重难点03三角函数11大题型汇总-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

重难点03三角函数11大题型汇总 题型1 化简求值 三角函数化简求值的技巧主要包括以下几个方面: 1.公式记忆:首先，需要熟练掌握基本的三角函数公式，如两角和差的正弦、余弦公式，倍角公式、半角公式等。特别重要的是记住恒等式=1，这个恒等式在化简过程中非常有用 . 2.特殊角的三角函数值:熟悉特殊角的三角函数值。 3.公式应用:在化简过程中，合理应用公式。 4.角的关系:利用角与角之间的隐合关系，如互余、互补等，进行化简 。 1.（24-25高三上·天津武清·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·天津河西·期中）已知角的终边上有一点，则 . 3.（24-25高三上·天津河西·期中）化简： . 4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知，且均为锐角，则的值等于 题型2 三角函数单调性的应用 利用正弦型函数的单调性求解对应区间的最值问题 1．（24-25高三上·天津武清·期中）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·天津·期中）已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·天津·期中）若函数在区间上单调，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4.（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，（i）若，将函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像关于y轴对称，则 ；（ii）若在上单调，则ω的最大值为 ． 题型3 三角函数零点问题 有关三角函数综合问题的求解策略: 1.根据题意问题转化为三角函数的解析式和图像，然后再根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质. 2.熟练应用三角函数的图像与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质(如:单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解. 1.（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2．（2023·天津·模拟预测）关于函数有下述四个结论： ①是偶函数；                        ②在区间上单调递增； ③在上有4个零点；            ④的值域是. 其中所有正确结论的编号是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 3．（2024·天津红桥·一模）将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移单位，得到函数的部分图象（如图所示）．对于，，且，若，都有成立，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C．在上单调递增 D．函数在的零点为，则 4．（2024·天津·二模）已知函数，关于有下面四个说法： 的图象可由函数的图象向右平行移动个单位长度得到； 在区间上单调递增； 当时，的取值范围为； 在区间上有个零点． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型4三角函数值域与最值 求解三角函数值域与最值的技巧主要包括以下几种方法 1.一角一次一函数形式:将原函数关系式化为或或的形式，然后利用三角函数的基本图像求出最值。 2.一角二次一函数形式:如果函数不能化成一个角的三角函数，可以通过换元简化计算。 3.利用有界性:利用-1<cosx<1和-1<sin x<1的性质进行计算。 4.利用一元二次方程:将原函数改写为用y表示某个三角函数的形式，然后利用一元二次方程的有根条件进行计算 。 1.（23-24高三上·天津北辰·期中）函数的图象中两个相邻的最高点和最低点的坐标分别为，则函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·天津河北·期中）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在区间上的值域 . 3．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）函数，函数的值域为，则 ． 4．（22-23高三上·天津河西·阶段练习）设，则在上的值域为 . 题型5 奇偶性与对称性的运用 已知对称轴带入对称轴，已知对称中心带入对称中心。 1．（24-25高三上·天津红桥·期中）已知函数（）的图象关于对称，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）设，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高三下·天津·开学考试）已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 4.（21-22高三上·天津和平·阶段练习）已知是奇函数，当时，，且，则实数的值为 . 题型6 三角函数的平移与伸缩变换 三角函数的平移与伸缩变换技巧: 1.平移变换:沿x轴平移:按照“左加右减”的规律。沿y轴平移:按照“上加下减”的规律。 2.伸缩变换:沿x轴伸缩,系数注意为。沿y轴伸缩，系数注意|A|。 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数．给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是 ． 2． （24-25高三上·天津武清·阶段练习）已知函数.下列结论正确的是 . ①的一个对称中心为；②是的最大值；③在上单调递增；④把函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度后，再向上平移个单位长度，可得到的图象. 3.（24-25高三上·天津·阶段练习）函数，其中，其最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象关于点对称 C．函数图象向右移（）个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D．若，则函数的最大值为 4.（24-25高三上·天津北辰·期中）函数，则下列结论正确的有（    ） ①函数的最大值为； ②函数的一个对称中心为； ③函数在上单调递减； ④，将图象向右平移单位，再向下平移个单位可得到的图象. A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 题型7 三角函数已知图像问题 解决三角函数已知图像问题的技巧： 1.观察图像法:通过观察三角函数的图像，可以直接找出解集。 2.特殊点法:在解决周期性问题时，可以通过找到特殊点来简化问题。 3.代数法:对于一些复杂的三角函数问题，可以通过代数变换来简化问题。 1．（24-25高三上·天津和平·开学考试）已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，下列不正确的个数有（    ） ①函数的图象关于点中心对称 ②函数的单调增区间为 ③函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 ④函数在上有2个零点，则实数的取值范围为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4.（23-24高三上·天津·阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示，则下列四个结论： ①关于点对称；      ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为. 正确结论的序号为 . 题型8 三角函数性质综合 解题策略： 1.发现差异:观察角、函数运算间的差异，进行“差异分析” 2.寻找联系:运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 3.合理转化:选择恰当的公式，促使差异的转化2。 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知为偶函数，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若的最小正周期为，则 C．若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为 D．若，则的最小值为2 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数的图象与轴的两个相邻交点的横坐标分别为、，下面四个有关函数的叙述中，正确结论的个数为（    ） ①函数的图象关于原点对称； ②在区间上，函数的最大值为； ③直线是函数图象的一条对称轴； ④将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，若为这两个函数图象的交点，则面积的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，在区间上恰有5个零点，在下述四个结论中：①在区间有三个极大值点；②在区间有三个极小值点；③在区间一定单调递增；④的取值范围是．所有正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·天津河西·三模）已知函数（其中，），当时，的最小值为，，将的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，则（    ） A． B． C． D． 题型9 解答题之求值问题 解决三角函数求值问题的技巧主要包括以下几种方法: 1. 转化一次函数:利用正弦函数与余弦函数的有界性，将三角函数转化为一次函数来求解。 2.辅助角法:通过引入辅助角公式，将复杂的三角函数转化为简单的形式，再利用三角函数的性质求解。 3.转化二次函数(配方法):当函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数且次数为2时，可以通过配方或换元将函数转化为二次函数来求解。 4.引入参数转化(换元法):对于表达式中同时含有 sinx+cosx和 sinxcosx的函数，可以通过换元法将其转化为二次函数来求解。 1.（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若，，求的值． 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数， (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值 (3)若，，求的值 3．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数. (1)求的定义域与最小正周期； (2)讨论在区间上的单调性. (3)若，，求的值. 4．（23-24高三上·天津·期中）已知函数，图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求的单调递减区间； (2)若，且，求的值． 题型10 解答题之值域、最值问题 求解三角函数值域的技巧主要包括以下几种方法 1.观察法:对于比较简单的函数，可以通过观察直接得到值域或最值。 2.配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值。 3.判别式法: 若函数可以化成一个系数含有a的关于x的二次方程，则在a>0时，由于x为实数，故必须有 △> 0，从而确定函数的值域或最值。 4.不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值。 5.换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题。 1．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象. （i）求的解析式及值； （ii）求在上的值域. 2．（24-25高三上·天津武清·期中）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最小值. 3．（24-25高三上·天津红桥·期中）已知函数，. (1)求的最小正周期； (2)求的单调区间； (3)求在区间上的最大值与最小值． 4．（24-25高三上·天津河西·阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最大值和最小值． 题型11 解答题之周长与面积问题 三角函数在求解三角形周长和面积问题中的技巧主要包括以下几个方面: 1.正弦定理和余弦定理的应用: 2.三角函数求值域:利用正弦和余弦函数的性质，可以求出三角形面积和周长的最大值或最小值。 3.基本不等式:利用基本不等式(如算术平均数-几何平均数不等式)来求解三角形面积和周长的最值问题。 4.角平分线定理:角平分线定理在求解与角度相关的三角形问题时非常有用。 1.（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，其图象经过点，且与轴两个相邻的交点的距离为． (1)求的解析式； (2)在中，，求的面积． 2．（20-21高三上·天津宝坻·阶段练习）已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积． 3．（2021·天津滨海新·三模）函数· （1）求函数的最小正周期并求当时，函数的最大值和最小值； （2）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且，求的面积. 4．（18-19高三·天津和平·阶段练习）已知函数 （1）求的最小正周期T； （2）的单调递减区间； （3）在ABC中，内角A､B､C､所对的边分别是a､b､c.若，且面积.求的值. 1．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数有下列结论： ①最小正周期为； ②点为图象的一个对称中心； ③若在区间上有两个实数根，则实数a的取值范围是； ④若的导函数为，则函数的最大值为. 则上述结论正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．①③④ 2．（24-25高三上·天津·期中）设函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间及对称轴； (3)在锐角中，内角，，的对边分别是，，，且，求的取值范围. 3．（24-25高三上·天津和平·开学考试）已知函数的最大值为2，且，．若，且． (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)求的零点． 4．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数的最小值为. (1)求的值； (2)求在上的单调递增区间； (3)若，，求的值. 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数 (1)求的对称中心坐标； (2)当时， ①求函数的单调递减区间； ②求函数的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点03三角函数11大题型汇总 题型1 化简求值 三角函数化简求值的技巧主要包括以下几个方面: 1.公式记忆:首先，需要熟练掌握基本的三角函数公式，如两角和差的正弦、余弦公式，倍角公式、半角公式等。特别重要的是记住恒等式=1，这个恒等式在化简过程中非常有用 . 2.特殊角的三角函数值:熟悉特殊角的三角函数值。 3.公式应用:在化简过程中，合理应用公式。 4.角的关系:利用角与角之间的隐合关系，如互余、互补等，进行化简 。 1.（24-25高三上·天津武清·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对齐次式分子分母同除得到关于的等式，解得的值，用正切的和差角公式即可得出结果. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴. 故选：D. 2．（24-25高三上·天津河西·期中）已知角的终边上有一点，则 . 【答案】 【分析】求出已知点到原点的距离，根据三角函数的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知角的终边上有一点， 则,故. 故答案为：. 3.（24-25高三上·天津河西·期中）化简： . 【答案】 【分析】利用诱导公式对原式化简即可得出结果. 【详解】易知 . 故答案为： 4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知，且均为锐角，则的值等于 【答案】 【分析】观察题设条件，可将两等式平方相加求得的余弦值，再由同角三角函数的关系求出其正弦值，由商数关系求出其正切值． 【详解】 ① ② ①②得： ， 由，且、均为锐角，得,故， ， 故答案为： 题型2 三角函数单调性的应用 利用正弦型函数的单调性求解对应区间的最值问题 1．（24-25高三上·天津武清·期中）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出单调区间，由题意列出不等式，求出范围；求出函数零点，根据题意得出不等式，求出范围，由交集得出最后范围. 【详解】令， 则 当时，，∴，即， 令，则， ∵时，， 且时，，时，，时，， ∴，∴， 综上，. 故选：D. 2．（24-25高三上·天津·期中）已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦型函数得图像特征，借助极小值点的个数以及单调区间来确定的取值范围即可. 【详解】对于函数，极小值点为. ，令，. 因为有且仅有个极小值点. 当时，；当时，；当时，. 所以，解不等式得.   因为的单调递增区间为. 对于，令，则. 因为在上单调递增，所以. 当时，，则且. 解不等式得.   综合以上两个条件，的取值范围是. 故选：D. 3．（23-24高三上·天津·期中）若函数在区间上单调，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】求出，然后由正弦函数性质得，从而可得最大值． 【详解】时，由于，则，显然， 因此由单调得， ，最大值为2， 故选：B． 4.（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，（i）若，将函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像关于y轴对称，则 ；（ii）若在上单调，则ω的最大值为 ． 【答案】 【分析】（i）根据辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数图像平移的性质，结合正弦型奇偶性进行求解即可； （ii）根据正弦型函数单调性与周期性的关系，结合正弦型函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】. （i）若，则， 函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像的解析式为： ， 由题意可知：函数的图像关于y轴对称， 所以函数是偶函数， 于是有， 因为，所以令，得； （ii）因为函数在上单调， 所以函数的最小正周期， 解得， 当函数在上单调递增时， 因为，所以， 则有， 即， 而，所以令，则有； 当函数在上单调递减时， 因为，所以， 则有， 即， 而，所以令，则有； 综上所述：ω的最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意分类讨论. 题型3 三角函数零点问题 有关三角函数综合问题的求解策略: 1.根据题意问题转化为三角函数的解析式和图像，然后再根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质. 2.熟练应用三角函数的图像与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质(如:单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解. 1.（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将化简为，根据方程可知或，根据整体的范围可知需满足，解不等式得到的取值范围. 【详解】， 令，则，， 或， ，， 在上有且只有四个实数根，， 解得：. 故选：B. 2．（2023·天津·模拟预测）关于函数有下述四个结论： ①是偶函数；                        ②在区间上单调递增； ③在上有4个零点；            ④的值域是. 其中所有正确结论的编号是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性、单调性、零点、值域等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】函数的定义域为， ， 所以是偶函数，①正确. 当时，， 令，， 函数在区间上单调递增， ，开口向上，对称轴为，故在上递增， 根据复合函数单调性同增异减可知在区间上单调递增，②正确. ，在区间上，， ，所以在区间上，至少有个零点， 根据对称性可知，在区间上至少有个零点，所以③错误. 由上述分析可知，所以④错误. 综上所述，正确的为①②. 故选：A 3．（2024·天津红桥·一模）将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移单位，得到函数的部分图象（如图所示）．对于，，且，若，都有成立，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C．在上单调递增 D．函数在的零点为，则 【答案】C 【分析】由题意可得函数的图象在区间上的对称轴为，再结合可求出，即可判断A；再根据平移变换和周期变换得原则即可判断B，再根据正弦函数的图象和性质分别判断CD 即可. 【详解】对于A，由题意可知函数的图象在区间上的对称轴为， 则与关于对称， 又，结合图象可得， 所以，又，所以， 所以，故A正确； 对于B，右移个单位得到函数的图象， 再将其横坐标缩短为原来的得到的图象，故B正确； 对于C，由，得， 所以在上不单调，故C错误； 对于D，令，则， 函数在上有个零点， 则，，，，， 故， 所以，故D正确； 故选：C． 【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路： （1）将函数解析式变形为或的形式； （2）将看成一个整体； （3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题. 4．（2024·天津·二模）已知函数，关于有下面四个说法： 的图象可由函数的图象向右平行移动个单位长度得到； 在区间上单调递增； 当时，的取值范围为； 在区间上有个零点． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先把用三角恒等变换公式化简，再逐一比对各个命题，判断真假即可. 【详解】因为， 即. 对于，函数的图象向右平行移动个单位长度， 得到，所以正确； 对于， ，则， 先减后增，所以错误； 对于，当，则， 当且仅当时，即时，， 当且仅当时，即，， 所以的取值范围为，所以正确； 对于，由，则， 则当时，， 所以在上有个零点，所以错误. 故选：B. 题型4三角函数值域与最值 求解三角函数值域与最值的技巧主要包括以下几种方法 1.一角一次一函数形式:将原函数关系式化为或或的形式，然后利用三角函数的基本图像求出最值。 2.一角二次一函数形式:如果函数不能化成一个角的三角函数，可以通过换元简化计算。 3.利用有界性:利用-1<cosx<1和-1<sin x<1的性质进行计算。 4.利用一元二次方程:将原函数改写为用y表示某个三角函数的形式，然后利用一元二次方程的有根条件进行计算 。 1.（23-24高三上·天津北辰·期中）函数的图象中两个相邻的最高点和最低点的坐标分别为，则函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件求出函数表达式，再根据定义域求值域. 【详解】由最高点和最低点的纵坐标有，所以， 周期，所以， 于是， 由和得， 所以时，， 于是，. 故选：B. 2．（24-25高三上·天津河北·期中）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在区间上的值域 . 【答案】 【分析】先根据平移变换的原则求出函数的解析式，再根据余弦函数的性质即可得解. 【详解】由题意， 因为，所以，所以， 所以函数在区间上的值域为. 故答案为：. 3．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）函数，函数的值域为，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出值域即得结果. 【详解】当时，，正弦函数在上递增，在上递减， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，即函数的值域为， 所以. 故答案为： 4．（22-23高三上·天津河西·阶段练习）设，则在上的值域为 . 【答案】 【分析】先利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数的性质可解出函数的值域 【详解】 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以在上的值域为， 故答案为： 题型5 奇偶性与对称性的运用 已知对称轴带入对称轴，已知对称中心带入对称中心。 1．（24-25高三上·天津红桥·期中）已知函数（）的图象关于对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的对称性有，，结合已知确定的值. 【详解】由题设，，则，， 又，故. 故选：A 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）设，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性求出的值，再根据充要条件的定义判断即可． 【详解】若是奇函数，则故，解得， 故“”是“函数为奇函数”的充要条件 故选：C． 3．（23-24高三下·天津·开学考试）已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由函数的单调性转化函数周期的范围，即可求的范围，再结合函数的对称性列式，确定，再分别代入函数的解析数，由对称性求，并验证函数的单调性后，即可求解. 【详解】因为函数在内单调递减， 所以，得， 因为是函数的一条对称轴， 所以，① 因为函数是奇函数， 所以，②， 由①②可得，， 而，所以 当时，，得，， 因为，所以， 即， 当时，，显然此时函数单调递减，符合题意， 所以 当时，，得，， 因为，所以， 即， 当时，，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意， 所以. 故选：B 4.（21-22高三上·天津和平·阶段练习）已知是奇函数，当时，，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到，结合函数的解析式，代入即可求解. 【详解】因为是奇函数，且，可得 又因为当时，， 可得， 解得，即实数的值为. 故答案为：. 题型6 三角函数的平移与伸缩变换 三角函数的平移与伸缩变换技巧: 1.平移变换:沿x轴平移:按照“左加右减”的规律。沿y轴平移:按照“上加下减”的规律。 2.伸缩变换:沿x轴伸缩,系数注意为。沿y轴伸缩，系数注意|A|。 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数．给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①② 【分析】根据三角函数的图象及性质逐一判断即可求解. 【详解】对于①， 的最小正周期为，故①正确； 对于②，因为，所以，由正弦函数的图像可知，在上单调递增，故②正确； 对于③，函数的图象上所有点向左平移个单位长度，则，而，故③错， 故答案为：①②. 2． （24-25高三上·天津武清·阶段练习）已知函数.下列结论正确的是 . ①的一个对称中心为；②是的最大值；③在上单调递增；④把函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度后，再向上平移个单位长度，可得到的图象. 【答案】②③④ 【分析】先利用三角函数恒等变换有关公式，把函数化成的形式，再结合三角函数的性质判断各项内容的准确性. 【详解】因为 . 对①：由函数性质，函数的对称中心的纵坐标为，故①错误； 对②：因为，是函数的最大值，故②正确； 对③：由，，得：，. 所以函数在，上为增函数. 令，得函数在上为增函数.故③正确； 对④：将函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度，可得函数的图象，再把函数向上平移个单位长度，可得到的图象，即为函数的图象，故④正确. 故答案为：②③④ 3.（24-25高三上·天津·阶段练习）函数，其中，其最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象关于点对称 C．函数图象向右移（）个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D．若，则函数的最大值为 【答案】C 【分析】利用二倍角公式化简可得，由最小正周期可求得，可判断A错误，将点代入验证可得B错误，由平移规则并利用其对称性可得C正确，由三角函数值域可得的最大值为，即D错误. 【详解】易知 ； 对于A，由最小正周期为可得，即可得，即A错误； 对于B，由A可得，将代入检验可得，可得B错误； 对于C，若将函数图象向右移（）个单位可得到， 若的图象关于轴对称，则可得，即， 又因为，则当时，的最小值为，故C正确； 对于D，若，，即， 所以函数的最大值为，即D错误. 故选：C 4.（24-25高三上·天津北辰·期中）函数，则下列结论正确的有（    ） ①函数的最大值为； ②函数的一个对称中心为； ③函数在上单调递减； ④，将图象向右平移单位，再向下平移个单位可得到的图象. A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】先化简函数为，再利用正弦函数的性质逐项判断. 【详解】 ， ①函数的最大值为，故正确； ②易知函数的对称中心的纵坐标为，故错误； ③由，得， 因为在上单调递增，故函数在上单调递增，故错误； ④由，将图象向右平移单位得到 的图象， 再向下平移个单位可得到的图象，故正确； 故选：B 题型7 三角函数已知图像问题 解决三角函数已知图像问题的技巧： 1.观察图像法:通过观察三角函数的图像，可以直接找出解集。 2.特殊点法:在解决周期性问题时，可以通过找到特殊点来简化问题。 3.代数法:对于一些复杂的三角函数问题，可以通过代数变换来简化问题。 1．（24-25高三上·天津和平·开学考试）已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的平移、伸缩变换可以得出函数关系． 【详解】由图1可知，，所以，所以， 图2可看成由图1向右平移1个单位长度，得， 再将所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变，得. 故选：D． 2．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象确定A的值，根据周期求出，利用特殊值求出，即得答案. 【详解】由函数图象可知，，即， 由，得， 故，由于，故， 则， 故选：B 3．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，下列不正确的个数有（    ） ①函数的图象关于点中心对称 ②函数的单调增区间为 ③函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 ④函数在上有2个零点，则实数的取值范围为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据图象求出，然后结合正弦函数性质判断各命题． 【详解】， 由图象知函数的最小正周期为，因此，即， ，因此函数的图象关于点中心对称，①正确； 由得，，②正确； ，因此把的图象向左平移个单位长度得的图象，③正确； 由题意，时， 当时，，在上有2个零点，则，解得， 当时，，在上有2个零点，则，解得， 因此的范围是或，④错． 故选：B． 4.（23-24高三上·天津·阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示，则下列四个结论： ①关于点对称；      ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为. 正确结论的序号为 . 【答案】②③ 【分析】先由图象求出，接着将点代入函数结合正弦函数性质和求得，再由和求出，进而求得函数解析式，对于①，计算即可判断；对于②，计算即可判断；对于③，先求出的单调递减区间即可判断；对于④，由得即可得，从而即可求出在区间上的值域. 【详解】由图得，，故有， 将点代入函数得，即， 所以或，又， 所以，故， 又，所以， 所以， 又由图像可知，又， 所以，所以，所以， 对于①，因为，所以不关于点对称，故①错； 对于②，因为，故②正确； 对于③，令，解得， 所以函数在区间上单调递减， 故当时，函数在区间上单调递减， 因为，所以函数在区间上单调递减，故③正确； 对于④，时，，所以， 所以，所以在区间上的值域为，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由图象求出函数的解析式，而求是本题难点，故求函数的解析式的关键在于求出，通过图像特征得出和即可求解. 题型8 三角函数性质综合 解题策略： 1.发现差异:观察角、函数运算间的差异，进行“差异分析” 2.寻找联系:运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 3.合理转化:选择恰当的公式，促使差异的转化2。 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知为偶函数，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若的最小正周期为，则 C．若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为 D．若，则的最小值为2 【答案】D 【分析】先根据是偶函数求判断A选项；根据最小正周期公式计算可以判断B选项；据有且仅有3个最值点求范围判断C选项；据函数值求参数范围结合给定范围求最值可以判断D选项. 【详解】为偶函数， 则A选项正确； 若的最小正周期为，由则，B选项正确； 若在区间上有且仅有3个最值点， 则,C选项正确； 若 ， 则或，， 则 或， 又因为，则的最小值为，D选项错误. 故选:D. 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数的图象与轴的两个相邻交点的横坐标分别为、，下面四个有关函数的叙述中，正确结论的个数为（    ） ①函数的图象关于原点对称； ②在区间上，函数的最大值为； ③直线是函数图象的一条对称轴； ④将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，若为这两个函数图象的交点，则面积的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意利用五点法求得.利用已知条件求得利用正弦型函数的奇偶性可判断①的正误；利用正弦型函数的最值可判断②的正误；利用正弦型函数的对称性可判断③的正误；求出函数、图象相邻两交点横坐标之差的绝对值，以及交点的纵坐标，可求得面积的最小值，可判断④的正误. 【详解】设的最小正周期为，则，即， 且，可得，解得，即， 因为，即， 可得，即，且，可得， 所以. 对于①：， 可知函数的图象关于原点对称，故①正确； 对于②：因为，则， 可知当，即时，函数取到最大值，故②正确； 对于③：因为，不为最值， 所以直线不是函数图象的对称轴，故③错误； 对于④：将函数的图象向左平移个单位， 得到， 令，即，可得， 则，即， 可知相邻两个交点的横坐标之差为， 且， 所以面积的最小值为，故④正确； 综上所述：正确结论的个数为3. 故选：C. 3．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，在区间上恰有5个零点，在下述四个结论中：①在区间有三个极大值点；②在区间有三个极小值点；③在区间一定单调递增；④的取值范围是．所有正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用正弦函数的性质先计算的范围，结合题意一一判定结论即可. 【详解】由题意知时有，则， 解之得，即④正确； 作出部分图象如下，显然在区间上函数有3个极大值点，但不一定有3个极小值点，即①正确，②错误； 时， 因为，所以， 显然，此时单调递增，即③正确. 故选：C 【点睛】思路点睛：利用整体思想结合正弦函数图象先确定的范围是关键. 4．（2024·天津河西·三模）已知函数（其中，），当时，的最小值为，，将的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得的最小正周期为，即可求得，再由条件可得直线是函数的一条对称轴，从而可得，再结合三角函数的平移代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 因为时，的最小值为， 所以的最小正周期为，且，所以，解得， 即， 又，可得直线是函数的一条对称轴， 所以，解得， 又，当时，，即， 将的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为， 则. 故选：B 题型9 解答题之求值问题 解决三角函数求值问题的技巧主要包括以下几种方法: 1. 转化一次函数:利用正弦函数与余弦函数的有界性，将三角函数转化为一次函数来求解。 2.辅助角法:通过引入辅助角公式，将复杂的三角函数转化为简单的形式，再利用三角函数的性质求解。 3.转化二次函数(配方法):当函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数且次数为2时，可以通过配方或换元将函数转化为二次函数来求解。 4.引入参数转化(换元法):对于表达式中同时含有 sinx+cosx和 sinxcosx的函数，可以通过换元法将其转化为二次函数来求解。 1.（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若，，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，进而求出周期. （2）由（1）的结论求出，再利用同角公式、差角的余弦公式计算即得. 【详解】（1）依题意，函数， 所以函数的最小正周期. （2）由（1）知，，由，得， 由，得，， 所以 . 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数， (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值 (3)若，，求的值 【答案】(1)的最小正周期为；单调递减区间为 (2)的最大值为，最小值为； (3) 【分析】（1）化简可得，进而可求最小正周期与单调递减区间； （2）由已知可得，进而可得最大值和最小值； （3）由已知可得，利用同角的基本关系可得，再利用两角和的正弦公式可求值. 【详解】（1） ， 所以的最小正周期为， 由，解得， 所以的单调递减区间为； （2）因为，所以，所以， 所以， 所以的最大值为，最小值为； （3）由，所以，所以， 因为，所以， 所以 . 3．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数. (1)求的定义域与最小正周期； (2)讨论在区间上的单调性. (3)若，，求的值. 【答案】(1)； (2)在上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】（1）结合诱导公式，利用辅助角公式化简，即可求出定义域和周期； （2）利用正弦函数的单调性，直接求解复合函数单调性即可； （3）利用两角和的正弦公式直接求解即可. 【详解】（1） ， 则定义域为，周期为. （2）令， 解得， 因为，所以， 所以当时，在上单调递增， 在上单调递减. （3）令， 可得， 因为， 所以， 所以， 所以 . 4．（23-24高三上·天津·期中）已知函数，图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求的单调递减区间； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）根据题意，求得，得到，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】（1）解：由 ， 因为图象的两条相邻对称轴之间的距离为，可得，即， 所以，可得， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）解：由，可得， 因为，可得，所以， 所以. 题型10 解答题之值域、最值问题 求解三角函数值域的技巧主要包括以下几种方法 1.观察法:对于比较简单的函数，可以通过观察直接得到值域或最值。 2.配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值。 3.判别式法: 若函数可以化成一个系数含有a的关于x的二次方程，则在a>0时，由于x为实数，故必须有 △> 0，从而确定函数的值域或最值。 4.不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值。 5.换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题。 1．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象. （i）求的解析式及值； （ii）求在上的值域. 【答案】(1) (2)（i）；1；（ii）. 【分析】（1）由图可知，，求出周期，再利用周期公式可求出，再将代入可求出，从而可求出的解析式； （2）（i）根据三角函数图象变换规律求出，进而可求；（ii）由求出的范围，再利用余弦函数的性质可求出其值域. 【详解】（1）由图可知，，，所以，. 将点代入得，. 又，所以， 所以. （2）（i）将的图象向左平移个单位长度， 得， 再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得， 所以， 所以； （ii）因为，所以，， 所以， 所以， 所以， 故在上的值域为. 2．（24-25高三上·天津武清·期中）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式化简，再由周期公式即可求解； （2）由（1）确定在的单调性，即可求解. 【详解】（1） ， 则的最小正周期. （2）由（1）知，. 当时，， 当，即时，函数单调递增， 则时，函数单调递减， 又，， 故在区间上的最小值为. 3．（24-25高三上·天津红桥·期中）已知函数，. (1)求的最小正周期； (2)求的单调区间； (3)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)最小正周期为； (2)单调增区间为（），单调减区间为（）， (3)最大值为，最小值为． 【分析】（1）应用差角正弦公式、倍角正余弦公式化简函数式，即可确定最小正周期； （2）整体法求的单调区间； （3）由题设，结合正弦函数的单调性求区间最值. 【详解】（1）已知， . 所以的最小正周期为； （2）令，，则，， 所以的单调增区间为（）， 令，，则，， 所以的单调减区间为（）. （3）因为，则， 且在区间上单调递减，上单调递增， 而， 所以的最大值为，最小值为． 4．（24-25高三上·天津河西·阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式等，可将函数化为，从而可得最小正周期； （2）根据正弦函数的性质，即可求出函数的值域，从而可得最值. 【详解】（1）因为 ， 所以的最小正周期为； （2）由（1），， 因为，所以，则， 因此 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 题型11 解答题之周长与面积问题 三角函数在求解三角形周长和面积问题中的技巧主要包括以下几个方面: 1.正弦定理和余弦定理的应用: 2.三角函数求值域:利用正弦和余弦函数的性质，可以求出三角形面积和周长的最大值或最小值。 3.基本不等式:利用基本不等式(如算术平均数-几何平均数不等式)来求解三角形面积和周长的最值问题。 4.角平分线定理:角平分线定理在求解与角度相关的三角形问题时非常有用。 1.（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，其图象经过点，且与轴两个相邻的交点的距离为． (1)求的解析式； (2)在中，，求的面积． 【答案】(1) (2)84 【分析】（1）由题意可得，即，由图象经过点，结合，可求出，进而得到函数解析式； （2）由（1）可得，进而求出，利用和角公式求出，正弦定理求出，即可求出的面积． 【详解】（1）因为函数图象与轴两个相邻的交点的距离为， 所以，故， 所以， 又因为函数图象经过点， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以的解析式为：. （2）因为， 所以， 所以，， 所以， 所以， 由正弦定理得， 所以. 2．（20-21高三上·天津宝坻·阶段练习）已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积． 【答案】（1）最小正周期，，；（2）． 【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦型函数的最小正周期公式、单调性进行求解即可； （2）根据特殊角的三角函数值，结合三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1） ， 所以的最小正周期． 令，， 解得，， 所以的单调递增区间为，． （2）因为，所以， 即， 又，所以， 所以或，或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 所以，，，， 此时为等腰三角形，所以， 所以， 即的面积为． 3．（2021·天津滨海新·三模）函数· （1）求函数的最小正周期并求当时，函数的最大值和最小值； （2）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且，求的面积. 【答案】（1），最大值为3，最小值为；（2）. 【分析】（1）根据同角三角函数关系式、正弦的二倍角公式、余弦诱导公式，结合辅助角公式、正弦型函数的最小正周期公式、单调性进行求解即可； （2）根据特殊角的三角函数值，结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1） ， ∴函数的最小正周期； 因为所以， 因为函数在单调递增，在上单调递减 所以， ， 所以函数的最大值为3，最小值为； （2）， ∵，∴.，即， 由正弦定理以及，可得， 由余弦定理可得， 可得， ∴，∴. 4．（18-19高三·天津和平·阶段练习）已知函数 （1）求的最小正周期T； （2）的单调递减区间； （3）在ABC中，内角A､B､C､所对的边分别是a､b､c.若，且面积.求的值. 【答案】（1）（2），（3） 【分析】(1)根据诱导公式和倍角公式化简得再判断即可. (2)求解即可. (3)由可得,再利用余弦定理与面积公式代入可得,再根据正弦定理求得的值即可. 【详解】（1）由诱导公式和倍角公式化简 （2）由可得单调递减区间： 化简得. 故单调递减区间为：, （3）因为得因为,所以,得,由余弦定理得,面积公式得,且面积,得,,因为即,由正弦定理得. 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换以及正余弦定理和面积公式的运用.属于中等题型. 1．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数有下列结论： ①最小正周期为； ②点为图象的一个对称中心； ③若在区间上有两个实数根，则实数a的取值范围是； ④若的导函数为，则函数的最大值为. 则上述结论正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的性质判断①，②，③，然后求导，利用辅助角公式判断④即可. 【详解】由题可知最小正周期为,故①正确； 根据正弦型函数的性质可知，的对称中心横坐标满足， 显然，故②不正确； 因为，所以， 由复合函数的单调性可知，当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，有最大值为1 ， 所以要使在区间上有两个实数根 则，故③错误; 由题得， 所以 其中，所以的最大值为，故④正确. 故选：C 2．（24-25高三上·天津·期中）设函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间及对称轴； (3)在锐角中，内角，，的对边分别是，，，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增区间是，对称轴为，. (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得，可求最小正周期； （2），可求得单调递增区间，令，，可求得对称轴方程； （3）由已知可得，可得，可求值域. 【详解】（1） 所以函数的最小正周期为； （2）令， 得，， 所以函数的单调递增区间是. 令，， 得，， 所以函数的对称轴为，. （3）锐角中，， ，解得， 所以， 所以， 所以的取值范围是. 3．（24-25高三上·天津和平·开学考试）已知函数的最大值为2，且，．若，且． (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)求的零点． 【答案】(1)； (2)，； (3)，． 【分析】（1）根据已知条件列方程求解即可； （2）利用整体代入法，结合正弦函数单调性求解可得； （3）直接解方程求解即可. 【详解】（1）由已知， 由得，或，， 又，所以， 又由得，，即，， 当时，，， 此时，得，则； 所以； （2）令，， 解得，， 即的单调递增区间是，； （3）令，则，，解得，． 4．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数的最小值为. (1)求的值； (2)求在上的单调递增区间； (3)若，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，化简得到，由的最小值为，列出方程，即可求解； （2）由，可得，结合正弦函数的性质，列出不等式，即可求解； （3）由，求得，进而得到，结合正弦的倍角公式，得到，即可求解. 【详解】（1）解：由函数 ， 因为函数的最小值为，可得，解得. （2）解：由（1）知：， 因为，可得， 令和，解得和， 所以函数在上的单调递增区间为. （3）解：由（1）知，， 因为，可得，所以， 又因为，可得， 因为，可得，所以， 则 . 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数 (1)求的对称中心坐标； (2)当时， ①求函数的单调递减区间； ②求函数的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x的值． 【答案】(1) (2)① ②当时，取得最大值为，当时，取得最小值为. 【分析】（1）根据二倍角公式与辅助角公式化简可得，即可求解； （2）①由正弦函数单调性求得的取值范围解不等式即可求得结果；②根据①中的单调区间求解即可得出答案. 【详解】（1）易知 ； 由可得， 所以的对称中心坐标为 （2）①时，可得， 而正弦函数在上单调递减， 由可得； 所以函数的单调递减区间为； ②由①知函数在上单调递增，在单调递减， 因此，而， 所以， 即当时，取得最大值为，当时，取得最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！41 学科网（北京）股份有限公司 $$