重难点02导数8大题型汇总-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

重难点02导数8大题型汇总 题型1 导数切线问题 1.求曲线在某点处的切线方程的步骤 2.过点“P”处的切线： (1)过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点． (2)过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤 ①设切点为Q(x0，y0)； ②求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； ③利用Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)； ④根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 1.（24-25高三上·天津·期中）已知函数，则曲线在点处切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津和平·二模）过点作曲线的切线，则切点的坐标为 ． 3．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知在处的切线与圆相切，则 ． 4．（20-21高三上·天津北辰·期中）若曲线的一条切线为，其中为正实数，则的取值范围是 . 题型2 导数极值问题 用导数研究函数的极值的应对策略 在判断f′（x）的符号时，可借助决定导函数符号的图象直观解决；也可判断导函数中各因式的符号；还可用特值法判断，要灵活、快速、准确；实质上表格反映的就是函数的草图，下结论时应注意" 极值" 和" 极值点" 的区别. 1．（24-25高三上·天津武清·期中）已知函数有极值点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）若函数在处有极大值，则（    ） A．5 B．3 C．1 D．0 3．（2022·天津河西·二模）若函数在处取得极值，则 ． 4．（20-21高三上·天津滨海新·期中）已知函数，当时，函数有极值，则函数在上的最大值为 . 题型3 不等式恒成立 常见不等式恒成立转最值问题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； 1．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程： (2)当时，讨论的单调性； (3)若集合有且只有一个元素，求的值. 2．（24-25高三上·天津·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求的值； (2)若函数在上单调递增，求正实数的取值范围； (3)求证：当时，在上存在唯一极小值点，且 3．（24-25高三上·天津武清·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线的斜率为－3，求a的值； (2)求的单调区间； (3)若，对任意，，，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 4．（24-25高三上·天津河北·期中）已知函数在处取得极小值. (1)求的值； (2)求函数在点处的切线方程； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 题型4含有和型不等式的证明 1.明确不等式:首先明确题目中给出的和型不等式。 2.分析结构:分析和型不等式的结构，识别其中的关键项和关系. 3,应用不等式性质:根据不等式的性质(如加法、乘法单调性等)进行推导。 4.得出结论:最终得出所需证明的结论 具体步骤: 1.可能会涉及到拆分、合并、放缩等技巧。 2.注意保持不等号的方向正确。 3.验证每一步的推导是否严谨。 4.通过上述步骤，可以系统地证明含有和型的不等式。 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若时，，求的取值范围； (3)求证：. 2．（2024·天津南开·二模）已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：对，恒成立（为的导数）； (3)设，证明：（）. 3．（2024·天津河北·二模）已知，函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时. （ⅰ）求的单调区间和极值； （ⅱ）设的极大值为，求的最小值； (3)设，且，求证：. 4．（2024·天津·模拟预测）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的值； (3)求证：． 题型5 不等式的证明 导数不等式的证明方法主要包括以下几种: 1.利用函数的单调性:通过求导判断函数的单调性，进而证明不等式。 2.利用函数的最大最小值:如果需要证明的不等式可以转化为一个函数值域问题，通常可以通过求函数的最大值或最小值来证明。特别是当函数单调时，这种方法尤为简单。 1．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数.，其中. (1)求在处的切线方程，并判断零点个数. (2)讨论函数的单调性； (3)求证：； 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求整数的最小值； (3)证明：当时，有． 3．（2024·天津·模拟预测）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)求证：； (3)函数有且只有两个零点，求a的取值范围． 4．（2024·天津·二模）已知， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若函数存在极大值，且极大值为1，求证：． 题型6 极值点偏移 极值点偏移问题中（极值点为），证明或的方法： ①构造， ②确定的单调性， ③结合特殊值得到或，再利用，得到与的大小关系， ④利用的单调性即可得到或. 1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点； ①求证：； ②求证：． 2．（2022·天津河东·二模）已知函数（且）． (1)，求函数在处的切线方程． (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个零点 ，且，证明：． 3．（2022·天津·二模）设函数为的导函数. (1)求的单调区间； (2)讨论零点的个数； (3)若有两个极值点且，证明：. 4．（21-22高三下·天津滨海新·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若函数，求的单调区间； (3)当时，若函数恰有两个不同的极值点、，且，求证：. 题型7 零点问题 导数与零点问题的解题技巧主要包括以下几种方法: 1.利用零点存在性定理:这是解决导数与零点问题的一种基本方法。通过分析函数在某区间的行为，判断函数在该区间内是否存在零点。如果函数在区间的端点取值异号，则根据零点存在性定理，可以确定在该区间内至少存在一个零点。 2.函数与图像思想:将函数有零点的问题转化为相应的方程有实根的问题。通过绘制函数图像，观察图像的交点个数来确定零点的个数。这种方法直观且易于理解。 3.构造新函数法:当导函数的解析式具有分式特征时，可以通过构造新的函数来简化问题。将分子部分看作一个新的函数，通过对新函数的研究来得出结论。 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)若有三个零点，，，且，求证：. 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线为轴，求的值； (2)若， ①求的单调区间； ②求证：存在两个零点，且满足． 3．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； (3)如果，且，证明：. 4．（2024·天津河西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证； (3)若有两个零点，求的取值范围． 题型8 存在有解问题 存在成立问题的解题技巧主要包括以下几个方面: 1. 分类讨论法:对于存在性问题，可以通过分类讨论的方法来解决。 2.利用导数证明不等式:在解决恒成立与存在性问题时，可以利用导数来证明不等式。 3.利用函数的性质:对于一些特殊的函数，如抽象函数、周期函数等，可以利用它们的性质来解决存在性问题。 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知为实数，函数． (1)是否存在实数，使得在处取极值？证明你的结论； (2)若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围； (3)设，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 2．（2023·天津·二模）已知，函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，设的导函数为，若恒成立，求证：存在，使得； (3)设，若存在，使得，证明：． 3．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数，，. (1)设，试讨论函数的单调性； (2)若对于定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围 (3)设，对于任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 4．（2023·天津南开·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有极大值，试确定的取值范围； (3)若存在使得成立，求的值. 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，若对任意的，存在实数满足，使得，则k的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若函数有两个极值点，求证：. 3．（24-25高三上·天津·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数的最小值，并证明； (3)当时，若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围. 4．（24-25高三上·天津静海·阶段练习）（1）设，对任意实数x，记．若有三个零点，则实数a的取值范围． （2）已知函数，其中，若方程有三个不同的实数根，则实数k的取值范围． （3）已知函数，函数有四个零点，则实数的取值范围. （4）问题：用数形结合法解决函数零点问题是常用的方法，请总结此方法使用时需要注意什么问题？ 5．（24-25高三上·天津静海·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值，并求函数的单调区间； (2)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点02导数8大题型汇总 题型1 导数切线问题 1.求曲线在某点处的切线方程的步骤 2.过点“P”处的切线： (1)过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点． (2)过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤 ①设切点为Q(x0，y0)； ②求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； ③利用Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)； ④根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 1.（24-25高三上·天津·期中）已知函数，则曲线在点处切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义，求出曲线在处的导数值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以曲线在点处切线的斜率为. 故选：B. 2．（2024·天津和平·二模）过点作曲线的切线，则切点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立方程，将代入求解即可. 【详解】设切点的坐标为，由，， 所以过切点的切线方程为：， 把代入得：，即， 所以，则切点坐标为：即. 故答案为： 3．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知在处的切线与圆相切，则 ． 【答案】或 【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程，再由直线与圆相切，列出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得，则且， 所以函数在处的切线方程为，即， 又由圆，可得圆心，半径为， 因为与圆相切，可得，解得. 故答案为：. 4．（20-21高三上·天津北辰·期中）若曲线的一条切线为，其中为正实数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据已知求出，再利用基本不等式求解. 【详解】设切点为，由 所以，且过切点的直线为， 所以有：， 因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 故答案为：. 题型2 导数极值问题 用导数研究函数的极值的应对策略 在判断f′（x）的符号时，可借助决定导函数符号的图象直观解决；也可判断导函数中各因式的符号；还可用特值法判断，要灵活、快速、准确；实质上表格反映的就是函数的草图，下结论时应注意" 极值" 和" 极值点" 的区别. 1．（24-25高三上·天津武清·期中）已知函数有极值点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求函数的导数，转化为导函数有大于1的变号零点，即可求解. 【详解】，， 即有实数根，因为函数的对称轴为， 所以函数在区间有零点，只需满足，得. 故选：B 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）若函数在处有极大值，则（    ） A．5 B．3 C．1 D．0 【答案】C 【分析】求导，根据，可得，即可利用导数求解单调性验证极大值的定义，即可求解． 【详解】， ， 函数在处有极大值， ，即，解得， 当时，， 当和时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 是函数的极大值点，符合题意； 故选：C 3．（2022·天津河西·二模）若函数在处取得极值，则 ． 【答案】 【分析】根据题意得，解得，再检验满足题意，进而求解即可. 【详解】解：， 因为函数在处取得极值， 所以，，解得， 此时，， 故当时，，单调递减； 当和时，，单调递增； 所以，函数在处取得极小值，满足题意， 所以， 所以 故答案为： 4．（20-21高三上·天津滨海新·期中）已知函数，当时，函数有极值，则函数在上的最大值为 . 【答案】13 【解析】由题可得在的导数值等于0，可求得，再根据导数讨论函数的单调性，即可求出最值. 【详解】，当时，函数有极值， ，解得， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极大值， 且，， 在上的最大值为13. 故答案为：13. 【点睛】方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法： （1）先求出函数的导数； （2）根据导数的正负判断函数的单调性； （3）求出极值，端点值，即可判断出最值. 题型3 不等式恒成立 常见不等式恒成立转最值问题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； 1．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程： (2)当时，讨论的单调性； (3)若集合有且只有一个元素，求的值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3). 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果； （2）对函数求导得到，由函数定义域知，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果； （3）对函数求导得到，再分和两种情况讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果. 【详解】（1）由，可得， 中， 当时，，， ，， 所以曲线在点处的切线方程为 （2）由题意及（1）得， 在中， ， 当时，， 因为即，此时， 当时，，函数单调递增， 当时，， 函数单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （3）函数，求导得， 显然，当时，的定义域为， 不等式恒成立，即在上单调递增， 又与已知矛盾，即不合题意； 当时，的定义域为，此时， 则当时，，当时，， 即函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 因此. 设，则， 当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增. 所以集合有且只有一个元素时. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法： 一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 2．（24-25高三上·天津·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求的值； (2)若函数在上单调递增，求正实数的取值范围； (3)求证：当时，在上存在唯一极小值点，且 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出值. （2）求导后转化为导数的恒成立问题，再分离参数求解即可. （3）利用零点存在性定理求出导函数零点，进而确定原函数极值点，转化为三角函数求范围即可. 【详解】（1）函数，求导得，， 由切线方程为，得，所以. （2）由（1）知，由函数在上单调递增， 得在上恒成立，而当时，由，得恒成立， 则当时，，求导得， 由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，而，所以的取值范围是. （3）当时，，定义域为，求导得， 当时，，在上单调递增，无极值点， 当时，令，求导得，函数在上单调递增， 而，， 则存在，使得，即， 由，得，由，，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数极小值是，而， 即，则， 所以在上存在唯一极小值点，且. 【点睛】思路点睛：本题求导数极值范围，确定的极值点所在区间，借助隐零点法是求解的关键. 3．（24-25高三上·天津武清·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线的斜率为－3，求a的值； (2)求的单调区间； (3)若，对任意，，，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，，即可求解； （2）首先求函数的导数，分和两种情况讨论函数的单调区间； （3）根据（1）的结论，由函数的单调性去绝对值，并构造函数，利用导数，结合函数的单调性，利用参变分离，转化为求函数的最值. 【详解】（1）∵，∴， ∵曲线在处的切线的斜率为，所以， ∴； （2）定义域为，， 当时，，故在上单调递减； 当时，，，单调递增， ，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，递增区间为. （3）由（2）及可得，在上单调递增. 不妨设，且，， 则可化为， 设， 则，所以为上是增函数， 即在上恒成立， 等价于在上恒成立， 对于函数，，当时，， 故在上是增函数，所以， 所以，即k的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是去绝对值，再构造函数. 4．（24-25高三上·天津河北·期中）已知函数在处取得极小值. (1)求的值； (2)求函数在点处的切线方程； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出原函数的导函数，由，求解验证即可； （2）根据导数的几何意义求解切点坐标与切线斜率，即可得切线方程； （3）构造函数，求导得到函数的单调性，即可求解最值求解． 【详解】（1）由，可得， 由，解得，此时， 时，单调递减， 时，单调递增， 故是函数的极小值点，符合题意，所以. （2）由题可得：， 在点处的切线方程为即 （3）由恒成立， 则恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以当时，恒成立，所以在上单调递增， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 题型4含有和型不等式的证明 1.明确不等式:首先明确题目中给出的和型不等式。 2.分析结构:分析和型不等式的结构，识别其中的关键项和关系. 3,应用不等式性质:根据不等式的性质(如加法、乘法单调性等)进行推导。 4.得出结论:最终得出所需证明的结论 具体步骤: 1.可能会涉及到拆分、合并、放缩等技巧。 2.注意保持不等号的方向正确。 3.验证每一步的推导是否严谨。 4.通过上述步骤，可以系统地证明含有和型的不等式。 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若时，，求的取值范围； (3)求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为，求出函数的最大值得解； （3）先构造函数，利用导数证明，，令，可得，迭代累加可证得结果. 【详解】（1）当时，，， 则，则， 所以在点处的切线方程为. （2）由时，， 即，整理得，对恒成立， 令，则， 令，， 所以，即函数在上单调递减， 所以，即， 所以函数在上单调递减，则， . （3）设，， 则， 所以在上单调递减，则，即， ，， 令，， 可得， 所以， ， ， … ， 以上式子相加得， 整理得，， 两边取指数得，， 即得，得证. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数，利用导数证明，，令，得到. 2．（2024·天津南开·二模）已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：对，恒成立（为的导数）； (3)设，证明：（）. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由处的导数得到切线的斜率，由处的函数值得到切线上的点，由直线的点斜式方程得到切线方程； （2）构造新函数，求导之后对导数再求导，得到在上单调递增，从而，从而恒成立得证； （3）利用进行放缩，再结合（2）中的得到，乘公比错位相减法求和. 【详解】（1），可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）令，，则，， 令，则在上恒成立，故在单调递增， 其中，故在上恒成立，故在上单调递增， 故，即恒成立． （3）设，证明． 令，， 因为，所以在上单调递减， 所以，从而，． 由于， 所以． 由（2）知，（），所以． 设，①，则，② ①－②得 ， 所以． 【点睛】方法点睛：利用放缩法证明不等式 放缩法就是针对不等式的结构特征，运用不等式的性质，将不等式的一边或两边进行放大或缩小，也就是对代数式进行恰到好处的变形，使问题便于解决．放缩法大致分为以下几类． （1）将代数式中的分母和分子同时扩大和缩小． （2）利用均值不等式或其他的不等式放缩数式． （3）不等式两边同时加上或减去某一项． （4）把代数式中的一些项进行分解再重新组合，这样就可以消去一些项便于求解，这也是我们常用的裂项法． 3．（2024·天津河北·二模）已知，函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时. （ⅰ）求的单调区间和极值； （ⅱ）设的极大值为，求的最小值； (3)设，且，求证：. 【答案】(1). (2)（i）的单调递增区间是，单调递减区间是 ； 极大值，没有极小值； （ii）. (3)证明见解析. 【分析】（1）求导数得，可求得切线方程； （2）求导数得单调区间，可求得最值，再对求导数，可得最值； （3）利用分析法和放缩法，可求出结果. 【详解】（1）时， ，整理得. 曲线在点处的切线方程为. （2）（ⅰ） 令，解得 . ， 当变化时，的变化情况如下表： 0 ↗ 极大值 ↘ 函数单调递增区间是，单调递减区间是 有极大值，没有极小值； 的极大值 （ⅱ） 设， ， 令，解得. ， 当变化时，的变化情况如下表： 0 ↘ 极小值 ↗ 而 的最小值为. （3）当时，要证 两边同时取对数，即证， 即证，两边同时乘以， 即证， 而， 由（2）可知， 令，则，代入上式，得 ， ， . 【点睛】求解函数单调区间的步骤: (1)确定的定义域: (2)计算导数; (3)求出的根; 4)用的根将的定义域分成若干个区间， 考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间： ，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间； ，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间. 如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 4．（2024·天津·模拟预测）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的值； (3)求证：． 【答案】(1) (2)2 (3)证明见解析 【分析】（1）求出切点坐标和切线斜率，即可得到切线方程； （2）根据题意求出极大值点，进而求出的值，然后利用导数证明不等式恒成立； （3）利用，转化为，然后利用导函数求单调性证明即可. 【详解】（1），有， 因为，所以， 则曲线在点处的切线方程为． （2）因为，的定义域为， 所以是的极大值点，因为， 所以，所以， 需验证，当时，恒成立即可， 因为， 令，则， ①当时，，则在上单调递减， 所以在上单调递增，， ②当时，，则在上单调递减，所以， 综上，符合题意． 所以恒成立时，. （3）由（2）可知，，当且仅当时取等号， 当时，，所以， ， 因为 ， 所以即证， 令，则，当时，，， 所以即证：， 令，则， 所以时，单调递减， 所以，即， 综上，. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 题型5 不等式的证明 导数不等式的证明方法主要包括以下几种: 1.利用函数的单调性:通过求导判断函数的单调性，进而证明不等式。 2.利用函数的最大最小值:如果需要证明的不等式可以转化为一个函数值域问题，通常可以通过求函数的最大值或最小值来证明。特别是当函数单调时，这种方法尤为简单。 1．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数.，其中. (1)求在处的切线方程，并判断零点个数. (2)讨论函数的单调性； (3)求证：； 【答案】(1)切线方程为，有2个零点； (2)答案见解析 (3)证明见解析. 【分析】（1）根据求导公式，即可求出切线的点斜式方程，整理即可得到切线方程； 对再求导，并根据零点存在性定理，可得，即可得到零点个数； （2）求导，通过讨论的取值研究导函数符号的变化进而得到函数的单调性； （3）根据与切线得关系，先证，再证，用导数法即可完成证明. 【详解】（1）由题意，，， 故在处的切线方程为. 设，则， 故在上单调递增， 因为，，故根据函数零点存在性定理知，存在唯一得，使得， 故在上单调递减，在上单调递增， 又因为，故在上存在一个零点；且， 又因为， 故存在唯一使得， 综上，有且仅有两个零点. （2）因为， 所以 ①当即时，在上单调递增，在上单调递减； ②当即时，在上单调递增； ③当即时，在上单调递增，在上单调递减； ④当时，即时，在上单调递增，在上单调递减。 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减。 （3）先证. 令， ，，故在R上单调递增， 因为，故在上单调递减，在上单调递增， 故，故成立； 再证. 令，，则， ①当时，，则单调递减； ②当时，，则单调递增。 故，所以，即成立. 【点睛】本题考查导数的综合运用，涉及到导数得几何意义、函数的单调性、极值最值、不等式的证明、函数的零点，属于较难题目. 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求整数的最小值； (3)证明：当时，有． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义可得其切线斜率，再利用点斜式计算出切线方程即可得； （2）参变分离得到在上恒成立，即在上恒成立，构造相应函数，借助导数研究其单调性可得其最大值，即可得解； （3）借助当时，，从而得到，从而将其转化为证明，再构造相应函数证明即可得. 【详解】（1），则， 又， 故曲线在点处的切线方程为， 即； （2）若不等式恒成立，即恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 即，故， 又，故， 故整数的最小值为； （3）令，则， 故在上单调递增，故， 即当时，， 由，则， 令，则， 故当时，要证，只需证， 即只需证， 即只需证， 即只需证， 令，， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则，故，即得证. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助当时，，从而得到，从而将其转化为证明. 3．（2024·天津·模拟预测）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)求证：； (3)函数有且只有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3). 【分析】（1）利用导数求斜率，利用解析式求切点纵坐标，然后可得切线方程； （2）构造函数，利用导数求最小值即可得证； （3）构造函数，将问题转化为函数的图象与直线有两个交点，利用导数研究函数单调性，然后作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】（1）因为， 所以曲线在处的切线斜率为， 又，所以切线方程为. （2）记，则， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 所以当时，取得最小值， 所以，即. （3）， 由题知，有且只有两个不相等实数根， 即有且只有两个不相等实数根， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 又，所以可得的图象如图： 由图可知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 所以，a的取值范围为. 【点睛】思路点睛：根据函数零点个数求参数范围，一般采取参变分离，转化为两个函数图象的交点问题，然后利用导数研究单调性，结合函数变化趋势、极值等作出函数图象，结合函数图象即可得解. 4．（2024·天津·二模）已知， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若函数存在极大值，且极大值为1，求证：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数，求切点处切线的方程； （2）利用导数，分类讨论函数的单调性； （3）由极大值，求出的值，通过构造函数求最值的方法证明不等式. 【详解】（1）当时，，则， 又，则切线的斜率， 所求切线方程为，即． （2）函数的定义域为， ． ①当时， ，在上单调递增． ②当时， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． ③当时， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． 综上可得， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． （3）证明：由（2）可知，当时，存在极大值，且极大值为， 则，即， 整理得，从而，设，则． 令，所以， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增． 而，所以的根为， 从而． 因此，即证成立， 也就是证，即证， 也就是证，设，即证． 设， 当时，，在上单调递减； 当时， ，在上单调递增． ，即恒成立， 恒成立． 【点睛】方法点睛： 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧. 题型6 极值点偏移 极值点偏移问题中（极值点为），证明或的方法： ①构造， ②确定的单调性， ③结合特殊值得到或，再利用，得到与的大小关系， ④利用的单调性即可得到或. 1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点； ①求证：； ②求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论，结合函数的定义域，即可求函数的单调区间； （2）①要证，即证，只需证，构造函数，，借助导数即可得证；②同①中证法，先证，则可得，利用、是方程的两根所得韦达定理，结合即可得证. 【详解】（1），， 其中，， 当时，即，此时恒成立， 函数在区间单调递增， 当时，即或， 当时，在区间上恒成立， 即函数在区间上单调递增， 当时，，得或， 当，或时，， 当时，， 所以函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是， 综上可知，当时，函数的单调递增区间是； 当时，函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是； （2）①由（1）知，当时，函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是，、是方程的两根， 有，， 又的图象与有三个公共点， 故，则， 要证，即证，又， 且函数在上单调递减，即可证， 又，即可证， 令，， 由， 则 恒成立， 故在上单调递增，即， 即恒成立，即得证； ②由，则， 令，， 则 ， 故在上单调递增，即， 即当时，， 由，故，又，故， 由，，函数在上单调递减，故， 即，又由①知，故， 又， 故. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先证，从而借助①中所得，得到. 2．（2022·天津河东·二模）已知函数（且）． (1)，求函数在处的切线方程． (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个零点 ，且，证明：． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程； （2）求出导函数，对a分类讨论： a<0和a>0分别讨论单调性； （3）本题属于极值点偏移，利用分析法转化为只要证明f(2e- x2)>0，由 构造函数，利用导数证明出g(t)在(e，2e)上是递增的，得到g(t)>g(e)=0即为f(2e- x2)>0. 【详解】（1）当时，，所以. ，所以. 所以函数在处的切线方程为，即. （2）的定义域为(0，+∞)， . 当a<0时， 恒成立，所以在(0，+∞)上单调递减； 当a>0时， .在上，，所以单调递减；在上，，所以单调递增. （3）当，.由(2)知， 在上单调递减，在上单调递增. 由题意可得：.由及得：. 欲证x1+x2>2e，只要x1>2e- x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e- x2)>0即可. 由得 .所以 令则，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e- x2)>0. 综上x1+x2>2e. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)利用导数判断单调性，证明不等式． 3．（2022·天津·二模）设函数为的导函数. (1)求的单调区间； (2)讨论零点的个数； (3)若有两个极值点且，证明：. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为． (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出的导函数，即可得到的解析式，再求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间； （2）由（1）得，，再对分三种情况讨论结合零点存在性定理，分别得到函数的零点个数； （3）由（2）可得且，依题意可得，利用导数证明，即可得到，从而得证； 【详解】（1）解：因为， 所以．      即，，则． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为． （2）解：由（1）得，． 当时，，则在上无零点． 当时，，则在上有一个零点． 当时，，因为，，， 所以，，， 故在上有两个零点． 综上，当时，在上无零点； 当时，在上有一个零点； 当时，在上有两个零点． （3）证明：由（2）及有两个极值点，且， 可得， 在上有两个零点，且． 所以，     两式相减得，即． 因为，所以． 下面证明，即证． 令，则即证． 令，，则， 所以在上单调递增，所以， 故． 又， 所以， 故． 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 4．（21-22高三下·天津滨海新·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若函数，求的单调区间； (3)当时，若函数恰有两个不同的极值点、，且，求证：. 【答案】(1) (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可求得切线的方程； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可出函数的增区间和减区间； （3）分析可知，证明出，其中，由已知条件可得，两式作差可得，结合所证不等式可证得结论成立. 【详解】（1）解：当时，，，则， 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：当时，，该函数的定义域为. . 当时，由可得或. （i）当时，，由，可得， 由，可得或， 此时函数的增区间为、，减区间为； （ii）当时，，对任意的，且不恒为零， 此时函数在上单调递增； （iii）当时，，由，可得， 由，可得或， 此时函数的增区间为、，减区间为. 综上所述 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数的增区间为、，减区间为. （3）证明：，则， 令，则. 当时，由可得. 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，解得. 下面证明不等式，其中，即证， 令，即证对任意的恒成立， 构造函数，其中， 则对任意的恒成立，故函数在上单调递增， 当时，，所以，当时，， 由已知可得，两式作差可得， 则，即，故原不等式得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 题型7 零点问题 导数与零点问题的解题技巧主要包括以下几种方法: 1.利用零点存在性定理:这是解决导数与零点问题的一种基本方法。通过分析函数在某区间的行为，判断函数在该区间内是否存在零点。如果函数在区间的端点取值异号，则根据零点存在性定理，可以确定在该区间内至少存在一个零点。 2.函数与图像思想:将函数有零点的问题转化为相应的方程有实根的问题。通过绘制函数图像，观察图像的交点个数来确定零点的个数。这种方法直观且易于理解。 3.构造新函数法:当导函数的解析式具有分式特征时，可以通过构造新的函数来简化问题。将分子部分看作一个新的函数，通过对新函数的研究来得出结论。 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)若有三个零点，，，且，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程； （2）首先不等式转化为恒成立，并判断，并根据函数的导数，讨论得到取值，判断函数的单调性，即可求解； （3）首先方程等价于，并构造函数，注意到1是函数的一个零点，转化为在上有2个零点，并结合零点存在性定理求的取值范围，由，判断，将所证明不等式转化为，再利用，将不等式转化为，再构造函数，利用导数，判断函数的单调性，即可证明. 【详解】（1）由函数，可得， 且，则， 曲线在处的切线方程为； （2）当时，等价于， 设，则，， （ⅰ）当，时，， 故，在上单调递增，因此； （ⅱ）当时，令得，. 由和得， 故当时，，在单调递减，因此. 综上，的取值范围是. （3）由等价于， 令.注意到，，依题意，除了1之外，还有两个零点， 又由，令（）， 当时，恒成立，故这时在单调递减，不合题意： 当时，由题意，首先在上有两个零点， 故，解得， 设两个零点为和，有，，故可知，均大于0， 由此可得在单调递增，单调递减，单调递增， 而，即，，， 又因为，， 故在内恰有一个零点，在内恰有一个零点， 又1为的一个零点，所以恰有3个零点，亦即恰有3个零点， 实数的取值范围是. ，由， 由此可得，要想证明， 只需证明，而， 因此只需要证明当时，， 令，， 可得，故在上单调递增， 因此当时，，即当时，， 因此， 由，有，即， 两边同时除以，由，有， 即. 【点睛】关键点点睛：本题的难点是第三问，关键1是求出的取值，关键2是证明. 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线为轴，求的值； (2)若， ①求的单调区间； ②求证：存在两个零点，且满足． 【答案】(1) (2)①的单调递减区间为，单调递增区间为 ，②证明见解析 【分析】（1）先求函数的导函数，若在点处的切线为轴，只需，求解即可； （2）通过导数求出函数的单调性，由函数及，，从而可证明函数存在两个零点，再根据零点存在性定理即可证明． 【详解】（1）函数求导得， 因为函数在处的切线为轴， 所以，即． （2）当时，导函数， 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 所以， 又因为， 当，当时，， 所以函数存在两个零点，．且， ， 又因为 ， 所以， 所以． 3．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； (3)如果，且，证明：. 【答案】(1) (2)单调递增区间是，单调递减区间是； (3)证明见解析 【分析】（1）求出，进而求出，根据导数的几何意义及点斜式方程即可求解； （2）求出，进而求出的解，即可求出结论； （3）设，结合单调性可知；令，，利用导数可求得单调递减，可知，由此可得，结合、在上的单调性可推导得到结论. 【详解】（1）因为，所以，所以， 即切线斜率为1，又，所以在处的切线方程为，即； （2），令得， 令得，令得， 所以单调递增区间是，单调递减区间是； （3）不妨设，由（1）知及得：，则， 因为单调递减区间是，所以要证，需证， 即证，即证， 令，， 则，当时，，，所以， 所以在上单调递增，所以，又，， 所以，又，所以，所以. 【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 4．（2024·天津河西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对参数进行分类讨论，求解函数单调性即可. （2）利用给定条件进行放缩，利用隐零点代换证明即可. （3）对参数范围进行讨论，找到符合零点要求的参数范围即可. 【详解】（1）由题意得定义域为， 而， 当时，，在上单调递减， 当时，， 当时，解得：，当时，解得：， 在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）， 若证成立，只需证成立即可， 所以定义域为，， 在上单调递增， 在上单调递增， ， 在上有唯一实根， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， ， ，同时取对数得， ， ，， （3）若时，由已知得最多有一个零点， 当时，由已知得当时，取得最小值， ， 当时，，故只有一个零点， 当时，由，即，故没有零点， 当时，， 由， 故在有一个零点， ， ，， 设，， 在上单调递增， ，， ， 在上有一个零点， 在上有两个零点， 综上得到的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是对参数范围分类讨论，然后找到符合零点要求的参数范围，得到所要求的参数范围即可． 题型8 存在有解问题 存在成立问题的解题技巧主要包括以下几个方面: 1. 分类讨论法:对于存在性问题，可以通过分类讨论的方法来解决。 2.利用导数证明不等式:在解决恒成立与存在性问题时，可以利用导数来证明不等式。 3.利用函数的性质:对于一些特殊的函数，如抽象函数、周期函数等，可以利用它们的性质来解决存在性问题。 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知为实数，函数． (1)是否存在实数，使得在处取极值？证明你的结论； (2)若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围； (3)设，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在，证明见解析； (2) (3)或 【分析】（1）假设存在，利用求出，再求导验证即可； （2）先对进行求导，再利用在恒成立，讨论求出的范围； （3）先将问题转化为在上的最小值小于零，再求导分的范围利用导数判断函数单调性讨论求出最小值即可； 【详解】（1）由题意可得， 设存在，所以， 所以， 此时，， 当，，递增； 当时，，递增， 所以不是的极值点， 所以不存在实数，使得在处取极值， （2）因为函数在上存在单调递增区间， 所以， 当时，，此时，在上递增，成立； 当时，令， 则或， 所以在上递增， 因为函数在上存在单调递增区间， 所以， 解得， 综上， （3）设， 若存在，使得成立，即， 在上的最小值小于零， 求导可得， ①    当，即时，在上单调递减， 所以， 解得， 因为， 所以， ②当，即时，在上单调递增， 所以； ③当，即时， 可得， 因为，所以， 此时不存在使得的情况； 综上，实数的取值范围为或. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键在于将问题转化为在上的最小值小于零，再结合含参数单调性讨论求解即可. 2．（2023·天津·二模）已知，函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，设的导函数为，若恒成立，求证：存在，使得； (3)设，若存在，使得，证明：． 【答案】(1)递增区间为，递减区间为； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【分析】（1）当时，求得，结合导数的符号，即可求解； （2）当时，求得，根据题意恒成立，取，得到，即可证明； （3）设，得到，转化为，设，求得，根据，得到，进而得到，进而证得结论． 【详解】（1）由函数，可得其定义域为， 当时，可得，则， 当时，可得，单调递减； 当时，可得，单调递增， 函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）当时，可得，则， 恒成立，即恒成立，令， 若，则，存在，使得， 即，不符合题意，， 取，则，可得 即存在，使得． （3）由函数，可得， 设，由，可得， 则， 又由，可得，函数为单调递增函数， ，即， ， 设，可得， 当时，，即， ， 即， ， 代入可得：， 则， ． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 3．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数，，. (1)设，试讨论函数的单调性； (2)若对于定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围 (3)设，对于任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导，再由分情况讨论即可得解； （2）由，得，分离参数可得在上恒成立，构造函数，利用导数求出的最小值即可得解； （3）由题意，整理函数解析式，求导研究其单调性，根据不等式能成立问题，可得关于和的不等式，构造以为变量、以为参数的函数，利用导数，结合分类讨论，可得答案. 【详解】（1），， 则， 令，则或， 当，即时，， 所以函数在上单调递增， 当，即时， 由，得，由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当，即时， 由，得，由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2）由，得， 即在上恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即实数的取值范围为； （3）， 则， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以， 所以，， ∴在区间上为增函数， ∴时，， ∴， 设， 则有在时恒成立， ∵， ①时，∵，显然， ∴在时单调递减，此时不符合； ②时，∵，显然， ∴在时单调递减，此时不符合； ③时，∵， 若，显然，则在区间上单调递减， 此时不符合； 若，显然当时，， 则在区间上单调递减，此时，不符合； 若时，则在区间上单调递增，此时，符合． 综上得，解得， 即实数k的取值范围为． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 4．（2023·天津南开·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有极大值，试确定的取值范围； (3)若存在使得成立，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，求曲线的切线方程； （2）首先求函数的导数，，再讨论，判断函数的单调性，讨论函数的极值； （3）不等式转化为，利用两点间的距离的几何意义，转化为点到直线的距离，求的值. 【详解】（1）当时，， 依题意，，可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为 ， ①当时，，所以在上单调递增，此时无极大值； ②当时，令，解得或，令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 此时在处取得极大值，符合题意； ③当时，令，解得或，令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 此时在处取得极大值，符合题意； ④当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，此时无极大值； 综上，实数的取值范围为. （3） 可以看作是动点与动点之间距离的平方， 动点在函数的图象上，在直线的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由得，，解得， 所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离， 则， 根据题意，要使， 则，此时恰好为垂足， 由,可得， 所以. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质的综合应用的问题，本题的关键是第三问，不等式变形转化为，再转化为直线和函数的图象上点的距离问题. 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，若对任意的，存在实数满足，使得，则k的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意转化为：，对于恒成立，构造函数，求导数判断，，且，在成立，在单调递增，利用零点判断方法得出存在使得，即可选择答案． 【详解】，显然在区间上为减函数， ，，当时，在上为减函数， 当时，，故在单调递增， 当，故在恒为负，因此在单调递减， 且当时，，时，，时，， 时， 作出图象如下： 对任意的，存在实数，满足，使得, 可得：，对于恒成立，故， 设，，且，在成立， 即，， 故存在使得，当单调递减， 当单调递增，故， 的最大值为3． 故选：A 【点睛】关键点点睛：将问题转化为，对于恒成立，构造函数，利用导数求解. 2．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若函数有两个极值点，求证：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出切点坐标和切线斜率可得答案； （2）分、、三种情况讨论求解即可； （3）首先可得，然后可得，然后令，然后利用导数求出的极大值即可证明. 【详解】（1）当时，， 所以，故切点坐标为， 又，所以， 故切线的斜率为，由点斜式可得，即， 故曲线在点处的切线方程为； （2）的定义域为， 又， 当，即时，在上恒成立， 故在上单调递减； 当，即或， 令，解得， 若时，则当或时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若时，在上恒成立， 故在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （3）由（2）可知，当时，有两个极值点，则， 由题意可得：， 则 ， 令， 则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 故当时，取得最大值， 所以. 【点睛】方法点睛：含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及两个不同变量，处理此类问题有两个策略： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的等式，把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解； 二是巧妙构造函数，再利用导数判断函数的单调性，从而求其最值. 3．（24-25高三上·天津·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数的最小值，并证明； (3)当时，若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)最小值为，证明见解析 (3) 【分析】（1）求导可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果； （2）由条件可得，即可得到，再由裂项相消法代入计算，即可证明； （3）将不等式转化为在上有解，令，转化为在上有解，然后求导计算，即可得到结果. 【详解】（1）的定义域为，， ①当时，恒成立，在上单调递减. ②当时，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增. 综上可得：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，， 由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以当时，函数的最小值为， 因为，即， 当时，，即， 即， 令，则， 所以， 故当时，. 即 （3）关于的不等式在区间上有解， 即在上有解， 即在上有解， 又，由（1）可知时，即， 令，则， 则在上有解， 令，则， 令，得， 所以，当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以存在使得， 所以，当或时，，当时，， 所以只需，即时满足题意. 所以的取值范围为 4．（24-25高三上·天津静海·阶段练习）（1）设，对任意实数x，记．若有三个零点，则实数a的取值范围． （2）已知函数，其中，若方程有三个不同的实数根，则实数k的取值范围． （3）已知函数，函数有四个零点，则实数的取值范围. （4）问题：用数形结合法解决函数零点问题是常用的方法，请总结此方法使用时需要注意什么问题？ 【答案】（1） ；（2）；（3）；（4）答案见解析 【分析】（1）函数的零点，由条件列不等式求a的取值范围. （2）画出分段函数图象数形结合根据零点个数求出参数即可； （3）先求导函数得出函数单调性及最值画出分段函数图象，数形结合根据零点个数求出参数即可； （4）根据数形结合判断函数零点需要构造函数，结合函数图象得出参数范围． 【详解】（1）令， 因为函数有一个零点，函数至多有两个零点， 又有三个零点，所以必须有两个零点，且其零点与函数的零点不相等， 且函数与函数的零点均为函数的零点， 由可得，，所以，所以为函数的零点， 即，所以， 令，可得， 由已知有两个根， 设，则有两个正根， 所以，且， 所以，故， 当时，有两个根， 设其根为，，则， 设，则，， 所以， 令，则，则，， 且，， 所以当时，， 所以当时，为函数的零点， 又也为函数的零点，且与互不相等， 所以当时，函数有三个零点. （2） 如图，，则的图象如上， 显然，与不可能有交点，故时不符题意； 如图，，则的图象如上， 显然，与有三个不同交点时，必有，解得， 而时，明显不符题意； 综上，. （3）解：有四个零点等价于与有四个不同的交点 当时，， 当时，；当时， 即在上单调递减，在上单调递增， ， 当时，，此时， 由此可得图象如下图所示： 恒过， 由图象知，直线位于图中阴影部分时，有四个不同交点， 即临界状态为与两段图象分别相切， 当与相切时，可得， 当与相切时， 设切点坐标为，则， 又恒过，则， 即，解得，故， 由图象知：； （4）判断函数零点需要注意：将函数变形为两个函数的差，构造函数，画两个函数的图象， 利用图象交点的个数：看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 5．（24-25高三上·天津静海·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值，并求函数的单调区间； (2)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为,单调递减区间为. (2) 【分析】（1）由题可知在点处的切线的斜率为2，根据切线的几何意义即可求解的值，然后利用导数研究函数的单调性即可; （2）根据题意在上恒成立，只需，利用基本不等式即可求解最小值. 【详解】（1）,曲线在点处的切线与直线平行, , 当或时，,当时，, 函数的单调递增区间为,单调递减区间为. （2）由题可知在上恒成立， 只需即可, 因为，所以, 当且仅当，即时等号成立， 所以，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！44 学科网（北京）股份有限公司 $$