第3章 圆锥曲线与方程22大题型110题（期中专项训练）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

第3章圆锥曲线与方程 基础·固本强基 题型1 轨迹方程 题型2 圆锥曲线的定义 题型3 焦点三角形问题 题型4 圆锥曲线表示曲线求取值范围 题型5 双曲线的渐近线 题型6 圆锥曲线的方程 提升·进阶突破 题型7 最值问题 题型8 圆锥曲线的几何性质 题型9 离心率 题型10 离心率的取值范围 题型11 和差最值问题 拔高·压轴破难 题型12 中点弦问题 题型13 弦长问题 题型14 面积问题 题型15 直线与圆锥曲线的位置关系 题型16 定值问题 题型17 定点、定直线问题 题型18 斜率问题 题型19 角度问题 题型20 内切圆问题 题型21 角平分线问题 题型22 切线问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1轨迹方程（共5小题） 【模型】轨迹方程问题 【步骤】考虑圆锥曲线的定义，利用定义求解对应轨迹 【易错】注意考虑不合适的点，若有不合适的点，需要除去。 1．(24-25高二上·江苏连云港东海县·期中)一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】先把两圆方程化成标准方程，得出圆心和半径，设出动圆圆心坐标，根据两圆相切的性质推导出满足的关系式后即可求解. 【详解】由可得，，圆心为，半径； 由可得，圆心为，半径. 设动圆的圆心为，半径为， 由于动圆和外切，根据两圆外切的性质，， 由于动圆和内切，根据两圆内切的性质，， 于是， 即动点到的距离之和是，且大于两定点间距离， 根据椭圆的定义，动圆圆心的轨迹是椭圆. 故选：B 2．(25-26高二上·江苏扬州仪征精诚高级中学·期中)（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的轨迹是双曲线 B．若，则点的轨迹是椭圆 C．若，则点的轨迹是一条直线 D．若，则点的轨迹是圆 【答案】ACD 【分析】根据双曲线的定义判断A，根据椭圆的定义判断B，设求出轨迹方程，即可判断C、D. 【详解】因为，，所以， 对于A：因为，所以点是以为焦点的双曲线，故A正确；对于B：因为，所以点的轨迹为线段，故B错误； 对于C：设，则， 因为，所以，整理得，所以点的轨迹是一条直线，故C正确； 对于D：因为，即，所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故D正确. 故选：ACD 3．(25-26高二上·江苏新海高级中学·期中) （多选）已知点A是平面内一定点，点P是定圆M上的动点，点P与点A不重合，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能为（   ） A．圆 B．双曲线 C．点 D．抛物线 【答案】ABC 【分析】根据垂直平分线的性质，得到，因为题中并未说明点在圆的位置关系，所以以此为依据，分别讨论点在圆外、点在圆上、点在圆内且不与圆心重合、当点与圆心重合四种情况，再结合圆锥曲线的定义，即可判断出正确选项. 【详解】假设定圆半径为； 因为线段的垂直平分线交直线于点，所以； 当点在圆外时，由，且，，三点共线，，可得，故，即，且，根据双曲线的定义可得，此时点的轨迹是以，为焦点的双曲线； 当点在圆上时，因为,线段的垂直平分线交直线于点,即此时点与点重合，点的轨迹为一个点； 当点在圆内且不与圆心重合时，此时，线段的垂直平分线交直线于点,此时，根据椭圆的定义可得，此时点的轨迹是以，为焦点的椭圆； 当点与圆心重合时，此时点为半径的中点，即，此时点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆； 由于抛物线的定义是平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹，而无论点在圆的何种位置关系下，都无法满足抛物线的定义，所以点的轨迹不可能是抛物线. 故选：ABC 4．(23-24高二上·江苏常州溧阳·调研) （多选）已知，，满足条件的动点的轨迹为，满足条件的动点的轨迹为，则下列结论正确的是（    ） A．轨迹既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．轨迹既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 C．轨迹上的点到点的距离的最小值为2 D．轨迹与轨迹有两个不同的交点 【答案】ACD 【分析】根据题意求出动点的轨迹方程即可判断A； 根据题意列式判断轨迹的对称性即可判断B； 根据已知条件进行转化即可求得最小值进而判断C； 根据题意转化得到即可判断两个轨迹的交点个数进而判断D. 【详解】对于A，因为，所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆为，则， 得，所以轨迹方程为， 所以轨迹既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确； 对于B，因为满足条件的动点的轨迹为， 所以设，则， 将代入原式，即， 则轨迹关于轴对称，故B错误； 对于C，由，得， 当且仅当三点共线时等号成立，故C正确； 对于D，轨迹与轨迹有两个不同的交点，即点和点重合的点， 则，解得， 由于， 所以轨迹与轨迹在第一象限和第四象限各有一个交点，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：本题考查解析几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为： （1）几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线与图形关系进而求解； （2）坐标法：在平面直角坐标系中，通过坐标的运算与转化，运用方程联立与韦达定理等知识，用坐标运算求解答案. 5．(22-23高二下·江苏南京航空航天大学附属高级中学·期中)已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（    ） A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．双曲线一支 【答案】B 【分析】确定圆心和半径，计算得到，则，根据双曲线定义得到答案. 【详解】，即圆，故，， 因为平行与，，所以，故， 故点的轨迹为双曲线. 故选：B 题型2圆锥曲线的定义（共5小题） 【模型】圆锥曲线的定义 【步骤】椭圆距离和为定值，双曲线距离差的绝对值为定值，抛物线，到定点距离等于定长 【易错】双曲线注意范围，需要去除不合适的长度。 6．(24-25高二上·江苏盐城射阳县陈洋中学·期中)椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（    ） A．4 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出结果. 【详解】椭圆的长半轴长，依题意，，而， 所以. 故选：D 7．(24-25高二上·江苏常州前黄高级中学·期中)已知椭圆的两焦点分别为为椭圆上一点且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义结合条件即得. 【详解】椭圆， ，，， 设，，则， ，， ， ， ，即． 故选：A． 8．(25-26高二上·江苏常州金坛区·期中)双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于6，则它到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．4 C．9 D．14 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，即可求解. 【详解】由条件可知，，设点到另一个焦点的距离为， 所以，得或（舍）. 故选：D 9．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中)已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为．若为双曲线上一点，为的角平分线，过右焦点的直线与直线垂直，垂足为，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，由题意可得为线段的中点，且，再结合双曲线的定义即可得解. 【详解】由双曲线的对称性不妨设点在双曲线的右焦点， 如图，延长交于点， 因为为的角平分线，， 所以为线段的中点，且， 又为线段的中点， 所以. 故选：B. 10．设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先由标准方程读出 并写出焦点与准线，再结合点 在抛物线上、由抛物线的定义把焦半径转化为点到准线的距离求解，并用两点间距离公式核对结果. 【详解】由 得 ，即 ，所以焦点 、准线为 . 由抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离， 故 . 题型3焦点三角形问题（共5小题） 【模型】焦点三角形问题 【步骤】焦点三角形步骤：1.曲线的定义。2.余弦定理。3.面积公式 【易错】三角形问题可以考虑正余弦定理 11．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设动点坐标得出两直线斜率公式，结合椭圆方程得到两直线斜率乘积为定值，由条件求出两直线斜率之间的等量关系，结合两个方程求出的值，通过求出的值，通过由正弦定理得到先与角之间的关系求得线段的比值. 【详解】由题意知，，设， 直线，的斜率分别为，，则， 又∵，即，∴，即， 由正弦定理得， 又，则， 联立解得，即， 所以，即. 故选：C 12．(25-26高二上·江苏淮阴中学·期中)已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求得答案. 【详解】由椭圆方程知，，， 所以， 根据椭圆的定义可知，，又， 所以的周长为. 故选：D. 13．(25-26高二上·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的定义结合，解得，又，可求的面积. 【详解】因为双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点， 由，又有，所以． 由，为等腰三角形，则底边上的高， . 故选：B 14．(22-23高二上·江苏泰州·期中) （多选）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，则下列结论正确的有（    ） A． B．的面积 C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据焦点三角形与椭圆双曲线的联系，结合余弦定理，面积公式即可求解. 【详解】设，，又∵， 即， 又∵，，令， ∴，， ∴，故A正确； ，， ，故B正确； 当时，，得， ∴ ，故C不正确． 设，证明椭圆的焦点三角形面积为， 记，， 在中，由余弦定理有：， ∴， 又由椭圆定义有：， ∴；∴， 又∵， ∴ ， 设，证明双曲线的焦点三角形面积为， 记，， 在中，由余弦定理有：， ∴， 又由双曲线定义有：， ∴；∴， 又∵， ∴ ， 由 ，故D正确． 故选:ABD． 15．(22-23高二上·江苏盐城滨海县东元高级中学、射阳高级中学等三校·期中)经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，求： (1)线段的长； (2)设点为右焦点，求的周长. 【答案】(1)30 (2)64 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，由弦长公式求解， （2）由双曲线的定义转化后求解． 【详解】（1）由题意得直线AB的方程为, 代入双曲线方程可得, 设，则 即的长为 （2）由双曲线的定义得=， 则的周长为 =. . 题型4曲线表示曲线求取值范围（共5小题） 【模型】取值范围问题 【步骤】将曲线写成标准形式，利用标准形式求出对应范围。 【易错】注意双曲线需要关注中间的运算符号。 16．(25-26高二上·江苏宿迁中学·期中)已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据焦点在轴上的椭圆的标准方程特征进行求解即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以有，或， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 17．(25-26高二上·江苏泰州中学·期中)已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，即可得m的范围，再选取该范围的一个真子集即可求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆， 则，解得：． 所以成立的充要条件是：． 结合四个选项可知：p成立的充分不必要条件是：． 故选：C. 18．(25-26高二上·江苏南通如东县·期中)若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的标准方程即得. 【详解】由题，，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 19．(25-26高二上·江苏徐州第三十七中学·期中)若方程表示双曲线，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线方程的特征，列出不等式求解即得. 【详解】由方程表示双曲线，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：A 20．(25-26高二上·江苏连云港赣榆区·期中)若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据焦点在轴上的双曲线的特征列出不等式组，求解即得 . 【详解】因方程表示焦点在轴上的双曲线， 则可将其方程化为，需使，解得. 故答案为：. 题型5双曲线的渐近线（共5小题） 【模型】双曲线的渐近线 【步骤】双曲线交点在x轴的渐近线，; 双曲线交点在y轴的渐近线， 【易错】渐近线可以零右侧为0，求出渐近线。 21．(25-26高二上·江苏连云港赣榆区·期中)双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程可得实轴长和虚轴长，由此可得渐近线方程. 【详解】由双曲线方程知：实轴长，虚轴长，渐近线方程为. 故选：B. 22．(25-26高二上·江苏泰州中学·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支交于A，B两点，且，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设，则，根据双曲线定义可得，，在中分别利用勾股定理可求得，结合双曲线中的数量关系求得，从而得到双曲线的渐近线方程. 【详解】如图．设，则，，， 在中，由勾股定理：，即， 在中，由勾股定理：，即， 即，解得，∴， 则，所以渐近线方程：. 故选：C.    23．(25-26高二上·江苏扬州高邮·期中)已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线的一个顶点.以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将以为直径的圆的方程与双曲线的一条渐近线联立，可求出点、坐标，再利用大小计算可得，即可得双曲线的渐近线方程. 【详解】由双曲线对称性，不妨设、在渐近线上， 且，是双曲线左顶点， 则以为直径的圆的方程为， 联立，解得或， 则，，又，则， 设其右顶点为， 故， 故，则，则双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 24．(25-26高二上·江苏常州高级中学·期中)若双曲线经过点，两条渐近线方程是，该双曲线的实轴长为__________. 【答案】6 【分析】根据题意可设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出，即可得出双曲线的标准方程，从而得双曲线的实轴长． 【详解】由题意可设该双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得， 即双曲线的方程为，化为标准方程为， 故双曲线的，所以双曲线的实轴长为． 故答案为：． 25．(25-26高二上·江苏扬州扬州中学教育集团树人学校·期中)若等轴双曲线C：的焦距为4，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为______． 【答案】 【分析】由题意求出焦点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解． 【详解】双曲线方程可化为C：，∴渐近线方程为． 又，∴，故焦点坐标为， 取其中一个焦点坐标和一条渐近线，即， ∴一个焦点到一条渐近线的距离为． 故答案为：. 题型6圆锥曲线的方程（共5小题） 【模型】圆锥曲线的方程 【步骤】设出标准方程，待定系数法解决参数。 【易错】若是不知道焦点所在的坐标轴，可以分类讨论，也可以设出一半方程。 26．(25-26高二上·江苏南通如皋·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限相交于点．若直线的斜率为，的面积为4，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断是直角三角形，利用斜率的几何意义，找到与的数量关系，再结合的面积为，列方程，求出与长度，再由椭圆的定义得，，，最终求出椭圆的方程. 【详解】因为以为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，所以，即是直角三角形，已知直线的斜率为，即， 在中，设，则， 由勾股定理可得 因为的面积为，根据三角形面积公式，即 解得，，所以 ，所以，，； 根据椭圆的定义：，所以； 又因为，所以； 根据得：； 所以椭圆的方程为. 故选：. 27．(25-26高二上·江苏镇江县、淮安等八校·期中)已知椭圆经过点，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入点的坐标可得，利用离心率的公式可得，从而可得答案. 【详解】因为椭圆经过点，所以，即； 离心率，所以，所以方程为. 故选：D 28．(25-26高二上·江苏常州高级中学·期中)方程表示的曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知等式的几何意义结合椭圆的定义可求曲线的标准方程 【详解】表示到点的距离之和为10， 又，故点的轨迹满足椭圆的定义， 设其标准方程为：， 显然，又，解得， 则标准方程为：. 故选：C. 29．(25-26高二上·江苏江阴长泾中学·期中)已知双曲线的焦点在轴上，两条渐近线互相垂直，实轴长为4，双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据渐近线垂直可得，再根据实轴长为4即可求解. 【详解】设双曲线的方程为， 根据题意可知，即， 又因为实轴长为4，则， 所以双曲线的方程为. 故选：B 30．(25-26高二上·江苏南通如东县·期中)已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【详解】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B 提升·进阶突破 题型7最值问题（共5小题） 【模型】最值问题 【步骤】最值问题可以考虑基本不等式，函数等 【易错】使用基本不等式需要注意考虑范围，如范围不合适，需要换成其他方法。 31．(25-26高二上·江苏淮阴中学·期中)已知为坐标原点，椭圆的下顶点为，动点满足，是上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出点的轨迹方程，确定点的轨迹是圆，再结合椭圆的性质，求出圆心到椭圆上的点的最大距离，即可得到的最大值. 【详解】设点，由题意可知. 因为，所以， 将式子展开可得， 即，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆. 设椭圆上动点，则有，即. 点到圆心的距离 . 对于二次函数，其图象开口向下，对称轴， 所以当时，取到最大值，， 所以. 因为的最大值为圆心到椭圆上点的最大距离加上圆的半径， 所以的最大值为. 故选：C 32．(25-26高二上·江苏淮阴中学·期中)已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，若的最大值为9，则椭圆的长轴长为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式和椭圆的定义求得正确答案. 【详解】由椭圆的定义及基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 由于，所以，长轴长. 故答案为： 33．(24-25高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)已知点为双曲线的右焦点，点分别为两条渐近线上的点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】首先设点的坐标，再根据三点共线，表示坐标间的关系，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由条件可知，，，，双曲线的渐近线方程为， 设，，由向量可知三点共线，即， 则，化简得，即， ，， 所以 （当且仅当时取等）. 故答案为： 34．(25-26高二上·江苏淮阴中学·期中) （多选）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交于 两点，交于，交于，则（   ） A． B．以为直径的圆过原点 C．的最小值为 D．与的面积之比为定值 【答案】ABD 【分析】设过的直线为，联立抛物线方程，由韦达定理可判断A，利用判断B，利用两点间距离公式及二次函数配方求最值判断C， 设直线的方程为，联立抛物线方程，由韦达定理可得点坐标与点坐标的关系，求直线与轴交点的横坐标，再由三角形面积公式计算即可判断D. 【详解】如图， 设过的直线为，联立， 消元可得，则，故A正确； 因为， ， 所以以为直径的圆过原点，故B正确； 因为， ，故当时，有最小值，即的最小值为，故C错误； 由抛物线可知，设直线的方程为， ，联立，消元可得， 所以，即，， 同理可得，，设与轴交点为，则， 即，可得，可得， 解得，所以， ，所以，为定值，故D正确. 故选：ABD 35．(25-26高二上·江苏前黄高级中学·期中) （多选）已知椭圆的两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是圆：上任意一点，则下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为 B．存在点使得 C．的最大值为5 D．的最小值为5 【答案】ACD 【分析】将转化成求其最小值可判断A，由知以为圆心为半径的圆在椭圆内，可判断B；由极化恒等式得可判断C；根据椭圆的定义及椭圆的有界性可判断D； 【详解】由题易知,因为 ， 当且仅当、、、四点共线（且、在 之间）时取等号，故A正确，      对于B：∵，∴以为圆心为半径的圆在椭圆内，所以不存在点使得，故B不正确； ， 又，所以，所以， 即的最大值为，当且仅当在上、下顶点时取最大值，故C正确； 对于D：∵， 设则，，所以，当1或5时，取得最小值5，所以D正确； 故选：ACD 题型8圆锥曲线的几何性质（共5小题） 【模型】圆锥曲线的几何性质 【步骤】椭圆与双曲线是轴对称图形与中心对称图形 【易错】平行，垂直等问题，可以考虑图形的对称性。 36．(25-26高二·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期中)椭圆的离心率大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出各选项中椭圆的离心率即可判断得解. 【详解】椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 可得， 得到最接近于圆的椭圆是，故B正确. 故选：B 37．(25-26高二上·江苏泰州姜堰区·期中) （多选）已知椭圆：，则（   ） A．的长轴长为8 B．的焦点坐标为 C．的离心率为 D．上的点到焦点的最小距离为2 【答案】CD 【分析】因为椭圆标准方程得出，进而判断各个选项即可求解. 【详解】椭圆：，则， 的长轴长为，A选项错误； 的焦点坐标为，B选项错误； 的离心率为，C选项正确； 上的点到焦点的最小距离为，D选项正确； 故选：CD. 38．(25-26高二上·江苏梅村高级中学空港分校·期中) （多选）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．存在使得 B．的最小值为 C．，则面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值 【答案】AC 【分析】对于A选项，设椭圆短轴顶点为，根据得的最大角为钝角即可判断A； 对于B选项，记，则，结合余弦定理与基本不等式求解判断B； 对于C选项，结合题意得，进而计算面积判断C； 对于D选项，设，直接求解即可判断D. 【详解】设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，， 所以，，，，， 对于A选项，由于，， 所以的最大角为钝角，故存在使得，A正确； 对于B选项，记，则， 由余弦定理： ，当且仅当时取“=”，B错误； 对于C选项，由于，故 ， 所以，C正确； 对于D选项，设，则，，于是，D错误. 故选：AC 39．（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上异于顶点的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．内切圆的圆心在直线上 【答案】ABD 【分析】对于选项A：借助双曲线定义与焦距长度计算即可得；对于选项B：设出点，表示出、后，利用余弦定理计算即可得；对于选项C：结合B中所得计算即可得；对于选项D：利用内切圆中切线长性质结合双曲线定义与焦距长度计算即可得． 【详解】对于选项A：由双曲线定义可得，则， 则，又， 则，故A正确； 对于选项B：设，则，即， 双曲线的渐近线为，则， 由对称性，不妨设在上，在上，则，，有， 由，则， 则， 故，由点不在顶点上，故不能取等，即，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：设内切圆圆心为，与、、的切点分别为、、， 由切线长定理可得、、， 又，， 即， 则， 则，又， 故，即内切圆的圆心在直线上，故D正确． 40．(25-26高二上·江苏盐城第一中学·期中)在平面直角坐标系中，抛物线，直线，且l与C交于P，Q两点.构造点列如下：设的坐标为，直线，与C的另一个交点分别为，，直线与x轴的交点为.设点的坐标为. (1)若的面积为，求l的斜率； (2)用，表示直线的方程； (3)设的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出，再求点到直线的距离，由列方程，由此求得直线的斜率； （2）设直线上的任意一点为，再求，，即可表示出直线的方程，再利用化简即可； （3）联立直线与抛物线方程，求出的坐标，再结合第（2）问化简直线的方程，求出和坐标，再通过构造等比数列求出的通项公式以及利用面积公式求出并化简，最后利用的范围即可求出的最大值. 【详解】（1）设，联立，得， 则， 则 ， 又点到直线的距离， 则， 解得，满足，所以直线的斜率. （2）因，在抛物线上，则， 设直线上的任意一点为， 则，， 则直线的方程为， 则， 则，即， 故直线的方程为. （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得， 则，则，同理可得， 则，， 则由（2）可得，直线的方程为， ， 又点到直线的距离为， 则 又直线与轴的交点为，则，则， 因及以上递推关系可知，，则， 则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，故， 则， 故， 因，则当时，有最大值. 题型9离心率（共5小题） 【模型】离心率 【步骤】曲线定义，勾股定理，正余弦定理均可版主猎户等式。 【易错】齐次问题，需要考虑离心率的取值范围 41．(24-25高二上·江苏句容·期末)设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在直角三角形中，，得，由，得，进行求解即可． 【详解】解：如图： 因为，所以， 则在直角三角形中，， 得， 由，得， 即椭圆的离心率为：． 故选：A 42．(25-26高二上·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质求椭圆参数，应用离心率公式求解. 【详解】设该椭圆的长轴长为，焦距为， 则由题意得，， 得， 则这个椭圆的离心率. 故选：A 43．(25-26高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取椭圆的右焦点为点，连接，过点作轴于点，利用三角形中位线定理和相似形求出点的坐标，代入椭圆方程求出的值，即可求得离心率. 【详解】如图，取椭圆的右焦点为点，连接，则， 因为点C，F是线段AB的三等分点，则C为的中点，而O为的中点， 可得，    因，故，将代入，可得， 根据椭圆对称性，不妨取点，过点作轴于点，易得， 可得，因，则，即得， 代入可得，又，代入解得， 故该椭圆的离心率为. 故选：D. 44．(25-26高二上·江苏仪征中学·期中)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由离心率的定义得到，再利用关系求出，然后可得渐近线方程. 【详解】因为双曲线的离心率为，即， 由， 所以渐近线方程为. 故选：A 45．(25-26高二上·江苏新海高级中学·期中)设，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据双曲线以及椭圆的定义，以及在焦点三角形中运用余弦定理建立关于双曲线和椭圆离心率的方程解出即可. 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义得： ， ， 设， 则在中，由余弦定理得： ， 即 化简得：， 所以， 又因为椭圆的离心率为， 所以双曲线的离心率为， 故选：B. 题型10离心离的取值范围（共5小题） 【模型】离心率的取值范围 【步骤】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 【易错】若使用基本不等式，需要注意取等条件。 46．(25-26高二上·江苏常州金坛区·期中)已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到，的关系式，根据的取值范围，结合对勾函数性质即可得到结果. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为， 不妨设焦点在轴上，点在第一象限， 由点在线段的垂直平分线上，则， 由椭圆、双曲线的定义得：，， 则，整理得， 则，故，则， 故，其中， 令， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故， 即的取值范围是. 故答案为：. 47．(25-26高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数的取值范围. 【详解】由椭圆方程， 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得； 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 48．(25-26高二上·江苏盐城五校联盟·期中)已知双曲线的左，右焦点分别为、，焦距为．若以线段为直径的圆与直线有交点，则双曲线C的离心率取值范围为__________ 【答案】 【分析】首先求圆的方程，利用圆心到直线的距离，推得与的关系，再结合离心率公式，即可求解 【详解】以线段为直径的圆的方程是，与直线有交点， 则圆心到直线的距离， 所以双曲线的离心率． 故答案为：． 49．(22-23高二上·江苏连云港东海县·期中)已知椭圆的一个焦点为，椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设，设，表示出，，依题意可得有解，根据数量积的坐标表示得到方程在上有解，根据得到关于的不等式，解得即可. 【详解】解：依题意不妨设为椭圆的左焦点，则， 设，则，，，则， 若存在点使得，则存在点使得， 即在上有解， 即在上有解， 令，显然，， 所以，即且， 由，即，解得或， 由，即，解得或， 又，所以，即. 故选：B 50．(25-26高二上·江苏前黄高级中学·期中)设为双曲线：在第一象限上的一动点，，. 过做的平行线交于点，过做的平行线交于点，若直线的斜率，则双曲线的离心率取值范围为________. 【答案】 【分析】依题意，设，求出两点坐标，根据，转化为，根据，结合，得到答案. 【详解】 设，， 过做的平行线方程为， 则，解得， 则， 同理， 因为，所以，即， 所以，即， 所以， 即， 又因为，所以， 所以双曲线的离心率取值范围为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设出平行直线，联立求出两点坐标，表示，转化为直线的斜率问题. 题型11和差最值问题（共5小题） 【模型】和差最值 【步骤】总体理论依据： 1.线段公理——两点之间，线段最短。 2.对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等。②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线 3.三角形两边之和大于第三边。 4.三角形两边之差小于第三边。 【易错】若通过共线，检验是否可以取等，若不能取等，需要利用定义转化。 51．(25-26高二上·江苏常州金坛区·期中)已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用数形结合，结合椭圆的定义，转化为三点共线问题，即可求解. 【详解】由条件可知椭圆中，，圆的圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，， ， 如图，当点三点共线时，最小，最小值是， 所以的最小值是， 所以的最大值是. 故选：B 52．(25-26高二上·江苏南菁高级中学·期中)已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】根据点与圆的位置关系，及椭圆的定义可得，即可得最小值. 【详解】 如图所示， 由圆，可知圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，且， 则， 再由椭圆定义可知， 即， 当且仅当点，在线段上时，等号成立， 又， 即的最小值为， 故答案为：. 53．(23-24高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是________． 【答案】/ 【分析】根据已知求出的值.结合图象可知点应在双曲线的右支上，根据双曲线的定义可得.结合图象，以及两点间的距离公式，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，， 所以，，，.    如图，设双曲线左焦点为， 因为点在双曲线右支内部，要使最小，则点应在双曲线的右支上. 根据双曲线的定义可得，， 所以，. 所以，. 由图象可知，当三点共线且如图示位置时，有最小值. 又，所以， 所以，有最小值， 即有最小值. 故答案为：. 54．已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，根据垂直的向量表示得到，再根据抛物线的定义结合基本不等式即可求解. 【详解】设，，则，， 因为，所以， 又，，则，整理得， 由抛物线的定义得 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 55．(24-25高二上·江苏海门中学·期中)在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知点在以为直径的圆上（不含），根据抛物线的定义可得，结合圆下性质可得，再根据几何性质即可得结果. 【详解】直线，即，可知直线过定点； 直线，即，可知直线过定点； 且，则， 可知点在以为直径的圆上（不含），此时圆心为，半径. 因为抛物线的焦点为，准线为， 且点是抛物线上一动点，则，即， 可得， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当点在线段上时，等号成立， 即， 所以的最小值为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于圆锥曲线小题，常常利用定义转化，并结合图形解决问题. 拔高·压轴破难 题型12中点弦问题（共5小题） 【模型】中点弦问题 【步骤】解决椭圆中点弦问题的两种方法： （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和 【易错】焦点在x轴时结论为 56．(25-26高二上·江苏盐城第一中学·期中)已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法即可求解. 【详解】设， 则，两式相减可得， 即. 因为弦AB的中点坐标为，所以， 所以. 易知，所以， 所以直线l的方程为，化简得. 经验证满足题意，故直线l的方程为. 故选：A. 57．(25-26高二上·江苏南通如东县·期中)已知双曲线的左顶点为，直线与双曲线交于点，，若直线与的斜率之积是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知，令，，，应用斜率的两点式及已知得，进而求离心率. 【详解】由题设，如下图所示，，， 所以，则， 所以双曲线离心率. 故选：D 58．(25-26高二上·江苏无锡梁溪区无锡第一中学·期中) （多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得 B．若 ，则的面积为 C．记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D．若M是圆 上任一点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对A：得到以为直径的圆的方程后，联立椭圆方程，得到是否有解即可得；对B：法一：可借助椭圆定义与余弦定理得到的值，再利用面积公式计算即可得；法二：利用焦点三角形面积公式计算即可得；对C：设，结合斜率公式计算即可得；对D：借助椭圆定义及圆的性质计算即可得. 【详解】对A：由椭圆 可得、， 则以为直径的圆的方程为 ， 联立，解得， 即以为直径的圆与椭圆存在交点， 故存在点，使得 ，故A正确； 对B：法一：设 、 ，则由椭圆定义可得， 则由余弦定理可得 ，即 ， 又 ，故， 则的面积为； 法二：，故B错误； 对C：由题意可得，设，则，且 ， 则， 即直线 与的斜率之积为，故C正确； 对D：由椭圆定义可得， 圆 的圆心坐标为，半径， 又 ，故在椭圆外， 则 ， 当且仅当、、、四点共线，且在、之间时成立， 故的最小值为，故D正确. 59．(25-26高二上·江苏盐城第一中学·期中)已知椭圆，分别是的左、右顶点，点在上，且在轴上方. (1)若为坐标原点，直线与垂直，求点的坐标； (2)设直线交直线于点，连接交于点.设直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】(1) (2) 设，则直线，设， 由得：， ，解得：，，； ，又， ，即为定值. 【分析】（1）设，根据，结合点在椭圆上可构造方程组求得点坐标； （2）设，可得直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理可求得点坐标，由此可表示出，结合可求得，由此可证得结论. 【详解】（1）由题意知：，， 设，则，， ，， 又，，解得：或， 与不重合，，， 点的坐标为. （2）略 60．(25-26高二上·江苏扬州仪征精诚高级中学·期中)将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. (1)求曲线的方程； (2)若曲线上存在一定点和两动点（异于），且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）利用相关点法求曲线的方程. （2）列出，化简即可. 【详解】（1）设为曲线上的任意一点， 由题意，点为圆上的点， 所以 . 即曲线的方程为：. （2）如图：    设，则，且，， 所以 . 所以直线与直线斜率乘积为定值. 题型13弦长问题（共5小题） 【模型】弦长问题 【步骤】（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为： |AB|＝＝ · 【易错】设出直线方程需要考虑斜率是否存在 61．(25-26高二上·江苏扬州仪征精诚高级中学·期中)已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则线段长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出两点的坐标，利用两点间的距离公式求线段的长度. 【详解】将代入椭圆方程， 得： 或. 当时，；当时，. 所以点的坐标分别为和. 所以. 故选：A 62．(25-26高二上·江苏淮阴中学·期中)在平面直角坐标系中，点到直线的距离与它到点的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与交于点， ①求的取值范围； ②直线与轴的交点为，若，求． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可； （2）①利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； ②根据平面向量共线的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数的关系、两点间距离公式进行求解即可. 【详解】（1）因为点到直线的距离与它到点的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点的抛物线， 所以的方程为； （2）①， 因为直线与交于点， 所以， 因此的取值范围为； ②设， 在中，令，得，即 ， 由①可得，， 即， 因此. 63．(25-26高二上·江苏南通如皋·期中)已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹方程为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于，两点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率之积是，列出方程并求解即可； （2）联立直线和椭圆，然后由韦达定理可得，进而根据弦长公式进行求解即可. 【详解】（1）设点，则直线的斜率为，直线的斜率为， 根据题意有：，化简得， 由于时斜率不存在，故曲线的方程为. （2）设，， 联立，消去并整理得， ， 所以， ， 直线斜率为1，弦长公式为， 因此 64．(25-26高二·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期中)已知是椭圆上两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆交于P，Q两点，且，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）讨论斜率是否存在，再设直线方程，用韦达定理和弦长公式来求解斜率即可. 【详解】（1）已知，是椭圆上两点, 可得，解得：， 故椭圆C的标准方程为. （2）当过点的直线l的斜率不存在时，直线方程为， 与椭圆相交的交点坐标分别为， 此时交点弦长，不符合题意， 当过点的直线l的斜率不存在时，设过点的直线l方程为，与椭圆联立， 消得， 如图，设交点， 则恒成立，    则 ， 整理得， 可得，解得. 65．(25-26高二上·江苏徐州第三十七中学·期中)已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 【答案】(1)； (2)； (3)    设直线l方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由分别为C的左，右顶点，则， 所以直线方程为：，直线方程为：， 两式消得：， 整理得： 由可得：， 所以有， 即点T在定直线上. 【分析】(1)利用已知条件列方程组求参数即可； (2)利用直线与椭圆联立方程组，结合弦长公式求解即可； (3)利用直线与椭圆联立，再用坐标去表示两直线方程，然后消，去求解交点的横坐标，再由根与系数关系，即可求得，从而问题得证. 【详解】（1）点在C上得：， 右焦点为得：，联立解得：， 所以椭圆方程为； （2）直线l经过F且斜率为，则直线方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由弦长公式可得：； （3）略 题型14面积问题（共5小题） 【模型】面积问题 【步骤】面积的两种公式1.S＝×底|·|高＝×a ×b×sin 【易错】面积公式通常与弦长公式结合 66．在直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，直线分别与直线相交于两点，以为直径的圆与轴交于两点．直线与直线斜率分别记为，． (1)求证：为定值； (2)求四边形面积的最小值． 【答案】(1)由椭圆，得， 设，易得， 则直线的方程为， 令，可得，则得，即， 因为是椭圆上异于的一个动点，故，即， 则，为定值. (2)12 【分析】（1）设，得到，再表示出，进而求证即可； （2）设，结合（1）得到，设，可将其理解为动点与定点所在直线的斜率，而动点在以原点为圆心的单位圆上，进而分析求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，直线的方程为，令，可得， 设以为直径的圆的圆心为点，则其坐标为，设交轴于点， 连接，则 ， ， 故 ， 因，则，（*） 因点在椭圆上，则可设， 代入（*），可得 ， 不妨设，则可将其理解为动点与定点所在直线的斜率， 又动点在以原点为圆心的单位圆上， 由圆心到直线的距离 ，解得， 依题意，需使，即，从而， 即四边形面积的最小值为. 67．(25-26高二上·江苏淮阴中学·期中)已知椭圆的离心率为，分别是的上、下顶点，分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点． ①判断直线与直线的位置关系； ②是否存在点，使得与的面积之比为，若存在，求出所有点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①平行；②存在，. 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆离心率的意义求出即得. （2）①由（1）求出椭圆顶点坐标，设出点的坐标，并求出直线方程，进而求出交点的坐标，再求出直线的斜率即可判断；②由①的结论，结合面积关系求出长，进而求出点的坐标，再求出直线交点坐标即得. 【详解】（1）由椭圆的上下顶点间距离为4，得， 由的离心率为，得，解得， 所以的方程为. （2）①直线与直线平行，理由如下： 由（1）得，设点， 则，直线方程为，直线的方程为， 直线方程为，直线方程为， 设，由消去得，， 设，由得点， ， 因此，直线的斜率， 而点不在直线上，所以. ②由①知，，显然边上的高等于边上的高， 若存在点，使得与的面积之比为，则， 而点，因此，解得， 当时，点，则，解得，符合题意； 当时，点，则，解得，不符合题意， 所以存在点，使得与的面积之比为. 68．(25-26高二上·江苏连云港灌南县·期中)已知双曲线的离心率为，且双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线的方程； (2)设点为双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为，三角形面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式以及焦点到渐近线的距离公式来确定a，b的值，进而得到双曲线方程； （2）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，先求出的范围，进而求出. 【详解】（1）由题意可知，的一条渐近线方程为，右焦点为，右焦点到渐近线的距离，解得， 由离心率，又，解得， 双曲线的方程为. （2）当斜率为0时，直线的方程为 与双曲线右支交点只有一个，不满足条件；    当斜率不为0时，设直线的方程为：，则 联立， 恒成立，， 直线与双曲线的右支交于两点，，解得 ， 的取值范围是 69．(25-26高二上·江苏无锡湖滨中学·期中)已知椭圆的一个焦点为，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知是椭圆上的一点，且以点及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或或或. 【分析】（1）根据题意结合离心率可得，进而可得和方程； （2）设，根据面积可得，代入方程可得，即可得点的坐标. 【详解】（1）由题意可知：，可得，， 所以椭圆的方程为. （2）设， 由题意可知：，    则，即， 又因为，即，解得， 所以点的坐标为或或或. 70．(25-26高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)已知椭圆，、分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为，当为椭圆上顶点时，直线的倾斜角为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线交于椭圆、两点 （）若直线的倾斜角为，求线段的长； （）求的面积最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据题设条件得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）（i）将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式与韦达定理可求得的值； （ii）设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式、韦达定理以及对勾函数的单调性可求得的面积最大值. 【详解】（1）设点，其中，则， ， 故的最大值为①， 当点为上顶点时，②， 又因为③，由①②③得，，， 所以椭圆的标准方程为. （2）设、，易知点、， （i）由题意可知直线的方程为， 联立得，， 由韦达定理可得，， 所以. （ii）易知直线与轴不重合，设直线的方程为， 联立得，， 由韦达定理可得，， 所以， 所以三角形的面积为 令，则函数在上为增函数， 故当时，即当时，取最大值，且. 题型15直线与圆锥曲线的位置关系（共5小题） 【模型】直线与圆锥曲线的位置关系 【步骤】直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：联立消y得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． 【易错】双曲线需要考虑系数是否为零 71．(25-26高二上·江苏无锡大桥实验学校·期中)已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据直线方程与曲线具有两个公共点，联立方程进行求解. 【详解】直线过点，， 联立方程 则 ， 即，故， 根据图象的交点，可得， 故. 故答案为：. 72．(25-26高二上·江苏泰州姜堰区·期中) （多选）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过，两点，则（   ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．直线与双曲线的左支和右支各有一个交点 D．过点可以作四条直线与双曲线只有一个公共点 【答案】AB 【分析】设满足题意的双曲线的标准方程为，代入点的坐标，计算可得双曲线方程，进而利用数形结合逐项判断每个选项的正误即可. 【详解】不妨设满足题意的双曲线的方程为， 双曲线经过,两点，则有，解得， 则满足题意的双曲线的标准方程为， 在双曲线中，，则，故A正确； 双曲线的渐近线方程为，故B正确； 因为直线与轴交点在双曲线右顶点右侧， 且其斜率1大于渐近线斜率， 所以直线与双曲线的右支有两个交点，故C错误； 点在渐近线上， 画图可得，过点可以作两条直线与双曲线只有一个公共点， 其中一条与双曲线相切，另一条与渐近线平行，故D错误. 故选：AB. 73．(25-26高二上·江苏海门中学·期中)已知双曲线C的渐近线方程为，点是双曲线C上一点． (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，请问：是否存在常数，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）根据渐近线方程设双曲线方程为，代入A点求解即可； （2）设，，直线MN的方程，结合韦达定理求出及关于k的表达式，同时根据MN的方程求出及的值，再据此求出的表达式，结合韦达定理化简该表达式即可求解t的值． 【详解】（1）设双曲线方程为：， 因为点在双曲线上，所以，所以， 所以双曲线的方程为． （2）如图所示， 设，，直线MN的方程为， 与双曲线方程联立可得， 即，， 则，， 直线MA的方程为， 令可得， ， 同理可得， ， 所以存在满足． 74．(25-26高二上·江苏海门中学·期中)已知椭圆的右焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为． (1)求椭圆的方程； (2)若、是椭圆上关于轴对称的任意两点，设，设直线与直线交于点，试判断点与椭圆的位置关系． 【答案】(1) (2)点在椭圆上 【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）设，则，可得出，分、两种情况讨论，求出点的坐标，利用点与椭圆的位置关系判断即可. 【详解】（1）过右焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为， 令，解得，所以， 又，，所以，， 所以椭圆的方程为． （2）设，则，，则． 当时，与重合，所以点在椭圆上， 当时，直线的方程为，直线的方程为， 由得，即点， 则有 ， 所以点在椭圆上， 综上，点在椭圆上． 75．(25-26高二上·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)已知点，动点C到点B的距离是C到点A距离的2倍，记动点C的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)若直线与曲线E交于M，N两点．求的值； (3)过点作曲线E的两条切线，设交函数图象于Q，R两点，判断直线QR与曲线E的位置关系并证明． 【答案】(1) (2) (3) 直线QR与曲线E相切，证明如下： 若过点的切线的斜率不存在，则其方程为，到圆心的距离为，不合题意； 所以切线的斜率存在，设切线的斜率为，则其方程为， 即. 所以，化简得. 解得：. 所以过点的切线的方程为： . 联立解得或, 联立解得或, 所以直线的方程为， 即. 圆心到直线的距离为： 所以直线QR与曲线相切. 【分析】（1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）先求出圆心到直线的距离，再利用几何法求出弦长； （3）讨论切线的斜率是否存在，当斜率存在时，设切线的斜率为，写出点斜式方程，化成一般方程，根据圆心到切线的距离等于半径，求出的值，得到切线的方程.再求得与的交点Q，R，得到直线QR的方程，根据直线与圆的位置关系即可判断. 【详解】（1）（1）由题意得，所以. 设，因为点， 所以， 化简得. 所以曲线的方程为. （2）由（1）知，曲线是圆心为，半径的圆， 所以圆心到直线的距离为：， 所以. （3）略 题型16定值问题（共5小题） 【模型】定值问题 【步骤】直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③结合韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式； ④化简所得函数式，消元可得定值. 【易错】设直线方程需要优先考虑斜率是否存在 76．(25-26高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)(多选)动点在左右焦点分别为，的椭圆上，下列结论正确的有（    ） A．的周长为8 B．的面积的最大值为 C．动点，则为定值 D．线段的长度可以是 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的定义可判断A，当为短轴顶点时可判断B，由两点间距离公式结合点满足椭圆方程可判断C；根据的取值范围可判断D. 【详解】由题意，因为，所以的周长为，故A错误； 当为短轴顶点时，的面积的最大值为，故B正确. ，由点在椭圆上可得，若动点， 则，所以，故C正确； 因为，所以线段的长度可以是 . 故选：BCD 77．(25-26高二上·江苏扬州仪征精诚高级中学·期中)已知双曲线过点，且右焦点为，直线与双曲线的右支交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若直线过，交轴于点，且，求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)为定值 【分析】（1）根据条件，列式求的值，可得双曲线的标准方程. （2）中点弦的问题，可用“点差法”求解. （3）设直线方程，代入双曲线方程，利用韦达定理，表示出，，再结合，探索的值. 【详解】（1）由题意可得： . 所以双曲线的标准方程为：. （2）设，， 则， 两式相减得： ， 又线段的中点为，所以， 所以 ，即直线的斜率为1. 所以直线的方程为：即. 直线过点，故直线与双曲线相交，满足条件； （3）如图： 因为直线过点，且与轴相交，所以直线必存在斜率. 设直线方程为：，代入双曲线方程得. 整理得：（）. 设，， 则，. 又 ，， 所以 ，为定值. 78．(25-26高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知抛物线的顶点到焦点的距离为，点，过点的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一交点分别为．记的面积分别为． (1)求抛物线的方程； (2)若过原点的一条直线与圆相切，且与抛物线的另一交点为，求的值； (3)请问是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，且为9 【分析】（1）由题意得，求出p值，即可得答案. （2）设直线，根据相切，圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求出k值，联立求出P点坐标，代入距离公式，即可得答案. （3）设，直线AB方程为，与曲线联立，根据韦达定理可得，求出直线AN方程，与曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，同理可得表达式，根据弦长公式、点到直线距离公式、面积公式等，分别求出和表达式，即可求得答案. 【详解】（1）因为顶点到焦点的距离为，所以，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由题意，直线斜率存在，设为k，则直线， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 根据对称性，不妨取， 联立，得，解得或0（舍），则， 所以. （3）显然直线AB斜率不为0，直线AB方程为， 设， 联立，得， 所以， . 直线AN的斜率， 所以直线AN方程为， 联立，得， 因为为方程的一个根，所以，解得， 同理， 又 = N到直线AB的距离， 所以， 又 ， ，所以， 整理得， 所以N到CD的距离， 所以 ， 又， = ， 所以， 所以.    79．(25-26高二上·江苏宿迁中学·期中)已知椭圆的焦距为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为.是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在点，使得为定值，定值为. 【分析】（1）由题列得关于的方程组，求解可得椭圆的方程； （2）联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理写.根据向量数量积的运算性质，求得.假设存在点，使得为定值，并由此得到点的坐标 【详解】（1）由题可知，，化简得，解得. 所以椭圆的方程为. （2）设，存在点满足题意. 由，得. 所以. . . 若为定值，则， 所以，解得. 所以存在点，使得为定值，定值为. 80．(25-26高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)已知，，三点 (1)求外接圆方程； (2)若过点的直线l与中心在原点，过B，C两点的双曲线D相交于M，N两点，A能否是线段MN的中点？请说明理由？ (3)S，T是双曲线D上的两个动点，且直线BS，BT的斜率互为相反数，证明直线ST的斜率为定值． 【答案】(1) (2) 不能，理由如下： 设双曲线D方程为， 则，所以双曲线方程为， 若存在，由题易知直线斜率存在，设，且， 因为M、N在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点A为线段MN的中点， 则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率， 又由题知点P在直线上，且， 所以不存在符合题意直线l， 综上，点A不是线段MN的中点. (3) 设，直线BS方程为， 则， 所以， 所以，得， 同理， 所以. 【分析】（1）设圆的一般方程列方程组计算求解； （2）代入点得出双曲线方程，再应用点差法计算求解结合点A为线段MN的中点得出矛盾； （3）联立方程计算得出，再应用斜率公式计算求解. 【详解】（1）设圆方程为， ， 求出， 所以所求圆方程为； （2）略 （3）略 题型17定点、定直线问题（共5小题） 【模型】定点问题 【步骤】求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 【易错】设直线方程需要优先考虑斜率是否存在 81．(25-26高二上·江苏南通如东县·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，．连接，并延长，分别交抛物线于点，，且． (1)求的值； (2)求面积的最小值； (3)求证：直线过定点． 【答案】(1) (2) 4 (3) 由（1）得，，可得． 设直线的方程为，则由，得， 由，得，所以． 所以． 设直线的方程为，又因为抛物线， 可得，得，所以． 所以，所以，所以直线的方程为， 所以直线过定点． 【分析】（1）设直线的方程，分别联立抛物线的方程，表示出的坐标，根据，求出的值；或设出的坐标，根据，列出坐标关系，代回抛物线的方程，求出的值. （2）设直线的方程为，及各点坐标，表示出的面积，根据过焦点的直线与抛物线的交点的纵坐标乘积为定值，利用基本不等式求得其最值. （3）设直线的方程为，利用过焦点的直线与抛物线的交点的纵坐标乘积为定值，得到t与n的关系，求得直线所过定点. 【详解】（1）方法一：设直线的方程为，则由，得， 所以． 由，得，所以． 因为，所以， 又因为，所以． 方法二：设，，由题可知，. 因为，所以，所以. 又，所以. （2）设直线的方程为，，，，， 则由得，所以． 因为，所以的面积是的面积的2倍． 因为，且， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的面积的最小值是2， 所以的面积的最小值是4． （3）略 82．(25-26高二上·江苏南通如皋·期中)已知双曲线：的实轴长为2，离心率为2，，分别为左，右顶点，，分别为左，右焦点． (1)求双曲线的方程； (2)若过的直线与双曲线右支交于，两点，直线与直线交于点． ①证明：点在定直线上； ②若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) ① 因为为双曲线右焦点，所以，，， 设过直线的方程为，，， 所以，联立可得， 由韦达定理可得， 直线的斜率为，方程为， 直线的斜率为，方程为， 设，所以， 将，，所以， 整理可得 ， 因为， ，所以， 所以， ，解得， 所以点在定直线上. ②或. 【分析】（1）由双曲线的实轴长为，所以，再通过离心率以及即可求解. （2）①设直线的方程为，，，直线与双曲线方程联立，通过韦达定理得到，的关系，求出直线与直线的方程，两式联立求解交点，再根据代入求解即可.②由，得到，再由三点共线，可得到向量共线，即可得到线段比，代入求解即可. 【详解】（1）因为双曲线实轴长为，所以，即， 又因为离心率为，所以，所以， 因为，所以， 所以双曲线：. （2）①略 ②设，因为在直线，，如图所示： ， 因为，，三点共线，所以，即， ，，所以， 同理，即，，， 所以， 所以，因为， 所以， 所以 ， ，， 因为， 所以， ， 所以， 解得，即，所以直线的方程为或. 83．(25-26高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)设双曲线的半焦距为，直线过，两点，原点到直线的距离为. (1)求双曲线的离心率； (2)点在双曲线上，直线与双曲线相交于，两点，请问是否存在以为直径的圆经过坐标原点，若存在请说明理由，并求出实数的值. 【答案】(1)或 (2)存在，或 【分析】（1）直线方程为：，利用点到直线的距离公式得，化简得，两边除以得，求解即可； （2）先根据题意求出双曲线方程为，再与直线联立，根据和韦达定理求解. 【详解】（1）根据题意，直线方程为：，即， 又原点到直线的距离为，即， 则，又， 所以，则， 解得或，所以或； （2）当时，由可得， 双曲线经过点，则，解得可得， 所以双曲线方程为， 当时，由可得， 双曲线经过点，则，无解， 所以双曲线方程为， 联立方程。 整理可得： ，解得， 因为，不和双曲线的顶点重合，所以 根据韦达定理：，， 因为以为直径的圆经过坐标原点，则， 解得或， 所以当或，存在以为直径的圆经过坐标原点. 84．(25-26高二上·江苏连云港灌南县·期中)在平面直角坐标系中，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. (1)求的最小值. (2)若， ①求证：直线过定点；并写出该定点坐标. ②点能否关于轴对称？若能，求出此时外接圆的方程；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2) ①因为，所以. 又三点共线，且同号，所以，即， 由（1）知射线的方程为. 由，得 由（1）知.所以，化简得， 从而直线的方程为，所以直线过定点. ②能，方程为，理由如下： 由①得. 若点关于轴对称，则， 代入，整理得， 从而有，解得（舍去）或， 由，所以， 此时点关于轴对称. 又由（1）可得，所以. 由于三角形外接圆的圆心在轴上，可设三角形外接圆的圆心坐标为， 所以，解得，故外接圆的半径， 所以三角形外接圆的方程为. 【分析】（1）设直线的方程为，联立直线和椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，求出点的坐标和所在直线方程，求点的坐标，利用基本不等式即可求得的最小值； （2）①由转化为，联立方程组求得点得坐标，结合（1）可得，代回得证；②利用点关于轴对称，写出点的坐标，求出的外接圆的圆心坐标和半径，从而求出的外接圆方程． 【详解】（1）设直线的方程为，由题设可得. 由，得， 则，整理得. 设，从而，故. 由于为线段的中点，因此， 此时，所以直线的方程为. 又点在射线上，所以，即， 所以，当且仅当时取等号. 又，整理得，从而. 因此，当且时，取得最小值2. （2）①略 ②略 85．(25-26高二上·江苏新海高级中学·期中)已知椭圆E：的长轴端点为，，斜率为k的直线l与椭圆E交于M，N两点（与长轴端点不重合），记直线AM，AN，BM的斜率分别为，，，且满足. (1)求证：为定值； (2)求证：直线l过定点； (3)判断直线AN，BM的交点P是否在一条定直线上，并证明你的结论. 【答案】(1)； (2)； (3) ，，，，， 直线的方程为， ，直线的方程为， 联立和的交点为， 解得的的值为交点的横坐标， 整理得， 由（2）知，，代入， 得到 将代入，得到， 整理得， 设，，则有， ，， ，， ， ，交点在定直线上. 【分析】（1）设椭圆上点，求出，，，由在椭圆上，代入解得，代入得解； （2）设斜率为k的直线l的方程为，由直线l与长轴端点不重合得到，将代入，整理得，设，，利用根与系数的关系求出和，由，在直线，求出，求出，，计算，代入已知， 计算得到或，讨论和得到直线l过的定点； （3）求出直线和的方程，联立和的交点为，计算得解. 【详解】（1）设椭圆上点，则，，， 在椭圆上，， ，，为定值； （2）设斜率为k的直线l的方程为，直线l与长轴端点不重合，则， 将代入，得到， 整理得， 设，，则有， ，在直线，， ，， ， ，， ，， ，或， 当时，直线l的方程为， 此直线恒过，不满足题意，舍去； 当时，直线l的方程为， 此直线恒过，则直线l过定点； （3）略 题型18斜率问题（共5小题） 【模型】斜率问题 【步骤】斜率问题多考虑点差法或者中点弦问题 【易错】注意考虑斜率是否存爱 86．(25-26高二上·江苏奔牛高级中学、武进高级中学·期中)已知双曲线的左右顶点分别为、，点是圆上不同于、两点的一动点，直线与双曲线交于点，若直线斜率的取值范围是，则的斜率的取值范围是_____. 【答案】 【分析】设，由已知求得，再由圆的性质得，所以．由此可求得答案. 【详解】由题可知，，设，则，， 所以．因为，所以，即① 因为点在圆上，所以，所以．②又， 结合①②可知，．因为， 所以． 故答案为：. 87．(25-26高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)已知椭圆的上顶点为，点为椭圆的右焦点，点在椭圆上，（为坐标原点）. (1)求的方程； (2)过点作直线交于，两点，为坐标原点. ①若，求直线的斜率； ②若点为线段的中点，过点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. 【答案】(1) (2)①； ②如图，因，点N为线段的中点，则， 依题意，，则直线的斜率为， 直线的斜率为， 则 ， 将（*）代入，可得， 所以．    【分析】（1）利用椭圆性质和经过的点坐标，联立方程组，求得，即得椭圆方程； （2）①由题知直线的斜率不为0，设，与椭圆方程联立，设，求得韦达定理，推得，由得到，将其与韦达定理联立，解得，即得直线斜率；②依题意，求得，，计算，消元后将（*）代入化简，即得，故得结论. 【详解】（1）根据题意，在中，则①， 椭圆经过点，则②， 再结合，可得， 则椭圆E的标准方程为；    （2）①当直线的斜率为0时，可取因，显然不满足， 故可设直线，代入椭圆方程，消去， 可得， 由，解得或， 设，则，则，（*） 由可得，即得， 将其代入①，可得， 代入②，可得，解得， 故直线的斜率为； ②略 88．(25-26高二上·江苏泰州第二中学·期中)已知双曲线的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点，其中点在第一象限， ①试判断直线与直线的位置关系并说明理由； ②记直线斜率为，直线斜率为，求的值. 【答案】(1) (2)①由（1）知，，， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设， 由消去，得， 则 且， 则 由得，即 直线的方程为，即 因为无实数解，所以直线与直线相交， 特别地，时，由解得， 即为，与直线 垂直. ②. 【分析】（1）由虚轴长和渐近线方程求得和的值即可. （2）①设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理化简直线，即为，进而可以判断与直线的位置关系. ②求得直线，的斜率，结合韦达定理计算的值即可 【详解】（1）由双曲线：虚轴长为4，得， 因为双曲线的渐近线方程为， 而直线为双曲线C的一条渐近线， 所以，则， 所以双曲线C的标准方程为. （2）①略 ②由①得，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以. 89．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若O为坐标原点，椭圆C的右顶点为A，点E的坐标为，过点F的直线l与椭圆C交第一象限于点M，与线段AE交于点P． （i）若的面积是1，求直线l的斜率； （ii）若的面积与的面积之比为，求直线l的斜率． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，求出即可求出椭圆的方程. （2）（i）求出线段的方程，由三角形的面积求出点的坐标，进而求出直线l的斜率；（ii）根据给定条件，结合三角形面积公式得，设出直线的方程，求出点的坐标，进而求出点的坐标，再代入椭圆方程求解即得. 【详解】（1）依题意，椭圆的半焦距，由离心率为，得， 所以椭圆方程为. （2）（i）由点，得线段AE的方程为，设， 由的面积是1，得，而， 解得，，即点，又点. 所以直线l的斜率. （ii）依题意，直线l的斜率存在且为正，设直线l的，点， 由的面积与的面积之比为， 得，而，则， 又点均在第一象限，因此， 由，解得，即， 则，，而， 因此，整理得，解得， 所以直线l的斜率为. 90．(24-25高二下·江苏南京第一中学·期中)已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的直线与相交于不同的两点，若的面积不小于，求直线斜率的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据渐近线垂直可得，代入点即可得，即可得方程； （2）设直线的方程为，联立方程利用韦达定理可得面积，根据判别式结合面积关系运算求解即可. 【详解】（1）因为两条渐近线互相垂直，则，即， 又过点，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立方程消去y可得. 因为直线与双曲线相交于不同的两点， 则，解得， 设，则， 可得， 且原点到直线的距离， 则， 若的面积不小于，即， 整理可得，解得，可得， 综上所述：直线的斜率的取值范围为. 题型19角度问题（共5小题） 【模型】角度问题 【步骤】角度问题通常需要结合，向量，正余弦定理，斜率等。 【易错】斜率问题需要考虑斜率是否存在 91．(25-26高二上·江苏常州高级中学·期中)已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，设是椭圆上的一点，过E，F两点的直线交轴于点，若，求的取值范围； (3)若斜率为的直线与椭圆交于A、B两点（直线PA斜率为正），直线PA、PB（若、重合，直线PB即为椭圆在点处的切线）分别与轴交于M、N两点，为PN中点.求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题意联立方程求解即可； （2）设，由可得，结合计算可得的取值范围； （3）设出直线方程，与椭圆方程联立利用韦达定理，结合斜率坐标公式推证得，再利用余弦定理建立函数关系求出正弦最大值. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设， 则，， 若，则， 即，解得， 因为在椭圆上，则， 化简可得， 因为，所以，解得或， 即的取值范围； （3）设直线，由消去得， 设，则，直线的斜率分别为， 则 ，则，即， 在中，令，则， 在中，， 在中，, 因为， 所以， 即，解得， ， 当且仅当时取等号， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以取最小值时， 有最大值为. 92．(25-26高二上·江苏常州金坛区·期中)已知双曲线的中心点为，其中为左､右焦点，，为左､右顶点，且离心率为上一动点. (1)求证：； (2)设直线的斜率分别为，求证：为定值； (3)若双曲线的顶点为和，且的最大内角为，求点的坐标. 【答案】(1) 由双曲线的离心率，可知，即， 所以双曲线， 设，，， ， ， 所以； (2) 设，， ，即， 所以为定值； (3)，，， 【分析】（1）利用坐标法表示两点间距离，即可证明； （2）利用坐标法，结合点在双曲线上，即可证明； （3）设直线的方程，与双曲线方程联立，再利用对称性，即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）根据双曲线的对称性，不妨设点在右支第一象限上，双曲线方程为， 则的最大内角为最大，此时，则， 设直线，联立双曲线方程， ，得，得或（舍）， 时，，即， 根据对称性可知，点在第二象限的坐标为，点在第三象限的坐标为，点在第四象限的坐标为， 所以满足条件的点坐标为，，，. 93．(25-26高二上·江苏海安实验中学·期中)已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C交于M，N两点，且坐标原点O到直线l的距离为，则的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)在（2）的条件下，试求三角形的面积S的取值范围． 【答案】(1) (2)的大小为定值 (3) 【分析】（1）待定系数求解即可； （2）先讨论直线斜率不存在时的情况得，再讨论一般情况下成立即可； （3）先讨论直线斜率不存在时的面积为，再根据弦长公式，面积公式，结合韦达定理求解面积得，再结合基本不等式，分当和讨论求解即可. 【详解】（1）解：因为的离心率为，所以，即① 因为在椭圆C上，所以②， 又③， 所以，联立方程①②③解得：， 所以椭圆C的标准方程为 （2）解：当直线l的斜率不存在时：直线l的方程为， 由对称性，不妨令直线l的方程为． 联立，将代入得：， 所以，即，解得：， 所以 此时，即与垂直， 所以． 当直线l的斜率存在时：设直线l的方程为，，． 由点到直线的距离公式，可得，两边平方得． 联立，消去y得． 则，即． 由韦达定理可得，． 所以 将代入上式得：， 所以，即． 综上，的大小为定值，该定值为． （3）解：直线l的斜率不存在时：，则． 当直线l的斜率存在时：， 将代入上式得： ， 所以三角形的面积． 当时，； 当时，． 由基本不等式 （当且仅当，即时取等号）． 则，，， ， ，即． 综上，． 94．(25-26高二上·江苏扬州中学·期中)已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． (1)求椭圆方程； (2)设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标； (3)点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意列出方程组求出得解； （2）根据三角形面积公式及面积比，利用相似转化为关于点的坐标的方程，求解即可； （3）利用直线斜率之积为常数，转化为斜率之间的关系，再由两角差的正切公式及基本不等式求解即可． 【详解】（1）由题意，，则， 椭圆方程为： （2）如图， 设，则， 对，令， 所以由相似三角形可得：， 所以， 又因为，所以，， 解得或，所以对应的分别为或， 所以或． （3）设， 则， 则． 又因为， 所以，则， 设，直线倾斜角为，直线倾斜角为， 所以， 则， 因为，所以，此时， 所以直线方程为． 【点睛】关键点点睛：第二问关键将三角形面积比，利用相似转化为关于点的坐标的方程，求解即可；第三问关键是将最大问题转化为正切值的最值，结合基本不等式计算.综合性较强，属于中难题. 95．(24-25高二上·江苏南京外国语学校·期中)设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且这两交点纵坐标分别为，，A，B在抛物线准线上的射影分别为，． (1)求值； (2)求证：是直角； (3)M是线段AB中点，求点M的轨迹方程． 【答案】(1)； (2)证明：如下图示，由题意易知，则，， 又，则，， 综上，，，即， 而，即， 所以，得证. AI (3). 【分析】（1）设直线为，联立抛物线并应用韦达定理即可求结果； （2）由题设有，且，进而得到，即可证结论； （3）根据题设有，结合（1）有，即可得轨迹方程. 【详解】（1）由题设，焦点，直线可设为，联立抛物线有， 所以，由直线与抛物线有两个交点，即，则. （2）略 （3）由题意，由（1）知：，， 所以，故， 所以轨迹为. 题型20内切圆问题（共5小题） 【模型】内切圆 【步骤】内切圆问题，1.等面积法。2.角平分线定理。2.切线长定理 【易错】内切圆经常与外接圆一起考查 96．(25-26高二上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支和右支分别交于，两点，设、分别为、的内切圆半径，则内切圆圆心的横坐标为_______________；、的内切圆半径比值_______________. 【答案】 【分析】①根据内心的性质得到，然后结合双曲线的性质得到的坐标；②根据内心的性质得到，然后利用相似的性质求半径比. 【详解】 设内切圆与边分别相切于， 所以，，， ， 又，所以，则，即， 所以内切圆圆心的横坐标为-2； ②同理可证，的内切圆圆心的横坐标为， 设、分别为、的内切圆半径， 设点、分别为、的内心， 根据双曲线的定义可知内切圆与轴相切于点， 所以轴，同理，轴； 又点、分别为、的内心，所以直线平分， 注意到，在中，，， 在中，，，所以. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据内心的性质得到，然后结合双曲线的性质解题即可. 97．(25-26高二上·江苏海安实验中学·期中)若椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过作直线的垂线交椭圆于，两点，设的内切圆的半径为，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程可知，即可知为正三角形，再根据垂直可知为垂直平分线，即可知，，即，可知的周长，并可知直线的方程，联立方程可得弦长及到直线的距离，即可得，则. 【详解】    由椭圆方程，可得，， 即，所以为等边三角形，， 由过作直线的垂线交椭圆于，两点， 即为垂直平分线， 则，即直线的倾斜角为， 则点，关于直线对称，而的周长为， 所以的周长为， 所以直线，即， 设，， 联立方程，消去得， 则， 可得，， 则， 点到直线的距离为， 所以的面积为， 所以， 故选：C． 98．(24-25高二上·江苏淮阴中学·期中)若椭圆 的左、右焦点分别为、，上顶点为，过作直线的垂线交椭圆于两点，设的内切圆的半径为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对称性确定的周长，再由弦长公式，点到线的距离公式求得面积，即可求出内切圆半径即可求解. 【详解】 由椭圆方程，可得， 即，所以为等边三角形， ， 由题意可知：，即直线l为的角平分线，倾斜角为， 则点关于直线l对称，而 的周长为，所以的周长为， 因为直线l的方程为，椭圆方程为， 设， 联立方程，消去x得， 则，可得， 则， 点直线l的距离为， 所以的面积为， 所以，解得：， 所以， 故选：C 99．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中) (多选)已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点，且°．为椭圆上任意一点（异于左，右顶点），直线分别与椭圆交于，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．内切圆的半径为 C．△的外接圆方程为 D．△与△内切圆半径之和的最大值为 【答案】ABD 【分析】由已知条件直接求得得离心率判断A，得椭圆标准方程，解方程组求出交点坐标得直角的边长后可求得其内切圆半径判断B，同样由三点坐标求出外接圆方程判断C（可用点的坐标代入判断），利用面积的两种不同计算方法可求得内切圆半径与点坐标的关系，结合韦达定理可求出两内切圆半径和的最大值，判断D． 【详解】A选项，由题意，是等腰直角三角形，因此，， 离心率为，A正确； B选项，由上知，，直线的方程为，椭圆方程为， 由，解得或，∴， ，，而， 则，即为直角三角形， ∴△内切圆的半径为，B正确； C选项，由题意设△的外接圆圆心坐标为，则，解得， 即圆心坐标为，半径为， 圆方程为，C错； D选项，设，的内切圆在三边上的切点分别为，如图，    一方面，， 另一方面，记的内切圆半径为，， 所以，，事实上，不论点在轴上方还是下方，都有与同号，所以，从而， 则的内切圆半径为，内切圆半径为， △与△内切圆半径之和为 ， 设直线方程为， 由得， ， ， 所以当，即时，取得最大值，D正确， 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：设是椭圆上的点，是椭圆焦点，与不共线，的内切圆圆心为，半径为，椭圆离心率为， 则，，， 100．(25-26高二上·江苏苏州常熟·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为4，过的直线交椭圆于，两点，的周长是. (1)求的方程； (2)若内切圆的半径为，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据焦距，求出c值，根据的周长，求出a值，根据a，b，c的关系，求出，代入即可得答案. （2）由题意，设l程为，与椭圆C联立，根据韦达定理，可得，的表达式，进而可得表达式，即可求出的面积，根据内切圆的半径及其周长，可求出的面积，列出等式，可求出m值，即可得答案. 【详解】（1）因为焦距为4，所以，解得， 因为的周长为，解得， 所以， 所以的方程为. （2）由题意，直线l不与x轴重合，由直线l过点，设其方程为， 与椭圆C联立，可得， ， ， 所以， 所以， 又内切圆的半径为，且的周长是， 所以， 所以，即， 解得或， 所以的方程为或，即或. 题型21角平分线问题（共5小题） 【模型】角平分线 【步骤】1.角平分线定理2.考虑等腰等边等特殊的三角形3.考虑直线的斜率 【易错】斜率问题注意考虑斜率是否存在 101．(24-25高二上·江苏盐城中学·期中)已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 且，， 所以，    因为，所以， 所以即， 又，所以， 所以由余弦定理得， 整理得，所以即. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解. 102．(25-26高二上·江苏南京·期中)已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为是上的动点．当轴时，的面积为1． (1)求的方程； (2)设过且与直线垂直的直线交于点（不在轴上），直线交轴于点，记． ①求的值； ②证明：平分． 【答案】(1) (2)①2   ②证明： 记直线与轴的交点为，由①可知为的中点. 由抛物线的定义可得， 在直线中，令，可得 于是， 所以平分. 【分析】（1）利用三角形的面积建立方程求出即可得出抛物线方程； （2）①根据垂直关系可写出的斜率，得出点坐标，得到直线的方程即可求出直线截距得解；②利用抛物线的性质求解 ，由等腰三角形即可求证. 【详解】（1）当轴时，，代入， 可得， 所以 ，解得， 所以抛物线的方程为. （2）①由（1）知，的方程为, 因为在抛物线上，即， 所以 因为，所以，解得， 所以, 由的方程为，得 令，可得，所以. ②略 103．(25-26高二上·江苏连云港海州区·期中)已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 【答案】(1) (2)证明：由（1）可知，，， 易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即， 联立，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以直线的方程为， 联立，解得，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又， 所以，即平分. 法三：则，， 故， 又， 所以，即平分. 法四：则， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 又点到直线的距离也为， 所以平分. 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率得到，再由直线的斜率得到，从而利用三角形的面积公式得到关于的方程，解之即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得，进而得到直线的方程与点的坐标，法一：利用向量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证. 【详解】（1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. . （2）略 104．(24-25高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)已知中，，的角平分线交于点． (1)若，求的值； (2)若点在曲线上，求： ①的取值范围； ②直线与曲线的交点个数. 【答案】(1) (2)①的取值范围为； ②直线与曲线的交点个数为1个 【分析】（1）求得直线，的方程，利用角平分线的性质得到，求解即可； （2）①设，求得直线，的方程，利用角平分线的性质得到，化简可得，可得的取值范围；②求得直线的直线方程为与双曲线方程联立方程，判断方程组的解的个数可得结论. 【详解】（1）因为，又， 所以直线的方程为，即，直线的方程为， 因为的角平分线交于点， 所以，整理得，解得或8， 又，所以， （2）①设，则， 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 因为的角平分线交于点， 所以，所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，解得（舍）或， 所以 所以的取值范围为. ②由①得，直线的直线方程为， 联立，消去得 所以， 所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以直线与曲线的交点个数为1个. 【点睛】关键点点睛：设，关键在于利用角平分线的性质，得，化简利用一个变量的取值范围求得的取值范围. 105．(25-26高二上·江苏连云港灌云县·期中)平面直角坐标系中，为动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知点，，设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点到直线距离公式和双曲线定义运算分析即可得解. （2）根据角平分线的条件，利用向量投影模长相等、直线方程、点到直线距离公式、弦长公式、基本不等式运算即可得解. 【详解】（1）解：由题意设，由点到直线距离公式得 ，， ∴， ∴，又∵垂足位于第一象限， 垂足位于第四象限，， ∴的轨迹方程为. （2）解：由对称性，不妨设在第一象限，设，则， 设直线的斜率为，记，由为的角平分线， 则有， 其中，，，， ∴， 同理得：，代入中， ∴，化简得：. 将代入，中， 解得：，， ∴，， 设直线的方程为，将代入， 解得：， ∴直线的方程为，， 由点到直线距离公式得：. 由直线的斜率为，设直线的方程为， 将点代入，解得：， ∴直线的方程为，将其与联立得： ， 设，则，， 由可知，， 由均值不等式，， 当且仅当，即时，等号成立， ∵，故， ∴，当且仅当时，等号成立. ∴的最大值为. 【点睛】圆锥曲线题型中的角平分线问题往往有如下处理思路： 方法一.如果轴为一个角的平分线，则该角的两边所在直线的斜率互为相反数； 方法二.利用角平分线上的点到角两边的距离相等； 方法三.如果轴为一个角的平分线，则角两边所在直线满足以下规律：一边上任意一点关于轴的对称点必在另外一边上； 方法四.利用向量，根据向量投影的模长相等来进行求解. 题型22切线问题（共5小题） 【模型】切线 【步骤】圆锥曲线的相切，可以考虑联立△=0 【易错】设方程时，需要考虑斜率是否存在。 106．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中) (多选)如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则（    ）    A．的方程为 B．的最小值为 C． D．曲线在点处的切线与线段垂直 【答案】BCD 【分析】对A，直接根据椭圆的定义可得答案；对B，利用与互补，求出的最大角即可；对于C，直接利用向量的坐标运算求解；对于D，求出点处的切线斜率，再利用，求出点的坐标，再判断切线斜率和的关系即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 对于选项A，设动圆的半径为，由条件得，则，且不重合， 故点的轨迹为以为焦点的椭圆（去掉重合的点），则曲线的方程为，故选项A错误； 对于选项B，由图可知与互补，设， 在中，，则， 又，所以，当且仅当时取等号， 又，所以，得到的最小值为，故选项B正确； 对于选项C，， 当且仅当时等号成立，故选项C正确； 对于选项D，设点 ， 下面先证明椭圆上一点的的切线方程为. 联立，消去得， 则，又，所以. 所以椭圆上一点的的切线方程为. 则过点的椭圆的切线方程为，切线斜率为， 又，所以， 则 得，解得， 所以， 又 ， 因为，所以，所以，所以， 所以，即曲线在点处的切线与线段垂直，故D正确    故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解题的关键是利用过椭圆上一点的的切线方程为，通过结论可快速找到解题思路. 107．(23-24高二上·江苏连云港华杰高级中学·期中)过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为_____________. 【答案】 【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得，，由椭圆的定义可得，设，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】，，，易知、为椭圆的两个焦点， ，    根据椭圆定义， 设，则，即， 则， 当时，取到最小值． 当时，取到最大值． 故的取值范围为：. 故答案为：. 108．(24-25高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到的距离为3． (1)求抛物线的方程； (2)过点F的直线l交抛物线于两点，分别以为直径作圆 ①证明：圆与轴相切； ②若直线的斜率为1，求与圆都相切的直线方程. 【答案】(1) (2) ①设，由焦半径公式可得， 所以的中点，点到轴的距离为， 所以以为直径作圆与轴相切； ②或或 【分析】（1）利用焦半径公式可得，求解即可； （2）①利用焦半径公式可求得线段中点到轴的距离可得结论；②由平面几何知识可得所求切线可能是内公切线与也可能是外公切线，分情况讨论可求与圆相切的直线方程. 【详解】（1）由抛物线的方程得焦点， 又抛物线上的点到的距离为3，所以，解得， 所以抛物线的方程为 （2）①略 ②由①可知圆与轴也相切，且两圆的圆心在同一直线上， 又，可得圆相外切于点， 所以与圆相切的直线有三条，一条内公切线，两条外公切线， 因为两圆与轴相切，故直线与两圆相切， 因圆相外切于点，故过点与垂直的直线与两圆相切， 又直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； 两外公切线关于直线对称，直线的斜率为1，又直线是一条外公切线， 故另一条外公切线的斜率为0，又的方程为，即， 与直线交于点，故所求的另一条外公切线方程为， 所以所求切线方程为或或. 109．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中)已知拋物线的焦点，直线， (1)设直线与x轴交于点，直线与抛物线交于两点，其中在第一象限，求出所有满足的点的坐标.（其中点与点对应，点与点对应）； (2)过直线上的点作抛物线的两条切线，切点分别为，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到，从而有，再利用，得到点在轴正半轴或轴负半轴上，再利用相似比，即可求解； （2）设切线的方程为，联立抛物线方程求得，得到直线和的方程为，进而得到的方程为，再联立抛物线方程，得到，进而求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为拋物线的焦点为，则，得到，所以拋物线， 由题知，由，得到，所以， 在中，，， 则，又，所以， 因为，且点与点对应，点与点对应，所以， 如图，易知，所以点在轴正半轴或轴负半轴上， 又因为，，得到， 所以点的坐标为或. （2）设，则，， 再设切线的方程为， 联立方程组，整理得， 由，且，可得， 则切线的方程为，即. 由切线过点，可得. 同理，切线的方程为， 由切线过点，可得， 则直线的方程为， 联立方程组，整理得， 可得， 则 ， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题主要有两种方法： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤平面向量；⑥导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 110．(25-26高二上·江苏淮安·期中)如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆C：上一点，从原点O向圆作两条切线，分别与椭圆C交于点，直线的斜率分别记为.    (1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程； (2)若，求证：； (3)在（2）的情况下，求的最大值. 【答案】(1) (2)证明：因为直线与圆相切， 所以直线与圆联立， 可得， 由，即, 同理， 由，即 可得是方程的两个不相等的实数根， 所以，因为点在椭圆C上，所以， 所以得证； (3) 【分析】（1）根据椭圆方程确定圆心坐标和半径即可求解； （2）分别联立两条切线与椭圆方程，根据直线与圆相切时判别式等于零，可确定是方程的两个不相等的实数根，即可求解； （3）结合（2）可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）椭圆C的右焦点是，将，代入，可得， 所以，所以圆M的方程为. （2）略 （3）①当直线不落在坐标轴上时，设， 因为，所以， 因为在椭圆C上，所以， 整理得， 所以，, 所以. ②当直线落在坐标轴上时，显然有， 综上：, 所以， 当且仅当时取得等号， 所以的最大值为. $第3章圆锥曲线与方程 基础·固本强基 题型1 轨迹方程 题型2 圆锥曲线的定义 题型3 焦点三角形问题 题型4 圆锥曲线表示曲线求取值范围 题型5 双曲线的渐近线 题型6 圆锥曲线的方程 提升·进阶突破 题型7 最值问题 题型8 圆锥曲线的几何性质 题型9 离心率 题型10 离心率的取值范围 题型11 和差最值问题 拔高·压轴破难 题型12 中点弦问题 题型13 弦长问题 题型14 面积问题 题型15 直线与圆锥曲线的位置关系 题型16 定值问题 题型17 定点、定直线问题 题型18 斜率问题 题型19 角度问题 题型20 内切圆问题 题型21 角平分线问题 题型22 切线问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1轨迹方程（共5小题） 【模型】轨迹方程问题 【步骤】考虑圆锥曲线的定义，利用定义求解对应轨迹 【易错】注意考虑不合适的点，若有不合适的点，需要除去。 1．(24-25高二上·江苏连云港东海县·期中)一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．(25-26高二上·江苏扬州仪征精诚高级中学·期中)（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的轨迹是双曲线 B．若，则点的轨迹是椭圆 C．若，则点的轨迹是一条直线 D．若，则点的轨迹是圆 3．(25-26高二上·江苏新海高级中学·期中) （多选）已知点A是平面内一定点，点P是定圆M上的动点，点P与点A不重合，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能为（   ） A．圆 B．双曲线 C．点 D．抛物线 4．(23-24高二上·江苏常州溧阳·调研) （多选）已知，，满足条件的动点的轨迹为，满足条件的动点的轨迹为，则下列结论正确的是（    ） A．轨迹既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．轨迹既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 C．轨迹上的点到点的距离的最小值为2 D．轨迹与轨迹有两个不同的交点 5．(22-23高二下·江苏南京航空航天大学附属高级中学·期中)已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（    ） A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．双曲线一支 题型2圆锥曲线的定义（共5小题） 【模型】圆锥曲线的定义 【步骤】椭圆距离和为定值，双曲线距离差的绝对值为定值，抛物线，到定点距离等于定长 【易错】双曲线注意范围，需要去除不合适的长度。 6．(24-25高二上·江苏盐城射阳县陈洋中学·期中)椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（    ） A．4 B．3 C．5 D．7 7．(24-25高二上·江苏常州前黄高级中学·期中)已知椭圆的两焦点分别为为椭圆上一点且，则（    ） A． B． C． D．2 8．(25-26高二上·江苏常州金坛区·期中)双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于6，则它到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．4 C．9 D．14 9．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中)已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为．若为双曲线上一点，为的角平分线，过右焦点的直线与直线垂直，垂足为，则（   ） A．1 B．2 C． D． 10．设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型3焦点三角形问题（共5小题） 【模型】焦点三角形问题 【步骤】焦点三角形步骤：1.曲线的定义。2.余弦定理。3.面积公式 【易错】三角形问题可以考虑正余弦定理 11．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 12．(25-26高二上·江苏淮阴中学·期中)已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 13．(25-26高二上·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（    ） A． B． C． D． 14．(22-23高二上·江苏泰州·期中) （多选）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，则下列结论正确的有（    ） A． B．的面积 C．若，则 D． 15．(22-23高二上·江苏盐城滨海县东元高级中学、射阳高级中学等三校·期中)经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，求： (1)线段的长； (2)设点为右焦点，求的周长. 题型4曲线表示曲线求取值范围（共5小题） 【模型】取值范围问题 【步骤】将曲线写成标准形式，利用标准形式求出对应范围。 【易错】注意双曲线需要关注中间的运算符号。 16．(25-26高二上·江苏宿迁中学·期中)已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______. 17．(25-26高二上·江苏泰州中学·期中)已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 18．(25-26高二上·江苏南通如东县·期中)若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．(25-26高二上·江苏徐州第三十七中学·期中)若方程表示双曲线，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 20．(25-26高二上·江苏连云港赣榆区·期中)若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为__________． 题型5双曲线的渐近线（共5小题） 【模型】双曲线的渐近线 【步骤】双曲线交点在x轴的渐近线，; 双曲线交点在y轴的渐近线， 【易错】渐近线可以零右侧为0，求出渐近线。 21．(25-26高二上·江苏连云港赣榆区·期中)双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 22．(25-26高二上·江苏泰州中学·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支交于A，B两点，且，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 23．(25-26高二上·江苏扬州高邮·期中)已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线的一个顶点.以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 24．(25-26高二上·江苏常州高级中学·期中)若双曲线经过点，两条渐近线方程是，该双曲线的实轴长为__________. 25．(25-26高二上·江苏扬州扬州中学教育集团树人学校·期中)若等轴双曲线C：的焦距为4，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为______． 题型6圆锥曲线的方程（共5小题） 【模型】圆锥曲线的方程 【步骤】设出标准方程，待定系数法解决参数。 【易错】若是不知道焦点所在的坐标轴，可以分类讨论，也可以设出一半方程。 26．(25-26高二上·江苏南通如皋·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限相交于点．若直线的斜率为，的面积为4，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 27．(25-26高二上·江苏镇江县、淮安等八校·期中)已知椭圆经过点，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 28．(25-26高二上·江苏常州高级中学·期中)方程表示的曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 29．(25-26高二上·江苏江阴长泾中学·期中)已知双曲线的焦点在轴上，两条渐近线互相垂直，实轴长为4，双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 30．(25-26高二上·江苏南通如东县·期中)已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 提升·进阶突破 题型7最值问题（共5小题） 【模型】最值问题 【步骤】最值问题可以考虑基本不等式，函数等 【易错】使用基本不等式需要注意考虑范围，如范围不合适，需要换成其他方法。 31．(25-26高二上·江苏淮阴中学·期中)已知为坐标原点，椭圆的下顶点为，动点满足，是上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D．5 32．(25-26高二上·江苏淮阴中学·期中)已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，若的最大值为9，则椭圆的长轴长为___________． 33．(24-25高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)已知点为双曲线的右焦点，点分别为两条渐近线上的点，且，则的最小值为______． 34．(25-26高二上·江苏淮阴中学·期中) （多选）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交于 两点，交于，交于，则（   ） A． B．以为直径的圆过原点 C．的最小值为 D．与的面积之比为定值 35．(25-26高二上·江苏前黄高级中学·期中) （多选）已知椭圆的两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是圆：上任意一点，则下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为 B．存在点使得 C．的最大值为5 D．的最小值为5 题型8圆锥曲线的几何性质（共5小题） 【模型】圆锥曲线的几何性质 【步骤】椭圆与双曲线是轴对称图形与中心对称图形 【易错】平行，垂直等问题，可以考虑图形的对称性。 36．(25-26高二·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期中)椭圆的离心率大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 37．(25-26高二上·江苏泰州姜堰区·期中) （多选）已知椭圆：，则（   ） A．的长轴长为8 B．的焦点坐标为 C．的离心率为 D．上的点到焦点的最小距离为2 38．(25-26高二上·江苏梅村高级中学空港分校·期中) （多选）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．存在使得 B．的最小值为 C．，则面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值 39．（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上异于顶点的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．内切圆的圆心在直线上 40．(25-26高二上·江苏盐城第一中学·期中)在平面直角坐标系中，抛物线，直线，且l与C交于P，Q两点.构造点列如下：设的坐标为，直线，与C的另一个交点分别为，，直线与x轴的交点为.设点的坐标为. (1)若的面积为，求l的斜率； (2)用，表示直线的方程； (3)设的面积为，求的最大值. 题型9离心率（共5小题） 【模型】离心率 【步骤】曲线定义，勾股定理，正余弦定理均可版主猎户等式。 【易错】齐次问题，需要考虑离心率的取值范围 41．(24-25高二上·江苏句容·期末)设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 42．(25-26高二上·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 43．(25-26高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 44．(25-26高二上·江苏仪征中学·期中)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 45．(25-26高二上·江苏新海高级中学·期中)设，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 题型10离心离的取值范围（共5小题） 【模型】离心率的取值范围 【步骤】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 【易错】若使用基本不等式，需要注意取等条件。 46．(25-26高二上·江苏常州金坛区·期中)已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是__________. 47．(25-26高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．(25-26高二上·江苏盐城五校联盟·期中)已知双曲线的左，右焦点分别为、，焦距为．若以线段为直径的圆与直线有交点，则双曲线C的离心率取值范围为__________ 49．(22-23高二上·江苏连云港东海县·期中)已知椭圆的一个焦点为，椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．(25-26高二上·江苏前黄高级中学·期中)设为双曲线：在第一象限上的一动点，，. 过做的平行线交于点，过做的平行线交于点，若直线的斜率，则双曲线的离心率取值范围为________. 题型11和差最值问题（共5小题） 【模型】和差最值 【步骤】总体理论依据： 1.线段公理——两点之间，线段最短。 2.对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等。②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线 3.三角形两边之和大于第三边。 4.三角形两边之差小于第三边。 【易错】若通过共线，检验是否可以取等，若不能取等，需要利用定义转化。 51．(25-26高二上·江苏常州金坛区·期中)已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 52．(25-26高二上·江苏南菁高级中学·期中)已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为________． 53．(23-24高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是________． 54．已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 55．(24-25高二上·江苏海门中学·期中)在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 拔高·压轴破难 题型12中点弦问题（共5小题） 【模型】中点弦问题 【步骤】解决椭圆中点弦问题的两种方法： （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和 【易错】焦点在x轴时结论为 56．(25-26高二上·江苏盐城第一中学·期中)已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 57．(25-26高二上·江苏南通如东县·期中)已知双曲线的左顶点为，直线与双曲线交于点，，若直线与的斜率之积是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 58．(25-26高二上·江苏无锡梁溪区无锡第一中学·期中) （多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得 B．若 ，则的面积为 C．记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D．若M是圆 上任一点，则的最小值为 59．(25-26高二上·江苏盐城第一中学·期中)已知椭圆，分别是的左、右顶点，点在上，且在轴上方. (1)若为坐标原点，直线与垂直，求点的坐标； (2)设直线交直线于点，连接交于点.设直线的斜率分别为，求证：为定值. 60．(25-26高二上·江苏扬州仪征精诚高级中学·期中)将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. (1)求曲线的方程； (2)若曲线上存在一定点和两动点（异于），且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 题型13弦长问题（共5小题） 【模型】弦长问题 【步骤】（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为： |AB|＝＝ · 【易错】设出直线方程需要考虑斜率是否存在 61．(25-26高二上·江苏扬州仪征精诚高级中学·期中)已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则线段长为（    ） A． B． C． D． 62．(25-26高二上·江苏淮阴中学·期中)在平面直角坐标系中，点到直线的距离与它到点的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与交于点， ①求的取值范围； ②直线与轴的交点为，若，求． 63．(25-26高二上·江苏南通如皋·期中)已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹方程为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于，两点，求线段的长． 64．(25-26高二·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期中)已知是椭圆上两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆交于P，Q两点，且，求直线的斜率． 65．(25-26高二上·江苏徐州第三十七中学·期中)已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 题型14面积问题（共5小题） 【模型】面积问题 【步骤】面积的两种公式1.S＝×底|·|高＝×a ×b×sin 【易错】面积公式通常与弦长公式结合 66．在直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，直线分别与直线相交于两点，以为直径的圆与轴交于两点．直线与直线斜率分别记为，． (1)求证：为定值； (2)求四边形面积的最小值． 67．(25-26高二上·江苏淮阴中学·期中)已知椭圆的离心率为，分别是的上、下顶点，分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点． ①判断直线与直线的位置关系； ②是否存在点，使得与的面积之比为，若存在，求出所有点坐标；若不存在，请说明理由． 68．(25-26高二上·江苏连云港灌南县·期中)已知双曲线的离心率为，且双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线的方程； (2)设点为双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为，三角形面积为，求的取值范围. 69．(25-26高二上·江苏无锡湖滨中学·期中)已知椭圆的一个焦点为，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知是椭圆上的一点，且以点及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，求点的坐标. 70．(25-26高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)已知椭圆，、分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为，当为椭圆上顶点时，直线的倾斜角为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线交于椭圆、两点 （）若直线的倾斜角为，求线段的长； （）求的面积最大值. 题型15直线与圆锥曲线的位置关系（共5小题） 【模型】直线与圆锥曲线的位置关系 【步骤】直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：联立消y得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． 【易错】双曲线需要考虑系数是否为零 71．(25-26高二上·江苏无锡大桥实验学校·期中)已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是___________． 72．(25-26高二上·江苏泰州姜堰区·期中) （多选）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过，两点，则（   ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．直线与双曲线的左支和右支各有一个交点 D．过点可以作四条直线与双曲线只有一个公共点 73．(25-26高二上·江苏海门中学·期中)已知双曲线C的渐近线方程为，点是双曲线C上一点． (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，请问：是否存在常数，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 74．(25-26高二上·江苏海门中学·期中)已知椭圆的右焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为． (1)求椭圆的方程； (2)若、是椭圆上关于轴对称的任意两点，设，设直线与直线交于点，试判断点与椭圆的位置关系． 75．(25-26高二上·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)已知点，动点C到点B的距离是C到点A距离的2倍，记动点C的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)若直线与曲线E交于M，N两点．求的值； (3)过点作曲线E的两条切线，设交函数图象于Q，R两点，判断直线QR与曲线E的位置关系并证明． 题型16定值问题（共5小题） 【模型】定值问题 【步骤】直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③结合韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式； ④化简所得函数式，消元可得定值. 【易错】设直线方程需要优先考虑斜率是否存在 76．(25-26高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)(多选)动点在左右焦点分别为，的椭圆上，下列结论正确的有（    ） A．的周长为8 B．的面积的最大值为 C．动点，则为定值 D．线段的长度可以是 77．(25-26高二上·江苏扬州仪征精诚高级中学·期中)已知双曲线过点，且右焦点为，直线与双曲线的右支交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若直线过，交轴于点，且，求证：为定值. 78．(25-26高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知抛物线的顶点到焦点的距离为，点，过点的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一交点分别为．记的面积分别为． (1)求抛物线的方程； (2)若过原点的一条直线与圆相切，且与抛物线的另一交点为，求的值； (3)请问是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 79．(25-26高二上·江苏宿迁中学·期中)已知椭圆的焦距为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为.是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 80．(25-26高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)已知，，三点 (1)求外接圆方程； (2)若过点的直线l与中心在原点，过B，C两点的双曲线D相交于M，N两点，A能否是线段MN的中点？请说明理由？ (3)S，T是双曲线D上的两个动点，且直线BS，BT的斜率互为相反数，证明直线ST的斜率为定值． 题型17定点、定直线问题（共5小题） 【模型】定点问题 【步骤】求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 【易错】设直线方程需要优先考虑斜率是否存在 81．(25-26高二上·江苏南通如东县·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，．连接，并延长，分别交抛物线于点，，且． (1)求的值； (2)求面积的最小值； (3)求证：直线过定点． 82．(25-26高二上·江苏南通如皋·期中)已知双曲线：的实轴长为2，离心率为2，，分别为左，右顶点，，分别为左，右焦点． (1)求双曲线的方程； (2)若过的直线与双曲线右支交于，两点，直线与直线交于点． ①证明：点在定直线上； ②若，求直线的方程． 83．(25-26高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)设双曲线的半焦距为，直线过，两点，原点到直线的距离为. (1)求双曲线的离心率； (2)点在双曲线上，直线与双曲线相交于，两点，请问是否存在以为直径的圆经过坐标原点，若存在请说明理由，并求出实数的值. 84．(25-26高二上·江苏连云港灌南县·期中)在平面直角坐标系中，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. (1)求的最小值. (2)若， ①求证：直线过定点；并写出该定点坐标. ②点能否关于轴对称？若能，求出此时外接圆的方程；若不能，请说明理由. 85．(25-26高二上·江苏新海高级中学·期中)已知椭圆E：的长轴端点为，，斜率为k的直线l与椭圆E交于M，N两点（与长轴端点不重合），记直线AM，AN，BM的斜率分别为，，，且满足. (1)求证：为定值； (2)求证：直线l过定点； (3)判断直线AN，BM的交点P是否在一条定直线上，并证明你的结论. 题型18斜率问题（共5小题） 【模型】斜率问题 【步骤】斜率问题多考虑点差法或者中点弦问题 【易错】注意考虑斜率是否存爱 86．(25-26高二上·江苏奔牛高级中学、武进高级中学·期中)已知双曲线的左右顶点分别为、，点是圆上不同于、两点的一动点，直线与双曲线交于点，若直线斜率的取值范围是，则的斜率的取值范围是_____. 87．(25-26高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)已知椭圆的上顶点为，点为椭圆的右焦点，点在椭圆上，（为坐标原点）. (1)求的方程； (2)过点作直线交于，两点，为坐标原点. ①若，求直线的斜率； ②若点为线段的中点，过点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. 88．(25-26高二上·江苏泰州第二中学·期中)已知双曲线的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点，其中点在第一象限， ①试判断直线与直线的位置关系并说明理由； ②记直线斜率为，直线斜率为，求的值. 89．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若O为坐标原点，椭圆C的右顶点为A，点E的坐标为，过点F的直线l与椭圆C交第一象限于点M，与线段AE交于点P． （i）若的面积是1，求直线l的斜率； （ii）若的面积与的面积之比为，求直线l的斜率． 90．(24-25高二下·江苏南京第一中学·期中)已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的直线与相交于不同的两点，若的面积不小于，求直线斜率的取值范围. 题型19角度问题（共5小题） 【模型】角度问题 【步骤】角度问题通常需要结合，向量，正余弦定理，斜率等。 【易错】斜率问题需要考虑斜率是否存在 91．(25-26高二上·江苏常州高级中学·期中)已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，设是椭圆上的一点，过E，F两点的直线交轴于点，若，求的取值范围； (3)若斜率为的直线与椭圆交于A、B两点（直线PA斜率为正），直线PA、PB（若、重合，直线PB即为椭圆在点处的切线）分别与轴交于M、N两点，为PN中点.求的最大值. 92．(25-26高二上·江苏常州金坛区·期中)已知双曲线的中心点为，其中为左､右焦点，，为左､右顶点，且离心率为上一动点. (1)求证：； (2)设直线的斜率分别为，求证：为定值； (3)若双曲线的顶点为和，且的最大内角为，求点的坐标. 93．(25-26高二上·江苏海安实验中学·期中)已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C交于M，N两点，且坐标原点O到直线l的距离为，则的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)在（2）的条件下，试求三角形的面积S的取值范围． 94．(25-26高二上·江苏扬州中学·期中)已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． (1)求椭圆方程； (2)设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标； (3)点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程． 95．(24-25高二上·江苏南京外国语学校·期中)设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且这两交点纵坐标分别为，，A，B在抛物线准线上的射影分别为，． (1)求值； (2)求证：是直角； (3)M是线段AB中点，求点M的轨迹方程． 题型20内切圆问题（共5小题） 【模型】内切圆 【步骤】内切圆问题，1.等面积法。2.角平分线定理。2.切线长定理 【易错】内切圆经常与外接圆一起考查 96．(25-26高二上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支和右支分别交于，两点，设、分别为、的内切圆半径，则内切圆圆心的横坐标为_______________；、的内切圆半径比值_______________. 97．(25-26高二上·江苏海安实验中学·期中)若椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过作直线的垂线交椭圆于，两点，设的内切圆的半径为，则的值为（    ）． A． B． C． D． 98．(24-25高二上·江苏淮阴中学·期中)若椭圆 的左、右焦点分别为、，上顶点为，过作直线的垂线交椭圆于两点，设的内切圆的半径为，则的值为（   ） A． B． C． D． 99．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中) (多选)已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点，且°．为椭圆上任意一点（异于左，右顶点），直线分别与椭圆交于，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．内切圆的半径为 C．△的外接圆方程为 D．△与△内切圆半径之和的最大值为 100．(25-26高二上·江苏苏州常熟·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为4，过的直线交椭圆于，两点，的周长是. (1)求的方程； (2)若内切圆的半径为，求的方程. 题型21角平分线问题（共5小题） 【模型】角平分线 【步骤】1.角平分线定理2.考虑等腰等边等特殊的三角形3.考虑直线的斜率 【易错】斜率问题注意考虑斜率是否存在 101．(24-25高二上·江苏盐城中学·期中)已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（   ） A． B． C． D． 102．(25-26高二上·江苏南京·期中)已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为是上的动点．当轴时，的面积为1． (1)求的方程； (2)设过且与直线垂直的直线交于点（不在轴上），直线交轴于点，记． ①求的值； ②证明：平分． 103．(25-26高二上·江苏连云港海州区·期中)已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 104．(24-25高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)已知中，，的角平分线交于点． (1)若，求的值； (2)若点在曲线上，求： ①的取值范围； ②直线与曲线的交点个数. 105．(25-26高二上·江苏连云港灌云县·期中)平面直角坐标系中，为动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知点，，设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值. 题型22切线问题（共5小题） 【模型】切线 【步骤】圆锥曲线的相切，可以考虑联立△=0 【易错】设方程时，需要考虑斜率是否存在。 106．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中) (多选)如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则（    ）    A．的方程为 B．的最小值为 C． D．曲线在点处的切线与线段垂直 107．(23-24高二上·江苏连云港华杰高级中学·期中)过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为_____________. 108．(24-25高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到的距离为3． (1)求抛物线的方程； (2)过点F的直线l交抛物线于两点，分别以为直径作圆 ①证明：圆与轴相切； ②若直线的斜率为1，求与圆都相切的直线方程. 109．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中)已知拋物线的焦点，直线， (1)设直线与x轴交于点，直线与抛物线交于两点，其中在第一象限，求出所有满足的点的坐标.（其中点与点对应，点与点对应）； (2)过直线上的点作抛物线的两条切线，切点分别为，求的最小值. 110．(25-26高二上·江苏淮安·期中)如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆C：上一点，从原点O向圆作两条切线，分别与椭圆C交于点，直线的斜率分别记为.    (1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程； (2)若，求证：； (3)在（2）的情况下，求的最大值. $