精品解析：浙江省嘉兴市浙嘉联盟2024—2025学年上学期八年级期中数学试题

浙嘉联盟24学年第一学期期中考试试题卷（2024.11） 八年级数学学科 考生注意： 1．本试题卷分选择题、填空题和解答题三部分，共4页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答题时，请在答题纸相应的规定位置上规范作答，在试题卷上的作答一律无效． 一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确．请把正确选项的代码填入答题卷的相应空格，每小题3分，共30分） 1. 下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各图形中，分别画出了中边上的高，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数，满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个三角形的两边长分别为4和7，第三边长为整数，则第三条边长可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 11 5. 一个不等式的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是（ ） A. B. C. D. 6. 为了说明“若a＜b，则ac＜bc”是假命题，c的值可以取（ ） A. -1 B. 1 C. D. 7. 如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点E，交边于点D，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. 如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在大正方形内，若四边形面积为6，四边形的面积为2，四边形的面积为2.5，四边形的面积为4，则知道图中阴影部分的面积是（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在一个直角三角形中，如果一个锐角为，则另一个锐角为___ 度． 12. 如图，已知，要使，可添加的条件是______． 13. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 14. 若不等式的解集是，则m的取值范围是______． 15. 如图，已知直角三角形，，，．将沿着折叠，使得点落在边上的处，则的长为________． 16. 如图，点是在等边三角形内一点．连结，，．将线段绕点逆时针旋转，得到线段．连接，，若，，，则的度数为________；的面积为________． 三、解答题（本题有8小题，第17~22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分） 17. 解不等式组，并把解在数轴上表示出来． 18. 如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作，使，，不写作法，保留作图痕迹 19. 如图，与中，与交于点，且，． （1）求证：； （2）求证：． 20. 已知一个等腰三角形的周长是． （1）若该等腰三角形的腰长是底边长的2倍，求这个三角形底边的长； （2）若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 21. 如图，地铁口和小明家两地恰好处在东西方向上，且相距，学校也在小明家正北方向的处，公园与地铁口距离为，公园到学校的距离为． （1）求公园，学校和小明家三地组成的的大小； （2）计算公园与小明家的距离． 22. 如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，，是的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进2个甲型头盔和1个乙型头盔需要125元，购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元． （1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进50个这两种型号的头盔，总费用不超过2550元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 24. 根据以下素材，探索解决问题． 如何作出“倍角三角形”？ 素材 如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形” 问题解决 项目操作 如图，中，，，请将分成两个小三角形，使得其中一个小三角形是“倍角三角形”，并标注该“倍角三角形”三个内角的度数． 项目探索 若是倍角三角形，，，，求面积． 项目拓展 如图，的外角平分线与的延长线相交于点，点在延长线上，若，，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙嘉联盟24学年第一学期期中考试试题卷（2024.11） 八年级数学学科 考生注意： 1．本试题卷分选择题、填空题和解答题三部分，共4页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答题时，请在答题纸相应的规定位置上规范作答，在试题卷上的作答一律无效． 一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确．请把正确选项的代码填入答题卷的相应空格，每小题3分，共30分） 1. 下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等形的定义，掌握能够完全重合的图形是全等形成为解题的关键． 运用全等形的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误； B、两个图形能够完全重合，故本选项正确 C、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误； C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误． 故选B． 2. 下列各图形中，分别画出了中边上的高，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据概念判断即可． 【详解】解：过点A作直线BC的垂线段，即为BC边上的高AD， 所以画法正确的是A选项． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的高的概念，解决问题的关键是能够正确作三角形一边上的高． 3. 已知实数，满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A、C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意； 若，满足，则，故选项B错误，不符合题意， 故选：D． 4. 一个三角形的两边长分别为4和7，第三边长为整数，则第三条边长可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可解决问题， 【详解】解：设三角形第三边长是， 由题意得：， ， 第三边长为整数， 第三条边长可能为8． 故选：C． 5. 一个不等式的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据每个选项得出不等式的解集，然后问题可求解． 【详解】解：由数轴可知不等式的解集为， A、由可得，故不符合题意； B、由可得，故符合题意； C、由可得，故不符合题意； D、由可得，故不符合题意； 故选B． 6. 为了说明“若a＜b，则ac＜bc”是假命题，c的值可以取（ ） A. -1 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用c的值使ac＜bc不成立进行判断． 【详解】解：A、若a＜b，而c＝﹣1时，ac＜bc不成立，假命题，故符合题意； B、若a＜b，而c＝1时，ac＜bc成立，真命题，故不符合题意； C、若a＜b，而c＝时，ac＜bc成立，真命题，故不符合题意； D、若a＜b，而c＝时，ac＜bc成立，真命题，故不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了不等式的性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 7. 如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点E，交边于点D，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得，从而可得解 【详解】解：∵是垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：B 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，熟记垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）是解决本题的关键． 8. 如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．根据三角形中线平分三角形面积，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵点，分别为，边上的中点， ∴，， ∵的面积为12， ∴， 故选：A． 9. 如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值． 【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′， ∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N ∴M′N′=M′E， ∴CE=CM′+M′E ∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值． ∵三角形ABC的面积为8，AB=4， ∴×4•CE=8， ∴CE=4． 即CM+MN的最小值为4． 故选B． 【点睛】本题考查是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形的面积求解是解题关键． 10. 如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在大正方形内，若四边形面积为6，四边形的面积为2，四边形的面积为2.5，四边形的面积为4，则知道图中阴影部分的面积是（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，设大正方形的面积为c，中正方形的面积为b，小正方形的面积为a，由图得，，再利用勾股定理得，进而可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设大正方形的面积为c，中正方形的面积为b，小正方形的面积为a， 如图2，，， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在一个直角三角形中，如果一个锐角为，则另一个锐角为___ 度． 【答案】40 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余进行求解即可． 【详解】解：在一个直角三角形中，如果一个锐角为，则另一个锐角为， 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟知直角三角形两锐角互余是解题的关键． 12. 如图，已知，要使，可添加的条件是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据已知可得有两角对应相等，所以只需添加一组边对应相等即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴要使，可添加的条件是或或， 故答案为：或或． 13. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 14. 若不等式的解集是，则m的取值范围是______． 【答案】m＜2 【解析】 【分析】由不等式的性质先求出原不等式的解集，再根据已知条件即可求得m的取值范围． 【详解】解：原不等式系数化1得，， 又∵不等式的解集为x＜1， ∴m-2＜0， 即m＜2， 故答案为：m＜2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向．同理，当不等号的方向改变后，也可以知道不等式两边除以的是一个负数． 15. 如图，已知直角三角形，，，．将沿着折叠，使得点落在边上的处，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用勾股定理求出，再根据折叠可得，，，即得，，设，则，最后在中利用勾股定理列出方程即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 如图，点是在等边三角形内一点．连结，，．将线段绕点逆时针旋转，得到线段．连接，，若，，，则的度数为________；的面积为________． 【答案】 ①. ##150度 ②. ## 【解析】 【分析】由旋转的性质得到得，结合等边三角形的性质证明，得到，根据，证明是以为直角的直角三角形，即可求出的度数；过点A作，交延长线于点，过点P作，垂足为，利用直角三角形的性质求出，进而求出，，利用等边三角的性质求出，利用即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是以为直角的直角三角形， ∴； 过点A作，交延长线于点，过点P作，垂足为， ∵，是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形． 三、解答题（本题有8小题，第17~22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分） 17. 解不等式组，并把解在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示如下： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 18. 如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作，使，，不写作法，保留作图痕迹 【答案】 如图所示，△ABC即为所求. 【解析】 【详解】可先用基本作图法作出∠A=∠1，然后在∠A的两边上分别截取线段AB，AC使得AB=a，AC=b，最后连接BC，即可得出三角形ABC． 略 19. 如图，与中，与交于点，且，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， 在和中，  ， ∴； （2） 证明：在和中，  ， ∴； ∴． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质． （1）根据，，，由即可证明； （2）根据，，，由即可证明，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知一个等腰三角形的周长是． （1）若该等腰三角形的腰长是底边长的2倍，求这个三角形底边的长； （2）若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 【答案】（1） （2）与，或与 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）设等腰三角形的底边长为，则腰长为，根据“周长是”列方程求解即可； （2）根据等腰三角形的定义，分腰为与底为两种情况分别求出其他两边即可； 【小问1详解】 解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得：， 解得：， ∴这个等腰三角形的底边长为； 【小问2详解】 当腰为时，底边长为：， ∴其余两边分别为，，，此时能构成三角形； 当底为时，腰长为：， ∴其余两边分别为，，，此时能构成三角形； 综上所述：其余两边分别为与，或与． 21. 如图，地铁口和小明家两地恰好处在东西方向上，且相距，学校也在小明家正北方向的处，公园与地铁口距离为，公园到学校的距离为． （1）求公园，学校和小明家三地组成的的大小； （2）计算公园与小明家的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，在中，根据勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，即可求解； （2）求出，再根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 根据题意得：，， 在中，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 即公园，学校和小明家三地组成的的大小为； 【小问2详解】 解：由（1）得：和均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即公园与小明家的距离为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 22. 如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，，是的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， 是边上的中线， ∴点E为的中点， ∴ ， ， 为中点， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据垂直定义可得，从而利用直角三角形斜边上的中线性质可得，进而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用三角形的外角性质可得，进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ∴ ， ，点是的中点， ∴， ∴， ∵． 23. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进2个甲型头盔和1个乙型头盔需要125元，购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元． （1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进50个这两种型号的头盔，总费用不超过2550元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元 （2）最多可购进乙型头盔30个 （3）能，该商场有三种采购方案：①采购甲型头盔22个，采购乙型头盔28个；②采购甲型头盔21个，采购乙型头盔29个；③采购甲型头盔20个，采购乙型头盔30个 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设乙型头盔个，根据所需费用数量单价，计算甲、乙头盔总费用列不等式，求得乙型头盔的最大值； （3）根据利润单件利润数量，列不等式，求出乙型头盔的取值范围，结合（2）中答案确定的取值范围，即可得出可选方案． 【小问1详解】 解：设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元， 根据题意得 ， 解得， 答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元； 【小问2详解】 解：设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个， 根据题意得：， 解得， 的最大值为30， 答：最多可购进乙型头盔30个； 【小问3详解】 解：能， 理由如下：根据题意得 ， 解得， ， 为整数， 可取28，29或30，对应的的值分别为22，21或20， 因此能实现利润不少于1540元的目标，该商场有三种采购方案： ①采购甲型头盔22个，采购乙型头盔28个； ②采购甲型头盔21个，采购乙型头盔29个； ③采购甲型头盔20个，采购乙型头盔30个． 24. 根据以下素材，探索解决问题． 如何作出“倍角三角形”？ 素材 如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形” 问题解决 项目操作 如图，中，，，请将分成两个小三角形，使得其中一个小三角形是“倍角三角形”，并标注该“倍角三角形”三个内角的度数． 项目探索 若是倍角三角形，，，，求面积． 项目拓展 如图，的外角平分线与的延长线相交于点，点在延长线上，若，，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明． 【答案】项目操作： 如图所示，为“倍角三角形”； 项目探索：； 项目拓展： 和是倍角三角形． 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴是倍角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是倍角三角形． 【解析】 【分析】项目操作：作的角平分线，交于点，由已知可得，即可得，，据此可得为“倍角三角形”； 项目探索：分、或三种情况解答即可求解； 项目拓展：证明可得，，进而可得，即得，可得∴是倍角三角形，再由可得，即得到是倍角三角形． 【详解】解：项目操作：略 项目探索： ∵，， ①当，， 过作的延长线于点，则， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当或时，与三角形内角和为矛盾，该种情形不存在； ∴面积为； 项目拓展： 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，角平分线的画法和性质，勾股定理，直角三角形的性质，理解题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $