． ， ； ②由题意可知，点在第二象限．过点作轴，垂足为点． ， ， ． ， 设，则，． ， 将代入，得， 解得或0（舍去）， 点的坐标为，． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、锐角三角函数、以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握待定系数法以及锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为． （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质 （1）依据题意，若，从而对称轴是直线，进而可以得解； （2）把，代入解析式，根据得出的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意，若， 对称轴是直线． 即； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为， ， ， ， ，在抛物线上， ， ①②得，， ， ， ， ， ， 由①得，， ， ， ， ， ， 的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$