精品解析：安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

马鞍山市第二中学2024-2025学年度第一学期期中素质测试 高三数学试题 命题人 梁宝同 审题人 卢建军 一、单项选择题（本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合，然后计算即可. 【详解】由题可知 所以 故选：D 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数运算求解即可. 【详解】则，则. 故选：C 3. 设等差数列的前n项和为，已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质和前n项和公式即可求解. 【详解】由等差数列的性质可知：，即， 再由前n项和公式得：， 故选：B. 4. 设，向量，．下列说法正确的是（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是的充分不必要条件 D. 是的必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算不同情况的的值，然后判断充分性和必要性即可. 【详解】当时，得，所以是的充要条件； 若，则，，则，所以； 若，则，得. 所以是的必要不充分条件. 故选:D 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助两角差的正切公式可得，再借助同角三角函数基本关系与商数关系将弦化切后即可得. 【详解】， 则. 故选：C. 6. 若函数有两个极值点，，且，实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导可得两个极值点满足的二次方程，再根据韦达定理与判别式求解即可. 【详解】，由题意为的两根，且， 故且，解得. 又因为，即. 综上有. 故选：A 7. 已知数列满足（），记数列前n项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将数列通项与前项和的关系，求得数列递推公式，进而可得通项，将题设中的数列的通项展开裂项，运用裂项相消法求和，求得和式的范围即得. 【详解】依题意，当时，，解得， 当时，，可得，即. 故是以1为首项，2为公比的等比数列，故. 所以， 所以， 因不等式恒成立，故的取值范围是. 故选：A 8. 已知，，，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，利用导数的方法研究的零点，易知的零点也是的零点，由此利用韦达定理，经过变形，然后构造函数，利用导数方法研究其最小值即可. 【详解】当时，恒成立，等价于恒成立； 设，，则， 令得；令得； 所以在上单调递减，在上单调递增； 当，因为；当时，；当时，； 故在上有两个零点，记为，，不妨令； 显然当或时，；当时，； 要使恒成立，则，也是的两个零点， 故，； 又，所以，则，所以； 令，则， 令得；令得； 所以在上单的递减；在上单调递增；则； 因为当时，的两个零点关于对称，此时的两个零点不可能关于对称，因此；所以； 当时，的恒成立；此时需要恒成立，则，所以； 综上，的最小值为； 故选：D 【点睛】关键点点睛： 本题关键点在于借助导数研究零点，得到的零点也是的零点，即可结合韦达定理得到，再构造相应函数，借助导数研究其最小值即可. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是定义在上的偶函数，且对任意的，有，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点是函数的一个对称中心 C. D. 函数恰有3个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用赋值法计算得到，结合函数的奇偶性得到关于对称，推得函数周期为4，根据推得结论计算函数值，验证对称中心，解出函数解析式和数形结合判断函数零点个数即可得解. 【详解】对A：因为，令，得， 所以，解得，故A正确； 对B：因为为偶函数，又，所以关于对称， 所以， 所以是周期为4的周期函数，则， 故点不是函数的一个对称中心，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：作函数和的图象如图所示， 由图可知，两个函数图象有3个交点， 所以函数有3个零点，故D正确． 故选：ACD． 10. 如图，在棱长为2的正方体中，G为的中点，则下列结论正确的有（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 与平面的交点H是的重心 C. 过C，G，三点的平面截该正方体所得截面面积为 D. 三棱锥的外接球的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，连接，可得即为异面直线与所成角或其补角；对于B，可得四面体为正四面体，证明平面即可判断；对于C，取中点，则梯形即为所求，结合勾股定理与梯形面积公式计算即可得；对于D，三棱锥和正方体有相同的外接球，求出即可得. 【详解】对于A，连接，则由正方体的性质可知， 所以即为异面直线与所成角或其补角， 连接，设，则为的中点， 连接，则， 在中，， 即与所成角的余弦值为，故A正确； 对于B，连接，则， 则四面体为正四面体， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可得，因为，平面 所以平面，垂足为，又四面体为正四面体， 所以为的中心，即为的重心，故B正确； 对于C，取中点，连接、、， 因为、分别为、的中点，所以，且， 由正方体性质可知，故， 故过C，G，三点的平面截该正方体所得截面即为梯形， 其中、、， 则梯形的高为， 则，故C错误； 对于D，由于三棱锥的顶点均为正方体的顶点， 所以三棱锥和正方体有相同的外接球， 所以外接球半径， 体积为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 若的图象关于点对称，则在上单调递增 C. 