第17章 一元二次方程 易错题-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(沪教版2024)

第17章 一元二次方程 易错题 一、单选题 1．某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率是x，则可以列出方程（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·上海长宁·期末）把方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海普陀·期末）在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 5．若是方程的一个根，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．3 6．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 7．若关于x的一元二次方程的一个根是2，则m的值是（    ） A． B． C． D．2 8．若方程有一根是1，则另一根是（　　） A．1 B．2 C．-1 D．-2 9．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 10．某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x．则由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 11．（21-22八年级上·上海崇明·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A．； B．； C．； D．． 12．下列一元二次方程没有实数根的是（  ） A．x2-2=0 B．x2-2x=0 C．x2+x+1=0 D．(x-1)(x-3)=0 13．（21-22八年级上·上海徐汇·期末）下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 14．（21-22八年级上·上海·阶段练习）下列关于x的方程一定有实数解的是（　　） A．x2﹣x+2＝0 B．x2+x﹣m＝0 C． D．x2﹣mx﹣1＝0 二、填空题 15．（21-22八年级上·上海青浦·期末）电影《你好，李焕英》首映当日票房已经达到亿元，2天后当日票房达到亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为 . 16．用换元法解方程中，如果设，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式是 ． 17．“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 ． 18．方程的解是 ． 19．（2024·上海杨浦·一模）根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x，根据题意可列方程 ． 20．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 21．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 22．若关于的一元二次方程的常数项为，则 ． 23．（23-24八年级上·上海松江·期末）关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ． 24．（23-24八年级上·上海金山·期末）如果关于的一元二次方程有一个根是，则 ． 25．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知关于x的方程有一个根是，那么 ． 26．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知关于x的方程有两个实数根，那么m ． 27．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知一元二次方程有一个根是3，那么 ． 28．（23-24八年级上·上海普陀·期末）在实数范围内分解因式： ． 29．（23-24八年级上·上海闵行·期末）某件商品原价为200元，经过两次促销降价后的价格为164元，如果连续两次降价的百分率相同，设两次降价的百分率都是x，那么可以列出方程 ． 30．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 ． 31．（23-24八年级上·上海闵行·期末）在实数范围内分解因式： ． 32．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）写出一个一元二次方程的一般式，使它同时满足以下要求：①二次项系数为2，②两根分别为和： ． 33．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 34．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）在实数范围内分解因式 ． 35．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）方程的解是 ． 36．一元二次方程的根的判别式为 ． 37．用换元法解方程时，如果设，那么所得到的关于y的整式方程为 ． 38．已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ． 39．某款新能源车在两年内价格从25万元降至16万元，如果设每年降价的百分率均为x（），则由题意可列方程： ． 40．一辆汽车，新车购买价为25万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值14.45万元，设这辆车在第二、三年的年折旧率为a，则可列方程为 ． 41．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 42．（22-23八年级上·上海青浦·期末）某商场七月份的销售额为1000万元，八月份的销售额下降了20%，商场从九月份起改进经营措施，销售额稳步增长，十月份的销售额达到1352万元，如果每月的销售额增长率相同，设这个增长率为，那么可列方程 ． 43．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 ． 44．如果关于x的方程x2﹣x+2a＝4有一个根是x＝﹣1，那么a＝ ． 45．已知0是关于的一元二次方程的一个实数根，则= ． 46．某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x，则根据题意可列方程 ． 三、解答题 47．（22-23八年级上·上海长宁·期末）解方程：． 48．（21-22八年级上·上海青浦·期末）解方程： 49．（23-24八年级上·上海宝山·期末）解方程：． 50．（23-24八年级上·上海松江·期末）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 51．用配方法解方程：． 52．用配方法解方程：． 53．（23-24八年级上·上海·期末）已知关于的一元二次方程． (1)如果是该方程的一个根，求另一个根； (2)如果方程有两个实数根，求的取值范围． 54．（23-24八年级上·上海闵行·期末）解方程：． 55．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）用适当的方法解下列方程 (1) (2) 56．某流感病毒传染性很强，若有一人感染上此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后，共有100人患病（假设每轮传染中，平均一个人传染的人数相同）． (1)每轮传染中平均一个人传染多少人？ (2)如果这100位病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 57．（20-21九年级上·山东济南·期末）解方程： (1)； (2)． 58．解方程： 59．（22-23八年级上·上海青浦·期末）解方程：． 60．解方程：x2﹣2x﹣4＝0． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 一元二次方程 易错题 一、单选题 1．某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率是x，则可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为（当增长时中间的“”号选“”，当降低时中间的“”号选“”）． 【详解】解：设平均每月增长率是x，列出方程为， 故选：B． 2．（22-23八年级上·上海长宁·期末）把方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得． 【详解】解：， ， 则，即， 故选：D． 3．（23-24八年级上·上海普陀·期末）在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的关系是解题的关键．用根的判别式判断即可，若方程有两个不相等的实数根，则需． 【详解】解：A、，∵，∴方程有两个不相等的实数根； B、，∵，∴方程无实数根； C、，∵，∴方程无实数根； D、，∵，∴方程实有两个相等的实数根； 故选：A． 4．（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据：“含有一个未知数，且含有未知数的项的次数为2次整式方程，叫做一元二次方程”，进行判断即可． 【详解】解：A、方程可化简为，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是方程，不符合题意； C、不是整式方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选D． 5．若是方程的一个根，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】根据方程根的含义，使方程左右两边相等的未知数的值为方程的解或方程的根，求解即可． 【详解】解：将代入方程可得，， 解得：， 故选：B． 【点睛】此题考查了方程根的含义，解题的关键是掌握相关基础知识，正确的进行求解． 6．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】B 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与的关系，解决本题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 7．若关于x的一元二次方程的一个根是2，则m的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】把代入方程得，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8．若方程有一根是1，则另一根是（　　） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】根据根与系数的关系列出关于另一根的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一根为， 方程有一根是1， ， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根于系数的关系，解题的关键是弄清楚一元二次方程的两根之和与系数、的关系． 9．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 【详解】因为， 所以， 所以方程有两个不相等的两个实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键． 10．某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x．则由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先表示出各年栽种果树棵数，进而得出方程即可． 【详解】解：设这个百分数为x，根据题意得出： ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，分别表示出各年的栽种数量是解题关键． 11．（21-22八年级上·上海崇明·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】A、为一元一次方程，不符合题意； B、是分式方程，不是整式方程，不符合题意； C、为一元一次方程，不符合题意； D、为一元二次方程，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解答本题的关键是理解掌握一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程． 12．下列一元二次方程没有实数根的是（  ） A．x2-2=0 B．x2-2x=0 C．x2+x+1=0 D．(x-1)(x-3)=0 【答案】C 【分析】分别计算四个方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac，然后根据△的意义分别判断方程根的情况． 【详解】解：A、Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意； B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以，B选项不符合题意； C、Δ＝12﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程有没有的实数根，所以C选项符合题意； D、由原方程得到：x2﹣4x+3＝0，则Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 13．（21-22八年级上·上海徐汇·期末）下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：A、 ，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； B、，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； C、，所以方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意； D、，所以方程没有的实数根，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数 ，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根是解题的关键． 14．（21-22八年级上·上海·阶段练习）下列关于x的方程一定有实数解的是（　　） A．x2﹣x+2＝0 B．x2+x﹣m＝0 C． D．x2﹣mx﹣1＝0 【答案】D 【分析】分别计算四个方程的判别式Δ＝b2﹣4ac，然后根据△的意义进行判断即可． 【详解】解答：解：A、Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，方程没有实数根，所以A选项错误； B、Δ＝12﹣4×1×（﹣m）＝1+4m，当1+4m＜0，即m＜﹣时，方程没有实数根，所以B选项错误； C、Δ＝22﹣4××1＝4﹣4＜0，方程没有实数根，所以C选项错误； D、Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 二、填空题 15．（21-22八年级上·上海青浦·期末）电影《你好，李焕英》首映当日票房已经达到亿元，2天后当日票房达到亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为 . 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，掌握关系式：，是解题的关键；根据关系式表示出2天后的票房即可列出方程． 【详解】解：由题意得：2天后的票房为：亿元， 则得方程：； 故答案为：． 16．用换元法解方程中，如果设，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整体换元法、去分母将分式方程化为整式方程，正确代入以及去分母是解题关键． 将原分式方程中的全部换成y，最后去分母化成整式方程即可． 【详解】解：设，则原方程为， 整理得， 故答案为：． 17．“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算全班共送多少句，首先确定一个人送出多少句是解题关键． 如果全班有名同学，那么每名同学要送出句，共有名学生，那么总共送的名数应该是句，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学，依题意有：． 故答案为：． 18．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解方程，熟练掌握利用因式分解法解方程是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， 故答案为：． 19．（2024·上海杨浦·一模）根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x，根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据上海市2021年及2023年我国国民生产总值，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故答案为：． 20．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 21．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据且列式求解即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 22．若关于的一元二次方程的常数项为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的有关概念，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】由得， ∵常数项为， ∴且， 解得：， 故答案为：． 23．（23-24八年级上·上海松江·期末）关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用根的判别式，建立关于m的方程求得m的值是解题的关键． 【详解】解：， 解得：， 故答案为：． 24．（23-24八年级上·上海金山·期末）如果关于的一元二次方程有一个根是，则 ． 【答案】 【分析】把代入，转化为k的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】把代入， 得， 解得， 故答案为：1． 25．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知关于x的方程有一个根是，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义，掌握定义“一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 【详解】把 代入方程得：， 故答案为：． 26．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知关于x的方程有两个实数根，那么m ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的概念和根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：关于x的方程有两个实数根， ∴，解得：且， 故答案为：且． 27．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知一元二次方程有一个根是3，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根，解题的关键是把代入原方程，求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是3， ∴，解得， 故答案为：． 28．（23-24八年级上·上海普陀·期末）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查在实数范围内分解因式，解题的关键是利用求根公式因式分解．时，，根据求根公式的分解方法和特点即可求解． 【详解】解：时，， ， 故答案为：． 29．（23-24八年级上·上海闵行·期末）某件商品原价为200元，经过两次促销降价后的价格为164元，如果连续两次降价的百分率相同，设两次降价的百分率都是x，那么可以列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据经过两次促销降价后的价格为164元，列出方程即可． 【详解】解：设两次降价的百分率都是x，由题意，得：； 故答案为：． 30．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式的意义，根据根的情况，列式，解出m的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵x的方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得 故答案为： 31．（23-24八年级上·上海闵行·期末）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握配方法和平方差法因式分解是解题的关键．先配方再用平方差公式法，进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 32．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）写出一个一元二次方程的一般式，使它同时满足以下要求：①二次项系数为2，②两根分别为和： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了根与系数的关系．先计算3与的和与积，则根据根与系数的关系得到方程，然后把系数化为整数系数即可． 【详解】解：，， 以3和为根的一元二次方程可为， 即． 故答案为：． 33．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】任意实数 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：方程整理得， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴的取值范围是任意实数， 故答案为：任意实数． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 34．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）在实数范围内分解因式 ． 【答案】 【分析】先求出方程的两个根，再因式分解． 【详解】∵的根为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，正确计算方程的两个根是解题的关键． 35．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”进行求解． 【详解】解：原方程可化为：， 因式分解得：， 所以或， 解得：，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法． 36．一元二次方程的根的判别式为 ． 【答案】 【分析】将方程的二次项系数，一次项系数，常数项代入进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式． 37．用换元法解方程时，如果设，那么所得到的关于y的整式方程为 ． 【答案】 【分析】由，则 ，，转化后再进一步整理得到整式方程即可． 【详解】解：， ，， 则原方程为：， 整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用换元法解分式方程，掌握换元法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化是解题的关键． 38．已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ． 【答案】 【分析】根据换元法即可求解． 【详解】解：方程，如果设， ∴ 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键． 39．某款新能源车在两年内价格从25万元降至16万元，如果设每年降价的百分率均为x（），则由题意可列方程： ． 【答案】 【分析】由“在两年内价格从25万元降至16万元”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】依题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 40．一辆汽车，新车购买价为25万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值14.45万元，设这辆车在第二、三年的年折旧率为a，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】设这辆车第二、三年的年折旧率为x，则第二年这就后的价格为元，第三年折旧后的价格为元，与第三年折旧后的价格为14.45万元建立方程即可． 【详解】设这辆车第二、三年的年折旧率为x，由题意得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后价格并运用价格为14.45万元建立方程是关键． 41．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 42．（22-23八年级上·上海青浦·期末）某商场七月份的销售额为1000万元，八月份的销售额下降了20%，商场从九月份起改进经营措施，销售额稳步增长，十月份的销售额达到1352万元，如果每月的销售额增长率相同，设这个增长率为，那么可列方程 ． 【答案】 【分析】设这个增长率为，根据十月份的销售额达到1352万元列方程即可． 【详解】解：设这个增长率为，由题意得 ． 故答案为：． 【点睛】此类考查了一元二次方程的应用－增长率，要注意增长的基础，解决此题的关键是根据题意找到数量关系． 43．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 ． 【答案】84 【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可． 【详解】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为： x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4 解得：x1＝8，x2＝1.5（舍）， ∴x﹣4＝4， ∴10x+（x﹣4）＝84． 答：这个两位数为84． 故答案为：84 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 44．如果关于x的方程x2﹣x+2a＝4有一个根是x＝﹣1，那么a＝ ． 【答案】 【分析】直接根据一元二次方程的解的定义，将代入得到关于的一元一次方程，进而解方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程x2﹣x+2a＝4有一个根是x＝﹣1， 解得 故答案为：1 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，掌握解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 45．已知0是关于的一元二次方程的一个实数根，则= ． 【答案】-1 【分析】根据一元二次方程的二次项系数不等于零可得，由0是一元二次方程方程的解，把，代入方程可得，进而即可解得的值． 【详解】解：∵0是关于的一元二次方程的一个实数根， ∴，且， ∴， 故应填-1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程中的字母求值问题． 46．某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x，则根据题意可列方程 ． 【答案】64（1+x）2＝81 【分析】如果每月的增长率都为x，根据某旅游景点6月份共接待游客64万人次，则7月份接待游客64（1+x）万人次，8月份共接待游客64（1+x）2万人次，根据题意可列出方程． 【详解】解：设每月的增长率都为x，列方程得 64（1+x）2＝81． 故答案为：64（1+x）2＝81． 【点睛】本题考查了增长率问题，理解题意，用含x式子表示出8月份游客人次是解题关键． 三、解答题 47．（22-23八年级上·上海长宁·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的因式分解法是解题的关键．先整理成一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解，然后解方程即可得到答案． 【详解】解： 则或 解得，． 48．（21-22八年级上·上海青浦·期末）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，先将常数项移到等号右边，再用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ，． ∴原方程的解为，． 49．（23-24八年级上·上海宝山·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．利用配方法求解即可． 【详解】解： ， 50．（23-24八年级上·上海松江·期末）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 【答案】比赛区域的长为16米，宽为9米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每块跳绳场地的宽为x米，则其长为米，根据比赛场地的面积为144平方米列出一元二次方程，求解即可，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每块跳绳场地的宽为x米，则其长为米，由题意得 ， 解得（舍去）， ∴米，米， 所以，比赛区域的长为16米，宽为9米． 51．用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，直接根据配方法的步骤进行解方程即可． 【详解】， ， ， ， ， ， ∴． 52．用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得解． 【详解】解：， 原方程化为， 配方得， 即， 开方得， ， ∴，． 53．（23-24八年级上·上海·期末）已知关于的一元二次方程． (1)如果是该方程的一个根，求另一个根； (2)如果方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)另一个根为； (2)k的取值范围是且． 【分析】本题考查了一元二次方程的根、根与系数的关系、根的判别式． （1）将代入，然后解方程即可得到，再根据根与系数的关系求得另一个根； （2）根据一元二次方程的定义得，根的判别式，可求得k的取值范围． 【详解】（1）解：将代入得 ， 解方程得：， 故关于x的一元二次方程为：， 解得：， 故另一个根为； （2）解：∵， ∴， ∵有两个实数根， ∴， 解之得：， 故k的取值范围是且． 54．（23-24八年级上·上海闵行·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． 先整理方程，然后利用因式分解，求出答案． 【详解】解：根据题意得： ， 方程整理得：， 分解因式得：， 解得：，． 55．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）用适当的方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，运用合适的解法求解即可，掌握解一元二次方程的常见方法是解题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：移项得：， 配方得：， 即：， 开方得：， ∴； （2）移项得：， 因式分解得：，即， ∴或， 解得：． 56．某流感病毒传染性很强，若有一人感染上此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后，共有100人患病（假设每轮传染中，平均一个人传染的人数相同）． (1)每轮传染中平均一个人传染多少人？ (2)如果这100位病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 【答案】(1)9人 (2)1000人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有100人患病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患病的人数经过两轮传染后患病的人数，即可求出结论． 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）； 答：每轮传染中平均每个人传染了9个人． （2）（人）． 答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有1000人患病． 57．（20-21九年级上·山东济南·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法；因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解； （1）利用因式分解法求解可得答案； （2）利用因式分解法求解可得答案． 【详解】（1）∵， 或 （2） 则或 58．解方程： 【答案】， 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得，． 所以方程的解是，． 【点睛】本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握因式分解的技巧是解题的关键． 59．（22-23八年级上·上海青浦·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】先移项，再用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 60．解方程：x2﹣2x﹣4＝0． 【答案】x1＝+3，x2＝﹣3 【分析】先找出各项系数，求出判别式，根据一元二次方程的求根公式计算即可． 【详解】解：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝36＞0， 方程有两个不等的实数根，x＝， 即x1＝+3，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握根据方程的特点，选择恰当解法是解题的关键． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$