第16章 二次根式 压轴题-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(沪教版2024)

第16章 二次根式 压轴题 一、单选题 1．对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（    ） A． B． C． D． 2．如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 3．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　） A． B． C． D． 4．已知实数x，y满足（x-）（y- ）=2008，则3x2-2y2+3x-3y-2007的值为（　　） A．-2008 B．2008 C．-1 D．1 5．如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 6．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（    ）. A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 7．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）的整数部分是 ． 8．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则的值为 ． 9．，，，，，其中n为正整数，则的值是 ． 三、解答题 11．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ； (2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值； (3)化简：． 12．已知求：的值． 13．观察下列各式及其化简过程：=; （1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将的化简； （2）化简： （3）化简； 14．已知且，请化简并求值： 15．计算（＋）÷（＋－）（a≠b）． 16．（24-25八年级上·上海·阶段练习）材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 17．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为.从而达到化去一层根号的目的． 例如化简，且， . (1)填上适当的数：＝______． (2)能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值． (3)化简：． 18．若x，y是实数，且y＝，求（x）﹣（）的值． 19．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求的值. 20．如图，在中，，． (1)如图，求证． (2)如图，点是上一点，连接过点作，连接，求的度数． (3)如图，在（）的条件下，在上取点，连接交于点，连接交于点，若，，求的值． 21．（23-24八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 22．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 23．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 24．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 25．若m满足关系式，求m的值． 26．（21-22八年级下·广西南宁·阶段练习）观察下列各式： ； ； ． 回答下列问题： (1)______； (2)当为正整数时，______； (3)计算的值． 27．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 28．阅读材料： 已知为非负实数，∵， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ 29．（23-24八年级上·吉林长春·期中）【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件． 【感知探索】补全下面两个问题的解答过程： （）已知，化简． 解：原式， ∵（显性条件）， 请进一步完成的化简． （）三角形的三边长分别为，化简． 解：∵三角形的三边长分别为， ∴的取值范围是______．（隐含条件） 化简． 【拓展应用】解方程：． 30．先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 31．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ＝＝＝＝． 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 32．若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明） 例如： 根据以上阅读，请解决下列问题： 【基础训练】 (1)求的值； 【能力提升】 (2)设，求S的整数部分． 【拓展升华】 (3)已知，其中，且．当取得最小值时，求x的取值范围． 33．阅读理解：对于任意正实数a、b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立．结论：在（a、b均为正实数）中，若为定值m，则，只有当时，有最小值．根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当__________时，有最小值__________； (2)若，只有当__________时，有最小值__________； (3)若，平面内有，两点，当a为何值时，线段最短，最短是多少？ 34．先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题： (1)的有理化因式是 _______； (2)化去式子分母中的根号： _____．（直接写结果） (3) （填或） (4)利用你发现的规律计算下列式子的值： 35．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn． 这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： ＋2 ＝（ ＋ ）2；（答案不唯一） （3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值． 36．[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： ； ； ； …… [发现]根据你的阅读回答下列问题： （1）请根据上面式子的规律填空： （为正整数）； （2）请证明(1) 中你所发现的规律． [应用]请直接写出下面式子的结果： ． 37．学习了二次根式的乘除后，老师给同学们出了这样一道题：已知a＝，求的值．刘峰想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程： 解：∵， 又∵a＝， ∴， ∴原式＝． 你认为刘峰的解法对吗？如果对，请你给他一句鼓励的话；如果不对，请找出错误的原因，并改正． 38．求的值． 解：设x=，两边平方得：，即，x2=10 ∴x=． ∵＞0，∴=． 请利用上述方法，求的值． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 二次根式 压轴题 一、单选题 1．对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公式解答即可． 【详解】根据题意，若一个三角形的三边长分别为，，4，则 其面积为 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键． 2．如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得出m≤2，再由式子的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m≤2，得m=-3，-2或2． 【详解】解：解不等式得x＞m， 解不等式得x＞2， ∵不等式组解集为x＞2， ∴m≤2， ∵式子的值是整数， 则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2， 由m≤2得，m=-3，-2或2． 即符合条件的所有整数m的个数是3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键． 3．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可. 【详解】设，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴原式， 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键. 4．已知实数x，y满足（x-）（y- ）=2008，则3x2-2y2+3x-3y-2007的值为（　　） A．-2008 B．2008 C．-1 D．1 【答案】D 【详解】由（x-）（y- ）=2008，可知将方程中的x,y对换位置，关系式不变， 那么说明x=y是方程的一个解 由此可以解得x=y=，或者x=y=-， 则3x2-2y2+3x-3y-2007=1， 故选D. 5．如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1）， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是： 故选：C． 【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解． 6．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（    ）. A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用分母有理化进行计算即可. 【详解】由原式得： 所以，因为，, 所以. 故选C 【点睛】此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化. 二、填空题 7．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）的整数部分是 ． 【答案】969 【分析】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质与化简，能根据幂的运算法则简化指数是解此题的关键．根据完全平方公式可得，根据幂的运算法则可得，进一步化简即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， 的整数部分为：． 故答案为：969． 8．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】先对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是逐步把代入所求式子进行化简求值． 9．，，，，，其中n为正整数，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据题目条件，先求出，，，的值，代入原式后求出各式的算术平方根，再利用裂项公式进行化简与计算，即可求解． 【详解】解：， ， ，      ， ， ， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是找出，，，的值的规律，再用裂项法求出结果． 三、解答题 11．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ； (2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)28或12 (3) 【分析】（1）根据完全平方公式展开，即可用m、n表示出a、b； （2）利用完全平方公式展开可得到，6＝2mn，利用a、m、n均为正整数得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后由分别计算即可； （3）令，两边平方并整理得，然后利用（1）中的结论化简得到，从而可求出t的值，即为原式化简的结果． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：，； （2）∵， ∴，6=2mn， ∴mn=3． ∵a、m、n均为正整数， ∴m=1，n=3或m=3，n=1． 当m=1，n=3时，； 当m=3，n=1时，． ∴a的值为28或12； （3）令， 则 ∴． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的计算，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键． 12．已知求：的值． 【答案】77 【分析】先逆用完全平方公式将原式进行变形，再通过x求出的值，最后将它们同时代入变形后的式子中求解即可． 【详解】解： 原式=． 故原式的值为77． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除和乘方运算，解题关键在于先对原式进行变形再代入，以简化计算，化简过程中涉及到了完全平方公式的逆用，计算过程中用到了因式分解法以及二次根式的分母有理化等内容，要求考生不仅要熟练掌握运算规则，同时还要具备观察和分析问题的能力，这样才能快速准确的计算出答案． 13．观察下列各式及其化简过程：=; （1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将的化简； （2）化简： （3）化简； 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）观察题中给的例子，我们将10拆成与构成完全平方式，接下来按照二次根式的性质化简即可； （2）将10拆成与构成完全平方式，接下来按照二次根式的性质化简即可； （3）将原式变形为，即，然后将12拆成与构成完全平方式，接下来按照二次根式的性质化简即可. 【详解】（1）===； （2）===； （3）======. 【点睛】本题考查了二次根式化简与完全平方式的综合运用，通过题干得出相应的方法是解题关键. 14．已知且，请化简并求值： 【答案】 【分析】解方程得出，再分母有理化，化简得出原式=，最后代入x求值即可. 【详解】解： ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题关键. 15．计算（＋）÷（＋－）（a≠b）． 【答案】－ 【详解】解：原式＝÷ ＝÷ ＝· ＝－． 16．（24-25八年级上·上海·阶段练习）材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 【答案】(1) (2)9 (3) (4) 【分析】本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）仿照题中例题解过程求解即可； （2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为.从而达到化去一层根号的目的． 例如化简，且， . (1)填上适当的数：＝______． (2)能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值． (3)化简：． 【答案】(1)，； (2)正整数的最小值是10，最大值是25； (3)． 【分析】（1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，将写成，或，或，或分别求出，，，，即可得出正整数的最小值和最大值． 【详解】（1） 故答案为：， （2） ， ，或，或， 或． ∴正整数的最小值是10，最大值是25． （3） 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 18．若x，y是实数，且y＝，求（x）﹣（）的值． 【答案】﹣． 【分析】首先根据二次根式有意义求出x 、y的值，再化简后面的代数式，最后代入求值即可． 【详解】解：∵x，y是实数，且y＝， ∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0， 解得：x＝， ∴y＝， ∴x）﹣（）的值． ＝2x+2﹣x﹣5 ＝x﹣3 ＝﹣3 ＝． 【点睛】本题主要考查含字母的二次根式化简求值，需要注意利用二次根式有意义的情况求未知数的值． 19．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求的值. 【答案】. 【分析】已知等式右边成立，x﹣a≥0，a﹣y≥0，即y﹣a≤0；由等式左边成立可知，a=0，已知等式可变为0，移项、开平方得x=﹣y，利用代入法求式子的值． 【详解】∵在实数范围内成立， ∴x﹣a≥0，a﹣y≥0，即y﹣a≤0， 又a（y﹣a）≥0．a（x﹣a）≥0， ∴a=0，原等式可变为0， 解得：x=﹣y，∴． 【点睛】本题考查了二次根式的意义的运用，关键是通过分析左右两边四个二次根式有意义，得出a的值． 20．如图，在中，，． (1)如图，求证． (2)如图，点是上一点，连接过点作，连接，求的度数． (3)如图，在（）的条件下，在上取点，连接交于点，连接交于点，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（）证明即可求证； （）如图，在上截取，证明可得，，即可得，，据此即可求解； （）延长至点，使，证明，，，，进而证明，得到，，，延长到点，使，则，再证明得到，，即得，由此可得，得到，即得，又由，得到，据此即可求解； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：，， ， 延长至点，使，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， 即， ∵， ∴， ，，， 延长到点，使，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形内角和定理及外角性质，勾股定理，化为最简二次根式，正确作出辅助线是解题的关键． 21．（23-24八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 且， ∴； （2）解：∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； （3）解： ． 22．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化： （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （3）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）， ， 而，， ， ； （3）由，，得， ， 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 23．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据题目中的例子可以写出答案； （2）根据例2，可以写出相应的猜想； （3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （4）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【详解】（1） （2） ， ， ， 故答案为：； （3） ； （4） ， ， ， 故． 24．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键． （1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案； （2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案； （3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案． 【详解】（1）因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：； （2） 因为且， ， ， ； （3）， ，， ， ， ． 25．若m满足关系式，求m的值． 【答案】4024 【分析】本题考查了非负数的性质以及二次根式有意义的条件，得到是关键．根据二次根式的性质：被开方数是非负数求得，然后根据非负数的性质得到关于和的方程组，然后结合即可求得的值． 【详解】解：由可得， ∴ ∴ 26．（21-22八年级下·广西南宁·阶段练习）观察下列各式： ； ； ． 回答下列问题： (1)______； (2)当为正整数时，______； (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】（1）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可． （2）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可． （3）先将原式从后往前按倒序重新排列，再将每一个二次根式分母有理化，再用相邻抵消法计算即可求解． 本题是二次根式的规律探索题，解决本题的关键是正确的对二次根式进行化简，找到结果与算式之间存在的关系和规律． 【详解】（1） ． 故答案为： （2） ． 故答案为： （3） ． 27．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 【答案】(1)①②④ (2) (3)时，有最小值，最小值为3 【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：①是假分式，符合题意； ②是假分式，符合题意； ③是真分式，不合题意； ④是假分式，符合题意． 故答案为：①②④． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 28．阅读材料： 已知为非负实数，∵， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)自变量时，函数取最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，函数取到最小值，最小值为． 故答案为：，； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6， ∴此时有最大值，最大值为， ∴自变量时，函数取最大值，最大值为． 29．（23-24八年级上·吉林长春·期中）【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件． 【感知探索】补全下面两个问题的解答过程： （）已知，化简． 解：原式， ∵（显性条件）， 请进一步完成的化简． （）三角形的三边长分别为，化简． 解：∵三角形的三边长分别为， ∴的取值范围是______．（隐含条件） 化简． 【拓展应用】解方程：． 【答案】（）；（），；【拓展应用】． 【分析】本题考查了二次根式，三角形的三边关系，解方程等， （）根据二次根式的性质即可求出答案； （）根据三角形的三边关系可得，然后根据二次根式的性质即可求出答案；根据二次根式的性质可得x的取值范围，然后根据二次根式的性质化简，再解方程即可求出答案； 解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及三角形的三边关系． 【详解】解：（）原式， ∵（显性条件）， 由题意得（隐含条件）， ∴， ∴， ∴原式， ； （）∵三角形的三边长分别为， ∴， ∴的取值范围是，（隐含条件） ∴原式 ， ， 故答案为：； 【拓展应用】由题意得， ∴（隐含条件）， ∴原方程可化为：， 解得，符合题意． 30．先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 【答案】（1）④，；（2）；（3） 【分析】（1）第④步出现了错误，； （2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可； （3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可． 【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题的关键． 31．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ＝＝＝＝． 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)14或46 【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解． 【详解】（1） （2） （3）∵， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴a的值为：或． 【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． 32．若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明） 例如： 根据以上阅读，请解决下列问题： 【基础训练】 (1)求的值； 【能力提升】 (2)设，求S的整数部分． 【拓展升华】 (3)已知，其中，且．当取得最小值时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)S的整数部分2019 (3)代数式取得最小值时，x的取值范围是 【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可； （2））利用题目的仅能式将其进行化简，再确定整数部分； （3）将原式化简为，再根据||取最小值时，确定x的取值范围． 【详解】（1） （2） ， ∴S的整数部分2019； （3）由已知得：，且， ， ∵， ∴原式， 当时， ； 当时， ； ∴当，即时，取得最小值为2， ∴代数式取得最小值时，x的取值范围是：． 【点睛】本题考查无理数的大小比较，分式的加减法以及找规律等知识，理解题意和推广应用是本题的亮点． 33．阅读理解：对于任意正实数a、b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立．结论：在（a、b均为正实数）中，若为定值m，则，只有当时，有最小值．根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当__________时，有最小值__________； (2)若，只有当__________时，有最小值__________； (3)若，平面内有，两点，当a为何值时，线段最短，最短是多少？ 【答案】(1)2，4； (2)，； (3)－4；8． 【分析】（1）直接利用题中公式求解即可； （2）直接利用题中公式求解即可； （3）根据两点间距离公式可得AB=，再利用公式求解即可． 【详解】（1）由题意可知， ∴ ∴只有当2时，有最小值是4． 故答案为2，4； （2）∵， ∴， 即． ∴只有当时，有最小值为． 故答案为：，，． （3）∵ ， ∴ ． ∵，， ∴， ∵ 当时，即a=－4时， ∴ 所以，当a=－4时，线段最短，最短距离是8． 【点睛】本题主要考查（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则，只有当a=b时，a+b有最小值；注意运用类比的思想把相关知识加以运用． 34．先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题： (1)的有理化因式是 _______； (2)化去式子分母中的根号： _____．（直接写结果） (3) （填或） (4)利用你发现的规律计算下列式子的值： 【答案】（1）+1；（2）；（3）<；（4）2017. 【分析】（1）根据有理化因式的定义求解； （2）利用分母有理化计算； （3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到；  ，然后进行大小比较； （4）先根据规律化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）-1的有理化因式是+1； （2）； （3），， ∵ ∴> ∴<； （4）原式= = =2018-1 =2017． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 35．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn． 这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： ＋2 ＝（ ＋ ）2；（答案不唯一） （3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值． 【答案】（1）m2＋3n2，2mn；（2）4,，1 ,（答案不唯一）；（3）7或13． 【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2=m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b； （2）取m=2，n=1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可； （3）利用a=m2+3n2，2mn=4和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值． 【详解】解：（1）（m+n）2=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn， 故答案为：m2＋3n2，2mn； （2）取m=2，n=1，则a=7，b=4，∴7+4=（2+）2， 故答案为：4,，1 ,（答案不唯一）； （3）a=m2+3n2，2mn=4， ∵a、m、n均为正整数， ∴m=2，n=1或m=1，n=2， 当m=2，n=1时，a=4+3=7， 当m=1，n=2时，a=1+3×4=13， ∴a的值为7或13． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及阅读理解问题，正确理解题意并掌握基本运算法则是解题的关键． 36．[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： ； ； ； …… [发现]根据你的阅读回答下列问题： （1）请根据上面式子的规律填空： （为正整数）； （2）请证明(1) 中你所发现的规律． [应用]请直接写出下面式子的结果： ． 【答案】[观察]，，；[发现]（1）或；（2）证明见解析；[应用]或． 【分析】（1）计算题目中结果，并根据计算过程和结果，总结得到一般规律，作出猜想，并对猜想进行计算，即可进行证明； （2）运用（1）中发现规律，进行计算即可. 【详解】[观察]，，， [发现]（1）或 （2）左 ∵为正整数， ∴ ∴左右 [应用] ∴答案为：或. 【点睛】（1）此类规律探究问题一定要结合式子特点和数的规律进行探究，类比； （2）此类题目往往无法直接进行计算，一般要根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算目的. 37．学习了二次根式的乘除后，老师给同学们出了这样一道题：已知a＝，求的值．刘峰想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程： 解：∵， 又∵a＝， ∴， ∴原式＝． 你认为刘峰的解法对吗？如果对，请你给他一句鼓励的话；如果不对，请找出错误的原因，并改正． 【答案】答案见解析. 【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案． 【详解】刘峰的解法错误， 原因是：错误地运用了＝这个公式， 正确解法是：∵a＝＝＜1， ∴a﹣1＜0， ∴＝ ＝ ＝ ＝﹣， ∴原式＝﹣． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 38．求的值． 解：设x=，两边平方得：，即，x2=10 ∴x=． ∵＞0，∴=． 请利用上述方法，求的值． 【答案】 【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可． 【详解】设x=+， 两边平方得：x2=（）2+（）2+2， 即x2=4++4﹣+6， x2=14 ∴x=±． ∵+＞0，∴x=． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$