2024年高一数学强基竞赛训练3

强基竞赛训练3 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．下列选项中满足最小正周期为，且在上单调递增的函数为（    ） A． B． C． D． 3．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（    ） A．的最大值为且的最大值为 B．的最大值为且的最小值为0 C．的最小值为且的最大值为 D．的最小值为且的最小值为0 5．已知函数，其中，若，使得关于x的不等式成立，则正实数a的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．如图所示，点M，N是函数的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，，则下列说法不正确的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的单调增区间为 D．，，均有 二、多选题 7．将函数图象向右平移φ个单位长度后得到函数的图象，若函数为奇函数，则φ的可能值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则以下结论正确的是（    ）． A．函数为增函数 B．，， C．若在上恒成立，则自然数n的最小值为2 D．若关于的方程有三个不同的实根，则 三、填空题 9．已知函数的图象经过点，则 ． 10．已知函数.若函数存在最大值，则实数a的取值范围是 . 四、解答题 11．已知集合，集合 （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 12．已知函数的图象如图所示. (1)求函数的对称中心； (2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： 1．D 【分析】由对数函数单调性解不等式，化简N，根据交集运算求解即可. 【详解】因为，, 所以， 故选：D 2．C 【分析】利用周期排除A， B，再利用复合函数单调性在C ，D中可得到正确答案. 【详解】对选项A， B其周期为，选项C ，D其周期为，故排除选项A， B； 对于C：在上为单调递减，则在上为单调递增，故C正确； 对于D：在上为单调递增，则在上为单调递减，故D错误. 故选：C 3．A 【分析】根据题意求出蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解. 【详解】由，得时，，即； 时，；， . 故选：A. 4．C 【分析】利用可求出的最小值，利用可求出的最大值. 【详解】利用，则，整理得， 当且仅当，即时取得等号，即的最小值为； 利用，，即，整理得，即， 当且仅当时取得等号，故的最大值为. 故选：C 5．B 【分析】根据题意得出分段函数，若，使得关于x的不等式成立，则在上的最小值，即，即可分类求解得出答案. 【详解】由题意可知， 若，使得关于x的不等式成立， 则在上的最小值， ， 为正实数， 则当时，，解得； 当时，，解得， 综上，正实数a的取值范围为或， 故选：B. 6．C 【分析】根据题意求出从而求得此函数表达式，再运用三角函数相关知识对各选项逐一分析即可. 【详解】因为当的面积最大时，在最高点，所以， 又，由函数的对称性质知，为等腰直角三角形， 所以在中，， 所以，，即，又，所以， 因为函数经过，则， 所以，即，又因为，所以取. 所以函数表达式为. 对于A，，故A正确； 对于B，，取得函数最小值，所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，令，解得， 所以的单调增区间为，故C错误； 对于D，由C选项分析以及题意可知函数图象在区间上为轴上方单调递增部分， 结合图象可知，此部分图象上凸，满足，均有，故D正确. 故选：C 7．AC 【分析】先由平移变换得到，再根据函数为奇函数，由求解. 【详解】解：函数图象向右平移φ个单位长度后得到函数 的图象， 因为函数为奇函数， 所以，解得， 所以φ的可能值为或， 故选：AC 8．BCD 【分析】根据题意，作出可知时，，作出函数的图象，根据数形结合逐项检验，即可得到正确结果. 【详解】设时，则，所以， 又，所以当时，； 当时，则，所以， 又，所以当时，； 当时，则，所以， 又，所以当时，； 所以由此可知时，；作出函数的部分图象，如下图所示： 由图象可知，函数不为增函数，故A错误； 由图象可知，， 所以，，，故B正确； 在同一坐标系中作出函数和函数的图象，如下图所示： 由图象可知，当时，恒成立，所以的最小值为2，故C正确； 令，则，则方程等价于 ，即，所以，或（舍去）， 在同一坐标系中作出函数，函数和函数的图象，如下图所示： 由图象可知，当时， 即时， 关于的方程有三个不同的实根，故D正确. 故选：BCD. 9．/0.25 【分析】根据题意代入点运算求解即可. 【详解】因为函数的图象经过点， 则，解得. 故答案为：． 10． 【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合存在最大值即可求解 【详解】当时，函数不存在最大值，故， 当时，在区间上单调递增， 所以此时； 当时，在区间上单调递减，所以此时， 若函数存在最大值，则，解得，又， 所以的取值范围为 故答案为： 11．（1） （2） 【分析】（1）分别求出一元二次不等式及分式不等式的解，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案； （2）分，和三种情况考虑，即可确定a的取值范围. 【详解】解：根据题意，集合， （1）若，则集合， 所以； （2）集合， 若，则，满足题意； 若，则，显然； 若，则，当时，，此时； 综上所述：. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，其中涉及一元二次不等式和分式不等式的求解，以及根据集合的关系确定参数a的取值范围. 12．(1)， (2) 【分析】（1）根据函数图象求得的解析式，然后利用整体代入法求得的对称中心. （2）利用三角函数图象变换的知识求得的解析式，根据在区间上的值域转化不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）由图可知：，所以，所以，， 又， 所以，. 所以. 令，， 则，. 所以的对称中心为，. （2）由题. 当时，. 因为对任意的恒成立， 则. 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$