在上的最小值可能为 D. 若的图象关于直线对称，且函数，有奇数个零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，求得，即可判断A；利用三角函数的对称中心，结合求出，即可判断B；由和，结合三角函数的单调性即可判断C；由题意计算可得，画出函数与的图象计算即可判断D. 【详解】对于A：因为的图象在上有且仅有两条对称轴， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是，故A正确； 对于B：因为的图象关于点对称，则有， 即，因为，所以， 当时，，则在上单调递增，故B正确； 对于C：当时，，因为， 所以，所以在上的最小值小于，故C错误． 对于D：因为的图象关于直线对称，则， 即，又，所以，所以， 令函数的根即为函数与的交点的横坐标， 作出图象如图所示，因为，， 要使有奇数个零点，则， 即有，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：求解正弦函数的对称轴、对称中心和值域的问题时，常利用整体代换法和验证法将问题转化到我们熟悉的正弦函数上，利用正弦函数的图象与性质解答，数形结合一种常用方法. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是公比不为1的正项等比数列，若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合等比数列性质及基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】设数列的公比为，则，故， 则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为. 故答案为：. 13. 在中，若的面积为，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形的正弦面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】由的面积为，可得：，化简得：， 再由，可得， 最后由余弦定理得：， 所以， 故答案为：. 14. 已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成角的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得平面、平面及平面的法向量，根据已知可知直线与平面及平面的法向量垂直，可设出直线的方向向量并计算得解，再利用向量的夹角公式计算即可得直线与平面所成角的余弦值. 【详解】由题意可得平面的法向量可为， 平面的法向量可为， 平面的法向量可为， 设直线的方向向量为， 则有，取，则有、， 则直线的方向向量可为， 则， 故直线l与平面所成角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，函数. （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出，再利用正弦函数的性质求解即得. （2）由（1）的信息及已知求出，再利用正弦定理和面积公式可将三角形面积转化为三角函数求值域问题，确定自变量范围，即可得解. 【小问1详解】 依题意， ，因此函数的最小正周期， 由，解得， 所以的单调递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知，，即， 在锐角中，，则，即， 由正弦定理，得， 因此， 由，得，则，于是， 所以面积的取值范围为. 16. 在数列中，. （1）若，求证：为等差数列； （2）求的前项和. 【答案】（1） 因为， 所以 ， 又，所以是以为首项和公差的等差数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）将已知条件代入化简即可得证； （2）利用（1）中结论求出的通项，然后根据分组求和法和错位相减法求和可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以， 记数列的前项和为， 则， ， 两式相减得：， 所以， 所以. 17. 如图，在三棱锥中，是等腰直角三角形，是斜边的中点，且，． （1）证明：平面； （2）若点E在棱上，当二面角的大小为时，求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得及，则可得为等边三角形，利用等边三角形的性质结合勾股定理可得，再利用线面垂直判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，可计算出平面与平面的法向量，结合二面角的大小为，借助空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 由，是斜边的中点， 故，，， 则，故为等边三角形， 故，且， 又，故有，故， 又，、平面，故平面； 【小问2详解】 由（1）可知，、、两两垂直， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、， 则、、， 设，， 则， 设平面的法向量为， 则有， 令，则有，， 即平面的法向量可为， 由轴平面，故平面的法向量可为， 则， 化简得，故或， 又，故，即. 18. 某企业生产的产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表: 质量指标值 质量指标等级 废品 合格 废品 为了解该产品的经济效益，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件.将其质量指标值的数据作为样本，绘制如图的频率分布直方图: （1）若样本数据中质量指标值的中位数和平均值分别为87.5和87，求的值; （2）若每件产品的质量指标值与利润（单位:万元）的关系如下表: 质量指标值 利润（万元） 以频率作为概率，期望作为决策依据，若，对任意的，生产该产品一定能盈利，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用中位数、平均数的意义列式求解. （2）以频率作为概率，求出利润的期望，由“，恒成立”构造函数，利用导数求出的范围. 【小问1详解】 由中位数为87.5，得，则， 由平均值为87，得， 则，联立解得， 所以. 【小问2详解】 以频率作为概率，每件产品的质量指标值与利润（单位:万元）及对应概率关系为： 质量指标值 利润（万元） 0.05 0.1 5a 5b 0.3 依题意，，即， 每件产品的利润，， 由对任意的，生产该产品一定能盈利，得，恒成立， 此时，令，， 求导得，令，， 求导得，而，， 当，即时，，函数在上单调递增， ，函数在上单调递增，，符合题意； 当时，则存在，使得， 由在上单调递增，得当时，，函数在上单调递减， ，，函数在上单调递减，，不符合题意， 由，及，得，因此， 所以的取值范围是. 19. 已知函数在点处的切线经过原点. （1）求t的值； （2）若存在，使得，求证：； （3）证明： 【答案】（1）1 （2）证明：因为，所以， 令，解得； 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，， 所以存在，，且， 要证，即证， 因为，只需证， 因为，即证 令， 即， 所以 因为，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以，即， 所以； （3）证明：要证，即证， 即证， 因为，所以只需证 令，只需证 由， 因为，， 令，；令，， 所以在处取得极大值，也是最大值， 所以， 所以，即原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用导数研究函数单调性，利用单调性可证不等式； （3）由题意只需证，令，利用导数研究在处取得极大值，也是最大值，可得，可证不等式. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以切线方程为，即 因为切线经过原点，所以， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山市第二中学2024-2025学年度第一学期期中素质测试 高三数学试题 命题人 梁宝同 审题人 卢建军 一、单项选择题（本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前n项和为，已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 设，向量，．下列说法正确的是（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是的充分不必要条件 D. 是的必要不充分条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数有两个极值点，，且，实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足（），记数列前n项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是定义在上的偶函数，且对任意的，有，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点是函数的一个对称中心 C. D. 函数恰有3个零点 10. 如图，在棱长为2的正方体中，G为的中点，则下列结论正确的有（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 与平面的交点H是的重心 C. 过C，G，三点的平面截该正方体所得截面面积为 D. 三棱锥的外接球的体积为 11. 已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 若的图象关于点对称，则在上单调递增 C. 在上的最小值可能为 D. 若的图象关于直线对称，且函数，有奇数个零点，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是公比不为1的正项等比数列，若，则的最小值为________． 13. 在中，若的面积为，，，则________． 14. 已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成角的余弦值为________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，函数. （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围. 16. 在数列中，. （1）若，求证：为等差数列； （2）求的前项和. 17. 如图，在三棱锥中，是等腰直角三角形，是斜边的中点，且，． （1）证明：平面； （2）若点E在棱上，当二面角的大小为时，求. 18. 某企业生产的产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表: 质量指标值 质量指标等级 废品 合格 废品 为了解该产品的经济效益，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件.将其质量指标值的数据作为样本，绘制如图的频率分布直方图: （1）若样本数据中质量指标值的中位数和平均值分别为87.5和87，求的值; （2）若每件产品的质量指标值与利润（单位:万元）的关系如下表: 质量指标值 利润（万元） 以频率作为概率，期望作为决策依据，若，对任意的，生产该产品一定能盈利，求的取值范围. 19. 已知函数在点处的切线经过原点. （1）求t的值； （2）若存在，使得，求证：； （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $