精品解析：河南省濮阳市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025 学年第一学期期中考试试卷 九年级数学 注意事项： 1．本卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟； 2．试题卷上不要答题，请用0．5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效； 3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题 (每小题3分，共30分) 1. 中国航天科技事业近几年取得了巨大的进步，达到了世界的新高度．下列中国航天事业相关的图标中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是3的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 4. 如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（　　） A. （2，5） B. （5，2） C. （2，﹣5） D. （5，﹣2） 5. 如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则的度数是（ ） A 75° B. 70° C. 65° D. 30° 6. 将向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（ ） A B. C. D. 7. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 0 B. －10 C. 3 D. 10 8. 电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映．某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 9. 某种设备的销售利润(万元)与销售数量(万件)之间满足函数解析式 则利润的（ ） A. 最大值为万元 B. 最大值为万元 C. 最小值为万元 D. 最小值为万元 10. 对于二次函数，下列说法正确是(　　　) A. 当，随的增大而增大 B. 当时，有最大值 C. 图象的顶点坐标为 D. 图象与轴有一个交点 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 已知关于 的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根为_____________ 12. 以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为______°． 13. 如图，直线与抛物线交于点和点，若，则x的取值范围是______． 14. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m． 15. 如图，把一个含有 角的三角尺放在正方形 中，使 角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点 旋转三角尺时，这个角的两边与正方形的边所在射线，分别相交于点，连接得到 ．则 的关系是_____________________． 三、解答下列各题(本大题共8个小题，共75分)： 16. 解下列方程 （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，已知是由经过顺时针旋转变换得到的． （1）请写出旋转中心的坐标是_______，旋转角的大小是________； （2）以（1）中的旋转中心为中心，画出按顺时针方向旋转90°得到的，并写出点的坐标． 18. 已知：一元二次方程． （1）求证：此方程有实数根； （2）设方程的两个根满足，求的值． 19. 如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点的对应点 恰好落在的延长线上，求证：． 20. 如图 ，直线和抛物线 都经过点， （1）求抛物线的解析式； （2）当时时，的取值范围是 ; （3）当为何值时不等式． ，请你直接写出的取值范围． 21. 近两年直播购物逐渐走进了人们的生活． 某电商在抖音平台上对一款成本价为60元的商品进行直播销售，如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元． （1）每件商品降价x元时，日销售量为 件； （2）求x为何值时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品； 22. 为响应潜江市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm，面积为ym2（如图）． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值． 23. 已知等边，过点作的垂线，点为上一动点(不与点重合)，连接，把线段绕点逆时针方向旋转得到，连接． 【问题探索】 （1）如图①，线段与数量关系是( ) A． 相等 B．大于 C．小于 D．大小不能确定 【问题解决】 （2）如图②，当点在同侧且时，求证：直线垂直平分线段； 【问题拓展】 （3）如图③，若等边的边长为，点位于直线异侧，点位于直线同侧，且的面积等于 直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025 学年第一学期期中考试试卷 九年级数学 注意事项： 1．本卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟； 2．试题卷上不要答题，请用0．5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效； 3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题 (每小题3分，共30分) 1. 中国航天科技事业近几年取得了巨大的进步，达到了世界的新高度．下列中国航天事业相关的图标中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义“中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．”进行判定即可求解． 【详解】解：A、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； B、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； D、有对称中心，是中心对称图形，符合题意； 故选：D ． 2. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是3的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意确定出所求方程即可. 【详解】A. 化为化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是3，符合题意； B. 化为化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是-3，不符合题意； C. 化为化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是-3，不符合题意； D. 化为化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是-3，不符合题意； 故选：A 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出已知方程的根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可判定根的情况． 【详解】解：∵， ∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×5＝﹣11＜0， ∴一元二次方程没有实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解决本题的关键．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 4. 如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（　　） A. （2，5） B. （5，2） C. （2，﹣5） D. （5，﹣2） 【答案】B 【解析】 【分析】由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC=A′C′，CO=C′O，由A的坐标就可以求出结论． 【详解】∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′， ∴△ABO≌△A′B′O′,∠AOA′=90°， ∴AO=A′O. 作AC⊥y轴于C,A′C′⊥x轴于C′， ∴∠ACO=∠A′C′O=90°. ∵∠COC′=90°， ∴∠AOA′−∠COA′=∠COC′−∠COA′， ∴∠AOC=∠A′OC′. 在△ACO和△A′C′O中， ， ∴△ACO≌△A′C′O(AAS)， ∴AC=A′C′,CO=C′O. ∵A(−2,5)， ∴AC=2，CO=5， ∴A′C′=2,OC′=5， ∴A′(5,2) 故选B 【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键． 5. 如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则的度数是（ ） A. 75° B. 70° C. 65° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正方形的性质和旋转的性质得到∠AOF的度数，OA=OF，再根据等腰三角形的性质即可求得∠OFA的度数即可解决问题． 【详解】解：∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF， ∴∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF， ∴∠OFA=（180°-130°）÷2=25°， ∴∠EFA=90°-∠AFO=90°-25°=65° 故选：C． 【点睛】考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．同时考查了正方形的性质和等腰三角形的性质． 6. 将向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据函数图像平移法则：“上加下减”得： 抛物线向上平移2个单位得到抛物线的解析式为． 故选：A． 7. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 0 B. －10 C. 3 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴mn=－5，m2+2m-5=0， ∴m2+2m=5， ∴=5－5=0， 故选：A． 【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键． 8. 电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映．某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知第一天票房为2，第二天票房为2+2x，第三天票房为(2+2x)+(2+2x)x，列方程为，化简求解即可． 【详解】解：第一天票房为2，第二天票房为2+2x，第三天票房为(2+2x)+(2+2x)x 故根据题意列方程式为： 化简得： 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于正确的表示每天的票房． 9. 某种设备的销售利润(万元)与销售数量(万件)之间满足函数解析式 则利润的（ ） A. 最大值为万元 B. 最大值为万元 C. 最小值为万元 D. 最小值为万元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，掌握二次函数一般式化为顶点式的方法，二次函数顶点是的特点是解题的关键．将二次函数一般式化为顶点式即可求解． 【详解】解：二次函数解析式为： ， ∵， ∴函数图象开口向下，有最大值，且当，函数的最大值为， ∴最大值为万元， 故选：B ． 10. 对于二次函数，下列说法正确的是(　　　) A. 当，随的增大而增大 B. 当时，有最大值 C. 图象的顶点坐标为 D. 图象与轴有一个交点 【答案】B 【解析】 【分析】将二次函数化为顶点式，即可得出二次函数图象的开口方向以及二次函数图象的对称轴、顶点坐标，利用根的判别式可判断出二次函数图象于x轴的交点的个数． 【详解】解：∵ ∴图象的顶点坐标为，选项C错误； ∵ ∴二次函数图象开口向下，当时，有最大值，选项B正确； ∵当，随的增大而减小，当，随的增大而增大，选项A错误； ∵关于x的方程，，有两个不相等的实数根， ∴二次函数，图象与轴有两个交点，选项D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象及性质，将二次函数正确的改写为顶点式是解此题的关键． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 已知关于 的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解，掌握因式分解法求一元二次方程的解是解题的关键．把代入一元二次方程求出的值，得到一元二次方程，再运用因式分解法求解即可． 【详解】解：根据题意，把代入一元二次方程得， 解得，， ∴一元二次方程为， 因式分解得，， ∴， ∴方程的另一个根为， 故答案为： ． 12. 以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为______°． 【答案】 【解析】 【分析】依据正五边形外角性质，即可得到的度数，进而得出旋转的角度． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴新五边形的顶点落在直线上，则旋转的最小角度是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用． 13. 如图，直线与抛物线交于点和点，若，则x的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】抛物线在直线下方部分对应的x的值即为所求． 【详解】解：观察图形可知，当时，抛物线在直线下方， 因此若，则x的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查根据图象求不等式的解集，利用数形结合思想是解题的关键． 14. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m． 【答案】10 【解析】 【分析】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令，求出x的值，x的正值即为所求． 【详解】在函数式中，令，得 ，解得，（舍去）， ∴铅球推出的距离是10m． 故答案为10． 【点睛】本题是二次函数的实际应用题，需要注意的是中3代表的含义是铅球在起始位置距离地面的高度；当时，x的正值代表的是铅球最终离原点的距离． 15. 如图，把一个含有 角三角尺放在正方形 中，使 角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点 旋转三角尺时，这个角的两边与正方形的边所在射线，分别相交于点，连接得到 ．则 的关系是_____________________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论：第一种情况：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，点与点重合，与重合，则，，，由此可证，得到，再由可解；第二种情况：如图所示，在射线上，在射线上，将绕点逆时针旋转得到，点与点重合，与重合，则，，，证明，得到，由可解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 第一种情况：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，点与点重合，与重合，则，，， ∵， ∴， ∴， ∵旋转， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵绕点 旋转三角尺时，这个角的两边与正方形的边所在射线，分别相交于点， ∴第二种情况：如图所示，在射线上，在射线上， ∵四边形是正方形， ∴，， 将绕点逆时针旋转得到，点与点重合，与重合，则，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述， 的关系是或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论思想，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 三、解答下列各题(本大题共8个小题，共75分)： 16. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据完全平方公式进行计算即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵，， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，已知是由经过顺时针旋转变换得到的． （1）请写出旋转中心的坐标是_______，旋转角的大小是________； （2）以（1）中的旋转中心为中心，画出按顺时针方向旋转90°得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1）O（0，0）；90°．（2）作图见解析，A2（1，−3），B2（3，1），C2（3，−3）． 【解析】 【分析】（1）对应点连线段的垂直平分线的交点，即为旋转中心． （2）分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可． 【详解】解：（1）观察图象可知，旋转中心的坐标是O（0，0），旋转角为90°． 故答案为：O（0，0）；90°． （2）如图，△A2B2C2即所求作．A2（1，−3），B2（3，1），C2（3，−3）． 【点睛】本题考查作图−旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 18. 已知：一元二次方程． （1）求证：此方程有实数根； （2）设方程的两个根满足，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程的根的判别式可得，即可证明该方程有实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得，再结合，代入求值即可获得答案． 【小问1详解】 证明：∵该一元二次方程的判别式 ， ∴该方程有实数根； 【小问2详解】 解：设方程的两个根为， 根据一元二次方程根与系数的关系， 可得， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴的值为． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的判别式以及根与系数的关系． 19. 如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点的对应点 恰好落在的延长线上，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，理解矩形、旋转的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 如图所示，连接，，根据旋转的性质可证，可得，在和中，可证，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴， 又∵四边形为矩形， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 如图 ，直线和抛物线 都经过点， （1）求抛物线的解析式； （2）当时时，的取值范围是 ; （3）当为何值时不等式． ，请你直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数图象的性质，图象法求不等式的解集等知识是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数解析式得到对称轴直线为，分别把当，，代入计算即可求解； （3）根据一次函数与二次函数图象法求不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线 经过点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为：， ∴对称轴直线为， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，的取值范围是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵直线 与抛物线 都经过点， ∴当或时 ， ∴的取值范围为或． 21. 近两年直播购物逐渐走进了人们的生活． 某电商在抖音平台上对一款成本价为60元的商品进行直播销售，如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元． （1）每件商品降价x元时，日销售量为 件； （2）求x为何值时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品； 【答案】（1） （2）当时，日销售盈利1200元，且能尽快销售完该商品 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程与销售利润的问题，理解销售与利润的数量关系，掌握一元二次方程解实际问题的方法是解题的关键． （1）根据每降低5元，日销售量增加10件列式求解即可； （2）根据销量与利润的数量列式求解即可． 【小问1详解】 解：按每件100元销售，每天可卖出20件，每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元， ∴每件商品降价x元时，日销售量为（件）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得， 整理得， 解方程得， 当时，，当时，， ∴，符合实际题意， 即当时，日销售盈利元，且能尽快销售完该商品． 22. 为响应潜江市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm，面积为ym2（如图）． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值． 【答案】（1）y= -2x2+36x（9≤x＜18）；（2）10. 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可； （2）构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意 【详解】（1）y=x（36-2x）=-2x2+36x（9≤x＜18） （2）由题意：-2x2+36x=160， 解得x=10或8． ∵x=8时，36-16=20＜18，不符合题意， ∴x的值为10． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. 23. 已知等边，过点作的垂线，点为上一动点(不与点重合)，连接，把线段绕点逆时针方向旋转得到，连接． 【问题探索】 （1）如图①，线段与的数量关系是( ) A． 相等 B．大于 C．小于 D．大小不能确定 【问题解决】 （2）如图②，当点在同侧且时，求证：直线垂直平分线段； 【问题拓展】 （3）如图③，若等边边长为，点位于直线异侧，点位于直线同侧，且的面积等于 直接写出线段的长度． 【答案】（1）A；（2）证明见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形性质，旋转的性质可证，根据全等三角形的性质即可求解； （2）连接，根据等边三角形，旋转的性质可得是等边三角形，则有点在的垂直平分线上，再证，结合等腰三角形的性质可得，则有点在的垂直平分线上，由此即可求解； （3）如图所示，延长和直线交于点，过点作，过点作于点，由（2）得是等边三角形，是等边三角形，同理可得，是等腰三角形，在中，，可得，设，则，，求出，根据三角形的面积公式得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：A； （2）证明：连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分线段； （3）或， 如图所示，延长和直线交于点，过点作，过点作于点， 由旋转的性质得， 由（2）得是等边三角形，是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则，， 由得，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数的计算，含角的直角三角形的性质，解一元二次方程等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质求线段的长的方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$