精品解析：江苏省宿迁市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

2025届高三年级上学期期中考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式可得集合B，根据集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】由题意知， 故， 故选：D 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性确定，由特例及充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】因为在R上单调递减，所以由可知， 若，显然不能得到， 反之的情况下，若满足题意，但不能得到， 则“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用对数函数的单调性比大小即可. 【详解】因为在定义域上都是单调递增函数， 所以，即. 故选：B 4. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数、指数函数的单调性得到，又，即可求出结果. 【详解】因为函数在R上单调递减，所以， 又在区间上单调递增，所以，得到， 又，所以，即. 故选：C. 5. 若，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析： ， 且，故选D. 【考点】三角恒等变换 【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差． （2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系． 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除AB，根据函数值的符号，可排除C. 【详解】因为为奇函数，为偶函数， 所以为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除AB； 当时，，故排除C. 故选：D 7. 设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分段作出函数的图象，结合图象得函数为上的增函数，再判断函数的奇偶性，再利用单调性与奇偶性性质将不等式转化为，化简求解可得. 【详解】，，则， 作出函数的图象，可知是上的增函数. 又，是奇函数. 不等式可化为， 所以，则，即，解得， 不等式的解集是. 故选：B. 8. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数与的单调性，判断函数的最值的情况即可. 【详解】分析函数及其导函数的图象，可知虚线表示的是的图象，实线表示的是的图象. 并且当时，；当时，. 对函数，， 因为，在上恒成立，所以在上恒成立. 即函数在上单调递增，无最值； 对函数，， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最大值，为. 故选：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 若函数的图象过第一，三，四象限，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】作出函数大致图象，结合指数函数性质可构造不等式求得结果. 【详解】由题意可知：函数大致图象如下图所示， 若，则的图象必过第二象限，不符合题意，所以． 当时，要使的图象过第一、三、四象限，，解得． 故选：BC． 10. 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 在上单调递增 D. 关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角函数图象的变换先得的解析式，利用三角函数的性质一一判定选项即可. 【详解】易知， 显然的最小正周期为，故A错误； 而，故B正确； 当时，，显然此时单调递增，故C正确； 当时，，此时取得最大值，即关于直线对称，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 仅有一个极值点 C. 当时，图象的一条切线方程为 D. 当时，有唯一的零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性判断A，根据三次函数的性质判断B，根据导数的意义求切线判断C，利用极值点的符号判断D. 【详解】对A：设，则函数为奇函数，图象关于原点对称，将的图象向上平移2个单位，得函数的图象，故函数的图象关于点对称，A正确； 对B：由三次函数的性质可知，函数要么有2个极值点，要么没有极值点，所以B错误； 对C：当时，，. 由或. 若，则，所以在处的切线方程为：即； 若，则，所以在处的切线方程为：即.故C正确； 对D：因为， 若，则在上恒成立，则在上单调递增，由三次函数的性质可知，此时函数只有一个零点； 若，由，由或. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 要使函数只有1个零点，须有（因为，所以不成立），即，得. 综上可知：当时，函数有唯一的零点，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：本题可以结合三次函数的图象和性质进行分析. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则____ 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值结合分段函数的性质计算即可. 【详解】易知，所以. 故答案为： 13. 函数的部分图象如图所示，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的图象结合正弦函数的图象及性质，求得函数的解析式，再代入求值即可. 【详解】由函数的图象可知，，则，解得， 把代入，则，，解得，， 而，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知的角的对边分别为，且，若，则__. 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角形面积公式结合余弦定理得到之间的关系，进而求得的值. 【详解】中，由，可得 又，则， 由余弦定理，可得 整理得，故 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知平面四边形，，，，，. （1）求； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求，根据勾股逆定理知，即可求. （2）由（1）得，应用正弦定理即可求的值. 【详解】（1）在△中，由余弦定理，有， ，即， . （1）在四边形中，， ∴， 在△中，由正弦定理，则. 16. 已知函数，（，）. （1）当时，求函数的单调增区间； （2）设函数在区间内存在极值点，求a的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）求出导数，令即可解出单调递增区间； （2）由题可得在有解，分离参数得，求出在的值域求出a的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 令，解得或， 故的单调增区间为，； （2）， 则在区间内存在极值点等价于在有解， 即在有解， 在单调递减，则可得在的值域为， 则，解得. 【点睛】关键点睛：本题考查根据函数在某区间存在极值点求参数范围，解题得关键是得出在有解，进而分离参数求解. 17. 已知、为锐角，，． （1）求的值： （2）求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系以及二倍角的正切公式求解即可； （2）利用二倍角的正切公式以及和角的正切公式求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，所以， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 因为，且，所以； 因为，且，所以， 所以，所以. 18. 已知函数. （1）当时，求关于x的不等式的解集； （2）求关于x的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数a的范围. 【答案】（1）； （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集. （2）根据函数，分类讨论可得不等式的解集. （3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的范围. 【小问1详解】 当时，则， 由，得， 原不等式的解集为； 【小问2详解】 由， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 由即在上恒成立，得. 令，则， 当且仅当 ，即时取等号. 则，.故实数a的范围是 19. 已知函数 （1）求函数在区间上的最大值与最小值; （2）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）最大值为，最小值为； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，计算定区间的最值即可； （2）由函数的单调性判定得即恒成立，利用导数研究其单调性与最值，计算即可. 【小问1详解】 由题意知知， 令，解得， 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减； 所以的最大值为； 又因为，， 所以的最小值为； 【小问2详解】 因为在定义域内单调递增， 所以，恒成立， 即，恒成立， 令，， 令， 解得：或舍， 当时，，在单调递减; 当时，，在单调递增; 故恒成立，，即， 解得：，即实数a的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于第二问将函数的单调性问题转化为不等式恒成立问题，借助于导数求解最值即可解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级上学期期中考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则 A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 若函数的图象过第一，三，四象限，则（ ） A. B. C. D. 10. 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 在上单调递增 D. 关于直线对称 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 仅有一个极值点 C. 当时，图象的一条切线方程为 D. 当时，有唯一的零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则____ 13. 函数的部分图象如图所示，则__________． 14. 已知的角的对边分别为，且，若，则__. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知平面四边形，，，，，. （1）求； （2）求的值. 16. 已知函数，（，）. （1）当时，求函数的单调增区间； （2）设函数在区间内存在极值点，求a的取值范围. 17. 已知、为锐角，，． （1）求的值： （2）求的大小． 18. 已知函数. （1）当时，求关于x的不等式的解集； （2）求关于x的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数a的范围. 19. 已知函数 （1）求函数在区间上的最大值与最小值; （2）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $