第04讲 二次根式（练习，13题型模拟练+重难练+真题练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第一章 数与式 第04讲 二次根式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 二次根式有意义的条件 👉题型02 与二次根式有关的开放性试题 👉题型03 二次根式的非负性 👉题型04 二次根式的性质化简 👉题型05 二次根式与数轴 👉题型06 应用乘法公式求二次根式的值 👉题型07 最简二次公式的判断 👉题型08 分母有理化 👉题型09 二次根式的混合运算 👉题型10 二次根式估值 👉题型11 与二次根式有关的新定义问题 👉题型12 与二次根式有关的规律探究 👉题型13 二次根式的应用 👉题型01 二次根式有意义的条件 1．（2024·全国·模拟预测）在函数中，自变量的取值范围是 【答案】且 【分析】根据分式的分母不为零、二次根式的被开方数为非负数求解可得答案． 【解答】解：根据题意，得：且， 解得且， 故答案为：且． 2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）要使代数式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D．全体实数 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列式计算，即可作答． 【详解】解：要使代数式有意义 ∴ ∴ 故选：C 3．（2023·浙江宁波·模拟预测）表示不超过a的最大整数．若实数a满足方程，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的性质及不等式的解法，熟练掌握二次根式的性质及不等式的解法是解题的关键；由题意易得，，进而问题可求解． 【详解】解：由可知：，， 解得：， ∴； 故选A． 4．（2024·江苏南京·模拟预测）整数满足成立，则为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了实数的运算，根据题中的二次根式的运算，有理数的乘方逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、当时，，， 不成立，不符合题意； 、当时，，， 成立，符合题意； 、当时，无意义，不符合题意； 、当时，，，成立，当时，无意义，不符合题意； 故选：． 👉题型02 与二次根式有关的开放性试题 1．（2024松江区三模）下列m取值中，能满足在实数范围内有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于零是二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件：被开方数不小于零，直接解答即可． 【详解】 在实数范围内有意义， ， 则在四个选项中，只有时，在实数范围内有意义； 故选：B． 2．（2024·河北邢台·模拟预测）若是正整数，则a不可能的值为（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，根据被开方数能开平方的知识点进行解题即可． 【详解】解：A、，故不是正整数，符合题意； B、，故是正整数，不符合题意； C、，故是正整数，不符合题意； D、，故是正整数，不符合题意； 故选：A． 3．（2024·浙江·模拟预测）若式子在实数范围内有意义，则x的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得． ∴x的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 4．（2024·山西大同·模拟预测）请写出一个无理数，使它与的积是有理数，这个无理数可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的定义，二次根式的性质，二次根的乘法，熟练掌握二次根式的性质和乘法法则是解本题的关键． 先化简，再根据二次根式的乘法法则进行计算后确定这个符合条件的无理数． 【详解】∵，， ∴这个无理数可以是，（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 👉题型03 二次根式的非负性 1．（2024仪征市一模）若，则 ． 【答案】2024 【分析】本题考查二次根式有意义，先根据得到，再化简绝对值计算即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2024·四川广元·三模）先化简， 再求值，其中a、b满足 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算分式的除法运算，再计算分式的减法运算，再利用非负数的性质求解，，再代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴原式． 👉题型04 二次根式的性质化简 1．（2024·贵州毕节·模拟预测）若，则化简的结果是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查可化解绝对值，求一个数的算术平方根， 根据化简绝对值，求出的算术平方根，然后计算求解即可． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故选：A． 2．（2024·甘肃武威·二模）已知一次函数：的图象经过第二、三、四象限，则化简 的结果是（　　） A．n B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简以及一次函数的图象与系数的关系，根据题意可得，，再进行化简即可．熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴，，即，， ∴ ， 故选：D． 3．（2024·四川乐山·模拟预测）已知的三边分别为，化简 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及二次根式的化简，正确理解二次根式的性质是关键． 首先根据三角形的三边的关系求得的范围，然后根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：、、5是三角形的三边， ， ，， 原式． 故答案为：4． 4．（2024·湖南·模拟预测）设，则不超过的最大整数为（ ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据把原式的对应项化简，然后计算求解即可． 【详解】解：对于正整数，有 ， ∴， ∴ ， ， ∴不超过的最大整数为2024． 故选：D． 👉题型05 二次根式与数轴 1．（2024·宁夏银川·模拟预测）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴．先根据数轴分析出的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴知， ， ． 故选：A． 2．（2024·江苏盐城·三模）a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ）    A． B．b C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简绝对值，求一个数的算术平方根，实数与数轴，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值，求算术平方根即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2023·山东滨州·二模）若实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ．    【答案】 【分析】首先由实数a、b在数轴上的位置，可得，，再根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：由实数a、b在数轴上的位置，可得，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据实数在数轴数轴上的位置，化简二次根式，去绝对值符号，整式的加减运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 4．（2024·河北·二模）计算的结果为 ，这个数落在了数轴上的 段． 【答案】 ④ 【分析】本题考查了二次根式的运算与估值，掌握运算方法与估值技巧是解题关键．利用二次根式乘法计算即可，注意结果为最简二次根式，再利用找相邻两数的平方的方法估值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴落在第④段， 故答案为：；④． 👉题型06 应用乘法公式求二次根式的值 1．（2024·河北·模拟预测）老师在复习二次根式的运算时，给出了一道题：计算．甲、乙分别给出了不同的解法： 甲： ． 乙： ． 对于甲、乙的计算过程及结果，下列判断正确的是（     ） A．甲和乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲和乙都错 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法分配律的逆用和二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律的逆用和二次根式的混合运算法则，根据二次根式的混合运算法则和乘法分配律的逆用即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：甲和乙都对， 故选：A． 2．（2024·天津滨海新·模拟预测）计算的结果等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据完全平方公式计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（2024·山西长治·模拟预测）计算的结果为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，利用平方差公式进行计算即可解答． 【详解】 ， 故答案为：2． 4．（2024·江苏苏州·三模）计算：的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方逆用，二次根式的乘法运算以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．把原式变形为，逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 👉题型07 最简二次公式的判断 1．（2024·广东江门·模拟预测）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式； B. ，不是最简二次根式； C. ，不是最简二次根式； D. 是最简二次根式； 故选D． 2．（2024·河北·模拟预测）若a的倒数是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是倒数的含义，二次根式的化简，先求解，再化简即可． 【详解】解：∵a的倒数是， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（2024·吉林长春·二模）与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式定义可知，求出解即可． 【详解】∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：3． 4．（2024·江西九江·三模）在等式“”中，括号内应填入的最简根式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法和除法，根据题意，列出二次根式的乘法算式即可求解． 【详解】解：括号内应填入的数为：， 故答案为：． 👉题型08 分母有理化1．（2024·江苏南京·二模）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据二次根式的性质化简后，再根据二次根式的加减法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 2．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的乘法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 3．（2024·湖南岳阳·模拟预测）化简求值： ，请你自选，的值，其中为负整数，为无理数． 【答案】，当，时，原式. 【分析】此题考查了分式的混合运算—化简求值及分母有理化，正确掌握相关运算法则是解题关键． 根据分式的混合运算法则计算，然后选取适当的值代入，利用二次根式的运算法则计算求解即可； 【详解】解： 当，时， 原式 4．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将a的值的代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ， 当时，原式． 👉题型09 二次根式的混合运算 1．（2024·甘肃陇南·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法运算，再合并即可； 【详解】解： 2．（2024·湖南·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数计算，特殊角三角函数值，二次根式化简，绝对值化简，负指数幂等．根据题意先将每项整理计算，再从左到右依次计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 3．（2024·广东中山·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式分母有理化，然后计算加减． 此题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式分母有理化，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】解： ． 4．（2024·浙江杭州·一模）以下是小滨计算的解答过程： 解：原式 ． 小滨的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】有错误； 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先把和化简，再化为，接着把除法运算转化为乘法运算，然后根据二次根式的乘法法则运算． 【详解】解：小滨的解答过程有错误； 正确的解答过程: ． 👉题型10 二次根式估值 1．（2024·云南昆明·二模）估算的结果在（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法和减法及无理数的估算，先根据运算法则计算出结果，再估计即可． 【详解】解：， ，即， ， 在1和2之间， 故选：B． 2．（2024·重庆·模拟预测）估计的值为（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、估算无理数的大小，熟练掌握二次根式的混合运算法则、算术平方根的性质是解决本题的关键． 根据二次根式的混合运算法则，计算出，再根据无理数的估算方法，即可解决此题． 【详解】解： ， ， ， ， 的值在4和5之间， 故选：B． 3．（2024·江苏南京·一模）如图，实数在数轴上对应的点到原点的距离为5．下列各数中，与最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，，继而得到， 解答即可． 本题考查了绝对值，实数大小比较，熟练掌握两点间距离越小，两个数越靠近是解题的关键． 【详解】根据题意，得到， 因为 所以 所以在之间， 所以 所以数轴上表示数m与的距离小于表示数m与的距离， 即数m与  最接近， 故选A． 4．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，估计 的值所对应的点可能落在（   ）   A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算、无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先利用乘法分配律化简，然后再估算无理数的大小即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∵由图象点的位置可得：B点符合． 故选：B． 👉题型11 与二次根式有关的新定义问题 1．（2023·山东菏泽·三模）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 次操作后变为2 【答案】3 【分析】理解题中新定义运算的规则，对36进行运算即可． 【详解】解：由题意可得： 故答案为：3 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是理解新定义运算以及掌握二次根式的性质． 2．（2024·内蒙古乌海·一模）对于任意两个不相等的正实数定义新运算“”，规定： ，求中的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义下的实数运算，二次根式的意义，分式的意义，根据新定义，由，得到且即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 3．（2024乌海二中一模）对于任意的正数，定义运算“*”为计算计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算和实数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据新定义把数值代入得，再化简计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 4．（2022·重庆·模拟预测）材料一：若a是正整数，a除以3的余数为1，则称a是“三拖一数”．例如：13是正整数，且，则13是“三拖一数”． 材料二：对于任意四位正整数p，p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数材字为d，规定：． 请根据以上材料，解决下列问题： (1)判断：124，1838是不是“三拖一数”？并说明理由； (2)若四位正整数p是“三拖一数”，p的千位数字的2倍与个位数字的和等于9，百位数字与十位数字的和等于8，是有理数，求所有满足条件的p． 【答案】(1)124是“三拖一数”，1838不是“三拖一数”，理由见解析． (2)所有满足条件的p的值为1717、4081、4531． 【分析】(1)根据“三拖一数”的定义即可一一判定； (2) 任意四位正整数p，设p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数字为d，则p=1000a+100b+10c+d，根据题意可知：2a+d=9，b+c=8，化简整理可得p=4500+99b+9c-498d+b+cd，若p为“三拖一数”，则b+cd必须为“三拖一数”，可设b+cd=3k+1（且k为整数），则k=，分类讨论可确定d=7、a=1或d=1、a=4，再根据是有理数，则是有理数的完全平方数，列出情况分类讨论即可确定满足条件的p． 【详解】（1）解：124是“三拖一数”，1838不是“三拖一数” 理由如下： 124是“三拖一数” 1838不是“三拖一数” （2）解：任意四位正整数p，设p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数字为d，则p=1000a+100b+10c+d， 根据题意可知：2a+d=9，b+c=8 p是“三拖一数”且能被3整除， 是“三拖一数”， 设（且k为整数）， ， 当时 ，，， 当时 ，，（舍）， 当时 ，，， 因为有理数，则是有理数的完全平方数， ， 当，， ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=； ，时，=（舍）； 当，， ，时，=； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； 综上，所有满足条件的p的值为1717、4081、4531． 【点睛】本题考查了新定义运算，列代数式，二次根式的求值问题，应用了分类讨论的思想，理解题意，逐条件分析是解决本题的关键． 👉题型12 与二次根式有关的规律探究 1．（2023·贵州六盘水·二模）人们把这个数叫做黄金比，优选法中的“法”与黄金分割紧密相关，这种方法经著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成果．设，，记，，，…依此规律，则的值为（    ） A． B．25 C． D．125 【答案】D 【分析】利用分式的加减法则以及二次根式的混合运算法则求得、，以及，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ， …， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，解题的关键是找出相应的规律． 2．（2024·山东泰安·三模）细心观察下面图形，其中，表示图中第个三角形的面积，认真分析各式：，，，，，；若一个三角形的面积是，则说明这是第 个三角形． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，化简二次根式，．利用勾股定理求出推出，即可得到，把代入中进行求解即可． 【详解】解：∵每一个三角形都是直角三角形， ∴由勾股定理可求得：，…，， ∴． ∴， ∴当一个三角形的面积是时，则有， ∴， 故答案为：． 3．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，图形的规律探究等知识．由题意知，第1个正方形的边长为1；第2个正方形的边长为；第3个正方形的边长为；第4个正方形的边长为；……，可推导一般性规律为第个正方形的边长为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题知，第1个正方形的边长为1； 第2个正方形的边长为； 第3个正方形的边长为； 第4个正方形的边长为， …… ∴第个正方形的边长为， ∴当时，第2024个正方形的边长． 故选：C． 4．（2023·湖北黄冈·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 根据以上等式给出的规律，计算： ． 【答案】/ 【分析】直接仿照前面三个等式，即可写出第n个等式，根据前面已知，，的值和所求出的的值，进行计算即可解答． 【详解】解：第n个等式：， ∴ 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，发现规律，根据已知等式，找出数字变换规律是解题的关键． 5．（22-23九年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，直线与直线所成的角，过点作交直线于点，，以为边在外侧作等边三角形，再过点作，分别交直线和于两点，以为边在外侧作等边三角形，…按此规律进行下去，则第2023个等边三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】根据含30°的直角三角形可得，，由等边三角形的性质可得出的长度，进而得出的长度，同理可求出的长度，再根据等边三角形的周长公式即可求出第n个等边三角形的周长，代入化简即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴在中，，， ∵是等边三角形，     ∴， ∴在中，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴在中，，， 同理可得：， ∴第20223个等边三角形的周长为． 故答案为： 【点睛】本题考查了含的直角三角形、等边三角形的性质、规律探究，解题的关键是通过含的直角三角形和等边三角形的性质找出规律． 6．（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查规律探索，根据已知的式子总结出等式与序数的关系是解题的关键．由已知的等式，总结规律求解即可． （1）由已知的等式，即可归纳出规律； （2）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解： （2）原式 ． 👉题型13 二次根式的应用 1．（2024·湖南益阳·模拟预测）小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误： 小智与小慧分别从不同的角度帮助小静加深对这一错误的认识： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： (1)填空： ∵_______，_____， ∴，∴． (2)如图，以，，为三边构造， ①请判断是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 【答案】(1)，5 (2)①直角三角形，见解析；② 【分析】本题考查二次根式的应用，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据二次根式的混合运算法则计算判断即可； （2）①利用勾股定理的逆定理判断即可； ②利用三角形三边关系判断即可． 【详解】（1）解： ，， ， ． 故答案为：，5； （2）解：①是直角三角形． 理由：， ， 是直角三角形； ②， ． 2．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 3．（2023·山东济宁·二模）探究问题：探究与的大小关系． (1)观察猜想：与的大小关系是______． (2)计算验证：当时，与的大小关系是______；当时，与的大小关系是______． (3)推理证明：如图，以为直径作半圆O，点C半圆上一动点，过C作于点D，设，．先用含a，b的式子表示出线段，再写出他们（含a，b的式子）之间存在的大小关系．    (4)实践应用：要制作一个面积为1平方米的矩形，请直接利用探究得出的结论，求矩形周长的最小值． 【答案】(1) (2)； (3)； (4)矩形周长的最小值为4． 【分析】（1）根据题意作出猜想即可； （2）代入数据，计算即可得出答案； （3）易得，再通过证明，利用相似比得，根据直角边与斜边的关系得（当C点为半圆的中点时取等号），所以； （4）设矩形的两边分别为a、b，则，利用得，即，所以，于是可得矩形周长的最小值． 【详解】（1）解：猜想：与的大小关系是． 故答案为：； （2）解：当时，，， ∴； 当时，，， ∴． 故答案为：；； （3）解：∵为直径，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵（当C点为半圆的中点时取等号）， ∴； （4）解：设矩形的两边分别为a、b，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴矩形周长的最小值为4． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握圆周角定理、相似三角形的判定与性质；体会由于几何的方法比较代数式的大小． 4．（2023·河南洛阳·二模）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_________；当时，的最大值为_________； (2)当时，求的最小值； (3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和16，求四边形的最小面积． 【答案】(1)2； (2)y的最小值为11 (3)49 【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可； （2）先将变形得到，然后根据题目中给出的信息进行解答即可； （3）设，根据等高三角形性质得出 ，求出 ，根据四边形的面积为，求出最小值即可． 【详解】（1）解：∵当时，，即， ∴的最小值为2； ∵当时，， ∴，即， ∴， ∴， ∴的最大值为； 故答案为：2；； （2）解：， ， ， ∴当时，y的最小值为11． （3）解：设，已知，，则由等高三角形性质可知， ， ∴， ， 因此四边形的面积， 当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为49 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算． 1．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线l：与x轴负半轴交于点， ∴点坐标为， ∴， 过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，    ∵为等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴， 当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴； 而， 同理可得：的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键. 2．（2023·山东潍坊·中考真题）［材料阅读] 用数形结合的方法，可以探究的值，其中． 例求的值． 方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知 的结果等于该正方形的面积， 即． 方法2：借助函数和的图象，观察图②可知 的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和， 即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为1， 所以，．    【实践应用】 任务一   完善的求值过程．    方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知______． 方法2：借助函数和的图象，观察图④可知 因为两个函数图象的交点的坐标为______， 所以，______． 任务二   参照上面的过程，选择合适的方法，求的值． 任务三   用方法2，求的值（结果用表示）． 【迁移拓展】 长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形． 观察图⑤，直接写出的值．    【答案】任务一，方法1：；方法2：，；任务二，；任务三，；[迁移拓展] 【分析】任务一，仿照例题，分别根据方法1，2进行求解即可； 任务二，借助函数和得出交点坐标，进而根据两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为2，即可得出结果； 任务三  参照方法2，借助函数和的图象，得出交点坐标，即可求解； [迁移拓展]观察图⑤第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，……进而得出则的值等于长宽之比为的矩形减去1个面积为的正方形的面积，即可求解． 【详解】解：任务一，方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知 故答案为：． 方法2：借助函数和的图象，观察图④可知 因为两个函数图象的交点的坐标为， 所以， ． 故答案为：，． 任务二：参照方法2，借助函数和的图象，， 解得： ∴两个函数图象的交点的坐标为， ． 任务三  参照方法2，借助函数和的图象，两个函数图象的交点的坐标为， ∴ [迁移拓展]根据图⑤，第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，…… 则的值等于长宽之比为的矩形减去1个面积为1的正方形的面积， 即 【点睛】本题考查了一次函数交点问题，正方形面积问题，理解题意，仿照例题求解是解题的关键． 一、单选题 1．（2024·四川巴中·中考真题）函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式的定义，熟练掌握二次根式的有意义的条件是解题关键．根据二次根式的有意义的条件建立不等式求解即可解题． 【详解】解：由题知，， 解得， 故答案为：C． 2．（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 3．（2023·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 4．（2023·河北·中考真题）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】把代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键． 5．（2022·贵州安顺·中考真题）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】根据二次根式的混合运算进行化简，进而估算即可求解． 【详解】解：原式 ＝， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无数的估算，正确的计算是解题的关键． 6．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据，设，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，设 ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A 二、填空题 7．（2024·山东青岛·中考真题）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（2021·贵州铜仁·中考真题）计算 ； 【答案】3 【分析】先化简二次根式，再利用平方差公式展开计算即可求出答案． 【详解】解： ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则，细心运算是解题的关键． 9．（2022·四川宜宾·中考真题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据周长为18的三角形的三边满足，求得，代入公式即可求解． 【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足，设 ∴ 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键． 10．（19-20八年级上·北京大兴·期末）已知x，y是实数，且满足y=＋＋，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义可得，解得：，即可求出y的值，即可求出的值. 【详解】解：∵由二次根式的定义得，解得：， ∴，即：， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查二次根式的定义以及二次根式的乘除，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义以及二次根式的乘除的运算法则即可. 11．（2021·湖北鄂州·中考真题）已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则 ． 【答案】 【分析】根据非负性求得a、b的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得+、 ，代入求解即可． 【详解】解：∵实数、满足， ∴a﹣2=0，b+3=0， 解得：a=2，b=﹣3， ∴， ∵一元二次方程的两个实数根分别为、， ∴+=2， =﹣3， ∴=， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方程根与系数，熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键． 12．（2021·湖北荆州·中考真题）已知：，，则 ． 【答案】2 【分析】利用负整数指数幂和零指数幂求出a的值，利用平方差公式，求出b的值，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查二次根式求值，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂以及平方差公式，是解题的关键． 三、解答题 13．（2024·青海·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊值的三角函数值、零指数幂和绝对值，根据相关运算法则化简后合并即可． 【详解】解： 14．（2022·四川遂宁·中考真题）计算：． 【答案】3 【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值的化简，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简计算即可． 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的化简，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 15．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先将括号内式子通分，变分式除法为乘法，约分化简，再将代入求值． 【详解】解： ， 将代入，得： 原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式的运算法则． 16．（2023·辽宁盘锦·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】先将括号内的部分通分，再将分式分子、分母因式分解并化简，再计算出x的值后，将代入即可求解． 【详解】解：原式， ， ， ， 当时， 原式， ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值及实数的混合计算，熟悉通分、约分和分母有理化是解题的关键． 17．（2024·河北·中考真题）情境  图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的． 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作  嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段的长； （2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 【答案】（1）；（2），；的长为或． 【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度． （1）如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得，，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可； （2）由为等腰直角三角形，；求解，再分别求解；可得答案，如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，再进一步求解的长即可． 【详解】解：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴， 由拼接可得：， 由正方形的性质可得：， ∴，，为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∴，， ∵正方形的边长为， ∴对角线的长， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）∵为等腰直角三角形，； ∴， ∴， ∵， ， ∴； 如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线， 此时，，符合要求， 或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线， 此时，， ∴， 综上：的长为或． $$第一章 数与式 第04讲 二次根式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 二次根式有意义的条件 👉题型02 与二次根式有关的开放性试题 👉题型03 二次根式的非负性 👉题型04 二次根式的性质化简 👉题型05 二次根式与数轴 👉题型06 应用乘法公式求二次根式的值 👉题型07 最简二次公式的判断 👉题型08 分母有理化 👉题型09 二次根式的混合运算 👉题型10 二次根式估值 👉题型11 与二次根式有关的新定义问题 👉题型12 与二次根式有关的规律探究 👉题型13 二次根式的应用 👉题型01 二次根式有意义的条件 1．（2024·全国·模拟预测）在函数中，自变量的取值范围是 2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）要使代数式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D．全体实数 3．（2023·浙江宁波·模拟预测）表示不超过a的最大整数．若实数a满足方程，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·江苏南京·模拟预测）整数满足成立，则为（    ） A． B． C． D．或 👉题型02 与二次根式有关的开放性试题 1．（2024松江区三模）下列m取值中，能满足在实数范围内有意义的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·河北邢台·模拟预测）若是正整数，则a不可能的值为（    ） A． B． C．2 D．8 3．（2024·浙江·模拟预测）若式子在实数范围内有意义，则x的值可以是 ．（写出一个即可） 4．（2024·山西大同·模拟预测）请写出一个无理数，使它与的积是有理数，这个无理数可以是 ．（写出一个即可） 👉题型03 二次根式的非负性 1．（2024仪征市一模）若，则 ． 2．（2024·四川广元·三模）先化简， 再求值，其中a、b满足 ． 👉题型04 二次根式的性质化简 1．（2024·贵州毕节·模拟预测）若，则化简的结果是（    ） A．5 B． C． D． 2．（2024·甘肃武威·二模）已知一次函数：的图象经过第二、三、四象限，则化简 的结果是（　　） A．n B． C． D． 3．（2024·四川乐山·模拟预测）已知的三边分别为，化简 ． 4．（2024·湖南·模拟预测）设，则不超过的最大整数为（ ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 👉题型05 二次根式与数轴 1．（2024·宁夏银川·模拟预测）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C．0 D． 2．（2024·江苏盐城·三模）a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ）    A． B．b C． D． 3．（2023·山东滨州·二模）若实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ．    4．（2024·河北·二模）计算的结果为 ，这个数落在了数轴上的 段． 👉题型06 应用乘法公式求二次根式的值 1．（2024·河北·模拟预测）老师在复习二次根式的运算时，给出了一道题：计算．甲、乙分别给出了不同的解法： 甲：． 乙：． 对于甲、乙的计算过程及结果，下列判断正确的是（     ） A．甲和乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲和乙都错 2．（2024·天津滨海新·模拟预测）计算的结果等于 ． 3．（2024·山西长治·模拟预测）计算的结果为 ． 4．（2024·江苏苏州·三模）计算：的结果是 ． 👉题型07 最简二次公式的判断 1．（2024·广东江门·模拟预测）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北·模拟预测）若a的倒数是，则的值为 ． 3．（2024·吉林长春·二模）与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为 ． 4．（2024·江西九江·三模）在等式“”中，括号内应填入的最简根式为 ． 👉题型08 分母有理化 1．（2024·江苏南京·二模）计算的结果是 ． 2．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中 3．（2024·湖南岳阳·模拟预测）化简求值： ，请你自选，的值，其中为负整数，为无理数． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）先化简，再求代数式的值，其中． 👉题型09 二次根式的混合运算 1．（2024·甘肃陇南·模拟预测）计算： 2．（2024·湖南·模拟预测）计算： 3．（2024·广东中山·模拟预测）计算： 4．（2024·浙江杭州·一模）以下是小滨计算的解答过程： 解：原式． 小滨的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 👉题型10 二次根式估值 1．（2024·云南昆明·二模）估算的结果在（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 2．（2024·重庆·模拟预测）估计的值为（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 3．（2024·江苏南京·一模）如图，实数在数轴上对应的点到原点的距离为5．下列各数中，与最接近的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，估计 的值所对应的点可能落在（   ）   A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 👉题型11 与二次根式有关的新定义问题 1．（2023·山东菏泽·三模）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 次操作后变为2 2．（2024·内蒙古乌海·一模）对于任意两个不相等的正实数定义新运算“”，规定： ，求中的取值范围是 ． 3．（2024乌海二中一模）对于任意的正数，定义运算“*”为计算计算的结果为 ． 4．（2022·重庆·模拟预测）材料一：若a是正整数，a除以3的余数为1，则称a是“三拖一数”．例如：13是正整数，且，则13是“三拖一数”． 材料二：对于任意四位正整数p，p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数材字为d，规定：． 请根据以上材料，解决下列问题： (1)判断：124，1838是不是“三拖一数”？并说明理由； (2)若四位正整数p是“三拖一数”，p的千位数字的2倍与个位数字的和等于9，百位数字与十位数字的和等于8，是有理数，求所有满足条件的p． 👉题型12 与二次根式有关的规律探究 1．（2023·贵州六盘水·二模）人们把这个数叫做黄金比，优选法中的“法”与黄金分割紧密相关，这种方法经著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成果．设，，记，，，…依此规律，则的值为（    ） A． B．25 C． D．125 2．（2024·山东泰安·三模）细心观察下面图形，其中，表示图中第个三角形的面积，认真分析各式：，，，，，；若一个三角形的面积是，则说明这是第 个三角形． 3．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖北黄冈·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 根据以上等式给出的规律，计算： ． 5．（22-23九年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，直线与直线所成的角，过点作交直线于点，，以为边在外侧作等边三角形，再过点作，分别交直线和于两点，以为边在外侧作等边三角形，…按此规律进行下去，则第2023个等边三角形的周长为 ． 6．（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式： ①；②；③；…… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 👉题型13 二次根式的应用 1．（2024·湖南益阳·模拟预测）小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误： 小智与小慧分别从不同的角度帮助小静加深对这一错误的认识： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： (1)填空： ∵_______，_____， ∴，∴． (2)如图，以，，为三边构造， ①请判断是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 2．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 3．（2023·山东济宁·二模）探究问题：探究与的大小关系． (1)观察猜想：与的大小关系是______． (2)计算验证：当时，与的大小关系是______；当时，与的大小关系是______． (3)推理证明：如图，以为直径作半圆O，点C半圆上一动点，过C作于点D，设，．先用含a，b的式子表示出线段，再写出他们（含a，b的式子）之间存在的大小关系．    (4)实践应用：要制作一个面积为1平方米的矩形，请直接利用探究得出的结论，求矩形周长的最小值． 4．（2023·河南洛阳·二模）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_________；当时，的最大值为_________； (2)当时，求的最小值； (3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和16，求四边形的最小面积． 1．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 2．（2023·山东潍坊·中考真题）［材料阅读] 用数形结合的方法，可以探究的值，其中． 例求的值． 方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知 的结果等于该正方形的面积， 即． 方法2：借助函数和的图象，观察图②可知 的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和， 即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为1， 所以，．    【实践应用】 任务一   完善的求值过程．    方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知______． 方法2：借助函数和的图象，观察图④可知 因为两个函数图象的交点的坐标为______， 所以，______． 任务二   参照上面的过程，选择合适的方法，求的值． 任务三   用方法2，求的值（结果用表示）． 【迁移拓展】 长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形． 观察图⑤，直接写出的值．    一、单选题 1．（2024·四川巴中·中考真题）函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·河北·中考真题）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 5．（2022·贵州安顺·中考真题）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 6．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 7．（2024·山东青岛·中考真题）计算： ． 8．（2021·贵州铜仁·中考真题）计算 ； 9．（2022·四川宜宾·中考真题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 ． 10．（2022呼伦贝尔市中考真题）已知x，y是实数，且满足y=＋＋，则的值是 ． 11．（2021·湖北鄂州·中考真题）已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则 ． 12．（2021·湖北荆州·中考真题）已知：，，则 ． 三、解答题 13．（2024·青海·中考真题）计算：． 14．（2022·四川遂宁·中考真题）计算：． 15．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 16．（2023·辽宁盘锦·中考真题）先化简，再求值：，其中． 17．（2024·河北·中考真题）情境  图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的． 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作  嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段的长； （2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． $$