精品解析：河北省名校联合体（邢台市第一中学等）2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

名校联合体高二年级期中考试 数学 考试说明：1．本试卷共150分.考试时间120分钟. 2．请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的方向向量且过点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于点，动点在圆上运动，若的面积的取值范围为，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5. 已知点，满足条件，则点的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 线段 C. 射线 D. 椭圆或线段 6. 已知圆，点在圆上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 圆上有且仅有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 曲线的形状是一个斜椭圆，其方程为，点是曲线上的任意一点，点为坐标原点，则下列说法错误的是（ ） A. 曲线关于对称 B. 的最大值为 C. 该椭圆的离心率为 D. 的最大值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 若非零空间向量，，满足，，则有 B. 若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C. 若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 10. 已知曲线，为曲线上任意一点，则下列说法错误的是（ ） A. 曲线表示椭圆 B. 若，时，设椭圆两个焦点分别为，，则的取值范围为 C. 若，时，设椭圆两个焦点分别为，，则的范围是 D. 若，时，设椭圆两个焦点分别为，，与的夹角为，则的面积为 11. 如图1，在平行四边形中，，，，是中点，把沿直线翻折成（点位于平面上方），连接，，是中点，设平面与平面面所成二面角为，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，直线与平面所成的角的正弦值是 D. 当时，三棱锥外接球的表面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________． 13. 已知，是椭圆的左、右焦点，点，点在上，则的取值范围为________． 14. 三棱柱为正三棱柱，，三角形绕着中心随意转动，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，． （1）若，求的值； （2）当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程． 16. 已知椭圆的离心率为，且过点，左、右焦点分别为，，过向椭圆在A处的切线作垂线，垂足为． （1）求椭圆的标准方程； （2）求点与原点的距离． 17. 如图，在矩形中，，取中点，将和分别沿直线，折叠，使，两点重合于点得到三棱锥． （1）当时，求证：； （2）若二面角的平面角为，是否存在上一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由． 18. 已知椭圆的方程：，直线（不与轴重合）经过椭圆的右焦点并且交椭圆于两点，点与左、右顶点，相连形成的两条直线，的斜率之积为，当直线垂直轴时. （1）求椭圆的标准方程； （2）求直线与的斜率之积的值. 19. 在平面直角坐标系中，有点、．若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点在空间中的距离为“点关于轴的折叠空间距离”，记为． （1）若点、、在平面直角坐标系中的坐标分别为、、，求证：，； （2）若点、在平面直角坐标系中的坐标分别为、，试用文字描述满足的点在平面直角坐标系中的轨迹是什么，并求该轨迹与轴围成的图形的面积； （3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上一点，过点的两条直线、分别交椭圆于、两点，且其斜率满足，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校联合体高二年级期中考试 数学 考试说明：1．本试卷共150分.考试时间120分钟. 2．请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的方向向量且过点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方向向量可求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求解. 【详解】由题意知直线的方向向量是，可得其斜率为， 所以直线的方程为，即. 故选：. 2. 直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程确定直线的斜率，由三角恒等变换即可得斜率取值范围，从而可得倾斜角的取值范围. 【详解】由直线方程可得， 由于倾斜角为，则直线的斜率， 故. 故选：B． 3. 在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解即可. 【详解】因为四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点， 所以 因为，所以，故． 故选：A 4. 在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于点，动点在圆上运动，若的面积的取值范围为，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出弦长，结合图形，推得的面积的取值范围即点到直线的距离的范围，因动点在圆上运动，故得点到直线的距离的范围即，根据题意即得. 【详解】 如图，圆的圆心到直线的距离为， 故弦,记点到直线的距离为， 则的面积，其范围即的范围. 由图知.当点为过点且与直线垂直的直线与圆的交点时，取到最大和最小.（即图中的点） 因圆心到直线的距离为，故的取值范围为， 则的面积的取值范围为，故. 故选：A． 5. 已知点，满足条件，则点的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 线段 C. 射线 D. 椭圆或线段 【答案】D 【解析】 【分析】令，，则，再分、且两种情况讨论，结合椭圆的定义即可得解. 【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立， 又， 即， 令，，则，， 即， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当且时，，此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆． 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D． 6. 已知圆，点在圆上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先拆分所求式为，利用表示的几何意义，将最大值问题转化为直线与圆的相切问题解决. 【详解】由， 由于点为圆上任意一点， 如图，可将看作圆上任意一点与点所在直线的斜率， 由图知，当直线与圆相切于第一象限时，直线的斜率最大， 此时，易得，， 因轴，故直线的斜率， 故的最大值为. 故选：C． 7. 圆上有且仅有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 且圆心到直线的距离， 若圆上有且仅有两点到直线的距离为， 则，即，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：D． 8. 曲线的形状是一个斜椭圆，其方程为，点是曲线上的任意一点，点为坐标原点，则下列说法错误的是（ ） A. 曲线关于对称 B. 的最大值为 C. 该椭圆的离心率为 D. 的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的特点分析曲线的对称性，可判断A的真假，并求出椭圆的长轴长和短轴长，根据离心率的概念，可求椭圆的离心率，判断C的真假；利用基本（均值）不等式可以判断B的真假；把方程看成关于的不等式，利用可求的取值范围，判断D的真假. 【详解】由方程可以看出其关于，对称，A正确； 由题意知，，，，，B正确： 联立方程，解得顶点坐标为和，所以椭圆长轴长为；同理可得另外两个顶点坐标为和，所以椭圆的短轴长为，所以，所以该椭圆的离心率为：，C错误； 看作关于的一元二次方程，，解得，D正确， 故选：C． 【点睛】结论点睛：在曲线方程中，若用代替，方程不变，则曲线关于轴对称；若用代替，方程不变，则曲线关于轴对称；若用代替，代替，方程不变，则曲线关于原点对称；若用代替，同时用代替，方程不变，则曲线关于直线对称. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 若非零空间向量，，满足，，则有 B. 若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C. 若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例否定选项A；利用空间向量基底定义判断选项B，C，D. 【详解】当非零空间向量，，时， 满足，，但与不平行，A错误； 三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B正确； 能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的三个向量， 由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 即向量，与任何一个向量均共面，则，必共线，C正确； 若，，共面，则， 可知，，共面，与为空间向量的一个基底相矛盾， 故可以构成空间向量的一个基底，D正确， 故选：BCD． 10. 已知曲线，为曲线上任意一点，则下列说法错误的是（ ） A. 曲线表示椭圆 B. 若，时，设椭圆两个焦点分别为，，则的取值范围为 C. 若，时，设椭圆两个焦点分别为，，则的范围是 D. 若，时，设椭圆两个焦点分别为，，与的夹角为，则的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据椭圆方程的特点判断A的真假；根据数量积的坐标表示，结合椭圆上点的坐标的特点求数量积的取值范围；利用椭圆的定义，结合二次函数的值域的求法确定C的真假；结合椭圆的定义，利用余弦定理和三角形的面积公式，可求三角形面积. 【详解】对于A：只有当，，且，曲线才能表示椭圆，故A错误； 对于B：设点，，则，所以，，， 则，又因为，所以． 所以的取值范围为，故B正确； 对于C:由于，又，即， 所以， 故当时，取最大值9，当或时，取最小值6，故C错误； 对于D：由题意可得，， 在中，由余弦定理得， 即，所以， 所以的面积为，故D正确. 故选：AC． 11. 如图1，在平行四边形中，，，，是中点，把沿直线翻折成（点位于平面上方），连接，，是中点，设平面与平面面所成二面角为，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，直线与平面所成的角的正弦值是 D. 当时，三棱锥外接球的表面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先证明即 平面与平面面所成二面角的平面角，对于A，B，以为原点建系，求出的坐标，利用数量积的性质和运算律即可判断；对于C，以为原点建系，求出和平面的法向量，利用向量夹角公式计算判断；对于D，结合图形证明平面平面，分析得出时，三棱锥外接球表面积最大，由图求出外接球表面积即可判断. 【详解】在图1中，因，，是中点,且，则， 由余弦定理，,则有, 故在翻折后得图2中，， 故即 平面与平面所成二面角的平面角，即. 对于A,如图以为原点建立空间直角坐标系，由可得，, 则， 因是中点，故得，，，， 则．，，故A错误； 对于B，以为原点建立空间直角坐标系，时，易得， 则 ，，，，B正确； 对于C，因，故可以为原点建立空间直角坐标系， 则，，， 平面的一个法向量为，则， 故直线与平面所成的角的正弦值是，即C正确； 对于D，因为在平面翻折过程中，因， 且平面,则平面， 又平面，故平面平面. 因，则当时，三棱锥的底面上的高最大， 故三棱锥外接球表面积最大， 如图，外接圆半径为，外接圆半径为． 故三棱锥外接球半径， 三棱锥外接球的表面积的最大值为，故D正确. 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由两个空间向量夹角为锐角可得且两向量不同向. 【详解】由，得，解得， 由，得， 因为与的夹角为锐角，故， 故的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知，是椭圆的左、右焦点，点，点在上，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，由几何法即可求解. 【详解】 由椭圆方程，可得，， 所以，所以， 因为点在上，所以， 由于，， 所以的范围是. 故答案为：. 14. 三棱柱为正三棱柱，，三角形绕着中心随意转动，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】方法1：建立空间直角坐标系，把相关向量的坐标表示出来，借助三角函数的值域求解. 方法2：利用两向量在模确定的情况下，方向相同时，数量积最大，进行求解. 【详解】法一：由题知三角形外接圆半径为4， 所以的轨迹是以为球心，4为半径的球． 建立如图空间直角坐标系，，，． 设点所在水平圆的半径为，， 水平圆与底面的距离为，设， 则有，， 当且仅当，时等号成立． 故答案为： 法二：的运动轨迹同上， 当旋转到与平行同向时取得最大值，此时 故答案为： 【点睛】方法点睛：求空间向量数量积的最值，可以建立空间直角坐标系，把数量积写成函数，通过求函数的值域解决问. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，． （1）若，求的值； （2）当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用两直线平行的充要条件计算参数即可； （2）先联立直线方程计算交点，再分类讨论截距是否为0，结合截距式计算即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线，重合，不满足要求， 当时，，，直线，平行，满足要求， 所以； 【小问2详解】 由，解得，即与的交点为， 当直线过原点时，此时直线斜率为，所以直线的方程为， 当直线不过原点时，设的方程为，将代入得， 所以直线的方程为， 故满足条件的直线的方程为或. 16. 已知椭圆的离心率为，且过点，左、右焦点分别为，，过向椭圆在A处的切线作垂线，垂足为． （1）求椭圆的标准方程； （2）求点与原点的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用题给条件求得的值，进而求得椭圆的标准方程； （2）先求得切线的方程，再求得点的坐标，进而求得点与原点的距离． 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，可得，则， 则椭圆方程可化为， 又椭圆过点，则， 解得，则，故椭圆方程为 【小问2详解】 设直线． 由， 可得． 由题意可知，即， 整理得，解得． 则直线． 结合，，故垂线的方程为， 联立，，，解之得， 故点，则点D与原点的距离为. 17. 如图，在矩形中，，取中点，将和分别沿直线，折叠，使，两点重合于点得到三棱锥． （1）当时，求证：； （2）若二面角的平面角为，是否存在上一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）由题可知，，，， 又因为，所以． 所以．即， 且，平面，可得平面， 由平面，所以． （2）存在，位于中点，理由如下： 因为，，，平面， 所以平面，二面角的平面角为， 如图所示，以为原点，垂直于所在的直线为轴，、方向为和轴． 则，，，， 可得，， 设， 则 平面的一个法向量为， 设直线与平面的夹角， 可得，解得， 故位于中点时，满足条件. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，可证平面，即可得； （2）可证平面，建系标点，设，利用空间向量结合线面夹角运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆的方程：，直线（不与轴重合）经过椭圆的右焦点并且交椭圆于两点，点与左、右顶点，相连形成的两条直线，的斜率之积为，当直线垂直轴时. （1）求椭圆的标准方程； （2）求直线与的斜率之积的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意，建立关于的方程组，解之即可得到椭圆方程； （2）法1：设直线的点斜式方程，与椭圆方程联立，写出韦达定理，化简计算即得定值；法2：设直线的横截距式方程，与椭圆方程联立，写出韦达定理，化简计算即得定值. 【小问1详解】 根据题意，当直线垂直轴时，将代入， 可得，解得，故，① 设点的坐标为，则， 又因点在椭圆上，则，故，② 联立①，②，解得，， 故椭圆方程为. 【小问2详解】 法1：当垂直于轴时，点， 则； 当与轴不垂直时，设直线的方程为：，， 联立与，得， 即， 因此，， ， 综上，直线与直线斜率之积为. 法2：设直线的方程为， 由，整理得， ，， . 19. 在平面直角坐标系中，有点、．若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点在空间中的距离为“点关于轴的折叠空间距离”，记为． （1）若点、、在平面直角坐标系中的坐标分别为、、，求证：，； （2）若点、在平面直角坐标系中的坐标分别为、，试用文字描述满足的点在平面直角坐标系中的轨迹是什么，并求该轨迹与轴围成的图形的面积； （3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上一点，过点的两条直线、分别交椭圆于、两点，且其斜率满足，求的最大值． 【答案】（1） 建立如图1所示的空间直角坐标系， 其中为坐标原点、轴、轴正方向与原平面中一致， 轴正方向与折叠后的轴正方向一致． 由题，空间中三点坐标分别为、、． 因此 （2）点所在轨迹是半圆：与四分之三圆：的组合曲线； （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点、、的坐标，即可求出、的值，即可证得结论成立； （2）对点的位置关系进行分类讨论，根据求出点的轨迹方程，确定轨迹形状，即可求得其轨迹所围成区域的面积； （3）在平面直角坐标系中，设、两点坐标分别为、，设直线的方程为，可知直线的方程为，然后、两点的位置进行分类讨论，求出的取值范围，结合弦长公式以及基本不等式可求得的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，空间中点的坐标为， （i）当点在轴上半平面，即时，空间中点的坐标为， 于是．化简得． 因此在平面直角坐标系中，点在轴上半平面的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆； （ii）当点在轴下半平面．即时，空间中点的坐标为， 于是，化简得． 因此在平面直角坐标系中，点在轴下半平面的轨迹为以为圆心，以为半径的圆. 所以，点所在轨迹是半圆：与四分之三圆：的组合曲线,（如图2）. 其与轴围成的面积为． 【小问3详解】 在平面直角坐标系中，设、两点坐标分别为、． 设直线的方程为，即， 因为，所以直线的方程为． 由于与、两点在平面直角坐标系中的相对位置有关， 而点的位置与两直线的斜率有关． 因此首先需要对、两点可能的位置进行讨论，并求出相应的的范围． 由于两直线具有对称性，此点位置与点位置等价，所以不妨设． 因为时，、两点重合，与题目中交于两点不符，舍去． 当直线与椭圆相切时，计算此时的斜率，联立， 整理得：①， 令，解得． 因此若使、两点存在，需成立． ，，于是，同理， 当、两点存在且不重合时，有三种可能的位置关系： （i）、同在轴上半平面； （ii）、同在轴下半平面； （iii）在轴上半平面，而在轴下半平面． 记椭圆左、右顶点分别为、， 则直线的斜率，的斜率， （i）由图3，当直线、均高于直线（包括重合）时，、同在轴上半平面， 此时由于两直线的对称性，只需直线的斜率大于等于直线的斜率即可，所以， 再由前述限制，此时斜率满足． 如图4所示，当点、位于轴的上半平面，即时． 、两点空间坐标分别为、， 因此②， 又， 代入②式可得：,， 因此，． 【点睛】关键点点睛：对空间折叠距离的理解，求得折叠后的点的坐标是关键，平面解析几何的方程思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $