精品解析：江西省南昌市第十中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

南昌十中2024-2025学年上学期期中考试 高一数学试题 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟， 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求. 1.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上. 2.作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效.作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损. 3.考试结束后，请将答题纸交回. 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系的有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ② 3. 已知，，，则三个数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 5. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和，其全程的平均时速为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 如果对于任意实数表示不超过x的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动.一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍.现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的对折.借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下： 折纸次数 纸张厚度 参照物 22 321米 苏州东方之门的高度约为301.8米 27 10281米 珠穆朗玛峰的高度约为8844米 38 2.1万公里 地球直径约为1.3万公里 已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折（ ）次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离. A. 41 B. 43 C. 45 D. 47 二、多选题（本题共3小，每题6分，共18分.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）. 9. 下面命题正确的是（    ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“任意，则”的否定是“存在，则” C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 10. 幂函数，，则下列结论正确的有（ ）. A. B. 函数在定义域内单调递减 C. D. 函数的值域为 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. D. 函数为减函数 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）. 12. （1）______. （2）已知，那么等于______. 13. 关于x的不等式对于任意恒成立，则k的取值范围是________ 14. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 已知函数（，且）. （1）若函数的图象过和两点，求在上的值域； （2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 16. 如图：一动点P从边长等于1正方形ABCD的顶点B出发，按照顺序运动，设点P运动的路程为，的面积为y. （1）求y关于的函数关系式，并指出相应的定义域； （2）求函数的值域. 17. 若函数的定义域是，且对任意的，，都有成立. （1）试判断的奇偶性； （2）若当时，，求的解析式； （3）在条件（2）前提下，解不等式. 18. 若函数满足，则称函数为“倒函数”. （1）判断函数和是否为“倒函数”（不必说明理由）； （2）若为“倒函数”，求实数m，n的值； （3）若（恒为正数），其中是偶函数，是奇函数，求证：是“倒函数”． 19. 已知函数． （1）若，求在区间上的值域； （2）若方程有实根，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌十中2024-2025学年上学期期中考试 高一数学试题 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟， 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求. 1.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上. 2.作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效.作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损. 3.考试结束后，请将答题纸交回. 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的运算先求，再求即可. 【详解】因为，，故，故. 故选:A. 2. 设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系的有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ② 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义，且定义域为，值域为，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系， 所以②正确； 对于③中，函数的定义域为集合，值域不是集合，所以③不正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：D. 3. 已知，，，则三个数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【详解】依题意，，，， 所以. 故选：A. 4. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数， 但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数， 且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D 5. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和，其全程的平均时速为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均速度的定义，利用题目已知条件表示出来，结合基本不等式，可得答案. 【详解】设从甲地到乙地的距离为，则小王从甲地到乙地往返的时间分别是和， 所以全程的平均时速， 由，则，可得，即，故B错误； ，由，则，即，故A正确； 由，则，，显然C、D错误. 故选：A. 6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知的定义域，再根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可． 【详解】因为的定义域是， 所以要使得有意义， 需满足，解得． 则函数的定义域为是 故选：B 7. 如果对于任意实数表示不超过x的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据取整函数的定义，结合特例法以及必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】取，满足“”，但即，充分性不成立； 如果，那么和的整数部分是相同的，所以，所以必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动.一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍.现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的对折.借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下： 折纸次数 纸张厚度 参照物 22 321米 苏州东方之门的高度约为301.8米 27 10281米 珠穆朗玛峰的高度约为8844米 38 2.1万公里 地球直径约为1.3万公里 已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折（ ）次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离. A. 41 B. 43 C. 45 D. 47 【答案】B 【解析】 【分析】设至少对折次，纸张厚度超过38万公里，由题意可得关于的不等式，根据指数函数的性质解不等式即可. 【详解】设，则由题意(万公里)， 设至少对折次，纸张厚度超过38万公里， 则， 因为，函数在上单调递增， 所以， 所以理论上至少对折43次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离. 故选：B. 二、多选题（本题共3小，每题6分，共18分.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）. 9. 下面命题正确的是（    ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“任意，则”的否定是“存在，则” C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义判断A；根据全称命题的否定判断B；根据必要不充分条件的定义判断C，D. 【详解】解：对于A，“”“”， 由不能推出， 故“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，命题“任意，则”的否定是“存在，则，故B正确； 对于C，当“且”成立，则“”成立， 但“”成立时，“且”不一定成立，如：，，故C错误； 命题：且，故“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 故选：ABD． 10. 幂函数，，则下列结论正确的有（ ）. A. B. 函数在定义域内单调递减 C. D. 函数的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据幂函数的性质可得，进而可得，由幂函数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由为幂函数可得，解得或， 又，所以.所以，故A正确； 因为函数的定义域为，关于原点对称， 由，知函数为偶函数， 由于，故在区间上单调递减， 根据偶函数性质知在区间上单调递增，故B错误； ，故C错误； 因为的定义域为，则，所以的值域为，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. D. 函数为减函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据分母不为求出函数的定义域，即可判断A；再将函数解析式变形为，即可求出函数的值域，从而判断B；根据指数幂的运算判断C，根据函数值的特征判断D. 【详解】对于函数，则，解得，所以函数的定义域为， 故A错误； 因为， 又，当时，则， 当时，则， 所以函数的值域为，故B正确； 又，故C正确； 当时，当时，所以不会是减函数，故D错误. 故选：BC 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）. 12. （1）______. （2）已知，那么等于______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质，即可求解； （2）根据，再结合时，则，即可求解. 【详解】（1）原式 . （2）由， 因为，则，所以， 得到， 故答案为：，. 13. 关于x的不等式对于任意恒成立，则k的取值范围是________ 【答案】． 【解析】 【分析】根据的范围分类讨论可得． 【详解】即时，原不等式为，恒成立， 时，原不等式恒成立，则，解得， 综上，， 故答案为：． 14. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性求得的解析式，构造函数，根据的单调性以及对进行分类讨论来求得的取值范围. 【详解】由题意可得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以，联立， 解得，又因为对于任意的，都有成立， 所以，即成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， 若，则对称轴，解得； 若，则在单调递增，满足题意； 若，则对称轴恒成立；综上，． 故答案为： 【点睛】易错点睛： 奇偶性判断的细节：在利用奇偶性构造函数时，容易在符号处理上出现错误，尤其是对于奇函数和偶函数的性质.确保每一步推导中符号的准确是非常重要的. 分类讨论的完整性：在进行参数的分类讨论时，必须确保每种情况都被考虑到，包括.如果遗漏某一情况，可能会导致结论不完整. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 已知函数（，且）. （1）若函数的图象过和两点，求在上的值域； （2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入解析式，列出方程组求出，再根据函数的单调性求出值域即可； （2）根据函数单调性求出最大值和最小值，列出方程，求解的值即可. 【小问1详解】 由题意，，， 又，解得，，所以， 因为在上单调递增，所以， 所以在上的值域为. 【小问2详解】 当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）， 当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去）， 所以或. 16. 如图：一动点P从边长等于1正方形ABCD的顶点B出发，按照顺序运动，设点P运动的路程为，的面积为y. （1）求y关于的函数关系式，并指出相应的定义域； （2）求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分、及讨论即可得； （2）分别计算出、及的值域后即可得. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 当时，， 即有； 【小问2详解】 当，则， 当时，， 当时，， 综上所述，函数的值域为. 17. 若函数的定义域是，且对任意的，，都有成立. （1）试判断的奇偶性； （2）若当时，，求的解析式； （3）在条件（2）前提下，解不等式. 【答案】（1）为奇函数 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用已知求出，可得，即可证出； （2）先利用奇函数性质求出时，，再结合已知和，即可求解析式； （3）作出函数的图象，利用图象得是定义在上的增函数，将不等式转化为，再利用的单调性可得，解一元二次不等式即可得解. 【小问1详解】 为奇函数， 理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 令得，解得， 令得，所以对任意恒成立， 所以为奇函数， 【小问2详解】 由题知当时，， 则时，， 又， 所以. 【小问3详解】 作出函数的图象，如下图所示： 由图可知，是定义在上的增函数， 因为，所以， 所以，即， 解得或， 所以不等式的解集为或. 18. 若函数满足，则称函数为“倒函数”. （1）判断函数和是否为“倒函数”（不必说明理由）； （2）若为“倒函数”，求实数m，n的值； （3）若（恒为正数），其中是偶函数，是奇函数，求证：是“倒函数”． 【答案】（1）函数和都不是“倒函数” （2） （3）证明：因函数是偶函数，是奇函数，则它们的定义域必关于数0对称， 依题意，的定义域是函数与定义域的交集，也必关于数0对称， 因此，， 所以是倒函数. 【解析】 【分析】（1）求出函数定义域即可判断；利用给定定义计算判断即可作答. （2）利用给定定义直接计算可得m、n的值 （3）探讨的定义域，再利用给定的定义计算即可作答. 【小问1详解】 依题意，函数为“倒函数”，函数的定义域必关于数0对称， 函数的定义域为，显然在定义域内，而1不在定义域内， 即不是“倒函数”， 函数定义域为R，而，即不是“倒函数”， 所以函数和都不是“倒函数”. 【小问2详解】 显然，函数的定义域关于数0对称，又是倒函数， 于是得，则，又，解得， 所以实数m、n的值分别为； 【小问3详解】 略. 【点睛】关键点点睛：正确理解给定定义，是解决新定义题的关键. 19. 已知函数． （1）若，求在区间上的值域； （2）若方程有实根，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解； （2）由（1）知利用换元法可得，，方程有实根即等价于即有实数根且大于零，从而可得，即可求解； （3）若对任意的，总存在，使得，可得,由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解. 【小问1详解】 当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值，所以. 所以时，在区间上的值域为. 【小问2详解】 由（1）知当令，，， 则，即有实数根，此时实数根大于零， 所以可得，解得：. 所以方程有实根，实数m的取值范围为. 【小问3详解】 由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得, 由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数， 所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，即， 则实数m的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：（1）主要利用换元后转化为一般的二次函数在具体区间求最值问题；（2）中转化为二次函数根的分布问题来求出相应的不等式组，即可求解；（3）中由题可得,再结合指数型复合函数求出，从而可转化为含参二次函数在定区间求解最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $